Một số dạng toán Vận dụng kiến thức hệ thức Vi - ét để giải Trong các đề thi vào các trờng chuyên,đề thi HSG lớp 9,hay vào lớp 10 THPT, ngay cả trong các đề thi GVDG cấp huyện, cấp tỉn
Trang 1Một số dạng toán Vận dụng kiến thức hệ thức Vi - ét để giải
Trong các đề thi vào các trờng chuyên,đề thi HSG lớp 9,hay vào lớp 10 THPT, ngay cả trong các đề thi GVDG cấp huyện, cấp tỉnh, thi khảo sát chất lợng GV-THCS hàng năm thờng xuyên có bài về
ph-ơng trình bậc hai có chứa tham số, để giải tốt các yêu cầu của bài toán dạng này ta có thể vận dụng kiến thức về hệ thức Vi-ét Những bài toán thuộc loại nàycó thể ở dạng cơ bản dành cho HS trung bình nhng cũng có thể là những câu khó để phân loại học sinh.Đối với một số bài toán ở dạng này nếu ta không biết vận dụng kiến thức hệ thức Vi – ét thì việc giải các toán quả là một khó khăn.Qua các đợt thi tôi thấy ngay cả với một số thầy, cô cũng nh đối với các em học sinh khi gặp các dạng này cũng đang còn lúng túng cha có hớng giải Bài viết này tôi muốn các bạn đồng nghiệp cùng trao đổi, các em học sinh hệ thống lại các dạng toán thờng gặp và những lu ý cần thiết khi giải chúng Các dạng toán đợc thông qua các ví dụ
A.Kiến thức cơ bản:
1 Nội dung hệ thức: Nếu phơng trình bậc hai ax2 +bx +c = 0 có nghiệm x1; x2 thì
S = x1 + x2 =
a
b
−
; P = x1 x2 =
a c
Lu ý: Khi đó ta cũng có x1 - x2 =
a
∆
±
2 Các ứng dụng:
+ Phơng trình bậc hai ax2 +bx +c = 0 có nghiệm x1 = 1 và x2 =
a
c ⇔ a+ b+ c = 0
+ Phơng trình bậc hai ax2 +bx +c = 0 có nghiệm x1 = -1 và x2 =
-a
c
⇔ a- b+ c = 0
+ Nếu hai số u và v mà u + v =S còn u.v = P thì hai số đó là nghiệm của phơng trình:
t2 – S t +P = 0 (Với đk: S2 – 4 ≥ 0 )
3 Các hệ quả ( dễ dàng các em HS chứng minh đợc)
Cho phơng trình bậc hai ax2 +bx +c = 0 thì:
+Phơng trình bậc hai có ít nhất một nghiệm dơng⇔ ∆ ≥ 0 và
a
b
−
0
≥ +Phơng trình bậc hai có ít nhất một nghiệm âm⇔ ∆ ≥ 0 và
a
b
−
0
≤ +Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu⇔ ∆ ≥ 0 và
a
c
> 0 +Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dơng⇔ ∆ ≥ 0 và
a
c
> 0;
a
b
−
> 0
Trang 2+Phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm ⇔ ∆ ≥ 0 và
a
c
> 0 ;
a
b
−
< 0
+Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu⇔ a.c < 0
B Các dạng bài tập vận dụng hệ thức Vi – ét để giải:
* Dạng 1: Các bài tập về tính giá trị biểu thức thông qua việc biểu diễn dới dạng tổng và tích các nghiệm của phơng trình:
a.Các ví dụ:
Bài1:Cho phơng trình: x2 – 3x + m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm x1; x2 (x1> x2)
Tính giá trị biểu thức P = x13 x2+ x1 x23 theo m
(Đề thi TS lớp 10 THPT Đồng Nai – Năm học 2008 - 2009 )
Giải: Theo giả thiết bài toán x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 3; x1 x2 = m
Với giả thiết x1 > x2 ta suy ra: P = x13 x2+ x1 x23 = x1 x2 (x12 - x22) = x1 x2 (x1 + x2)( x1 - x2) = 3m( x1
-x2)
= 3m 2
2
1 ) (x −x = 3m 2 1 2
2
1 ) 4 (x +x − x x
= 3m 9 − 4m
Bài 2: Cho phơng trình mx2 + 2(m+1)x – 3 = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm x1; x2
Tính giá trị biểu thức A = x13+ x23 theo m
(Đề thi TS lớp 10 trờng PT Năng khiếu ĐHQuốc gia TP.HCM Năm học 2009 -2010)
Giải: Theo hệ thức Vi – ét ta có : x1 + x2 = ( )
m
m 1
2 +
−
; x1 x2 =
m
3
−
Do đó A = x13+ x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
=
− +
−
−
− +
m
m m
m
3 ) 1 (
= 8 3 42 32 42 8
m
m m
−
-) Các bài tập tự luyện
