Bài toán tổ hợp và rời rạc, số học thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi và đây thường là bài khó dùng để phân loại học sinh. Các bài toán này thường không có một thuật giải cụ thể. Lời giải có được chủ yếu dựa vào năng lực tư duy sáng tạo của học sinh. Một trong những lí thuyết hay được áp dụng trong các bài tập này là nguyên lí Dirichlet, nhằm giúp học sinh có được cơ sở để giải các bài toán về cực trị trong tổ hợp và rời rạc, tôi sưu tầm hệ thống một số tài liệu về các bài toán và một số định hướng cách giải quyết dựa và nguyên lí dirichlet đã được dung trong các kì thi chọn học sinh giỏi quốc tế
í rt t sở í tết ủ í ể sử ủ í í rt t ọ ổ tế ứ Ptr st rt t ể ề t ò ọ í í ữ é ữ ộ í ỏ í ó ộ s ế ộ ứ t tì ột tr ộ ứ t t ột í ệt ó ề ứ ụ tr ĩ ự ủ t ọ ù í t ó tể ễ ỉ r tồ t ột ố tợ tì t ị r í t ỉ ứ ợ tồ t r ợ tì t ụ tể tr tự tế ề t t ỉ ỉ r tồ t ủ rồ sở í tết ó tử ợ ế t ợ ó tồ t t ợ ứ n m tử A = m j=1 Aj = Ak , k 1; m, |Ak | ì số tử ủ t í ệ |A| m |X| số tự t ể ệ n s mn ế = k N tì m |X| |X| ế n |X| k m n / N tì m n |A| |X| +1 m m í ệ [x] ủ R |X| ể ễ í tr ò ợ t ể s ó tỏ ợ ốt t ó ứ n m tỏ ệt ế số tỏ ề số tì tồ t ứ tỏ tờ t ỉ ét trờ ợ n m t ứ í tr ứ ứ ứ 1; m, |Aj | < |A| m sử ợ tứ ó |A| = | m j=1 Aj | m |Aj | = j m < j=1 = m |A| (theo (i)) m |A| = |A| m Aj , j |A| < |A| ề í sử ủ t s tứ Ak , k 1; m, |Ak | r ệ q |A| m A t tử A ợ ữ t Aj tì ó t ột t ũ ế t í rt ữ ề tự tế r ộ số ó ề ề ì ó ộ í ỏ ú t ó tể ết ợ tồ t tồ t ột tì ố ó ó ú t ó tể t ổ tết ộ ủ ề ể ù ợ tì ì tự tế ú t ó t ể í rt q ữ ề ủ ộ số s Pt ể r ột ọ ó ọ s số ế t ó ột ế ó ọ s Pt ể ổ é t tr Pt ể r ột s ì ó ệ tí tt t t ột số ó tổ ệ tí t ó trồ Pt ể r ó t s ù t Pt ể r ó t ù s t Pt ể ột s ó ể ề ố s t ó ột ứ ề ột ố s Pt ể r ột ọ ó ể ể tr ỉ ó ể t ể tì ó t ù t ể Pt ể ó ọ ổ ì ể ó ọ s ọ ổ ù tì số ọ s ọ ổ Pt ể r số tự t ì tồ t số ó ệ ết Pt ể ế ệt ó tì ó t ù s t ù tổ ù s t ù tổ ù t ù s t ù tổ ù t ù s t ù Pt ể ó ộ q ợ ọ s t ó ọ s ó số ộ q ể ợ ị í í ụ t ề q trọ r tỏ r tỏ tr sử ụ í rt ữ t r tỏ ị í ọ n2 + số tự ệt ề ó ột n + tự t tự ứ a1, a2, , an2+1 ột n2 + số tự ột ọ bk ộ ự ủ ột tự t t từ ak ck ộ ự ủ ột tự t từ ak ỗ số ak ủ t ứ ột số (bk ; ck ) í ệ S t tt sử t ứ ó ột ệ ó ộ n + ó số tử ủ S ợt q n2 ó t S ó tử trù tồ t j, k(j < k) ể (bj ; cj ) = (bk ; ck ) ì aj ak ỉ ó tể aj < ak aj > ak ế aj < ak tì t ột t từ ak ết tú aj t é t từ aj tì ó ột ó ộ cj + ó cj + ck = cj ề ý tồ t ột ộ n + ệ tự í rt tì tr ét ị í tr t t ó rt ề tì ố ó tể ụ ị í í ụ r ột s ọ s số ể tổ ết ột tí từ tr ố tồ t ó số ể t t = 22 + ó ụ ị í n = t ó ết q í ụ ứ r từ ột số tự ột tr r ợ ột ệ t ó số ợ tử tù ý ứ ứ ọ ệ trí r ỉ ó ữ tử a1, a2, , ak ệ ợ trí r ó ộ t ọ r k + số ủ ứ số ủ ợ trí r ó t ị í từ k + ột t ũ trí r ợ ột ệ k + tử ề t ề sử sử ề sử s ó ó tể trí r ột ệ ó số ợ tử tỳ ý í ụ r ột ì ó r ể tỳ ý ứ r tồ t ể tr ột ì trò ó í é m ứ ỗ ủ ì r ố ể ố ệ t t ợ ỗ ì ỏ ó m ó t t 51 = 2.25 + t í rt tì ó ỏ ứ ể ữ ộ tế tr trò í 10 < 71 ó tồ t ể tr ột ì trò í ỏ ét r t tr t t r í t t r ế í ụ số trớ ứ r tr số tỳ ý tồ t số ó ệ ết ứ ét r số ó ợ số ỉ ó tể ì t í rt t ó số ù số ó ệ ủ ú ết ét t tr t r í số số số í ụ t s ột số ủ ột trò tổ ộ ó é ò trò ứ r tồ t ột í ó ị s ứ s tt ố ứ s t tết tì tổ ộ tt ị s ỏ ộ ủ trò tồ t ể ị s ó í q ể ó út ị s ét t r ó sứ ứ ết tỏ ó tỏ t t tự ột số ủ ột trò ợ t ò ợ t ỏ ết r tổ ộ ỏ ủ trò ứ r ó tể ợ í ợ t ỏ í ụ số tự ò ế t A = ax + by + c; B = dx + ey + f ; C = gx + hy + k ứ r t ệ s ó t ột ệ ệ A > A > A > A > B>0 , B>0 , B C < A < A < A < A < B>0 , B>0 , B ứ P ứ r ột ệ ệ t r ề ệ ủ ỗ ệ ề ị t ó trì ì t r ề ó t í rt t ó ệ ó ề ệ trù ề í ì t ệ tr ột t ề sử ủ t s tứ tồ t ột ệ ệ ét r t tr t t số số tỏ í ụ ứ r tr số tự trớ tì ợ số ó tổ ệ ết ứ t tr số ó số tì ết ể ú r trờ ợ ú ột t ó tể sử số ó a1 < a2 < < a52 ó t ét a1 + a2, a1 + a3, , a1 + a52, a1 a2, , a1 a52 ó tử ột ế ó tử ủ ết tì ết ú ế ó số ết tì số số số ủ t í rt tì ó số ủ ó ù số số ó ỉ ó tể a1 + a1 + aj a1 al a1 + am a1 + at a1 + ak , i, j, k, t, m {1, 2, , 52} ó t ó aj 100 al am100 at ak 100 tr ọ trờ ợ t t ết ủ t