HSG toán 9 tiền hải 2017 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 120 phút) Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a) A = + 10 + + b) B = ( a + bc ) ( b + ca ) + 10 + ( c + ab ) ( b + ca ) + ( c + ab ) ( a + bc ) c + ab a + bc b + ca (Với a, b, c số thực dương a + b + c = 1) Bài (3,0 điểm) a) Tìm số a, b cho đa thức f(x) = x + ax3 + bx – chia hết cho đa thức x2 – 3x + b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y 2z2 số phương với x, y, z số nguyên Bài (4,0 điểm) a) Tìm m để phương trình: 2m − = m − vô nghiệm x−2 b) Giải phương trình: x + = x − 5x + 14 c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy yz zx + + = z x y Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Kẻ AH vuông góc với BC H Gọi D, E hình chiếu H AB, AC a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm Tính BC, AC b) Chứng minh DE3 = BC.BD.CE c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD M, Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE N Chứng minh M, A, N thẳng hàng d) Chứng minh BN, CM, DE đồng qui Bài (2,0 điểm) Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (Với a, b, c, d số thực) Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30 Tính giá trị biểu thức A = f (8) + f (- 4) –––––––––––––––Hết–––––––––––––––– Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng số: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN (Đáp án biểu điểm chấm gồm 03 trang) BÀI Ý NỘI DUNG A = + 10 + + - ĐIỂM 10 + > ( Û A = + 10 + + - 10 + + 16 - 10 + ) 0.25 Û A2 = + - a 2.0 Û A2 = + ( ) 5- 0.25 Û A2 = + - Û A2 = + Û A2 = ( ) +1 0.25 0.25 0.25 ( A > 0) Û A = +1 0.25 Vì a, b, c dương a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa < a,b,c < Ta có: B= b 2.0 B= B= ( − b − c + bc ) ( − a − c + ca ) − a − b + ab ( − b) ( − c) ( − a ) ( − c) ( 1− a ) ( 1− b) ( 1− c) + (1− a ) + + + ( − a − b + ab ) ( − a − c + ca ) − b − c + bc ( 1− a ) ( − b) ( 1− a ) ( − c) ( − b) ( 1− c) (1− b) + + ( − a − b + ab ) ( − b − c + bc ) − a − c + ca (1− a ) (1− b) (1− b) (1− c) ( − a ) (1 − c) B =|1 − c | + |1 − a | + |1 − b | B = − c + − a + − b (vì < a,b,c < 1) 0.5 Tính đúng: B = ( x - 1)( x - 2) Ta có: x2 – 3x + = (x – 1)(x – 2) Theo ra: f(x)M f(x) chia hết cho x – Þ f(1) = Þ a + b = Þ b = –a (1) f(x) chia hết cho x – Þ f(2) = Þ 8a + 2b = –15 (2) a 5 2.0 Từ (1) (2) Þ 8a + 2(–a) = –15 Þ a = – Þ b = 2 5 1 Thử lại: (x4 – x3 + x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + x – 2 2 5 Vậy a = – , b = 2 1.0 B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vì x, y, z số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz số nguyên Þ B số phương ĐKXĐ: x ≠ a 1.5 2m - = m - ⇒ 2m - = ( x - 2) ( m - 3) x- Þ 2m - = mx - 2m - 3x + ⇒ ( m - 3) x = 4m - 0.25 ( *) + Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = (vô lí) Þ m = phương trình cho vô nghiệm + Xét m ≠ , phương trình (*) có nghiệm x = 4m − m−3 4m - =2Þ m= Để phương trình cho vô nghiệm m- Vậy với m = 3, m = ½ phương trình cho vô nghiệm ĐKXĐ: x ≥ −1 B 1.5 0.25 0.25 0.25 0.25 x +1 = x - 5x +14 Û x - 5x - x +1 +14 = 0.25 0.25 0.25 ⇔ x - 6x + + x +1- x +1 + = 0.25 ⇔ ( x - 3) + ( ) x +1 - = 0.25 ïì x - = ⇔ ïí ïï x +1 - = î ïì x = ⇔ ïí ⇔ x = 3( tm) ïïî x = 0.25 0.25 Áp dụng BĐT Cosi cho số dương ta có: C 1.0 3= xy yz zx xy yz zx + + ³ 33 = 3 xyz Þ xyz £ z x y z x y Vì x, y, z số nguyên dương nên từ (1) Þ x = y = z = Thử lại : Đúng Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (x;y;z) = (1;1;1) 0.25 0.25 0.25 0.25 N A E M D B a 2.5 I H Đặt BH = x (0 < x < 6) Þ BC = x + 6,4 AB2 = BH.BC Þ 62 = x(x + 6,4) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 C 0.25 0.5 b 2.0 c 1.5 d 1.0 2.0 Þ x = 3,6 Þ BC = 10cm Þ AC = 8cm Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật Þ DE = AH Chứng minh: BH2 = BD.BA, CH2 = CE.CA AH2 = HB.HC Þ AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA Þ AH4 = BD.CE.BC.AH Þ AH3 = BD.CE.BC Vậy DE3 = BD.CE.BC Chứng minh ÐCNH =ÐBHM , HD = AE Gọi giao điểm NA với HD M’ Ta có: NE NC NE AE cos 2CNH = = = NC NH NH M 'H HD HB HD AE cos BHM = = = HB HM HM HM AE AE Þ = Þ M 'H = MH M 'H MH Þ M’ trùng M Þ M, A, N thẳng hàng Có BM//CN, BD // NE, MD // CE Þ D BDM ~ D NEC Þ BD/NE = DM/EC Gọi I giao MC với DE Þ DI/EI = DM/EC Gọi I’ giao BN với DE Þ DI’/EI’ = BD/NE Từ (1), (2), (3) Þ DI/EI = DI’/EI’ Þ I I’ trùng Vậy BN, CM, DE đồng qui Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x Þ bậc đa thức g(x) Từ giả thiết Þ g(1) = g(2) = g(3) = Mà g(x) có bậc nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với thực đó) Þ f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x ìï f (8) = 7.6.5.(8 - a) + 80 Þ ïí ïïî f (- 4) = (- 5)(- 6)(- 7)(- - a) - 40 Þ f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + + a) + 40 Vậy f(8) + f(–4) = 2560 0.75 0.25 0.75 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 (1) (2) (3) 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 a số 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 *) Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án thống *) Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần không làm tròn http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ...PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017- 2018 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN (Đáp án biểu điểm chấm gồm 03 trang) BÀI Ý NỘI DUNG A