Cho phơng trình: x2 - 5x + 3 = 0 Gọi x1; x2 là 2 ngiệm của phơng trình không giải hãy tính:
1) x12 + x22 ; 2) x1 −x2 ; 3) x12 - x22 ; 4) x13
-x23
5)
2
1
1
1
x
x + ; 6) 2
2
2 1
1 1
x
x + ; 7)
2
2 1
x
x x
x − + −
; 8)
2
1 1
2
x
x x
x +
b.Nhận xét: Để giải các dạng toán này ta có thể làm theo các bớc
sau:
Bớc 1: Chứng minh phơng trình có nghiệm nếu cần
Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi – ét tính tổng và tích các nghiệm
Bớc 3: Biểu diễn các biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm rồi tính
Trang 3* Dạng 2: Cho phơng trình bậc hai có chứa tham số Hãy tìm giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm thỏa mãn một điều kiện nào đó, mà trong các điều kiện đó có chứa biểu thức viết đợc dới dạng tổng và tích các nghiệm.
a Các ví dụ:
Bài 1: Tìm giá trị tham số m để phơng trình:
x2 – 2(m - 1)x + m2 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x12 +
x22 = 14
(Đề thi KSCL giáo viên THCS – Tỉnh –Hà Tĩnh Năm 2009) Giải: Để phơng trình đã cho có nghiệm ⇔ ∆ / ≥ 0 ⇔ 1- 2m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2
1
áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 2(m -1 ); x1 x2 = m2 ( 1)
x12 + x22 = 14 ⇔ (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 14 (2)
Từ (1) và (2) ta có : [ ]2 2
2 ) 1 (
2 m− − m = 14 ⇔ m2 – 4m – 5 = 0 (3)
Ta có a – b + c = 1 – ( - 4) + (-5) = 0 , suy ra phơng trình (3) có hai nghiệm:
m1 = -1; m2 = 5
Đối chiếu với đk trên m = 5 >
2
1 nên không thỏa mãn
Vậy với m = -1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
x12 + x22 = 14
Bài2: Cho phơng trình:
(m - 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số)
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1
≠
∀m
2)Tính giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1;
x2 thỏa mãn:
5
1 2 2
x
x x
x
Đề thi GVDG - THCS – Thị xã – Hồng Lĩnh - Năm 2005)
Giải: a) Ta có ∆ / = 1 > 0 Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt ∀m≠ 1
b) áp hệ thức Vi – ét ta có x1 + x2 =
1
2
−
m
m
; x1 x2 =
1
1
−
+
m m
5 1
2 2
x
x x
x
⇔ 2(x12 + x22 ) + 5x1.x2 = 0
⇔ 2[ (x1+x2)2 − 2x1.x2]+ 5 x1.x2 = 0 ⇔ 2 (x1 + x2) + x1.x2 = 0
⇔ 2 2
2 ) 1
(
4
−
m
m
+
1
1
−
+
m
m
= 0 ⇔ 9m2 = 1 ⇔ m = ±
3 1
-) Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho phơng ẩn x: x2 + (4m + 1)x + (2m – 4) = 0
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
thỏa mãn:
x1 - x2 = 17
Trang 4(Đề thi KSCL giáo viên - THCS – Thị xã – Hồng Lĩnh - Năm học 2006 – 2007)
Bài 2: Cho phơng trình : mx2 + 3(m+ 1)x + 3 = 0
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
thỏa mãn:
x12 + x22 = 34
(Đề thi TS lớp 10PT Năng khiếu ĐH Quốc gia TP.HCM- Năm học 2008 -
2009 )
Bài 3: : Cho phơng trình : x2 - 2mx – 1 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt b)Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình trên Tìm m để :
x12 + x22 – x1x2 = 17
(Đề thi TS lớp 10 THPT -TP.Hồ Chí Minh- Năm học 2008 - 2009 )
b.Nhận xét: Để giải dạng toán này ta có thể thực hiện theo 4 bớc
sau:
Bớc 1:Tìm điều kiện để phơng trình có nghiêm (nếu cần)
Bớc 2: Biểu diễn biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm
Bớc 3: áp dụng hệ thức Vi – ét để tính tổng và tích các nghiệm và sau đó giải theo yêu cầu đề bài để xác định giá trị của tham số Bớc 4: Đối chiếu với giá trị của tham số vừa tìm đợc với điều kiện tham số ở bớc 1 để da ra kết luận