ề ú í ụ r t ột ũ t tị tế ũ t é t ó ù ố ò ọ ết q t ợ ũ ứ r ũ ù ũ tế ũ ó ũ ó ề ệ tí ứ ợt ể ố ứ q ó t t ũ trọ tr ũ ữ ệ tí ủ ũ ệ tí ủ ũ t ũ ó ợ tị tế ũ ó ệ tí ó ệ tí ủ ũ ỏ tổ ệ tí ủ ũ ỏ t ó ũ ó ột ó ệ tí ét r t tr t t r ứ ết tỏ t ó tỏ B' B C' C A D E D' E' ì í ụ k tỳ ý ứ r tồ t số tố ột số p ột t t số tự a1, a2, a3 , an, s tt tử ủ p + k.a1 , p + a2 , , p + k.an , ữ số tố tố ứ ọ Pi P t tt số ết P ó tử ọ t ợ tt số tố ú ó ù số P = P0 P1 Pk1 í rt tì tồ t j 1; k s Pj tử ó ọ tử ủ Pj ề ết x = k.a + j ọ số tố ỏ t ủ Pj p = k.a + j ó t s r x P, x = k.a + p a ọ x1, x2, , xn, t t tử ủ Pj ỗ t xn p t an = k an ọ a n t t ữ t ó p + ka1, p + ka2, , p + kan, số tố ó í ụ r ột ì trò ó ệ tí t ể t ì ệt ứ r tì ợ t ể t t ột t ó ệ tí é ứ ì trò t t ì qt ỗ ì qt ó ệ tí ó 17 = 2.8 + t í rt tì tồ t ì qt ()ứ t tr số ể ó t ó ỉ ó trọ tr ì qt () ó ệ tí é ét r t tr t t r số số tỏ t ó ứ [ số 2tỏ ] + í ụ ọ t ì ứ r ó t ó ù số q tr số ọ ứ t trì ệ s x3 = 3y + 9z (1) t ột ệ ủ trì ứ ò ẹ ữ t sử ó ệ ữ tì tồ t ột ệ |w| số ỏ u3 = 3v + 9w3 (2) ó tì ết ết 3 k Z t t ó 9k = v + 3w (3) ế 3 ết sử m Z t t ó 3k = 9m + w ế ợt ết sử n Z t tứ ố 3 t ợ k = 3m + 9n tứ ố ù ứ tỏ ột ệ ủ < |n| < |w| t sử tr t ó t trì ệ s x2n+1 = 3y 2n+1 + 9z 2n+1 n N t ứ r trì s ó ệ ữ tỉ x2 + y + z + 3(x + y + z) + = t u = 2x + 3v = 2y + 3w = 2z + trì t ợ u2 + v + w = t tì trì ố ó ệ ữ tỉ t trì ệ s x2 + y = 7(z + u2) (1) ét r ế (x2 + y 2)p tố tì xp, y p ễ t ột ệ ủ trì tr ứ trì tr ò ệ t sử ò (x0, y0, z0, u0) x20 + y02 2 ỏ t ì (x0 , y0 , z0 , u0 ) ệ ủ ó x0 + y0 = 7(z02 + u20) (2) ế x20 + y02 ết é t x0, y0 sử r x0 = 7m, y0 = 7n t t t ợ 7(m2 + n2) = z02 + u20 ề rút r ợ (z0, u0, m, n) ệ 2 2 2 ủ trì < z0 + u0 < 7(z0 + u0 ) = x0 + y0 t ệ ữ tì tồ t ệ tết trì ỉ ó ệ t ì tt ộ ề ữ số tự ộ tế tr ù ột trò s ế ỗ ó t t tì ũ t t ột tứ ộ tế tr trò ó ọ ủ ề t x y z t sử trò tế ữ ó ét trờ ợ s ế t trò tr tứ ó r từ tì t ó 1 1 + + + =1 x y z t (1) s ế t trò tứ ó r từ tì t ó 1 1 + + = y z t x (2) ố ù ữ trì t ợ ệ ủ t t ì số t t ệ trì x2 + 13y = z 