Chuyên đề Toán hình học lớp 10 cơ bản, chương vec tơ, chương hệ tọa độ Oxy, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường elip. Với đầy đủ các dạng toán từ dễ đến khó. Đặc biệt các phần toán về phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường elip
CHƯƠNG 1: VECTƠ Dạng 1: Một số định nghĩa liên quan đến vectơ Vectơ đoạn thẳng có hướng Giá vector đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vector Hai vector phương giá chúng song song trùng Độ dài vector độ dài đoạn thẳng điểm đầu điểm cuối Hai vector chsung hướng độ dài r Vector không: điểm đầu điểm cuối trùng có độ dài không phương, hướng với vector Ví dụ 1: a) Cho điểm A,B,C,D Hỏi có vector tạo thành mà điểm đầu điểm cuối mtộ điểm trên? b) Câu hỏi tương tự với điểm A,B,C,D,E Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Gọi M,N trung điểm cạnh AB, AC Hãy so sánh phương vềuuhướng cặp vector sau: uuuu r uuur uu r uuu r uuur uuur a) MN , BC b) MN , CB c) AB, AC Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, r BC, CD, DA O tâm hình vuông Hãy tìm vector khác uuuu r uuuu r uuuu r a) Cùng phương với OM b) Cùng hướng với OM c) Bằng OM Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH Các đẳng thức sau đsung hay sai? Tại sao? uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB = BC a) AB = AC b) c) BH = CH uuur uuur d) CH = HB uuur e) BH = r uuu CB uuur f) CH = uuur AB Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD tâm O Các đẳng thức sau hay sai? Tại sao? uuur uuur uuur uuur uuur uuu r a) AB = DC b) AD = CB c) AB = CD uuur uuur uuu r uuur uuur uuur d) BO = OD e) OA = OC f) AC = BD Ví rdụ u6: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Xác định độ dài vector sau: uu r uuur uuur uuur a) v = OA + OB + OC + OD r uuur uuur b) u = AB + AD ur uuur uuur c) m = AB + AC r uuur uuur d) n = AB − AD Ví dụ 7: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, AB = 8, AD = uuur uuur uuur uuu r a) Tìm vector AB, BC , AO, OB uu r uuu r uuur uuu r uuur uu r b) Cho w = BA + DC + CB + AD Tính w uuur c) Tính BD uuur uuur uuur d) Chứng minh rằng: DC + AD = AC Dang 2: Chứng minh đẳng thức vector uuur uuur uuur Qui tắc điểm (chèn điểm): AC = AB + BC Qui tắc r3 điểm mở rộng (chèn nhiều điểm lúc): uuur uuu uuur uuur uuur AE = AB + BC + CD + DE (chèn điểm B, C, D) Chú ý: muốn chèn điểm uuur uuur uuur Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AB + AD = AC Qui tắc trung điểm, trung tuyến: uu r uur r I trung điểm đoạn AB: IA + IB = uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur MA + MB MI trung tuyến tam giác MAB ta có: MA + MB = 2MI hay MI = uuu r uuur uuur r ( ) Qui tắc trọng tâm: GA + GB + GC = uuur uuur uuuu r uuuu r Với M ta có: MA + MB + MC = 3MG uuu r uuu r Qui tắc làm dấu “ - ”’: − AB = BA Các cách chứng minh đẳng thức A = B thường dùng: + Biến đổi VT thành VP + Biến đổi VP thành VT + Biến đổi tương đương + Biến VT thành C, biến VP thành D mà ta biết chắcuuC=D ur uuur uuur uuur uuur Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: BC + AD + DB + CD = AD uuur uuu r uuur uuur uuur uuur Ví dụ 2: Cho lục giác ABCDEF Chứng minh rằng: AD + BE + CF = AE + BF + CD Ví u dụ 3: Cho tứ giácrABCD Chứng minh rằng: uur uuur uuur uuu uuur uuur uuu r uuur a) AB + CD = AD + CB b) AB − AD = CB − CD Ví u dụ 4: Cho tứrgiác MNPQ Chứng minh rằng: uur uuur uuuu uuuu r uuur uuur uuur uuuur a) PQ + NP + MN = MQ b) MP + QN + PQ + NM = uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur c) NP + MN = QP + MQ d) MN + PQ = MQ + PN Ví u dụ 5: Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh rằng: uur uuur uuur uuur uuur a) AB + BC + CD = AE − DE uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r b) Cho điểm A,B,C,D,E chứng minh rằng: AC + DE − DC − CE + CB = AB Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo, điểm M bấtukì Chứng minh rằng: uu r uuur uuur uuur r uuur uuuu r uuur uuuu r a) OA + OB + OC + OD = b) MA + MC = MB + MD uuur uuur uuu r uuur uuur uuur c) CO − OB = BA d) AB − BC = DB uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur e) DA − DB + DC = f) DA − DB = OD − OC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r g) AB + AC + AD = AC h) MA + MB + MC + MD = 4MO uuu r uuur uuur r Ví dụ 7: Gọi O tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: OA + OB + OC = Ví dụ 8: Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC gấp đôi đáy nhỏ AD Chứng minh rằng: uuur uuur uuur AC = AD + AB Ví dụ 9: Cho rtamr giác ABC có AM, BN, CP trung tuyến Chứng minh rằng: uuuu r uuur uuu AM + BN + CP = Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có M,N,P lầnuu lượt trung điểmr cạnh AB,AC,BC u r uuur uuur uuuu uuur uuur Chứng minh với điểm O ta có: OA + OB + OC = OM + ON + OP Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD có M,N trung điểm AB, CD I trung điểm MN Chứng minh rằng: uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uu r uur uur uur r a) AC + BD = 2MN b) AD + BC = 2MN c) IA + IB + IC + ID = Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến, D trung điểm AM, I tùy ý Chứng minh rằng: uuur uuur uuur r uu r uur uur uur a) DA + DB + DC = b) IA + IB + IC = ID Ví dụ 13: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, cạnh AB = cm ; ·ACB = 300 Tính: uuu r uuur a) BA − BC uuur uuur b) OC + OD uuur uuur c) OB + OC uuur uuur d) AB + AC · Ví dụ 14: Cho ∆ABC cân A có góc BAC = 1200 , AB = 12 cm Gọi M trung điểm BC Tính: uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuur a) CM − CA b) AB + AC c) MA + MB Ví dụ 15: Cho tứ giác ABCD có M , N , I , J theo thứ tự trung điểm AD, BC , AC , BD Cmr: uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuuu r a) AC + BD = AD − CB b) AB + DC = 2MN uuur uuur uu r uuuu r uu r uuu r c) AB + CD = IJ d) MN + IJ = AB Ví dụ 16:Cho hình chữ nhật ABCD có M,N,K,Q theo thứ tự trung điểm AB, BC , CD, DA uuur uuur uuur uuur uuuu r a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = AC = 4MN uuu r uuur uuur uuur r b) Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD Cmr: OA + OB + OC + OD = uuuu r uuur uuur uuur r c) Cmr: OM + ON + OK + OQ = uu r uur uur uur uur d) Cmr: Với điểm I tùy ý ta có: IA + IB + IC + ID = IO Ví dụ 17: Cho tứ giác ABCD có M,N,K trung điểm AD, BC , MN Cmr: uuur uuur uuur uuur a) AB + DC = AC + DB uuur uuur uuur uuur b) AB − DB = AC − DC uuu r uuur uuur uuur r c) KA + KB + KC + KD = uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r d) MA + MB + MC + MD = 4MK Ví dụ 18: Cho ∆ABC cạnh a Tính: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB − AC b) AB + AC c) AB + BC d) BC − AB uuur uuur Ví dụ 19: Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc Aˆ = 600 Tính độ dài AC , BD theo a Ví dụ 20: Cho hình bình hànhuuuABCD rHaiuuđiểm M,N lần lượtuulà trung điểm BC r uuuu uu r uuur uuur ur AD Tìm tổng hai vectơ NC MC ; AM CD ; AD NC Ví dụ 21: Cho ∆ABC Các điểm M , N , P trung điểm AB, AC , BC Tìm uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuu r hiệu AM − AN ; MN − NC ; MN − PN ; BP − CP · Ví dụ 22: Cho hình thoi ABCD có BAC = 600 cạnh a Gọi O giao điểm hai uuur uuur uuu r uuur uuur uuur đường chéo Tính AB + AD ; BA − BC ; OB − DC Ví dụ 23: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo Hãy tính uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur OA − CB ; AB + DC ; CD − DA Ví dụ 24: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm AB,BC,CD,DA r a) Có vectơ khác tạo điểm A,B,D uuuu r b) Tìm vectơ phương MQ uuur c) Tìm vectơ NP Ví dụ 25: Cho tam giác ABC cạnh a r uuur uuur r a) Xác định u = AB − AC tính u r uuu r uuur r b) Xác định v = AB + AC tính v Ví dụ 26: Cho ABCD hình bình hành tâm O, M điểm tùy ý Chứng minh đẳng thức sau: uuu r uuur uuur uuur r a) OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuu r b) AB − CD = DB − CA uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r c) MA + MB + MC + MD = 4MO uuur Ví dụ 27: Cho tam giác ABC cạnh AC lấy K cho AK=3KC Phân tích BK theo uuur uuu r hai vectơ BC BA uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r r uuur uuu BK = BC + CK = BC + CA = BC + CB + BA = BC + CB 4 4 ( ) Ví dụ 28: Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB = 2MC Hãy phân uuur uuur uuuu r tích AM theo hai vector AB, AC uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur AM = AB + BM = AB + BC = AB + AC − AB = AB + AC 3 3 Ví dụ 29: Cho hình thang PQRS vuông P Q, đáy lớn PS = 12 , đáy nhỏ QR = , cạnh bên PQ = Gọi L điểm tùy ý, M trung điểm PS uuur uur uuur uur a) Tìm: QR + SP − QP − SR (1.5đ) uuur uuu r uuur uuu r b) Tìm: QP + PL + RQ + LR (1.5đ) uuur uuu r c) Tính: QP + PR (1.5đ) uuu r uuur d) Tính: QR + QP (1.5đ) ( ) e) Gọi K điểm cạnh PS cho KP = 3KS uuur r uuu r uuu 4 Chứng minh rằng: RK = RS + RP Dạng 3: Hệ trục tọa độ Descartes