* Dạng 3: Cho phơng trình bậc hai có chứa tham số Hãy tìm giá trị của tham số m để phơng trình có nghịêm thỏa mãn một điều kiện nào đó, mà trong các điều kiện đó không chứa biểu thức viết đợc dới dạng tổng và tích các nghiệm a.Các ví dụ:
Bài 1: Cho phơng trình: 2x2 + (2m -1)x + m -1 = 0 (*)
1) Hãy tìm các giá trị của m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức: 3x1 – 4x2 = 11
2) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS – Tỉnh – Hà Tĩnh - Năm 2002)
Giải: 1)Ta có ∆= (2m - 3)2 ≥ 0 ∀m, vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm
áp hệ thức Vi – ét ta có : x1 + x2 =
2
2
1 − m
(1); x1 x2 =
2
1
−
m
(2)
Để 3x1 – 4x2 = 11 (3)
Giải phơng trình (1) và (3) ta đơc: x1 =
4
4
13 − m
; x2 =
14
6
19 − m
− Thế vào phơng trình (2) ta đợc: 8m2 – 17m – 66 = 0 (4)
Giải phơng trình (4) ta đợc: m1 = -2 ; m2 =
8 33
Trang 52)Để pt (*)có hai nghiệm đều âm⇔
>
<
+
>
∆
0
0 0
2 1
2 1
x x
x
>
−
<
−
>
0 2 1
0 2
2 1
0 3) -(2m 2
m
m
⇔
>
>
≠
1 2 1 2
3 m
m
>
≠
1
2
3
m
m
Vậy m
2
3
≠ và m > 1 thì phơng trình có hai nghiệm đều âm
Bài 2: Cho phơng trình: mx2 - 2 (m +1)x + m + 3 = 0 (1)
1)Giải và biện luận
2)Tìm m để pt có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
Giải: 1) Nếu m = 0 phơng trình đã cho trở thành phơng trình bậc nhất -2x +3 = 0 có nghiệm x =
2 3
Nếu m ≠0, phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai: mx2 - 2 (m +1)x + m + 3 = 0 (1)
∆ / = [-(m + 1)]2 – m(m + 3) = 1 – m
∆ / = 0 ⇔ m = 1 phơng trình (1) có nghiệm : x1 = x2 = 2 ;
∆ /< 0 ⇔m >1 phơng trình (1) vô nghiệm
∆ /> 0 ⇔m < 1 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 =
m
m
m+ 1 + 1 − ; x2 =
m
m
m+ 1 − 1 − ; m ≠0 2)Theo kết quả câu a, điều kiện để phơng trình có hai nghiệm có
giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau là
( )
=
+
=
<
+
=
≠
<
0 1 2
0 3
0
; 1
m
m S m
m P
m m
⇔ m
= -1
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho phơng trình: (m+ 1)x2 – (2m+3)x + 2 = 0 (với m thm số) 1)Giải phơng trình với m = 1
2)Hãy tìm các giá trị của m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:
x2 – 4x1 = 0
(Đề thi TS lớp 10 trờng PT chuyên Hà Tĩnh- Năm học 2007 - 2008 )
b Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 4 bớc
sau:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi – ét để tính tổng và tích các nghiệm
Trang 6Bớc 3: Từ điều kiện đã cho, kết hợp với x1 + x2 =
a
b
− (1); hoặc x1 .x2
=
a
c
(2); chọn để giải hệ phơng trình bằng cách thuận lợi nhất tìm
x1; x2 thế vào (1) hoặc (2) tìm m
Bớc 4: Đối chiếu với của tham số vừa tìm đợc với điều kiện tham số ở bớc1 để đa ra kết luận
*) Dạng 4: Giải phơng trình bậc hai:
a Các ví dụ:
Bài 1: Giải các phơng trình:
a) 1.5 x2 – 1.6x + 0.1 = 0 (1) : b) 3x2 – (1 - 3 )x – 1
= 0 (2)
( Bài tập 31 – trang 54 – SGK Toán 9 tập 2)
Giải: a) Ta có a + b + c = 1.5 + (- 1.6) + 0.1 = 0
Suy ra phơng trình ( 1 ) có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =
15 1 b) Ta có a – b + c = 3 - [−(1 − 3) ] + (-1) = 0
Suy ra phơng trình ( 2 ) có hai nghiệm: x1 = - 1; x2=
3 1
Các bài tự luyện
Giải phơng trình: 1) (2 - 3)x2 + 2 3x – ( 2+ 3) = 0
2) (m- 1)x2 – (2m +3)x + m + 4 =0
b Nhận xét: Để giải phơng trình bậc hai ta có thể theo các bớc sau:
Bớc 1:Lần lợt nhẩm a + b + c và a – b +c
Bớc 2: Nếu a + b + c = 0 hay a – b +c = 0 thì kết luận nh trên.Còn nếu a + b + c và a – b +c đều khác 0 thì dùng công thức nghiệm thu gọn
*) Dạng 5: Tìm hai số khi biết tổng và tích hoặc quy về
đợc dạng tổng và tích.