13x2 + y = t2 sử (x0, y0, z0, t0) ột ệ ủ ệ trì ệ t ợ x20 + 13y02 = z02 (1) 13x20 + y02 = t20 (2) (x0, y0) = d rút r ợ z0, t0 ù ết sử r x0 = dx1 , y0 = dy1 , z0 = dz1 , t0 = dt1 (x1 , y1 ) = ọ t t ợ x21 + 13y12 = z12 (3) 13x21 + y12 = t21 (4) 14(x21 + y12) = z12 + t21 (5) ếz12 + t21 ết 2 z1 , t1 tờ ết từ s r ợ x1 + y1 ũ ết ó x1 , y1 ũ tờ ết ề t (x1 , y1 ) = trì ó ệ ộ t ó t ứ r trì s ó ệ xyz = x2 + y = 3z ụ t t trì ệ s x2 + y = pz số tố trớ t ì ộ ố số t a2 + b2 + c2 + d2 = a2b2c2 (1) t ột ộ số t tứ ứ ò ộ t t sử trì ò ệ (x0, y0, z0, t0) t ợ x20 + y02 + z02 + t20 = x20y02z02 2 2 2 ế x0 y0 , z0 ề tì x0 y0 z0 ò x0 + y0 + z0 + t0 ề í ế tr số x0.y0, z0 tì x20y02z02 ết ò x20 + y02 + z02 + t20 ề í 2 2 2 ế ó ột số tì x0 y0 z0 ết ò x0 + y0 + z0 + t0 ề í ế số x0.y0, z0 ề t x0 = 2x1, y0 = 2y1, z0 = 2z1 t t ó 4x21 + 4y12 + 4z12 + t20 = 64x21y12z12 ó t204 s r t02 t t0 = 2d1 t t ợ x21 + y12 + z12 + d21 = 16x21y12z12 x21 + y12 + z12 + t21 ết x1, y1, z1, t1 ù x0 y0 z0 t0 ết q k , k , k , k số ọ k N ề 2 2 ó rút r í ỉ ó t tứ t ì tt ệ ủ trì x2 + y + z = x2 y t ết r ột tụ tr ột t t tì ó t trị t trị ỏ t tr ó ứ r t ủ ề í ể ó tí ế t trị t ết r tụ t ợ ể tr ột ề trớ ột t t ì tế tồ t trị t ủ tí ó tr ọ ột ể tỳ ý tr ề ộ ó t hi, i 1, n từ ế ủ ó h1 + h2 + + hn = 2s s ệ tí ủ (1) a (b1, b2, , bn) ộ số t s tí ủ ó t ứ b1 = b2 = = bn t sử b1 b2 = c > c c ó t ét ộ s (b1 , b2 + , b3 , , bn ) ũ tỏ tí 2 sử r c c c c2 (b1 )(b2 + ) = b1b2 + (b1 b2) > b1b2 2 ề t ề sử tr b1 = b2 = = bn ể ó tí ế ủ t t ủ ó t tết ứ r t ủ ề í ể ó tổ ế ỉ ỏ t t t ột ú é í số t ó ộ tt ỉ ủ ó ó t ộ sử tồ t ú é í A A2 A n số t ó ỉ t ể ữ ộ ữ t ỏ t bi t ọ ì ế ủ é t AiAi+1 An+1 A1 trụ t ứ trụ i 1, n + 1, 2 ó t ó c = + bi 2 ế c tì é t (ai +bi )4 ó bi ọ i 1, n + ét é ị tự t A1 tỉ số tì ú ế t ọ ú é í ũ ó t t ể ộ ữ t ỏ ộ ữ t ủ ú ề t tết tr ế c2 tì a21 + b2i ũ số ai, bi ó ột số ột số ọ i 1, + n t t ó A1A2 + A2A3 + + +An1An + AnAn+1 = o ó rút r tứ s a1 + a2 + + an = b + b + + b n = tr số tứ tr ó số số rút r a1 + a2 + + an + b1 + b2 + + bn ột số ề t tứ tr tồ t ú t t t ứ r 10 ì 10 tể ợ t ữ ì ữ t ợ sử ó tể ỡ 10 ì 10 t ữ ì ữ t ợ r t t ẽ tr tr ỗ ì ữ t ó ổ ộ ó ì ữ t ó tổ tr ữ ì ữ t ột số tự tế ó tr t ợ t t t trò ợ r ể t ó ộ ỗ ó ứ r tì ợ ể ố ứ q t sử trò ợ tr tì ợ ể ố ứ q t ó ố ệ ủ ọ ộ ó ể ó ố ệ ó ột ó ộ ỏ ột tr số ó ộ ó ộ ố ệ ó tế trò ợ ế tr ột ó ộ ộ tì tr ò ó ộ ó ộ ổ số ó ộ tr rút r ì ó ộ ỉ ò ữ ó ộ tí ủ ộ ỗ tr số ét trù tí ủ số t ộ ủ ỗ ó (6k 3) = 3k t ữ tí ủ ó ể ố ứ q t ủ trò t Pố ợ í tụ tr t t ứ t tứ í ố t ó ộ ề tụ a1 + a2 + + an n a1a2 an n sử t trị ỏ t t (x1 , x2 , , xn ) S0 ứ t S= xi = xj ọ t sử x2 x1 = a > x1 ka a a số tự ủ ó t ét ộ s X = (x1 + , x2 , x3 , , xn ) ó k k a a a2 a2 (x1 + )(x2 , x3, , xn) = x1x2 + > x1x2 k k k k trị ủ t ộ ỏ S0 ề t t P trì s x2 + y + z + u2 + v = xyzuv 65 ó tồ t ệ t ứ r tồ t ệ trì x2 + y = 8z + t ứ r ệ trì s ó ệ x + xyzt = 1987 y + xyzt = 987 z + xyzt = 87 t + xyzt = t ứ r trì s ó ệ 6(6x2 + 3y + z 2) = 5t2 ữ í t ế t ứ ộ ữ í ề q ợ ợ ột t ợ ợ ể ột tổ t tử ù ột tí t ó tờ t ể ễ t ợ M ột t ợ ột é í r ộ số t ó rt ề í ụ ề t ợ ợ số tự t ợ t ột tử tộ t ợ A t í ệ x A P tử tộ t A t í ệ x / A í ệ t ợ A ữ tử t tí t . A{x : x t tí t í ệ t ợ rỗ ó tử ột t A ủ t ợ B ế ỗ tử ủ t ợ A ũ tử ủ t ợ B t í ệ A B ợ AB ế A B A B A A A ợ ủ t ợ A1, A2, , An t ợ ứ tt tử ủ A1 , A2 , , An A A A ủ t ợ A1, A2, , An t ợ ứ tt tử tộ tờ ữ t ợ s A1 , A2 , , An ệ ủ t ợ í ệ A B t ợ ữ tử ủ t A ứ tr t B ợ ế B A tì t A B ò ọ ù ủ B tr A ợ í ệ Bc P(A) t ợ tt t ợ ủ t ợ A trớ ữ t ợ A1 , A2 , , An í ệ í ệ A1 ì A2 ì ì An = {(a1, a2, , an) : Ai} A1, A2, , An r trờ ợ A1 = A2 = = An tì t ết An t A1 ì A2 ì ì An ợ ọ tí ề ủ t ợ trớ t ợ A, B ột q t tớ ỗ a A ột tử b B ợ ọ từ t ợ A t ợ B ợ í ệ f : A B tờ ó t ủ tử ủ í ệ : A B ợ ọ ế f (a1) = f (a2) a1 = a2 f : A B ợ ọ t ế ỗ tử b B tồ t t ột tử a A s f : A B ợ ọ s ế tờ t f trớ f : A B g : B C ột h : A C ợ ị t q t s ợ ọ tí ủ í ệ A ợ ọ ữ ế A = ó ột s A {1, 2, , n} ó A ó tử t í ệ N (A) = n ột t ợ í ộ í í ụ ụ ị í t ữ ó ù số ợ tử ế