De KS daunam 2011 2012 kimDongTHCS Toan

De KS daunam 2011 2012 kimDongTHCS Toan tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả c...

Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… . …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN (BẢNG A) * Ngày thi: 06/11/2011 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1 (6 điểm): Tìm n∈ ` sao cho số 22016 2011 20112011 .2011an n=+ + (có 2016 số 2011 ở số hạng cuối) chia hết cho 9. Câu 2 (7 điểm): Cho phương trình: 22 (2cos 1) 6cos os 1 0 (1)xxc ααα −−+−−= . a) Tìm α để phương trình (1) có hai nghiệm 12 ,x x . b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 12 A xx= + . Câu 3 (7 điểm): Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC = CD, DE = EF = FA, n n 0 60BCD EFA== . Giả sử G và H là hai điểm nằm trong lục giác sao cho n n 0 120AGB DHE==. Chứng minh rằng: AG + GB + GH + DH + HE ≥ CF. Dấu bằng (=) xảy ra khi nào? ---Hết--- (Gồm 01 trang) CHÍNH THỨC 1 Bảng A – Ngày 2 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN (BẢNG A) * Ngày thi: 06/11/2011 * Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 (6 điểm): Ta có ( ) 33 2011 4 1 mod 9≡≡ (0,5đ) ( ) 3.672 2016 2011 2011 1 mod 9⇒=≡ (0,5đ) ( ) 2016 2011 . mod 9nn⇒≡ (0,5đ) Số 20112011…2011 có 2016 số 2011 ghép thành , nên tổng các chữ số bằng ( 2+0+1+1).2016=8064 chia hết cho 9 (0,5đ) Suy ra () 2 mod 9an n≡+ . Khi chia n cho 9, ta có số dư {0;1;2;3;4;5;6;7;8}r ∈ (0,5đ) Ta thấy với r = 1, r = 2, r = 3, r = 4, r = 5, r = 6, r = 7 thì số dư khi chia () 2 nn+ cho 9 lần lượt là 2; 6; 3; 2; 3; 6; 2 (0,5đ) nên () 2 9nn+ # (0,5đ) 9 a⇒ # (0,5đ) Với r = 0 thì () 2 9 nn+ # (0,5đ) Với r = 8 thì () 2 9 nn+ # (0,5đ) Vậy các số cần tìm là 9 nk= và 98, nk k= +∈N . (1,0đ) Câu 2 (7 điểm): 22 (2cos 1) 6cos os 1 0 (1) xxc ααα −−+−−= a) Phương trình (1) có hai nghiệm 12 , x x khi và chỉ khi 0Δ ≥ 22 (2 cos 1) 4(6 cos cos 1) 0 ααα ⇔−− −−≥ (1,0đ) 2 11 20cos 5 0 os 22 c αα ⇔− + ≥ ⇔− ≤ ≤ (1,0đ) 2 22 33 ,(2) 45 22 33 kk k kk ππ πα π ππ πα π ⎡ +≤≤+ ⎢ ⇔∈ ⎢ ⎢ +≤≤+ ⎢ ⎣ Z (1,0đ) b) Ta có: 22 2 12 12 12 ()2.A xx xx xx=+=+ − Với α thỏa (2), theo định lí Vi-ét, ta có: 12 2 12 2cos 1 .6cos os1 xx xx c α αα += − ⎧ ⎨ = −− ⎩ (1,0đ) Vậy 22 2 (2cos 1) 2(6 cos os 1) 8cos 2 cos 3 Ac ααααα =−− −−=−−+ (Gồm 02 trang) CHÍNH THỨC 2 Bảng A – Ngày 2 Đặt cos t α = , 11 22 t−≤≤ thì 2 823A tt= −−+ . Xét hàm số 2 () 8 2 3f ttt=− − + , ta có 1 () 16 2; () 0 8 ft t ft t ′′ = −− =⇔=− (1,0đ) BBT t 1 2 − 1 8 − 1 2 ()f t ′ + 0 - ()f t 25 8 2 0 Dựa vào BBT ta có: 11 ; 22 125 1 1 max max ( ) ( ) ; cos os 88 8 8 Aftf t c α β ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎣⎦ = =−= =−⇔ =−=− 11 ; 22 11 1 min min ( ) ( ) 0; cos 2 22 2 3 A ft f t k π α απ ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎣⎦ ====⇔=⇔=±+ (1,0đ) Câu 3 (7 điểm): Từ giả thiết suy ra AB=BD và ED=EA. Đường thẳng BE là trục đối xứng của hai điểm A và D. (1,0đ) Theo giả thiết, ta cũng có các tam giác BCD và AEF là các tam giác đều được dựng trên BD và AE về phía ngoài tứ giác lồi ABDE. Gọi C’ đối xứng với C và F’ đối xứng với F qua BE. Các tam giác ABC’ và DEF’ đều. (1,0đ) Các điểm C’ và G nằm khác phía với AB, H và F’ khác phía với DE. Các tứ giác AGBC’ và DF’EH nội tiếp. (1,0đ) Mặt khác, ta lại có: GA+GB=GC’, HE+HD=HF’. (Xem chứng minh ở dưới) Vì vậy: GA+GB+GH+HE+HD= = C’G+GH+HF’ ≥ C’F’ (1,0đ) Mà C’F’=Đ BE (CF) nên C’F’=CF Từ đó, ta có: AG+GB+GH+DH+HE ≥ CF (1,0đ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi G và H nằm trên đoạn C’F’. (1,0đ) Bổ đề: Lấy M trên cạnh GC’ sao cho AG=GM. Ta có: Δ AMC’= Δ AGB (c.g.c) => GB=C’M Do đó: GA+GB=GM+C’M=GC’. Tương tự, ta cũng chứng minh được HE+HD=HF’. (1,0đ) HẾT (1,0đ) M B A C' G F' C' F A D B E C G H TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) Bài (4,5 điểm) Giải phương trình sau: 2x a) 5(x – 2) = 3(x + 1) b) x + + x − = d) Bài (2 điểm) Giải bất phương trình sau: a) (x + 2)2 < (x – 1)(x + 1) c) a) b) c) c) 2x + =3 2x − b) x + > Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Chứng minh: ∆ABC đồng dạng với ∆HBA Cho AB = cm, BC = 10 cm Tính HB Vẽ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC) Chứng minh: AE.AB = AF.AC d) e) - Hết - f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG p) q) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) r) s) Bài (4,5 điểm) Giải phương trình sau: 2x a) 5(x – 2) = 3(x + 1) 2x + c) =3 x + x − b) + =2 e) Bài (2 điểm) Giải bất phương trình sau: 2x − a) (x + 2)2 < (x – 1)(x + 1) b) x + > t) Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH a) Chứng minh: ∆ABC đồng dạng với ∆HBA b) Cho AB = cm, BC = 10 cm Tính HB c) Vẽ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC) Chứng minh: AE.AB = AF.AC u) v) - Hết w) x) y) z) aa) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG ab) ac) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) ad) ae) Bài (4,5 điểm) Cho hai đa thức: f(x) = x2 + 2x4 + 10x3 – 3x2 + x2 – x + va g(x) = x – 5x3 – x2 – x4 + 3x + x2 – 2x3 – 2x3 – 3x2 – af) a) Thu gọn va sắp xếp mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến b) Tính f(x) + g(x) va f(x) – g(x) c) Tính giá trị của f(x) + g(x) va f(x) – g(x) x = – ag) Bài (2 điểm) Tìm nghiệm của đa thức sau: a) P(x) = 25 – 5x b) Q(x) = (x – 5)(3x + 2) c) Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ đường cao BD va CE (D ∈ AC va E ∈ AB), chúng cắt tại K Chứng minh: b) AK la đường trung trực của ED a) ∆AEK = ∆ADK c) d) - Hết e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG o) p) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) q) r) Bài (4,5 điểm) Cho hai đa thức: f(x) = x2 + 2x4 + 10x3 – 3x2 + x2 – x + va s) a) b) c) t) a) d) g(x) = x – 5x – x – x + 3x + x – 2x – 2x – 3x – 4 3 Thu gọn va sắp xếp mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến Tính f(x) + g(x) va f(x) – g(x) Tính giá trị của f(x) + g(x) va f(x) – g(x) x = – Bài (2 điểm) Tìm nghiệm của đa thức sau: P(x) = 25 – 5x b) Q(x) = (x – 5)(3x + 2) Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ đường cao BD va CE (D ∈ AC va E ∈ AB), chúng cắt tại K Chứng minh: b) AK la đường trung trực của ED a) ∆AEK = ∆ADK u) v) - Hết w) x) y) z) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG aa) ab) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) ac) ad) Bài (1 điểm) Mở ngoặc rồi tính: 7989 – (5678 + 3999) + (678 – 3999) ae) Bài (3 điểm) Tính giá trị biểu thức: −2  −17 17  : + 1: 0,5 ÷   : (52 – 25) a) A = + : 10 b) B =  20 c) Bài (3 điểm) Tìm x biết: −4 a) x + = 13   13 13  −5 ÷ 21 21  = 25 b) 2,1x :  · c) Bài (3 điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ hai tia OB va OC cho AOB = · 600 va AOC = 1200 · · a) Tính số đo BOC b) Tia OB có phải la tia phân giác của AOC không? Vì sao? c) d) - Hết - e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG p) q) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) r) s) Bài (1 điểm) Mở ngoặc rồi tính: 7989 – (5678 + 3999) + (678 – 3999) t) Bài (3 điểm) Tính giá trị biểu thức: −2  −17 17  : + 1: 0,5 ÷   : (52 – 25) a) A = + : 10 b) B =  20 d) Bài (3 điểm) Tìm x biết: −4 a) x + = 13   13 13  −5 ÷ 21  = 25 b) 2,1x :  21 · d) Bài (3 điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ hai tia OB va OC cho AOB = · 600 va AOC = 1200 · · a) Tính số đo BOC b) Tia OB có phải la tia phân giác của AOC không? Vì sao? c) d) - Hết - e) f) g) h) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG i) j) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) k) l) Bài (4 điểm) Tính: a) 55432 – 2345 +1234 c) 51,7 – (5,9 + 2,3) : 0,2 10 b) + d) 11 : 22 e) Bài (4 điểm)) Tìm x: a) x – 72 = 39 + 25 c) x : 2,5 = b) 3,5 + x = 4,72 + 2,48 d) 132 : x = e) Bài (2 điểm) Một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có chiều dai 22,5 m, chiều rộng 19,2 m Nếu bể chứa 414,72 m3 nước mực nước bể lên tới chiều cao của bể Hỏi chiều cao của bể la mét? f) g) - Hết - h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG s) t) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) u) v) Bài (4 điểm) Tính: a) 55432 – 2345 +1234 c) 51,7 – (5,9 + 2,3) : 0,2 10 b) + d) 11 : 22 f) Bài (4 điểm)) Tìm x: a) x – 72 = 39 + 25 c) x : 2,5 = b) 3,5 + x = 4,72 + 2,48 d) 132 : x = w) Bài (2 điểm) Một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có chiều dai 22,5 m, chiều rộng 19,2 m Nếu bể chứa 414,72 m nước mực nước bể lên tới chiều cao của bể Hỏi chiều cao của bể la mét? x) y) - Hết - z) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG aa) ab) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM Môn: TOÁN ac) ad) Bài (4,5 điểm): Mỗi câu 1,5 điểm: ae) C â u 13 af) 5(x – 2) = 3(x + 1) ⇔ 5x – 10 = 3x + ⇔ 2x = 13 ⇔ x = a ) , đ ao) ap) , đ ... Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… . …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Bài 1: (5 điểm) Cho các số dương ,,abc thỏa mãn 222 3abc+ += . Chứng minh rằng: 22 22 22 a b c ab bc ca++= + + . Bài 2: (5 điểm) Cho dãy số () n u thỏa 1 3u = , 2 5u = , 21 32 nnn uuu ++ = − (n ≥ 1). Chứng minh rằng: ( ) 2011 3 mod 2011u ≡ . Bài 3: (5 điểm) Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán đề thi gồm có ba câu. Biết rằng mỗi thí sinh làm được ít nhất một câu, có 25 thí sinh làm được câu thứ nhất, có 20 thí sinh làm được câu thứ hai, có 14 thí sinh làm được câu ba, có 12 thí sinh làm được câu thứ nhất và thứ hai, có 10 thí sinh làm được câu thứ hai và thứ ba, có 7 thí sinh làm được câu thứ nhất và thứ ba, và có 1 thí sinh đạt điểm tối đa vì giải được cả ba bài. Hỏi có bao nhiêu thí sinh dự thi? Bài 4: (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. G ọi I, F, K là các điểm xác định bởi: ,,.AIABAFACAKAD αβγ == = JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng hàng là: 111 β αγ =+ (biết rằng 0, 0, 0 α βγ ≠ ≠≠ ). --- HẾT --- (Gồm 01 trang) CHÍNH THỨC 1 Bảng B-Ngày 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (5 điểm) Ta có a + b + c ≥ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ⇔ a 4 + b 4 + c 4 + 2(a + b + c) ≥ a 4 + b 4 + c 4 + 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) (1,0đ) ⇔ a 4 + 2a + b 4 + 2b + c 4 + 2 c ≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ⇔ a 4 + 2a + b 4 + 2b + c 4 + 2 c ≥ 9 (1,0đ) Do đó ta chỉ cần chứng minh a 4 + 2a + b 4 + 2b + c 4 + 2 c ≥ 9 Mà a 4 + 2a = a 4 + a + a ≥ 34 3 aaa = 3a 2 (0,5đ) Tương tự b 4 + 2b ≥ 3b 2 ; c 4 + 2c ≥ 3c 2 (1,0đ) Vậy a 4 + 2a + b 4 + 2b + c 4 + 2 c ≥ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = 9 (0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. (1,0đ) Bài 2: (5 điểm) Xét phương trình