Lượng giác

LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Biểu diễn cung – góc lượng giác Nếu cung (hoặc góc) lượng giác ¼ AM có số đo là k2 n p +a (hoặc 0 k.360 a n + o ) với k Î ¢ , n + Î ¥ thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau. Ví dụ 1. Nếu sđ ¼ AM k2 3 p = + p thì có 1 điểm M tại vị trí 3 p (ta chọn k = 0). Ví dụ 2. Nếu sđ ¼ AM k 6 p = + p thì có 2 điểm M tại các vị trí 6 p và 7 6 p (ta chọn k = 0, k = 1). Ví dụ 3. Nếu sđ ¼ 2 AM k 4 3 p p = + thì có 3 điểm M tại các vị trí 4 p , 11 12 p và 19 12 p (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2). Ví dụ 4. Nếu sđ ¼ k.360 AM 45 k.90 45 4 = + = + o o o o thì có 4 điểm M tại các vị trí 45 0 , 135 0 , 225 0 và 315 0 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3). Ví dụ 5. Tổng hợp hai cung x k 6 p = - + p và x k 3 p = + p . Giải Biểu diễn 2 cung x k 6 p = - + p và x k 3 p = + p trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm 6 p - , 3 p , 5 6 p và 4 3 p cách đều nhau. Vậy cung tổng hợp là: x k 3 2 p p = + . B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Hàm số lượng giác 1. Hàm số y = cosx 1) Miền xác định D = ¡ . 2) Miền giá trị G = [–1; 1]. 3) Hàm số y = cosx là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T 2= p . 4) (cosx) / = – sinx. 5) Đồ thị hàm số y = cosx đối xứng qua trục tung Oy. 2. Hàm số y = sinx 1) Miền xác định D = ¡ . 2) Miền giá trị G = [–1; 1]. 3) Hàm số y = sinx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T 2= p . 4) (sinx) / = cosx. 5) Đồ thị hàm số y = sinx đối xứng qua gốc tọa độ O. 3. Hàm số y = tgx 1) Miền xác định { } D \ k , k 2 p = + pΡ ¢ . 2) Miền giá trị G = ¡ . 3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p . 4) (tgx) / = 1 + tg 2 x = 2 1 cos x . 5) Đồ thị hàm số y = tgx đối xứng qua gốc tọa độ O. 4. Hàm số y = cotgx 1) Miền xác định { } D \ k , k= pΡ ¢ . 2) Miền giá trị G = ¡ . 3) Hàm số y = cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p . 4) (cotgx) / = – (1 + cotg 2 x) = 2 1 sin x - . 5) Đồ thị hàm số y = cotgx đối xứng qua gốc tọa độ O. 2 5. Chu kỳ của hàm số lượng giác 5.1. Định nghĩa Hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x). Ví dụ 1. Hàm số y = sin5x có chu kỳ 2 T 5 p = vì: ( ) 2 sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5x 5 p + = + =p . Hơn nữa, 2 T 5 p = là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2p . 5.2. Phương pháp giải toán 5.2.1. Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx) Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx), n + Î ¢ có chu kỳ 2 T n p = . Ví dụ 2. Hàm số y = cos7x có chu kỳ 2 T 7 p = . 5.2.2. Hàm số x y sin n = và x y cos n = Hàm số x y sin n = và x y cos n = , n + Î ¢ có chu kỳ T n2= p . Ví dụ 3. Hàm số x y sin 3 = có chu kỳ T 6= p . 5.2.3. Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx) Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx), n + Î ¢ có chu kỳ T n p = . Ví dụ 4. Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T 6 p = . 5.2.4. Hàm số x y tg n = và x y cot g n = Hàm số x y tg n = và x y cot g n = , n + Î ¢ có chu kỳ T n= p . Ví dụ 5. Hàm số x y tg 3 = có chu kỳ T 3= p . 