ỉ ế ó ột s f : A B ứ ị í sử t ó ó t ụ tì tồ t s f : A {1, 2, , n} g : B {1, 2, , n} k {1, 2, , n} ọ ak , bk t tứ tự t ủ tr s ét h : A B ị t q t s h(ak ) = bk õ r ột s h : A B t ữ tồ t bj B ủ t ứ tử sử tồ t ột s ủ t ổ ể ợ ứ í ộ A1, A2, , An t ợ ữ từ ột rờ ó t ó n N (A) = N (A1 A2 An) = N (Ai) i=1 ứ í tr t A = A1 A2 An tết t Ai, i 1, n ữ t ũ ữ ị ĩ ủ ợ ề t ợ tì ỗ tử ủ ề ữ tử ủ Ai ó tì n N (A) = N (A1 A2 An) N (Ai) i=1 Ai Aj = , f oralli, j 1, n s r N (A1 A2 An) = ni=1 N (Ai) ết ợ ệ q f :AB trớ t ữ ế tồ t ột s ỗ tử ủ ó ú t tr tì ứ ì ữ sử t ữ tử ủ B = {b1, b2, , bm} t Ai, i 1, m ù t ủ bi B ị ĩ ủ Ai Aj = A = m i=1 Ai í ộ tì m N (A) = i=1 N (Ai) t N (Ai) = k, i 1, m ó rút r ợ í trớ t ữ A1, A2, , An ó t ó N (A1 ì A2 ì ì An) = N (A1)N (A2) N (An) ứ ì t Ai ữ t ọ ú ki số tử ủ Ai õ r ết sử ết ú ế tứ ế trớ A1, A2, , An1 tr ó t ợ Ai ó ki tử tì số tử ủ t ợ A1 ì A2 ì ì An1 k1 k2 kn1 ét t ợ A1, A2, , An tr ó Ai ó ki tử sử An = {a1, a2, , akn ỗ i kn t t t ợ Si = {(x1, x2, , xn1, ai) : xj Aj } A1 ì A2 ì ì An = S1 S2 Skn ữ Si Sj = i, j ét ọ s fi : Si A1 ì A2 ì ì An1 ị fi(x1, x2, , xn1, ai) = (x1, x2, , xn1) ỗ i 1, kn õ r fi s ọ ó t ị í tì N (A1 ì A2 ì ì An1) = N (Si) i 1, kn N (Si) = k1k2 kn1i t t í ộ tì kn N (A1ìA2ì .ìAn) = N (S1S2 .Skn ) = N (Si) = k1k2 kn i=1 ị ú ế í ợ ứ ệ q trớ t ợ ữ tì t ó N (An) = N (A)n ột số í ụ í ụ ột ợt t ổ số é P ữ tr ữ s ữ số tr ệ t ỏ ó tt ợ t P ữ ó tể ọ ữ ố t í ó 263 ọ ữ P số ũ ó tể ọ ữ số ố ó tt 104 ọ số t í tì ó 263.104 ọ ữ số ó 26 10 é ợ t í ụ t ợt ó tử tí số từ é ì t ợ ữ t ó tể t A = {a1, a2, , am} ữ t ợ ữ số ũ ữ t t g : S B m ị tứ g(f ) = (f (a1 ), f (a2 ), , f (am )) t ột s t ế tì (f (a1 ), f (a2 ), , f (am )) = (f (a1), f (a2), , f (am)) r f (ai) = f (ai) f oralli t ó f f ò ứ t m (b1 , b2 , , bm ) B t t ứ f : A B f (ai ) = bi ó ột từ ế ó g(f ) = (b1 , b2 , , bm ) ó tt từ ế ó t ét s t ó s ị í tì t ó N (S) = N (B m) t ệ q ủ í tì N (B m) = N (B)m = nm số từ ế nm í ụ Sn số ề t ột s s ó tr số ú q t r tr t ứ r Sn = + n(n + 1)