a Các ví dụ: Tìm x và y biết:
1) x + y = 3 và x.y = 2 ; 2) x2 + y2 = 25 và x y = 12
3) x – y = 5 và x y = 25 ; 4) x + 3y = 1 và x y = - 4 ; 5) 2x –
y = 8 và x.y = - 6
Giải: (tắt)
1) ⇒ x và y là nghiệm của phơng: t2 – 3t + 2 = 0
Ta có t = 1và 2 ⇒(x = 1 và y = 2); ( x= 2 và y= 1)
2) ⇒ x2 + y2 = 25 và x2 y2 = 144 ⇒ x2 và y2 là nghiệm của phơng trình:
t2 – 25t + 144 = 0
Giải ra ta đợc t = 16 và 9 ⇒(x = 3 và y = 4); ( x= 4 và y= 3); (x = -3
và y =- 4);
( x= - 4 và y= - 3)
3) ⇒ x + (- y) = 5 và x(-y)= -xy = -24 ⇒ x và -y là nghiệm của phơng trình:
t2 – 5t – 24 = 0
giải ra ta đợc t = - 3 và 8 ⇒(x = - 3 và y = -8); ( x= 8 và y = 3)
Trang 74) ⇒ x + 3y = 1 và x 3y = -12 ⇒ x và 3y là nghiệm của phơng
trình: t2 – t – 12 = 0
giải ra ta đợc t = - 3 và 4 ⇒(x = - 3 và y =
3
4 ); ( x= 4 và y = -1) 5) ⇒ 2x + (-y) = 8 và 2x (-y)= -2xy = 12⇒ 2x và -y là nghiệm của
ph-ơng trình:
t2 – 8t + 12 = 0
giải ra ta đợc t = 2 và 6 ⇒(x = 1 và y = - 6); ( x= 3 và y = -2)
Các bài tập tự luyện: Tìm x và y biết:
1) x + y = 2 và x.y = 9; 2) x2 + y2 = 42 và x y = 9 3) x + 2 y = - 49 và x y = 20 ; 4)3 x + y = -4 và x y = - 2
b Nhận xét: Để giải loại bài toán dạng này ta có thể làm theo các bớc
sau:
Bớc 1:Viết các biểu thức đã cho dới dạng xác định đợc tổng và tích (nếu cha có)
Bớc 2: Lập phơng trình dựa vào ứng dụng tìm hai số của hệ thức Vi – ét
Bớc 3: Giải phơng trình lập ở bớc 2, thay vào để kết luận
*Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình với một số α cho trớc.