vuông góc uuur Tọa độ vector biết điểm đầu điểm cuối: AB = ( xB − x A ; yB − y A ) r r Phép cộng vector: u ± v = ( u1 + v1 ; u2 + v2 ) r Phép nhân vector với số: ku = ( ku1 ; ku2 ) r r u1 = v1 u2 = v2 r r r r Điều kiện phương: u = ( u1 ; u2 ) ; v = ( v1 ; v2 ) phương ⇔ u = kv ⇔ u1v2 = u2v1 uuur uuur uuur uuur Điều kiện thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC phương ( AB = k AC ) uuur uuur Tứ giác ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC x A + xB xI = Tọa độ trung điểm: I trung điểm AB y = y A + yB I Điều kiện nhau: u = v ⇔ x A + xB + xC xG = Tọa độ trọng tâm: G trọng tâm ∆ABC y + y B + yC y = A G r r r r r r r Ví dụ 1: Cho a = ( 1;3) ; b = ( −3;5 ) , c = ( 2; −7 ) Tìm tọa độ vector u = a − b + c , r r r r v = 2a − b − 3c Ví rdụ 2: Các rcặp vector sau có phương hayr không? r a) a = ( −3;5 ) , b = ( −6;10 ) b) a = ( 0; −3) ; b = ( 0;9 ) r r r r r r r r c) a = ( −2;5 ) ; b = ( 4; −10 ) d) a = ( 3; −3) ; b = ( −1;1) e) a = ( 2; −3) ; b = ( −8;12 ) f) a = ( 0; −3) ; b = ( −7;3) uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r Ví dụ 3: Cho A ( 3;5 ) ; B ( 1; −7 ) ; C ( −5;3) Tìm tọa độ AB, AC , BC , AC − 3BC ,5BA − 2CA Ví dụ 4: Cho điểm A ( 3;5 ) , B ( 1; −2 ) ; C ( 7;19 ) Chứng minh A,B,C thẳng hàng uuur uuur AB = ( −2; −7 ) ; AC = ( 4;14 ) uuu r uuur −2 −7 = ⇒ AB, AC phương Vậy A,B,C thẳng hàng 14 uuur uuur uuur uuur Hoặc nhận xét: AC = AB ⇒ AC phương AB Ví dụ 5: a) Cho ba điểm M ( 3;3) , N ( −2; −2 ) , P ( 7;7 ) Chứng minh M,N,P thẳng hàng b) Cho ba điểm A ( 3;5 ) , B ( 1; ) , C ( 3;3) Chứng minh điểm không thẳng hàng c) Cho ba điểm A ( 3;5 ) , B ( 1; −7 ) , C ( −5;3) đỉnh tam giác d) Cho điểm A ( 5;7 ) , B ( 1;3) , C ( −2; ) Chứng minh điểm tạo thành tam giác Ví dụ 6: a) Cho hai điểm A ( 3;5 ) , B ( 1; −3) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB b) Cho hai điểm A ( 7;5 ) , B ( −3; −2 ) Tìm tọa độ điểm I cho B trung điểm AI Ví dụ 7: Cho hai điểm A ( 3;5 ) , B ( 1; −2 ) Tìm tọa độ điểm sau: a) Điểm C đối xứng với B qua A b) Điểm D đối xứng với A qua B Ví dụ 8: Cho hai điểm M ( 2;3) ; N ( −2; −4 ) Tìm tọa độ điểm I nằm đoạn thẳng MN saouu cho: uu r uuur uur uuur uur uuur uur uuur a) MN = 3IM b) 3IN = IM c) IN = IM d) IN = IM Ví dụ 9: Cho điểm A ( 2;5 ) ; B ( 1;1) ; C ( 3;3) uuur uuur uuur a) Tìm tọa độ điểm D cho AD = AB − AC uuu r uuu r uuur uuur b) Tìm tọa độ điểm P cho 3PA + PB − PC = AC uuur uuur uuuu r r c) Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB − 5MC = d) Tìm tọa độ điểm E cho ABCE hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hình bình hành Ví dụ 10: a) Cho tam giác ABC với A ( 3;5 ) ; B ( 1; −7 ) ; C ( −5;3) Gọi M, N, P trung điểm AB,BC,CA Tìm tọa độ M,N,P tọa độ trọng tâm G ∆ABC b) Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác OMN với M ( 5; ) ; N ( 10;8 ) Tìm tọa độ trung điểm cạnh trọng tâm tam giác cho c) Cho điểm A ( 2; ) ; B ( 4;6 ) ; G ( −2; ) Tìm tọa độ điểm C cho G tâm tam giác ABC d) Cho tam giác ABC có trọng tâm gốc tọa độ O, A ( −2; ) ; B ( 3;5 ) Tìm tọa độ C e) Cho MNPQ hình bình hành biết M ( −4;5 ) ; P ( 7;9 ) ; Q ( 10; −7 ) Tìm tọa độ điểm N Ví dụ 11: Cho A ( −3;6 ) ; B ( 9; −10 ) ; C ( −5; ) a) Chứng minh ABC tam giác b) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm D cho tứugiác BGCD hình bình hành uur uuur uuuu r d) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA + MB − MC = Ví dụ 12: Cho tam giác ABC, điểm M ( −4;1) ; N ( 2; ) ; P ( 2; −2 ) trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác aBC uuu r uuur (HD: MNAP hình bình hành nên NA = MP , tương tự trường hợp lại.) KIỂM TRA 15P uuur uuuu r uuur uuuu r Câu 1: Cho điểm M,N,P,Q chứng minh đẳng thức sau: NP + MN = QP + MQ (4đ) r uuur r r uuu Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2a, AD=a Xác định v = BA + BC tính v (6đ) KIỂM TRA 45P Câu (2đ): Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm AB,BC,CD,DA r d) Có vectơ khác tạo điểm A,B,D uuuu r e) Tìm vectơ phương MQ uuur f) Tìm vectơ NP Câu (4đ): Cho tam giác ABC cạnh a r uuur uuur r c) Xác định u = AB − AC tính u r uuu r uuur r d) Xác định v = AB + AC tính v Câu (3đ): Cho ABCD hình bình hành tâm O, M điểm tùy ý Chứng minh đẳng thức sau: uuu r uuur uuur uuur r a) OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuu r b) AB − CD = DB − CA uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r c) MA + MB + MC + MD = 4MO uuur Câu (1đ): Cho tam giác ABC cạnh AC lấy K cho AK=3KC Phân tích BK theo uuur uuu r hai vectơ BC BA (MA TRẬN: vecto phương, hướng,bằng nhau; cm đẳng thức vecto; tính tổng độ lớn; phân tích vecto theo vecto k phương) CHƯƠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR VÀ ỨNG DỤNG Dang 1:Giá trị lượng giác góc từ 00 Vì t1.t > nên B C nằm phía d ⇒ d đường phân giác Vậy đường phân giác góc A là: d ′ : x − y − = Bài tập 15: Cho tam giác ABC với A ( 1;0 ) ; B ( 2; −3) ; C ( −2; ) ; ∆ : x − y + = Xét xem ( ∆ ) cắt cạnh tam giác ABC Giải t A = − 2.0 + = t A t B > t B = − 2.