đặc trưng 2 1 320 2 x xx x = ⎡ −+=⇔ ⎢ = ⎣ .2 n n uab =+ với 12 3 , u 5u == ta được : (2,0đ) 23 1 45 1 ab a ab b += = ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ += = ⎩⎩ 12 n n u =+ (1,0đ) 2011 2011 12u =+ ≡ 3(mod2011) (theo định lý Fecrmat) (2,0đ) Bài 3: (5 điểm) Gọi A là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ nhất. (0,5đ) Gọi B là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ hai. (0,5đ) Gọi C là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ ba. (0,5đ) Ta cần tính CBA ∪∪ Áp dụng công thức: CBACACBBACBACBA ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ (1,0đ) Theo giả thiết ta có: 25=A , 20=B , 14=C , 12=∩ BA , 10=∩ CB , 7=∩ CA , 1 =∩∩ CBA . (1,5đ) Do đó 31171012142025 =+−−−++=∪∪ CBA (1,0đ) Vậy số thí sinh dự thi là 31. (Gồm 02 trang) CHÍNH THỨC 2 Bảng B-Ngày 1 Bài 4: (5 điểm) * Ta có: () à: KI AI AK AB AD KF AF AK AC AD MACABAD KFAB AD αγ βγ ββγ =− =− =− =− =+ ⇒= +− JJG JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG * Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho: () ()( ) 0 KF kKI A BADkABkAD kAB kAD ββγ αγ βα βγγ = ⇔+− = − ⇔− +−+ = JJJG JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G * Vì ,ABAD JJJGJJJG không cùng phương nên: ( ) ( ) () 0 0 0 0, 0, 0 111 kAB kAD k k do −+−+= −= ⎧ ⇔ ⎨ −+ = ⎩ − ⇔= ≠ ≠ ≠ ⇔+= JJJGJJJGG βα βγγ βα βγ γ βγβ αβγ αγ αγ β ---Hết--- (1,0đ) (0,5đ) (0,5đ) (1,0đ ) (0,5đ) (1,0đ) (0,5đ) Trang 1/4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY TỈNH HẬU GIANG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn Toán Lớp 9 Trung học cơ sở ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 02/02/2012. Chú ý : - Đề thi này gồm 04 trang, 10 bài, mỗi bài 2 điểm. - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. Điểm toàn bài thi Bằng số Bằng chữ Các giám khảo ( Họ, tên và chữ ký ) Số phách (Do chủ tịch hội đồng thi ghi) Giám khảo 1 : Giám khảo 2 : Qui định : Thí sinh trình bày vắn tắt cách giải, hoặc công thức áp dụng vào ô “Cách giải”, ghi kết quả tính toán vào ô “Kết quả”. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể được lấy chính xác tới 4 chữ số thập phân. Bài 1: Tìm số tự nhiên N bé nhất thỏa N chia 30 dư 16, N chia 2012 dư 494 Cách giải Kết quả Bài 2: Cho dãy số (u n ) biết u 1 = 2011, u 2 = 2012, u n+2 = u n+1 + u n (n 1). Tính u 10 . Cách giải Kết quả Trang 2/4 Bài 3: Tìm số dư khi chia A = 555 222 + 222 555 + 2012 cho 7. Cách giải Kết quả Bài 4: Cho đa thức Q(x) = (2011x + 1) 4 . Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị. Cách giải Kết quả Bài 5: Cho tam giác ABC có CB ˆ 2 ˆ  , AB = 8cm, BC = 10cm. Tính AC Cách giải Kết quả Trang 3/4 Bài 6: Cho n432 n 4 n . 4 4 4 3 4 2 4 1 S  . Tính giá trị gần đúng của S 15 . Cách giải Kết quả Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của số: N = 2 2010 + 2 2011 + 2 2012 Cách giải Kết quả Bài 8: Biết rằng   2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 A a a a a         (với a > 0). Áp dụng công thức trên tính giá trị của 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 2 3 2011 2012 B           Cách giải Kết quả Trang 4/4 Bài 9: Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000đ/tháng. Cứ ba năm anh ta lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền (Lấy chính xác đến hàng đơn vị). Cách giải Kết quả Bài 10: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 60cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho DB = 20cm. Đường trung trực của đoạn AD cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F. Tính