a.Các ví dụ:
Bài tập 1: Cho phơng trình : mx2 – 5x + m = 0
Tìm m để phơng trình có nghiệm lớn hơn 1
(Đề thi GVDG - THCS – Can Lộc – Hà Tĩnh - Năm học 2005 - 2006)
Giải: Đặt t = x – 1 ⇒ x = t + 1 Thay vào phơng trình đã cho ta đợc: (t + 1)2m – 5(t + 1) + m = 0 ⇔mt2 + (2m - 5)t + 2m – 5 = 0 (1)
Ta thấy để phơng trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1 thì phơng
trình (1) phải có ít nhất một nghiệm dơng ⇔
≥
−
≥
∆ 0
0
a
≥
−
≥
− 0 2 5
0 4
25 2
m m
m
⇔ 0 < m
2
5
≤ Vậy 0 < m
2
5
≤ thì phơng trình (1) có ít nhất một nghiệm dơng, nên phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1
x2 – (m - 1)x - m = 0
Giải: Để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1
điều kiện là:
<
− +
−
>
−
−
>
∆
0 1 1
0 1 1
0
2 1
2
1
x
x
x
<
−
>
−
>
+
0 3
0 2 2
0
12
m m
m
⇔
<
<
−
≠
3 1 1
m m
m
⇔
<
−
≠
1
1
m m
Vậy m ≠ -1 và m < 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1
Trang 8Các bài tự luyện:
Bài 1: Tìm k để phơng trình x2 + (2k + 1)x + k2 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1
Bài 2: Tìm a để phơng trình : x2 +ax – 1 = 0 có ít nhất một
nghiệm lớn hơn bằng 2
b Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 2
b-ớc:
Bớc 1: Lập phơng trình ẩn t đợc xác định t = x - α bằng cách thay x
= t +α vào phơng trình đã cho.Ta đợc phơng trình mới ẩn t
Bớc 2: So sánh nghiệm của phơng trình mới với 0 dựa vào hệ quả của
hệ thức Vi – ét
*) Dạng 7: Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phơng trình.
a Các ví dụ:
Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm x1 = 1 + 2; và x2 = 1
- 2
Giải: Ta có x1 + x2 = 2; x1 .x2 = - 1
Từ đó ta có phơng trình bậc hai nhận các nghiệm x1 = 1 + 2; và x2
= 1 - 2 là:
x2 – 2x – 1 = 0
Bài 2: Cho α ; β là các nghiệm của phơng trình x2 – 3kx + 1 = 0
Hãy lập phơng trình bậc hai có các nghiệm α + 2 β 2 và α 2 β 2
Giải: (tắt) Ta có α + β = 3k ; α β = 1 (theo hệ thức Vi – ét )
Suy ra phơng trình phải tìm là: t2 – ( 9k2 – 2)t + 1 = 20
Bài tập tự luyện:
Bài1 Cho phơng trình: x2 – (m - 1)x – m = 0
1) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là t1= 1- x1; t2 = 1- x2
2) Tìm m để pt đã cho có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1< 1< x2
(Đề thi TS lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong- Tỉnh Nam Định- Năm học
2007 - 2008 )
b Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 2
b-ớc:
Bớc 1: Tính tổng và tích các nghiệm mà đề bài đã cho
Bớc 2: Lập phơng trình dựa vào ứng dụng tìm hai số của hệ thức Vi – ét
*) Dạng 8: Các bài toán chứng minh
a Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỷ nhận
2005 2003
2005 2003
+
− làm nghiệm
(Đề thi GVDG - THCS – Can Lộc – Hà Tĩnh - Năm học 2003 - 2004)
Giải: giả sử x1 =
2005 2003
2005 2003
+
− = - 2004 + 2003 2005 Chọn x2 = - 2004 - 2003 2005
Ta có: x1 + x2 = - 4008 ; x1 .x2 = 1 nên x1; x2 là nghiệm của phơng :
x2 + 400x + 1 = 0
Trang 9Vậy phơng trình: x2 + 400x + 1 = 0 nhận
2005 2003
2005 2003
+
−
làm nghiệm
Bài 2: Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên lẻ thì phơng trình
x2 + ax + b = 0 không có nghiệm nguyên
(Đề thi GVDG - THCS – Can Lộc – Hà Tĩnh - Năm học 2008 - 2009)
Giải: Giả sử pt: x2 + ax + b = 0 với a,b ∈ Z và a, b lẻ có nghiệm
nguyên x1; x2
Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = - a ; x1 .x2 = b
Điều này không xảy ra với a, b đều lẻ
Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên với a, b đều là số nguyên lẻ
