Phương trình bậc cao

Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao Ph ơng trình quy về bậc hai L u ý : *) Đa thức P n (x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +a 2 x n-2 + +a n có nghiệm x= c thì P n (x) (x- c). *) P n (x) có nghiệm hữu tỷ x= q p Thì : p là ớc của a n còn q là ớc dơng của a 0 . 1.Dạng bậc ba: a x 3 +bx 2 +cx+d= 0 Ph ơng pháp giải: Thờng nhẩm đợc một nghiệm x= và đa phơng trình về dạng: (x- )(a 1 x 2 +b 1 x+c 1 )=0 =++ = 0 11 2 1 cxbxa x giải đợc. Luyện tập A) Giải các ph ơng trình sau: 1. 2x 3 +7x 2 +7x+2= 0 2. (x-3) 3 +(x+1) 3 =8(x-1) 3 B) Giải ph ơng trình sau có tham số: 1. Giải và biện luận: x 3 +(m-3)x 2 -(2m-1)x-3(m+1)= 0 m R . 2. Giải phơng trình: x 3 -(m 2 -m-7)x-(3m 2 -3m-18)= 0 biết nó có một nghiệm là 1. 3. Giải và biện luận : x 3 +(x-2)m-8= 0 tuỳ m R 4. Giải và biện luận: x 3 +2(1-2m)x 2 +(5-7m)x+2(m+5)= 0 m R . Biết rằng nó có nghiệm không phụ thuộc x. 5. Tìm m để: x 3 -3(m+1)x 2 +2(m 2 +4m+1)x-4m(m+1)= 0 có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. 6. Tìm m để: x 3 -2(2m+1)x 2 +(3m+1)x-(m+1)= 0 có 3 nghiệm dơng phân biệt. 7. Cho: x 3 -(2a+1)x 2 +(a 2 +2a-b)x-(a 2 -b)= 0. Giải và biện luận theo a, b R 8. Xác định a,b sao cho: 3x 3 +a x 2 +bx+12= 0 có nghiệm 31 += x 2. Dạng: ax 4 +bx 2 +c= 0 Ph ơng pháp giải: Đặt y=x 2 (đk: y 0) Đa về dạng: ay 2 +by+c=0 giải đợc y Từ y=x 2 giải đợc x. L u ý: +) Mỗi giá trị y>0 ta đợc 2 giá trị của x= y . +) Nếu x 0 là nghiệm thì (-x 0 ) cũng là nghiệm. Luyện tập A) Giải các ph ơng trình sau: 1: (x 2 +x+1) 4 -3(x 2 +x+1) 2 -54=0 2: (x+1) 5 -(x-1) 5 =32x 3: (2x+a) 5 -(2x-a) 5 =242a 5 B) Giải ph ơng trình sau có tham số: 1: Cho mx 4 -2(m-1)x 2 +1= 0 (1) Tìm m để (1) có : 4 nghiệm; không nghiệm. 2: Định m để: x 4 +(1-2m)x 2 +m 2 -1= 0 có: không ;một,hai,ba nghiệm. 3. Dạng: ax 4 +bx 3 +cx 2 bx+a= 0 Ph ơng pháp giải: +) Thử trực tiếp x=0 +) Khi x 0 Chia 2 vế cho x 2 đợc: 0) 1 () 1 ( 2 2 =++++ c x xb x xa . đặt t= x x 1 + (*) (đk: 2 t ) thì 2 1 2 2 2 =+ t x x Giải: at 2 +bt+c-2a=0 tìm t thay vào (*) tìm x. Hoặc +) Khi x 0 Chia 2 vế cho x 2 đợc: 0) 1 () 1 ( 2 2 =+++ c x xb x xa . Lu hành nội bộ Chủ biên:Nguyễn Văn Bốn. Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao đặt t= x x 1 (*) thì 2 1 2 2 2 +=+ t x x Giải: at 2 +bt+c+2a=0 tìm t thay vào (*) tìm x. L u ý: Nếu x 0 0 là nghiệm thì ( 0 1 x ) cũng là nghiệm. Luyện tập A) Giải các ph ơng trình sau: 1. x 4 +x 3 -10x 2 +x+1=0 2. 6x 4 +25x 3 +12x 2 -25x+6=0 3. x 4 +x 3 -4x 2 +x+1=0 4. 4x 4 +12x 3 +47x 2 +12x+4=0 5: 2x 4 -21x 3 +34x 2 +105x+50=0 B) Giải ph ơng trình sau có tham số: 1. Định m để: x 4 +mx 3 +mx 2 +mx+1=0 vô nghiệm. 2. Định m để: x 4 +mx 3 +x 2 +mx+1=0 có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt. 3. Định m để: x 4 -mx 3 -(2m+1)x 2 +mx+1=0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. 4: Cho phơng trình 3x 4 -4x 3 +mx 2 +4x+3=0 a) Giải phơng trình khi m=-5. b) Tìm m để phơng trình vô nghiệm? 4. Dạng: (x+a) 4 +(x+b) 4 =c Ph ơng pháp giải: Đặt 2 ba xt + += (*) và m ba = 2 ta đợc phơng trình: (t+m) 4 +(t-m) 4 =c đa về dạng: At 4 +Bt+C=0 giải đợc t từ (*) tìm đợc x. A) Giải các ph ơng trình sau: 1: (x+4) 4 + (x+6) 4 = 2 2: (x-4) 4 + (x-6) 4 = 82 3: (x+5) 4 + (x+3) 4 = 2 4: (x-5) 4 + (x-3) 4 = 82. B) Giải ph ơng trình sau có tham số: 1: Tìm m để: (x+4) 4 +(x+2) 4 = m có nghiệm. 5. Dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (*). Trong 4số a,b,c,d thì tổng 2 số bằng tổng 2 số còn lại.Chẳng hạn a+c=b+d=k. Ph ơng pháp giải: (*) [x 2 +(a+c)x+ac][x 2 +(b+d)x+bd]=0 (x 2 +kx+ac)(x 2 +kx+bd)=0. Đặt x 2 +kx=t Hoặc x 2 +kx+ac=t Hoặc x 2 +kx+bd=t Hoặc x 2 +kx+ 2 bdac + =t (*). Đa về dạng At 2 +Bt+C=0 giải đợc t thay vào (*) đợc x tìm x. Luyện tập A) Giải các ph ơng trình sau: 1: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3 2: (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x 2 3: Tìm nghiệm nguyên: x(x+1)(x+2)(x+3)= y 2 . 4: (x-18)(x-7)(x+35)(x+90)=2001x 2 . 5: (x 2 +3x+2)(x 2 +7x+12)=24. 6: ((3x+4)(x+1)(6x+7) 2 =6. 7: x(x-1)(x-2)(x-3)=120. 8: (2x+1)(2x+2)(2x+3)(2x+4)=24 B) Giải ph ơng trình sau có tham số: Lu hành nội bộ Chủ biên:Nguyễn Văn Bốn. Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao 1: (2x-3)(2x-4)(2x-5)(2x-6)= m Tìm m để phơng trình có nghiệm. 2: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)= m Giải khi m=24 .Tìm m để hệ vô nghiệm. 6.Dạng: af 2 (x)+bf(x)g(x)+cg 2 (x)= 0 Ph ơng pháp giải: +) Thử trực tiếp g(x)=0 +) Khi g(x) 0 đặt f(x)=kg(x) (*) đợc: ak 2 +bk+c=0 giải đợc k từ (*) giải đợc x Luyện tập A) Giải các ph ơng trình sau: 1: 0 4 9 46) 2 3 (168) 2 3 (3 2 2 22 = + + + x x x x x x 2: 0 1 4 2 5 ) 1 2 () 1 2 ( 2 2 22 = + + + x x x x x x 3: 0 1 4 48) 1 2 (5) 1 2 (20 2 2 22 = + + + x x x x x x 7.Dạng: c bxfaxf = + + + 22 ) )( 1 () )( 1 ( Ph ơng pháp giải: Sử dụng A 2 +B 2 =(A-B) 2 +2AB Đa phơng trình về dạng: [ ][ ] [ ][ ] 0 )()( 1 2 )()( 1 )( 2 = ++ + ++ c bxfaxfbxfaxf ab . Giải đợc [ ][ ] dbxfaxf =++ )()( Từ đây tìm đợc f(x)=e giải tìm đợc x. Luyện tập A) Giải các ph ơng trình sau: 1) 36 13 ) 2 1 () 1 1 ( 2 2 2 2 = ++ + ++ xxxx 2) 12 )2( 4 2 2 2 = + + x x x 3) 40 )9( 81 2 2 2 = + + x x x 4) 15 )1( 2 2 2 = + + x x x 5) 1 )1( 2 2 2 = + + x x x 6) 11 )5( 25 2 2 2 = + + x x x 8.Dạng: k cqxax cpxax cnxax cmxax = ++ ++ + ++ ++ 2 2 2 2 ; k cqxax px cnxax cmxax = ++ + ++ ++ 22 2 ; k cqxax px cnxax mx = ++ + ++ 22 Ph ơng pháp giải: +) Thử trực tiếp x=0 +) Khi x 0 Chia cả tử và mẫu cho x đặt t x c ax =+ (*) đa về:At 2 +Bt+C=0 Giải đợc t thay vào (*) tìm đợc x. Luyện tập Lu hành nội bộ Chủ biên:Nguyễn Văn Bốn. Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao A) Giải các ph ơng trình sau: 1. 1 253 7 23 2 22 = ++ + xx x xx x 2. 4 1 7 13 3 22 = ++ + + xx x xx x 3. 3 8 1 2 14 3 22 = ++ + xx x xx x 4. 6 32 13 352 2 22 = ++ + + xx x xx x 5. 4 1 56 55 54 53 2 2 2 2 = + + + + xx xx xx xx 6. 1512 4 156 1510 22 2 + = + + xx x xx xx 7. 2 24 23 2 2 2 2 2 2 = ++ ++ + ++ + xx xx xx x 8. 1 23 3 22 2 22 2 = + + + + xx x xx xx 9. 6 23 13 253 2 22 = ++ + + xx x xx x 9.Dạng bình đẳng giữa ẩn và tham số. Ph ơng pháp giải: Đa phơng trình từ ẩn x thành dạng ẩn a giải a theo x sau đó lại giải x theo a. Luyện tập Với a là số thực tuỳ ý 1. Giải và biện luận: x 4 -10x 3 -2(a-11)x 2 +2(5a+6)x+2a+a 2 = 0 2. Giải: a 3 x 4 +6a 2 x 2 -x+9a+3= 0 khi a 0 3. Giải và biện luận: x 4 -2ax 2 +x 2 +a 2 -2a+1= 0 4. Giải và biện luận: x 6 -(a 2 +1)x 2 +a= 0 Lu hành nội bộ Chủ biên:Nguyễn Văn Bốn. . Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao Ph ơng trình quy về bậc hai L u ý : *) Đa thức P n (x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +a 2. (2x+1)(2x+2)(2x+3)(2x+4)=24 B) Giải ph ơng trình sau có tham số: Lu hành nội bộ Chủ biên:Nguyễn Văn Bốn. Tài liệu Ôn thi ĐH,CĐ. Chủ đề:Phơng trình bậc cao 1: (2x-3)(2x-4)(2x-5)(2x-6)=