chu vi tam giác DEF. Cách giải Kết quả -----------------------------HẾT--------------------------- ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm ) 1/4 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011- 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN: TOÁN Chú ý: 1. Với những trường hợp không nêu công thức mà chỉ cho kết quả trừ ¼ số điểm 2. Với những trường hợp thừa nghiệm (do không xét điều kiện) trừ ¼ số điểm của ý. 3. Với những đáp số không đúng quy tắc làm tròn trừ ¼ số điểm của ý. 3. Với những câu yêu cầu trình bày, thí sinh trình bày vắn tắt thể hiện tiến trình giải bài toán, không cần vi ết cách giải các phương trình và hệ mà máy tính hỗ trợ sẵn 4. Nếu học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm. Đề bài Công thức tính và kết quả Điểm Câu 1: (2 điểm) Hãy tính giá trị của biểu thức: 24a1)(a3aa 24a1)(a3aa A 223 223 +−−+− −−−+− = với a= 72 2)1( 2)1( +− −+ = aa aa A ≈0.984 994 0 1.5 0.5 Câu 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x + xy + y = 7. (1+x)(1+y) = 8 có 8 nghiệm: (x, y)={(0, 7); (7, 0); (-2, -9); (-9, -2); (1, 3); (3, 1); (-3, -5); (-5, -3)} 0.25 /1N 0 Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB=3cm; BC=4cm ; CA=5cm. Các đường cao BH, đường phân giác BD, đường trung tuyến BP chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần. S CBP =3 (cm) 2 S BDP = 7 3 ≈0.428 571 4 (cm 2 ) S ABH = 25 54 ≈ 2.16 (cm 2 ) S BDH = 175 72 ≈ 0.411 428 6 (cm 2 ) 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 4: (2 điểm) Giải phương trình: (x 2 + 3x + 2) (x 2 + 7x + 12) = 3 2 135 x 1 −− = ≈ -4.302 775 6 2 135 x 2 +− = ≈ -0.697 224 4 1.0 1.0 Câu 5: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=a , góc BAC bằng 120 0 , SA=SB=SC=3a. a. Tính thể tích hình chóp S.ABC. b. Áp dụng với a= 17 . Hướng dẫn: a. Hạ SH vuông góc với mặt phẳng (ABC), AH cắt BC tại K . Vì SA=SB=SC nên các tam giác sau vuông bằng nhau ( Δ SHA= Δ SHB = Δ SHC) ⇒ HA=HB=HC ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC. Mặt khác do Δ ABC cân tại A và góc (BAC) tù nên HA là phân giác trong của góc (BAC). Do Δ HAB cân tại H, và ∠ BAH= ∠ HAC=60 0 nên là tam giác đều. Vậy AH=AB=a ⇒ SH= 22 AH - SA =2 2 a. 0.5 A B C S H K a a 3a 3a 3a 60 60 2/4 Ta có: V SABC = SH . (.AB.AC.sin 2 1 . 3 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∠ )BAC = a 22 . 0.a.a.sin12 2 1 . 3 1 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 6 6 a b. V SABC ≈ 28.615 264 0 1.0 0.5 Câu 6: (2 điểm) Tính tổng: 2012201120112012 1 . 3223 1 22 1 S + ++ + + + = Hướng dẫn: Với ∀ n ∈ N * ta có: 1nnn1)(n 1 +++ = 1n 1 n 1 + − . Từ đó ta có: 2 1 1 22 1 −= + 3 1 2 1 3223 1 −= + …………… 2012 1 2011 1 2012201120112012 1 −= + . Vậy 2012 1 1S −= ≈ 0.977 706 1 0.5 0.5 1.0 Câu 7: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD. Kẻ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD. Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng AEF. a. Tính diện tích tứ giác AEKF. b. Áp dụng với a= 11 . Hướng dẫn: a) Do SA = AB = AD = a ⇒ E, F là trung điểm của SB và SD. Trong Δ SBD có EF//= 2 1 BD = 2 2 a (0,5 điểm) Mặt khác: Hai tam giác vuông SKE và SKF bằng nhau nên KE=KF suy ra tam giác KEF cân tại K, lại có AEF cân tại A. Vậy AK là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác chung của hai tam giác AEF và KEF.