Bài 3: Cho phơng trình : x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 ( m tham số)
Với mỗi số tự nhiên n, đặt Sn = x1n + x2n
Chứng minh rằng: Sn +2 - 2 (m - 1)Sn+1 + (m - 3)Sn = 0
Giải: Ta có ∆/ = (m -
2
3 )2 + 4
6 > 0 Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
áp hệ thức Vi – ét ta có x1 + x2 = 2(m - 1) ; x1 x2 = m – 3
Do đó ta có : Sn +2 - 2 (m - 1)Sn+1 + (m - 3)Sn
= x1n+2 + x2n +2 – 2(m-1)( x1n +1+ x2n+1) + (m - 3)( x1n +
x2n)
= x1n[x12 – 2(m – 1)x1 + m – 3] + x1n [x12 – 2(m – 1)x1 +
m – 3]
= [ x12 – 2(m – 1)x1 + m – 3] ( x1n + x2n)
= [x12 - ( x1 + x2) x1 + x1 x2] ( x1n + x2n) = 0
Bài tập tự luyện:
Chứng minh rằng tồn tại một phơng trình có các số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là: a)
5 3
5 3 +
− ; b)
3 2
3 2
−
+
b Nhận xét: Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 3
b-ớc:
Bớc 1: Nếu phơng trình có 1 nghiệm, chọn nghiệm thứ 2 ( nếu cần) Bớc 2: Tính tổng và tích các nghiệm
Bớc 3: Từ đó kết hợp với yêu cầu bài toán đi đến điều phải chứng minh
*) Dạng 9: Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
a.Các ví dụ:
Bài 1: Cho phơng trình: x2 +( 4m +1 )x + 2( m-4) = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS – Thị xã Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh - Năm 2006- 2007)
Giải: Ta có ∆= 16m2 + 17 > 0 ∀m Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm
áp hệ thức Vi – ét ta có x1 + x2 = - (4m + 1) ; x1 x2 = 2(m – 4)
Trang 10Từ đó ta có hệ phơng trình:
=
+
=
+
4) -2(m x x
1) (4m x x
2 1
2 1
⇔
=
+
=
+
4) 4(m
x
.
2x
1) (4m
x
x
2
1
2
1
Cộng vế với vế của hai phơng trình trên ta đợc: x1 + x2 +2 x1 x2 = -17 Vậy hệ thức cân tìm là : x1 + x2 +2 x1 x2 + 17 = 0
Bài 2: Cho phơng trình: x2 +( m +1 )x + 5 - m = 0 có hai nghiệm
x1; x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Giải: áp hệ thức Vi – ét ta có x1 + x2 = - m – 1 (1); x1 x2 = 5 – m (2)
Từ (2) suy ra : m = 5 - x1 x2 Thay vào (1) ta đợc: x1 + x2 = x1.x2
- 6
Vậy hệ thức cân tìm là: x1 + x2 - x1.x2 + 6 = 0
Các bài tập tự luyện
Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2(m - 4)x + m – 3 = 0 có hai nghiệm x1;
x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 2: Cho phơng trình:(m-1)x2 – 2m x + m + 1 = 0 có hai nghiệm
x1; x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m
b Nhận xét: : Để giải loại toán dạng này ta có thể thực hiện theo 3
bớc:
Bớc 1: Chỉ ra phơng trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số(nếu cần)
Bớc 2: áp dụng hệ thức Vi – ét tính tổng và tích các nghiệm
Bớc 3: Cộng, trừ, nhân hay chia hai vế để khử tham số ta đợc hệ thức cần tìm
*)Dạng 10: Các bài toán về tìm GTNN, GTLN
a) Các ví dụ:
Bài 1: Cho phơng trình: x2 + (4m +1)x +2m – 4 = 0
Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất
(Đề thi KSCL giáo viên - THCS – Thị xã Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh - Năm 2006- 2007)
Giải: Ta có ∆= 16m2 + 17 > 0 ∀m Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm
áp hệ thức Vi – ét ta có x1 + x2 = - (4m + 1) ; x1 x2 = 2(m – 4)
Do đó A = (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4 x1 x2 = [- (4m+1)]2- 4 2(m - 4)
= 16m2 + 17 ≥ 17
Vậy biểu thức A đạt GTNN là 17 khi m = 0
Bài 2: Cho phơng trình: x2 – 2mx – 16 + 5m2= 0
1.Tìm m để phơng trình có nghiệm
2.Gọi x1; x2 là các nghiệm tơng ứng của phơng trình Tìm GTLN
và GTNN của biểu thức A = x1(5x1 + 3x2 - 17) + x2(5x2 + 3x1
- 17)
(Đề thi TS lớp 10 THPT -TP.Hồ Chí Minh- Năm học 2009 - 2010 )