5.2.5. Hàm số y f(x) g(x)= ± Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có chu kỳ lần lượt là 1 m T n = p và 2 p T k = p . Để tìm chu kỳ của hàm số y f(x) g(x)= ± ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Quy đồng m mk n nk = , p np k nk = và tìm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np. Bước 2. Chu kỳ của y f(x) g(x)= ± là A T nk = p . Ví dụ 6. Tìm chu kỳ của hàm số x y cos 3x t g 3 = - . Giải Hàm số y = cos3x, x y tg 3 = có chu kỳ lần lượt là 2 3 p và 3p . Ta có: 2 2 BCNN(2; 9) 3 3 T 6 9 3 3 3 p p ì ï = ï ï ï = =Þ p p í ï p ï =p ï ï î . Vậy chu kỳ của hàm số x y cos 3x tg 3 = - là T 6= p . II. Phương trình lượng giác cơ bản 1) cos x cos= a x k2 , k x k2 = +a p é ê Û Î ê = - +a p ê ë Z 2) sin x sin= a Û x k2 , k x + k2 = +a p é ê Î ê = -p ap ê ë Z 3) tgx t g x k , k= = +aÛ a pÎ Z 4) cotgx cotg x k , k= = +aÛ a pÎ Z Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ 1) cos x 0 x k , k 2 p = = +Û pÎ Z 2) cos x 1 x k2 , k= =Û pÎ Z 3) cos x 1 x k2 , k= - = +Û p pÎ Z 4) sin x 0 x k , k= =Û pÎ Z 5) sin x 1 x k2 , k 2 p = = +Û pÎ Z 6) sin x 1 x k2 , k 2 p = - = - +Û pÎ Z Ví dụ 1. Xét số nghiệm của phương trình x cos x 0+ = p . Giải Ta có x x cos x 0 cos x+ = = -Û p p (1). Suy ra (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx và x y = - p (đi qua điểm ( p ; – 1)). Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. Giải phương trình: (cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3) 0 2 cos x 1 + - - = + (2). Giải Điều kiện: 2 2 cos x 1 0 x k2 3 p + ± +¹Û¹ p . Ta có: cos x 1 x k2 1 (2) cos x x k2 2 3 tgx 3 x k 3 é = - é = +p p ê ê ê ê p ê ê = = ± +Û Û p ê ê ê ê ê p ê = ê = + p ë ê ë . 4 So với điều kiện và tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) có họ nghiệm là: 2 x k , k 3 3 p p = + Î ¢ . Chú ý: Các họ nghiệm 2 x k 3 3 p p = - + và 2 x k 3 p = +p cũng là các họ nghiệm của (2). III. Các dạng phương trình lượng giác 1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác 1) acos 2 x + bcosx + c = 0 2) asin 2 x + bsinx + c = 0 3) atg 2 x + btgx + c = 0 4) acotg 2 x + bcotgx + c = 0 Phương pháp giải toán Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có). Bước 2. Đưa phương trình về dạng at 2 + bt + c = 0. Chú ý: Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có). Ví dụ 1. Giải phương trình 2 2 sin x sinx 2 0+ - = (1). Giải Đặt t = sinx, 1 t 1- ££ ta có: 2 (1) 2t t 2 0+ - =Û 1 t t 2 2 = = -Û Ú (loại) sin x sin 4 p =Û 3 x k2 x k2 4 4 p p = + = +Û p Ú p . Vậy (1) có các họ nghiệm x k2 4 , k 3 x k2 4 p é = + p ê ê Î ê p ê = + p ë ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình 4 4 5(1 cos x) 2 sin x cos x+ = + - (2). Giải Ta có: 2 2 2 (2) 3 5 cos x sin x cos x 2 cos x 5 cos x 2 0+ = - + + =Û Û . Đặt t = cosx, 1 t 1- ££ ta suy ra: 2 (2) 2t 5t 2 0+ + =Û 1 t t 2 2 = - = -Û Ú (loại) 2 cos x cos 3 p =Û 2 x k2 3 p = ± +Û p . Vậy (2) có các họ nghiệm 2 x k2 , k 3 p = ± + pÎ ¢ . Ví dụ 3. Giải phương trình 2 3 2 3tgx 6 0 cos x + - = (3). Giải Điều kiện x k 2 p +¹ p , ta có: 2 2 (3) 3(1 t g x) 2 3tgx 6 0 3t g x 2t gx 3 0+ + - = + - =Û Û . Đặt t = tgx, ta suy ra: 2 (3) 3t 2t 3 0+ - =Û 1 t t 3 3 = =Û Ú ( ) tgx t g x k 6 6 x k tgx t g 3 3 p p é é = = + p ê ê ê ê Û Û p p ê ê = - + p = - ê ê ë ë (thỏa điều kiện). Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau. Vậy (3) có họ nghiệm là x k , k 6 2 p p = + Î ¢ . Ví dụ 4. Tìm m để phương trình 2 sin x sin x m 0- + = (4) có nghiệm thuộc đoạn 7 ; 6 6 p p é ù ê ú ë û . Giải Với 7 1 x ; sin x 1 6 6 2 p p é ù -Î Þ £ £ ê ú ë û . Đặt t = sinx, ta suy ra: 2 1 (4) m t t, t 1 2 = - + -Û £ £ . Xét hàm số 2 y t t= - + , ta có bảng biến thiên: t –1/2 1/2 1 y 1/4 –3/4 0 Suy ra (4) có nghiệm 7 3 1 x ; m 6 6 4 4 p p é ù -Î Û £ £ ê ú ë û . Cách khác: ( ) 2 2 1 1 (4) t t m m t 4 2 - = - - = -Û Û . Do ( ) 2 1 1 1 1 t 1 1 t 0 t 1 2 2 2 2 - - - -££Û £ £Û£ £ nên: 1 3 1 0 m 1 m 4 4 4 - -£ £ Û £ £ . Ví dụ 5. Tìm m để phương trình tgx mcot gx 2- = (5) có nghiệm. Giải Cách giải sai: Đặt t t gx t 0= Þ¹ , ta suy ra: ( ) 2 2 m (5) t 2 m t 2t m t 1 1 1 t - = = - = - - -Û Û Û ³ (a). Mặt khác: t 0 m 0¹ Þ ¹ (b). Từ (a) và (b) ta suy ra (5) có nghiệm 1 m 0-Û £ ¹ (sai). Cách giải đúng: Đặt t t gx t 0= Þ¹ , ta suy ra: 2 m (5) t 2 m t 2t t - = = -Û Û . Xét hàm số 2 y t 2t= - , ta có bảng biến thiên: t - ¥ 0 1 + ¥ y + ¥ + ¥ 0 –1 Vậy (5) có nghiệm m 1-Û ³ . 6 2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0) Phương pháp giải toán Cách 1 Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt b tg a = a . Bước 2. (*) c c sin x t g cos x sin(x ) cos a a + = + =Û a Û a a . Cách 2 Bước 1. Chia hai vế (*) cho 2 2 a b+ và đặt: 2 2 2 2 a b cos , sin a b a b = =a a + + . Bước 2. (*) 2 2 c sin x cos cos x sin a b + =Û a a + 2 2 c sin(x ) a b + =Û a + . Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a 2 + b 2 ³ c 2 Ví dụ 1. Giải phương trình 3 sin x cosx 2- = (1). Giải Cách 1 1 2 2 (1) sin x cos x sin x tg cos x 6 3 3 3 p - = - =Û Û ( ) ( ) 2 sin x cos sin x 1 6 6 6 3 p p p - = - =Û Û 2 x k2 x k2 , k 6 2 3 p p p - = + = +Û p Û p Î ¢ . Cách 2 ( ) 3 1 (1) sin x cos x 1 sin x 1 2 2 6 p - = - =Û Û 2 x k2 x k2 , k 6 2 3 p p p - = + = +Û p Û p Î ¢ . Vậy (1) có họ nghiệm 2 x k2 , k 3 p = + pÎ ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình sin 5x 3 cos 5x 2 sin 7x+ = (2). Cách 1 (2) sin 5x t g cos 5x 2 sin 7x 3 p + =Û ( ) sin 5x 2 cos sin 7x 3 3 p p + =Û ( ) 7x 5x k2 3 sin 5x sin 7x 2 3 7x 5x k2 3 p é = + + p ê p ê + =Û Û ê p ê = - + p ë x k 6 , k x k 18 6 p é = + p ê ê Û Î p p ê = + ê ë ¢ . Cách 2 ( ) 1 3 (2) sin 5x cos 5x sin 7x sin 7x sin 5x 2 2 3 p + = = +Û Û 7x 5x k2 3 2 7x 5x k2 3 p é = + + p ê ê Û ê p ê = - + p ë x k 6 , k x k 18 6 p é = + p ê ê Û Î p p ê = + ê ë ¢ . Vậy (2) có các họ nghiệm x k 6 , k x k 18 6 p é = + p ê ê Î p p ê = + ê ë ¢ . Ví dụ 3. Giải phương trình 3 sin 2x 3 cos 2x 4- = - (3). Giải Do 2 2 2 3 ( 3) ( 4)+ - < - nên phương trình (3) vô nghiệm. Ví dụ 4. Tìm m để phương trình: 2 2m cos x 2(m 1) sin x cos x 3m 1 0- - - - = (4) có nghiệm. Giải Ta có: (4) m cos 2x (m 1) sin 2x 2m 1- - = +Û . Suy ra: (4) có nghiệm 2 2 2 m (m 1) (2m 1) 3 m 0+ - + -Û ³ Û £ £ . 3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx 3.1. Đẳng cấp bậc hai asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = 0 (*) Phương pháp giải toán Cách 1 Bước 1. Kiểm tra x k 2 p = + p có là nghiệm của (*) không. Bước 2. Với x k 2 p +¹ p , chia hai vế của (*) cho cos 2 x ta được: (*) Û atg 2 x + btgx + c = 0. Cách 2 Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x. Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 ( 3 1) sin x ( 3 1) sin x cos x 3 0+ - - - = (1). Giải Nhận thấy x k 2 p = + p không thỏa (1). Với x k 2 p +¹ p , chia hai vế của (1) cho cos 2 x ta được: 2 2 (1) ( 3 1)tg x ( 3 1)t gx 3(1 tg x) 0+ - - - + =Û 2 tg x ( 3 1)tgx 3 0- - - =Û 8 x k tgx 1 4 tgx 3 tgx k 3 p é = - + p = - é ê ê ê Û Û ê p ê = ê = + p ë ê ë . Vậy các họ nghiệm của (1) là x k 4 , k tgx k 3 p é = - + p ê ê Î p ê = + p ê ë ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình sin 2 x + 2 3 sinxcosx + 1 = cos 2 x (2). Giải ( ) ( ) (2) 3 sin 2x cos 2x 1 sin 2x sin 6 6 p p - = - - = -Û Û x k 2x k2 6 6 2 7 x k 2x k2 3 6 6 p p é = p é - = - + p ê ê ê Û Û ê p ê p p ê = + p ê - = + p ê ë ë . Cách khác: 2 (2) sin x 3 sin x cos x 0+ =Û Û sin x 0 sin x 3 cos x 0 = é ê ê + = ê ë x k sin x 0 tgx 3 x k 3 = p é = é ê ê Û Û ê p ê = - = - + p ê ê ë ë . Vậy (2) có các họ nghiệm là x k , k 2 x k 3 = p é ê Î ê p ê = + p ê ë ¢ . Chú ý: Đối với mỗi cách giải khác nhau, ta có thể thu được nghiệm ở các dạng khác nhau nhưng sau khi tổng hợp nghiệm thì chúng giống nhau. 3.2. Đẳng cấp bậc cao Phương pháp giải toán Cách 1 Bước 1. Kiểm tra x k 2 p = + p có là nghiệm của phương trình không. Bước 2. Với x k 2 p +¹ p , chia hai vế cho cos n x (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc n theo tgx. Cách 2 Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trình tích. Ví dụ 3. Giải phương trình 2(cos 5 x + sin 5 x) = cos 3 x + sin 3 x (3). Giải Cách 1 Nhận thấy x k 2 p = + p không thỏa (3). Với x k 2 p +¹ p , chia hai vế của (3) cho cos 5 x ta được: 5 2 3 2 (3) 2 2t g x 1 t g x t g x(1 t g x)+ = + + +Û 5 3 2 tg x t g x t g x 1 0- - + =Û 2 2 (t gx 1) (tgx 1)(t g x t gx 1) 0- + + + =Û tgx 1 x k k 4 4 2 p p p = ± = ± + +Û Û p Û . Cách 2 3 2 3 2 (3) cos x(2 cos x 1) sin x(1 2 sin x)- = -Û 3 3 cos x cos 2x sin x cos2x=Û cos 2x 0 tgx 1 = é ê Û ê = ë x k 4 2 x k 4 2 x k 4 p p é = + ê p p ê = +Û Û p ê = + p ê ë . Vậy (3) có họ nghiệm là x k , k 4 2 p p = + Î ¢ . Chú ý: ( ) 5 5 3 3 2 cos x sin x cos x sin x+ = + ( ) 5 5 3 3 2 2 2 cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x)+ = + +Û 5 5 3 2 2 3 cos x sin x cos x sin x cos x sin x 0+ - - =Û (đẳng cấp). 4. Dạng đối xứng đối với sinx và cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) Phương pháp giải toán Bước 1. Đặt t = sinx + cosx = ( ) 2 sin x 4 p + 2 t 2-Þ £ £ và 2 t 1 sin x cos x 2 - = . Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t. Chú ý: Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx. Ví dụ 1. Giải phương trình: ( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + 2 + 1 = 0 (1). Giải Đặt t = sinx + cosx 2 t 2-Þ £ £ và sin2x = t 2 – 1. Thay vào (1) ta được: 2 t ( 2 1)t 2 0 t 1 t 2+ + + = = - = -Û Ú . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin x 1 sin x sin 4 4 4 (1) 2 sin x 2 sin x 1 4 4 p p p é é + = - + = - ê ê ê ê Û Û ê ê p p + = - + = - ê ê ë ë x k2 x k2 4 4 2 5 x k2 x k2 4 4 3 x k2 x k2 4 2 4 p p é é p + = - + p ê ê = - + p ê ê ê p p ê + = + = +Û p Û p p ê ê ê ê ê ê p p p ê ê + = - + p = - + p ê ê ë ë . Vậy (1) có các họ nghiệm: x k2= +p p , x k2 2 p = - + p , 3 x k2 4 p = - + p (k )Î ¢ . Ví dụ 2. Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2). 10 . LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Biểu diễn cung – góc lượng giác Nếu cung (hoặc góc) lượng giác ¼ AM có số. tròn lượng giác ta được 4 điểm 6 p - , 3 p , 5 6 p và 4 3 p cách đều nhau. Vậy cung tổng hợp là: x k 3 2 p p = + . B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Hàm số lượng