(0.5 điểm) Trong tam giác vuông ACS có ACASAK 222 111 += ⇒ AK= 3 6 a Tứ giác AEKF có EF ⊥ AK nên: S= 6 2 3 6a 2 2a 2 1 EF.AK 2 1 a 2 == (0,5 điểm) b. S= 6 2 2 a ≈ 2.592 724 9 0.5 0.5 0.5 0.5 3/4 Câu 8: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 3 3 333 zyx zyx Hướng dẫn: Ta có đẳng thức: (x+y+z) 3 – (x 3 +y 3 +z 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 04 trang Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này Điểm của bài thi Các giám khảo ( Họ và tên, chữ ký) Số phách Bằng số: 1. Bằng chữ: 2. Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1) 2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 -10 có thêm phần tóm tắt lời giải. 3)Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm. Đề bài Kết quả Bài 1: (2 điểm) Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: sin 2 .cos - 2cos2 sin - 2 0xx x x+ = Bài 2: (2 điểm) Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết BC = 12m, góc B = 23 0 12'34'', góc C = 74 0 23'12'' Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 33 2 (3)3 23 17 y x xyx y x y ⎧ −=− ⎪ ⎨ ⎪ += ⎩ Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3); B(1;1) và đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x. Tính gần đúng tọa độ điểm C trên đường thẳng (d) để tam giác ABC cân tại B . Bài 5: (2 điểm) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 123 532 2 2 +− ++ = xx xx y Bài 6: (2 điểm) Cho dãy (u n ) xác định bởi: 12 11 1; 3 53 2 nnn uu uuun +− == ⎧ ⎨ = +− ⎩ a) Lập qui trình bấm phím tính n u và tổng n S (tổng n số hạng đầu tiên của dãy). b) Tính 8 u và 10 S . Lời giải tóm tắt bài 6 Kết quả Bài 7: (2 điểm) An làm bài kiểm tra trắc nghiệm môn Vật lí, đề kiểm tra gồm 40 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng. Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm. An đã làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu. Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên. Lời giải tóm tắt bài 7 Kết quả Bài 8: (2 điểm) Cho dãy số () n u xác định bởi công thức: 2 2006 n nu n += , với mọi n nguyên dương. Biết n là giá trị để n u là số hạng nhỏ nhất của dãy số trên. Tính hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển 5 2 2 7 n x ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ Lời giải tóm tắt bài 8 Kết quả Bài 9: (2 điểm) Người ta muốn làm một con đường đi từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai bên bờ một con sông, các số liệu được thể hiện trên hình vẽ, con đường được làm theo đường gấp khúc AMNB. Biết rằng chi phí xây dựng một km đường bên bờ có điểm B nhiều gấp 1,3 lần chi phí xây dựng một km đường bên bờ có đ iểm A, chi phí làm cầu MN tại địa điểm nào cũng như nhau. Hỏi phải xây cầu tại điểm M cách điểm H bao nhiêu km để chi phí làm đường là nhỏ nhất? Lời giải tóm tắt bài 9 Kết quả M A 4,1 km H 1,2 km B 1,5 km N Bài 10: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện EHIJ với a=5,14233cm. Lời giải tóm tắt bài 10 Kết quả -----------Hết---------- 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN: TOÁN ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ...z) aa) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG ab) ac) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) ad) ae) Bài (4,5 điểm) Cho hai đa thức: f(x) = x2 +... f) g) h) i) j) k) l) m) n) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG o) p) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) q) r) Bài (4,5 điểm) Cho hai đa thức: f(x) = x2 + 2x4... u) v) - Hết w) x) y) z) TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG aa) ab) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TOÁN (Thời gian làm 45 phút) ac) ad) Bài (1 điểm) Mở ngoặc rồi tính: 7989 – (5678