(−3) + = ⇒ t A tC < tC tB < tC = −2 − 2.4 + = −9 ( ∆ ) cắt cạnh AC,BC; không cắt cạnh AB GÓC HỢP BỞI HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; ∆ : a2 x + b2 y + c2 = Khi góc hai đường thẳng ∆1 ; ∆ tính theo công thức: r r n1.n2 a1.a2 + b1.b2 cos ( ∆1 , ∆ ) = r r = n1 n2 a1 + b12 a22 + b22 r r đó: n1 = ( a1 , b1 ) ; n2 = ( a2 , b2 ) vtpt ∆1 , ∆ Chú ý: r r ∆1 ⊥ ∆ ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1a2 + b1b2 = Nếu: ∆1 : y = k1 x + b1 ; ∆ : y = k2 x + b2 ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k1.k2 = −1 Bài tập 16: Tìm góc ϕ hợp hai đường thẳng sau: a) d : x + y + = 0; d ′ : x − y + = b) d : x − y + = 0; d ′ : x − y + = Giải r r a) d có vtpt n1 = ( 1; ) ; d’ có vtpt n2 = ( 1; −3) 1.1 + ( −3) ⇒ ϕ = 450 10 Bài tập 17: Cho đường thẳng ∆ : 3x − y + = Lập phương trình đường thẳng d qua M ( 1; ) tạo với ( ∆ ) góc 450 cosϕ = = r + Gọi n1 = ( a; b ) vtpt của d Giải Phương trình đường thẳng d có dạng: a ( x − 1) + b ( y − ) = ⇔ ax + by − a − 2b = r + ∆ : 3x − y + = có vtpt n2 = ( 3; −2 ) (a + b2 ≠ 0) r r n1.n2 3a − 2b = + Vì góc hợp d ∆ 45 nên: cos45 = r r ⇔ n1 n2 a + b 13 0 ⇔ 26 a + b = 3a − 2b ⇔ 26 ( a + b ) = ( 9a − 12ab + 4b ) ⇔ 10a − 48ab − 10b = ( *) a=5 + Cho b=1 ⇒ ( *) ⇔ 5a − 24a − = ⇔ a=− Vậy có đường thẳng cần tìm là: d : x + y − = 0; d ′ : − x + y − 11 =0 Bài tập 18: Cho điểm M ( 2;3) Viết pt đường thẳng cắt hai trục tọa độ A B cho ABM tam giác vuông cân đỉnh M Hướng dẫn: + Giả sử d đường thẳng cần tìm d cắt hai trục Ox,Oy A ( a;0 ) ; B ( 0; b ) uuur uuur MA.MB = + Tam giác ABM vuông cân đỉnh M ⇔ MA = MB ( 1) −2a − 3b + 13 = + Từ ta có hệ pt: 2 rút (1) vào (2) suy pt a − b − 4a + 6b = ( ) Vậy không tồn đường thẳng d cần tìm BÀI TẬP VẬN DỤNG: Viết phương trình tham số, pt tổng quát ∆ trường hợp sau: r a) Qua M ( 1;3) có vtpt n = ( 2;5 ) b) Qua A ( 1; −2 ) ; B ( 4; ) c) Qua A ( 5;0 ) ; B ( 0; ) d) Qua I ( −2;5 ) có hệ số góc k = −3 Cho tam giác ABC với A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) ; C ( 1;1) Viết phương trình cạnh AB, BC, CA, đường trung tuyến BM, đường cao BK tam giác ABC; đường trung trực đoạn AB Cho đường thẳng ∆ : x − y + = điểm A ( 4;1) a) Tìm tọa độ hình chiếu A lên ∆ b) Tìm điểm A′ đối xứng điểm A qua ∆ 14 17 29 ; ÷ ; A′ ; ÷ 5 5 ĐS: H Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) d : x + y − = 0; d ′ : x + y + = b) d : x − y + = 0; d ′ : x − y + = c) d : x + 10 y − 108 = 0; d ′ : x + y − 54 = x = 5+t x−4 y+7 ;d′ : = y = −3 + 2t d) d : x = 5+t ;d′ : x + y − = y = −1 − t e) d : ĐS: a) d cắt d’; b) d//d’ c) d ≡ d’ e) d ≡ d’ d) d cắt d’ x = −2 + t Tìm điểm A ∈ d : AB = 10 với B ( 2;1) y = −1 + 3t Cho đường thẳng d : ĐS: A ( −1; ) x = −2 − 2t y = + 2t Tìm hình chiếu vuông góc điểm M ( 3;1) đường thẳng ∆ : 1 3 ĐS: H ; − ÷ 2 2 x−2 y+3 = Hãy viết phương trình đường thẳng: −2 a) Đi qua A song song với ∆ b) Đi qua A vuông góc với ∆ ĐS: a) x + y + = b) x − y + = Trên đường thẳng ∆ : x − y + = , tìm điểm M cách hai điểm E ( 0; ) ; F ( 4; −9 ) Cho điểm A ( −5; ) ; ∆ : 133 97 ;− ÷ 18 18 ĐS: M − PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình đường tròn: 2 Phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) = R Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình x + y − 2ax − 2by + c = với điều kiện a + b − c > phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R = a + b − c Phương trình tiếp tuyến đường tròn 2 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − ) = biết tiếp tuyến qua điểm M ( ) − 1;1 Giải + Đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − ) = có tâm I ( −1; ) ; bán kính R = 2 r + Gọi ∆ phương trình tiếp tuyến đường tròn với vtpt n = ( a; b ) ( ) Phương trình ∆ : a x − + + b ( y − 1) = (a + b2 ≠ ) + Để ∆ tiếp tuyến đường tròn, điều kiện cần đủ d ( I , ∆ ) = R tức là: d ( I, ∆) = ( ) a −1 − + + b ( − 1) a + b2 ( = − 5a + b a + b2 ⇔ − 5a + b = 5a + 5b ⇔ − 5a + b ) = = 5a + 5b M R ∆ b=0 ⇔ 2b + 5a = + Trường hợp b = , chọn a = ta phương trình tiếp tuyến ∆1 : x − + = Trường hợp 2b + 5a = , ta chọn a = ⇒ b = − (thường chọn a hệ số b chọn b hệ số a) ta phương trình tiếp tuyến ∆ : x − y + − = Để viết phương trình tiếp tuyến đường tròn, ta thường dung điều kiện sau: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường tròn Tuy nhiên, để viết phương tình tiếp tuyến đường tròn điểm M cho trước thuộc đường tròn, ta giải theo cách minh họa toán sau đây: 2 Bài toán 2: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + ) = 25 điểm M ( 4; ) a) Chứng tỏ điểm M nằm đường tròn cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm M Giải I a) Thay tọa độ điểm M vào vế trái 2 phương trình đường tròn ta được: ( − 1) + ( + ) = 25 = VP ∆ Vậy điểm M nằm đường tròn M b) Gọi ∆ tiếp tuyến đường tròn điểm M uuu r ∆ đường thẳng qua M ( 4; ) nhận MI = ( −3; −4 ) làm vtpt Phương trình ∆ là: −3 ( x − ) − ( y − ) = ⇔ x + y − 20 = Từ hai toán trên, để nhận dạng đề yêu cầu viết pttt đường tròn điểm M hay qua điểm M ta cần tọa độ điểm M vào pt đường tròn, tọa độ điểm M thỏa mãn pt đường tròn thuộc toán ngược lại Nhận dạng phương trình đường tròn tìm tâm& bán kính đường tròn Cách 1: Đưa pt dạng x + y − 2ax − 2by + c = , a + b − c > pt cho phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) ; bán kính R = a + b − c (lưu ý hệ số đứng trước x , y tỉ lệ 1:1 ) Cách 2: Đưa pt dạng ( x − a ) + ( y − b ) = R pt cho pt đường tròn tâm 2 I ( a; b ) , bán kính R (cách em phải sử dụng thành thạo đẳng thức ( a − b) ;( a + b) ) 2 Bài tập 1: Xét xem phương trình sau có phải phương trình đường tròn không? Nếu có tìm tâm bán kính: a) x + y − x + y − = b) x + y − x + y + 14 = c) x + y − x − 16 y + 19 = d) x + y − x − y − = Giải a) Phương trình ( C ) có dạng x + y − 2ax − 2by + c = 2 −2a = −2 a = với −2b = ⇒ b = −2 c = −4 c = −4 Ta có: a + b − c = + + = > Vậy pt cho pt đường tròn Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = = a=2 b) Phương trình ( C ) có dạng x + y − 2ax − 2by + c = với b = −3 c = 14 2 Ta có a + b − c = −1 < Vậy pt cho không pt đường tròn 2 c) x + y − x − 16 y + 19 = ⇔ x + y − x − y + 19 =0 a =1 2 Phương trình ( C ) có dạng x + y − 2ax − 2by + c = với b = 19 c = 2 Ta có: a + b − c = + + = > Vậy pt cho pt đường tròn Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; ) , bán kính R = d) Phương trình cho không pt đường tròn (hệ số x ; y khác nhau) VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Cách 1: Dùng tâm bán kính Tìm tọa độ tâm I ( a; b ) bán kính R đường tròn ( C ) Viết pt đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R Cách 2: Dùng phương trình tổng quát (dạng khai triển) Phương trình đường tròn ( C ) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = Lập hệ pt với ẩn số a,b,c Giải hệ tìm a,b,c suy pt đường tròn Chú ý: + Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R 2 + Cho đường tròn ( C ) tâm I ( a, b ) bán kính R ( C ) tiếp xúc với Ox ⇔ R = b ( C ) tiếp xúc với Oy ⇔ R = a Bài tập 2: Viết pt đường tròn ( C ) trường hợp sau: a) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) ; bán kính R = b) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) qua điểm A ( 3; −3) c) ( C ) có tâm I ( 5;1) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + y − = d) ( C ) có đường kính AB với A ( 1; ) ; B ( 3;0 ) e) ( C ) qua điểm A ( 5;3) ; B ( 6; ) ; C ( 3; −1) f) ( C ) có tâm nằm đường thẳng ( ∆ ) : x − y − = tiếp xúc với hai trục tọa độ g) ( C ) qua điểm M ( 2; −1) tiếp xúc với trục tọa độ h) ( C ) qua điểm A ( 1, ) ; B ( 3;1) tâm I nằm ( d ) : x + y + = Giải a) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) ; bán kính R = Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + y = 2 b) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) bán kính R = IA = 12 + ( −3) = 10 Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + y = 10 c) ( C ) có tâm I ( 5;1) bán kính R = d ( I , ∆ ) = + 2.1 − 1+ = Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 2 d) ( C ) có tâm I trung điểm đoạn AB nên I ( 2; ) bán kính R = IA = + = Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = Nhận xét: R = IA = IB = AB e) Cách 1: Phương trình đường tròn ( C ) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = với điều kiện a + b2 − c > ( C ) qua A ( 5;3) nên: −10a − 6b + c + 34 = ( C ) qua B ( 6; ) nên: −12a − 4b + c + 40 = ( C ) qua C ( 3; −1) nên: −6a + 2b + c + 10 = −10a − 6b + c + 34 = a = Giải hệ: −12a − 4b + c + 40 = ⇔ b = −6a + 2b + c + 10 = c = 12 Vậy ( C ) có phương trình là: x + y − x − y + 12 = Cách 2: Gọi I ( a; b ) tâm đường tròn ( C ) ( C ) qua điểm A,B,C nên ta có: IA = IB = IC IA = IB a = ⇒ I ( 4;1) ta IA = IC b =1 Bán kính R = IA ( = IB = IC ) = Giải hệ: Vậy đường tròn cần tìm có phương trình ( x − ) + ( y − 1) = Để lập pt đường tròn qua điểm A,B,C (đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) ta cần cân nhắc lựa chọn hai hướng sau: Hướng 1: Giả sử pt đường tròn ( C ) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = (1) với điều kiện 2 a + b2 − c > Từ đk A,B,C thuộc ( C ) ta hệ pt với ẩn a,b,c Thay a,b,c vào (1) ta pt đường tròn ( C ) Hướng 2: Dựa vào dạng đặc biệt tam giác: tâm I trung diem BC + Nếu ∆ABC vuông A thì: ( C ) : BC R= t â m I tâm ∆ABC + Nếu ∆ABC cạnh a thì: ( C ) : a R= f) + Phương trình đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) bán kính R có dạng: ( x − a ) + ( y − b ) = R2 + I ( a; b ) ∈ ( ∆ ) ⇔ a − b − = + ( C ) tiếp xúc với Ox,Oy ⇔ b = 2 (1) a =R b=a b = a ⇔ b = − a + Với b = a thay vào (1) ta a = ( ⇒ b = 4, R = ) Phương trình đường tròn cần tìm là: ( x − ) + ( y − ) = 16 2 4 4 Với b = −a thay vào (1) ta được: a = ⇒ b = − ; R = ÷ 3 4 4 16 Phương trình đường tròn cần tìm là: x − ÷ + y + ÷ = 3 3 g) + Phương trình đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) bán kính R có dạng: ( x − a) + ( y − b ) = R2 + Đường tròn ( C ) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy ⇔ a = b = R + Trường hợp 1: a = b 2 Khi pt ( C ) : ( x − a ) + ( y − a ) = a Điểm M ( 2; −1) ∈ ( C ) ⇔ ( − a ) + ( −1 − a ) = a ⇔ a − 2a + = ⇒ pt vô nghiệm + Trường hợp 2: a = −b 2 Khi pt ( C ) : ( x − a ) + ( y + a ) = a 2 a =1 a = 2 Điểm M ( 2; −1) ∈ ( C ) ⇔ ( − a ) + ( −1 + a ) = a ⇔ a − 6a + = ⇔ 2 2 Với a = ⇒ b = −1, R = ta pt ( C1 ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 2 Với a = ⇒ b = −5, R = ta pt ( C2 ) : ( x − ) + ( y + ) = 25 h) Giả sử pt đường tròn ( C ) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = với đk: a + b − c > A ( 1; ) ∈ ( C ) ⇔ − 2a − 4b + c = B ( 3;1) ∈ ( C ) ⇔ 10 − 6a − 2b + c = Tâm I ( a; b ) ∈ d ⇔ a + 3b + = a=2 − 2a − 4b + c = Giải hệ 10 − 6a − 2b + c = ⇔ b = − (thỏa) a + 3b + = c = −10 2 Vậy pt đường tròn ( C ) : x + y − x + y − 10 = IA2 = IB Cách 2: Sử dụng để tìm a,b; bán kính R=IA I ( a; b ) ∈ d Bài tập 3: Cho hai đường thẳng d1 : x + y − = 0; d : x − y + = Lập pt đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1 ; d có tâm thuộc đường thẳng d : x − y − = Giải + Giả sử đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) bán kính R + I ( a; b ) ∈ d ⇔ a − b − = ( 1) + Đường tròn ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng cắt d1 ; d suy tâm I thuộc đường phân giác góc tạo ( d1 ) ; ( d ) Phương trình hai đường phân giác góc tọa ( d1 ) ; ( d ) là: ∆ : y − = 2x + y −1 2x − y + =± ⇔ +1 1+ ∆2 : 4x + = ( 2) + Nếu I ∈ ∆1 ⇔ 2b − = Giải hệ tạo (1) (2) ta a = ; b = R = d ( I , d1 ) ( hoac = d ( I , d ) ) = 11 2 5 121 Phương trình đường tròn ( C1 ) : x − ÷ + y − ÷ = 2 2 20 + Tương tự I ∈ ∆ … 2 1 121 Phương trình đường tròn ( C2 ) : x + ÷ + y + ÷ = 4 4 80 Bài tập 4: Cho hai đường thẳng d1 : x + y + = 0; d : x + y + = Lập pt đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d : x + y + = tiếp xúc với hai đường thẳng ( d1 ) ; ( d ) Giải + Giả sử đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) bán kính R + d1//d2 ⇒ d ( d1 , d ) = R = ⇒ R = + ( C ) tiếp xúc với d1 ; d ⇒ d ( I , d1 ) = d ( I , d ) ⇔ a + 2b + = + I ∈ d ⇔ a + b +1 = ( 2) ( 1) + Giải hệ tạo (1) (2) ta a = 4; b = −5 ⇒ I ( 4; −5 ) + Vậy đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y + ) = 2 Bài tập 5: Viết phương trình đường tròn ( C ) qua điểm A ( −1; −2 ) tiếp xúc với đường thẳng d : x − y − = điểm M ( 1; ) Giải Vì ( C ) tiếp xúc với ( d ) điểm M suy tâm I thuộc đường thẳng ∆ có pt cho bởi: qua M ( 1; ) x = + 7t ∆: ⇒ I ( + 7t ; − t ) r vtcp n = ( 7; −1) y = − t ( C ) tiếp xúc với ( d ) ⇔ IM = R ⇔ IM = R = 50t 2 Khi pt đường tròn ( C ) có dạng: ( x − − 7t ) + ( y − + t ) = 50t 2 Điểm A ( −1; −2 ) ∈ ( C ) ⇔ t = −1 ⇒ I ( −6;3) ; R = 50 2 Vậy phương trình đường tròn ( C ) : ( x + ) + ( y − 3) = 50 2 Bài tập 6: Cho đường tròn ( C ) : x + y − x − y + = Lập pt đường tròn ( C1 ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua điểm E ( 1; ) Giải Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) ; bán kính R = Gọi I1 tâm đường tròn ( C1 ) Vì ( C ) ( C1 ) đối xứng với qua điểm E ( 1; ) ⇒ E trung điểm II1 ⇒ I1 ( 0;3) tâm I1 ( 0;3) ( C1 ) : R = Phương trình đường tròn ( C ) : x + ( y − 3) = 2 2 Bài tập 7: Cho đường tròn ( C ) : x + y − x − y + = Lập phương trình đường tròn ( C1 ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng + Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; ) ; R = + Gọi I1 ( x1 ; y1 ) tâm đường tròn Giải d :x−2=0 trung diem E cua II1 thuoc ( d ) II1 ⊥ d Vì ( C ) ( C1 ) đối xứng qua d suy ra: + x1 E ∈ d −2=0 x = ⇔ uur ⇔ r ⇔ II1 ⊥ vtcp ud y1 = ( x1 − 1) + ( y1 − ) = + Phương trình đường tròn ( C1 ) : ( x − 3) + ( y − ) = PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Cho đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) , bán kính R 2 + Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đường tròn ( C ) điểm M ∈ ( C ) uuur Ta có ∆ qua điểm M nhận IM làm vtpt + Các trường hợp lại dùng điều kiện tiếp xúc: Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R 2 Bài tập 8: Cho đường tròn ( C ) : x + y + x − y = a) Tìm tâm bán kính ( C ) b) Viết pt tiếp tuyến ( C ) điểm A ( 1;1) c) Viết pt tiếp tuyến ( C ) qua điểm B ( 4;7 ) d) Viết pt tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y + = e) Viết pt tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + y − = Giải a) ( C ) có tâm I ( −1; ) ; bán kính R = b) Gọi ∆ tiếp tuyến cầnuurtìm ∆ qua A ( 1;1) nhận IA = ( 2; −1) làm vtpt Phương trình ∆ là: ( x − 1) − 1( y − 1) = ⇔ x − y − = r c) + Gọi ∆ phương trình tiếp tuyến đường tròn với vtpt n = ( a; b ) Phương trình ∆ : a ( x − ) + b ( y − ) = (a ⇔ ax + by − 4a − 7b = + ( C ) tiếp xúc với ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R tức là: −a + 2b − 4a − 7b d ( I, ∆) = = a + b2 + b2 ≠ 0) M R 2 ⇔ −5a − 5b = 5a + 5b ⇔ 25a + 25b + 50ab = 5a + 5b ⇔ 2a + 2b + 5ab = a=− + Chọn b = ⇒ ( *) trở thành: 2a + 5a + = ⇔ a = − + Với a = − , pttt phải tìm là: x − y + 10 = Với a = −2 , pttt phải tìm là: x − y − = d) ∆ / / d : 3x + y + = ⇒ phương trình ∆ có dạng: x + y + c = ∆ ( *) c = 5 −5 = ⇔ 5+c = 5 ⇔ 25 c = −5 − Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ∆1 : x + y + 5 − = 0; ∆ : x + y − 5 − = e) ∆ ⊥ d : x + y − = ⇒ phương trình ∆ có dạng: x − y + c = −1 − + c c = 10 = ⇔ −5 + c = ⇔ ∆ tiếp xúc với ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ c=0 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ∆1 : x − y + 10 = 0; ∆ : x − y = ∆ tiếp xúc với ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ −3 + + c Bài tập 9: Cho đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − 1) = 20 Lập phương trình tiếp tuyến 2 đường tròn ( C ) có hệ số góc Giải + Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) ; bk R = + Gọi ∆ tiếp tuyến đường tròn + Đường thẳng ∆ có hệ số góc nên pt ∆ có dạng: y = x + m ⇔ x − y + m = + Đường thẳng ∆ tiếp tuyến đường tròn m=7 = ⇔ m + = 10 ⇔ +1 m = −13 Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: ∆1 : x − y + = 0; ∆ : x − y − 13 = ⇔ d ( I, ∆) = R ⇔ −1+ m Bài tập 10: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 10 Lập pt tiếp tuyến đường tròn ( C ) biết tiếp tuyến tạo với d : x + y − = góc 450 Giải 2 + Giả sử tiếp tuyến ∆ có phương trình: ax + by + c = ( a + b ≠ ) (1) ∆ tiếp tuyến ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ a −b +c a + b2 = 10 2 2 2a + b ⇔ = + ∆ tạo với d góc 45 ⇔ cos45 = ÷ ÷ ÷ 2 + a + b2 +1 a + b a = −3b 2 3a + 8ab − 3b = ⇔ a=b −3b − b + c c = 14b = 10 ⇔ c − 4b = 10 b ⇔ + Với a = −3b ⇒ c = −6b ( −3b ) + b 0 2a + b Với c = 14b thay vào (1) ta được: −3bx + by + 14b = ⇔ −3 x + y + 14 = Với c = −6b thay vào (1) ta được: −3bx + by − 6b = ⇔ x − y + = b + Với a = , giải tương tự BÀI TẬP VẬN DỤNG: Trong pt sau, pt pt đường tròn, rõ tâm bán kính: a) x + y − x − y − = b) x + y − x + y + 12 = c) − x − y − x − y − = d) x + y − x − y − = e) x + y − x − y − = Lập phương trình đường tròn trường hợp sau: a) Tâm I ( 1; −3) ; bán kính R = ĐS: ( x − 1) + ( y + 3) = 2 b) Đi qua điểm A ( 3; ) tâm gốc tọa độ ĐS: x + y = 25 c) Đường kính AB với A ( 1;1) B ( 3;5 ) ĐS: ( x − ) + ( y − 3) = 2 d) Đi qua điểm A ( 3;1) ; B ( 5;5 ) tâm I nằm trục tung ĐS: x + ( y − ) = 25 e) Đi qua ba điểm A ( 7;1) ; B ( −3; −1) ; C ( 3;5 ) ĐS: x + y − x − 22 = f) Tâm I ( 5;6 ) tiếp xúc với đường thẳng d : x − y − = ĐS: ( x − ) + ( y − ) = 2 g) Tâm I ( 1;3) qua điểm A ( 3;1) ĐS: ( x − 1) + ( y − 3) = 2 h) Tâm I ( −2;0 ) tiếp xúc với đường thẳng d : x + y − = ĐS: ( x + ) + y = i) Đi qua điểm M ( 2;1) tiếp xúc với hai trục tọa độ 25 2 ; ( x − ) + ( y − ) = 25 j) Đi qua hai điểm M ( 1;1) ; N ( 1; ) tiếp xúc với trục Ox ĐS: ( x − 1) + ( y − 1) = 2 2 5 25 5 25 ĐS: ( x + 1) + y − ÷ = ; ( x − 3) + y − ÷ = 2 2 k) Đi qua điểm A ( 3;1) ; B ( 5;5 ) tâm I nằm trục hoành Ox ĐS: ( x − 10 ) + y = 50 l) Đi qua điểm A ( 0;1) ; B ( 1;0 ) tâm I nằm d : x + y + = ĐS: x + y + x + y − = m) Đi qua điểm A ( 1;1) ; B ( 3; −2 ) ; C ( 4;3) (gợi ý: tam giác ABC vuông A) 2 7 13 ĐS: x − ÷ + y − ÷ = 2 2 3 3 ; B 1; − n) Đi qua điểm A 1; ÷ ÷ ÷ ÷; C ( 0;0 ) (gợi ý tam giác ABC đều) 3 2 ĐS: x − ÷ + y = 3 o) ( C ) qua điểm M ( 4; ) tiếp xúc với trục tọa độ ĐS: ( x − ) + ( y − ) = 4; ( x − 10 ) + ( y − 10 ) = 100 2 2 Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn x + y = trường hợp sau: a) Tiếp tuyến song song với d : 3x − y + 17 = b) Tiếp tuyến vuông góc với d : x + y − = c) Tiếp tuyến qua điểm A ( 2; −2 ) ĐS: a) x − y + 10 = 0;3x − y − 10 = b) x − y + = 0; x − y − = c) y + = 0; x − = Bài tập 4: Cho điểm M ( 2;3) Lập pt tiếp tuyến đường tròn ( C ) qua điểm M a) ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = b) ( C ) : x + y − x + y − 11 = ĐS: a) x − y + = ; b) y − = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Cho hệ trục tọa độ Oxy cho tiêu điểm F1 ( −c;0 ) ; F2 ( c;0 ) phương trình 2 đường elip là: x2 y2 + =1 a b2 ( a > b > ) b = a − c Phương trình đgl phương trình tắc elip F1 F2 = 2c ( c > ) : tiêu cự Độ dài trục lớn A1 A2 = 2a Độ dài trục bé B1 B2 = 2b Các đỉnh: A1 ( − a;0 ) ; A2 ( a;0 ) ; B1 ( 0; −b ) ; B2 ( 0; b ) Xác định yếu tố elip biết pt tắc nó: Từ pt tắc, tính a,b,c suy yếu tố cần tìm (lưu ý: b = a − c ; a, b, c số dương) Bài tập 1: Tìm tọa độ tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé, tiêu cự elip có pt sau: x2 y2 + =1 x2 y2 + =1 d) 25 a) b) x + 25 y = 225 e) x + y = Giải a = a = ⇒ ( a > b > 0) b = b = 2 a) Ta có: Mặt khác: c = a − b = ⇒ c = c) x2 y + =1 ( ) ( Tiêu điểm F1 − 5;0 ; F2 5;0 ) Tiêu cự F1 F2 = 2c = Độ dài trục lớn 2a = Độ dài trục bé 2b = Các đỉnh: A1 ( −3;0 ) ; A2 ( 3;0 ) ; B1 ( 0; −2 ) ; B2 ( 0; ) b) Hướng dẫn: ( E ) : x + 25 y = 225 ⇔ x2 y2 + = (do vế phải =1 nên ta chia hai vế cho 25 225) Viết phương trình tắc elip biết số yếu tố cho trước Từ yếu tố cho trước ta phải xác định cho a, b x2 y Khi pt tắc elip là: + = a b Bài tập 2: Viết phương trình tắc elip trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 6; tiêu cự b) Một tiêu điểm F1 ( −2;0 ) độ dài trục lớn 10 ( ) 3 c) Một tiêu điểm F1 − 3;0 điểm M 1; ÷ ÷ nằm elip ;1÷ ÷ d) Elip qua điểm M ( 1;0 ) ; N e) độ dài trục lớn 6, tiêu cự f) Qua hai điểm M ( 2;1) ; N 5; 2 ÷ ÷ g) Độ dài trục nhỏ 12, tiêu cự 16 h) Một tiêu điểm F2 ( 12;0 ) điểm M ( 13;0 ) nằm elip i) Độ dài trục nhỏ tiêu cự j) tiêu điểm F2 ( 3 3;0 qua điểm M 1; ÷ ÷ ) Giải Phương trình tắc elip có dạng: 2a = a = ⇒ 2c = c = a) Ta có: Mặt khác b = a − c = x2 y + =1 F1 ( −2;0 ) c = ⇒ b) Ta có: a = 2a = 10 Vậy pt elip cần tìm là: Mặt khác b = a − c = 21 x2 y + =1 a b2 ( a > b > ) (E) x2 y2 + =1 25 21 c= F1 − 3;0 c= ⇒ ⇔1 c) Ta có: ÷ + =1 M 1; ∈ E ( ) ÷ =1 a ÷ 4b 2+ a b 2 2 2 Mặt khác: c = a − b ⇒ a − b = ⇒ a = + b ( ) Vậy pt elip cần tìm là: ( ) ( 1) b2 = 1 + = ⇔ 4b + 5b2 − = ⇔ Thế (2) vào (1) ta được: b = − ( loai ) + b 4b 2 Với b = ⇒ a = + = x2 y + =1 Vậy pt elip cần tìm là: M ( 1;0 ) ∈ ( E ) a + b = a2 = ⇒ ⇒ d) Ta có: N ;1÷ + = b = ÷∈ ( E ) 4a b Vì a < b nên không tồn pt tắc elip ... ) qua điểm K ( −1; ) có vtpt uuur AB = ( 10; −6 ) Phương trình tổng quát ( ∆ ) là: 10 ( x + 1) − ( y − ) = ⇔ 10 x − y + = ⇔ x + y − = Bài toán: Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng ∆ (Tìm tọa... 4;5 ) ; B ( −6; −1) nên có vtcp AB = ( 10; −6 ) ⇒ đường thẳng r AB có vtpt là: n = ( 6; 10 ) Phương trình tổng quát AB là: ( x − ) − 10 ( y − ) = ⇔ x − 10 y + 26 = Phương trình đường trung tuyến... + Chứng minh tam giác có tính chất (vuông, cân, vuông cân, đều,…), tứ giác hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi,… + Tính độ dài cạnh, góc, chu vi, diện tích,… + Tìm điểm để tam