giaibt toana1 dhnl 7841

ĐẠI HỌC NÔNG LÂM KHOA KHOA HỌC -   - GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A1 death happiness Life   time time birth BIÊN SOẠN: BBT ĐỀ THI NÔNG LÂM - LƯU HÀNH NỘI BỘ 2015 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Câu Tính giới hạn sau a) lim x  b) c) n 1  n 4.4 n  n 4.4 n  n    lim lim 2 n  n 1 lim 3n 3n x  x  x  n n   3 n           n   lim 4n  3n  x  1   n   3.4  n             4  3n  1   n   3.4   2n  n  n   2n  n4  n2 1      lim lim lim n 1 n 1 x   n  x   x n    1  1  n 3 n    n   n n  1 n  lim   lim    lim n      n n  2  1 x  x  n1   x n1    n  n lim n3 x  n    n3    A B  Ta có: A B A B g : , Áp dụng vào ta có: lim x  n3 n     n   lim n  x      2   lim   x   3 1 n 1  n 1      n n     1    n    n   2    n 1  n  1 n  d ) lim   lim   lim    x   2n  n   x   n     x   n n    Có thể giải tiêu chuẩn (Định lý Weierstrass) n e) lim x  n  1sin n   n2   g :  , Áp dụng Quy tắc L’Hospital ta có:  n  1sin n  L n  1sin n    sin n   2n cos n n  1 lim lim 2n n2  x  x  n  2 Giới hạn cho có dạng: lim x   L  lim x          2n cos n  cos n n  1  4n sin n 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 lim  1   lim  n n 1 g : n f ) x  g ) x   Do lim    n lim  a   n Vì x  x   Cách 1: Mượn bàn tay “LỐC” Đặt A  lim x      n   lim n  1 n n x  Lấy Lô-ga Nepe vế ta có:   1   ln n  1 ln( A)  ln lim n  1 n  lim  ln n  1  lim    n  x   x  x  n  ln n  1 n  1  0, xlim  lim  lim n  1 n  x  x  Vậy ln( A)   A  Cách 2: Với giá trị: n  ta có: n n  n n   n 2n Mà     L    lim  n   n x  Trang 20 Giáo Trình Toán CC A1 ĐHNL Mặc khác ta có: lim    .lim  n   lim  n  1  2n  lim n Mà x  x  n lim    1;Và   Do  n x  n x   lim  n   1 n x  n Vậy ta có Mà x  1 1  1 lim 1.3  3.5  5.7   2n  1)2n  1  h) x   1 1 g  lim 1.3  3.5  5.7   2n  1)2n  1  lim x  : 1                   n  2n        x  lim x  i) 1       2n   lim n    n3  x   g : A3  B , Ta có: A  AB  B   n3   n3    lim    3 3 x   n  n  n   n   Ta có Công thức liên hợp (hiệp): A  B  lim n  x   n3   ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK  - Trang | - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1    1 x   n  n2  n2  n     1      lim 2 x   n  n  n  n  lim  j )    g :  Với n  , Ta có: n n2  n Mà lim x    n n2  n n2 1 1  n2    n2  n Cho nên: n2 1  lim x  n2 1 1 nên   1      1 lim x   n  n2  n2  n  Câu Tính giới hạn sau a) 3n 0 n! lim x   g : Do: n! Là Vô lớn (VCL) Bậc cao so với n n   b) n3 0 3n lim x   g : Cách 1: Do: n Là Vô lớn (VCL) Bậc cao so với n n    Cách 2: Giới hạn cho có dạng , Dùng quy tắc L’Hospital ta có:   L' n L' 3n L ' 6n 6     lim n  lim lim lim lim n n n  x  x  1.3 ln 3 x  1.3 ln 3 ln 3 x  1.3 ln 3 ln 3 x  ln 3 3n     c) lim x      2n 0 n!  g : Do: n! Là Vô lớn (VCL) Bậc cao so với n n   Câu 11 Tính giới hạn sau 11 a) lim x 2 x2 1 22    1 x  x   2.2  3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 Do vào dạng vô định 11 b) x2  x2  1   lim  lim 2 x  x  x x  x  x x   lim x     g : g cách 1: (Dùng ’Hosp tal)   x  L' x  2 2x 1  lim  lim  lim   x  x  x x  x  2 x x  x x 2 x  g cách 2: (Phân tích thừa số khử) lim x  Ta thấy x  nghiệm tử mẫu, ta có: lim x x2  x2  1   lim  lim 2 x  x  x x  x  x x   Do có dạng vô đinh    nên phải tiến hành biến đổi hết dạng ta giá trị vào   x6 2 x3  11 c)  lim x 2   g x 2 : cách 1: lim g x6 2 x2  lim x 8 x 2  x   x  x   x      lim x    23 x   4    144  x   x   23 x   4    g cách 2: (Dùng ’Hosp tal) x6 2 0 có dạng vô định   dùng ’Hosp tal Nhận thấy lim x 8 0 x  2  3 3.3 x  6 x   L x6 2 / 12     lim lim lim  12 144 x 8 3x x  2 x  2 x 2 x  8 x 2   Với      1/  / 31  x   x  6  x  6 x  6   1 Công thức tổng quát: u    u  u    11 d ) lim x 0  3x  16  x  0    L  0  ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 8  3x 2 1 / 3  3x 1 / 31  8  3x 2 /  lim lim lim / 1 3 / x  0 1 / 16  x  x  0 5 / 16  x  x  0 5 / 4 16  x 3 4 16  x  4 16  lim  lim  x 0 8  x  x 0 82  Câu 12 Tính giới hạn sau sin ax  sin bx , a  b  tan x x 0  g cách 1: (Dùng ’Hosp tal) L cos ax .a  cos bx .b  a  b sin ax  sin bx  lim lim tan x x 0 x 0 cos x  g cách 2a: dùng tương đương  ax  bx   ax  bx  cos  sin   sin ax  sin bx      lim lim tan x tan x x 0 x 0 12 a) lim Do lim tan x ~ x x 0 lim x 0  ax  bx  ax  bx ~  lim sin x 0  Trở thành   ax  bx   ax  bx   ax  bx   ax  bx   ax  bx  cos 2. xa  b  cos  sin    cos             lim lim tan x x x x 0 x 0  ax  bx   ax  bx   lim a  b  cos   a  b Vì lim cos  1     x 0 x 0  g cách 2b: dùng tương đương Ta có : sin u ~ u u  ; tan x ~ x x  , Vậy giới hạn cho trở thành lim x 0 12 b) sin ax  sin bx ~  ax  bx  lim  lim a  b   a  b tan x x x 0 x 0 lim x 0 tan x  sin x tan x1  cos x   lim  lim x x3 x 0 x 0 Do tan x ~ x 12 c) 1  cos x  ~  x  lim 1  x  tan  x2 1 x x x2  x 1  g cách 1: Đặt ẩn phụ Đặt t  x  Khi x  t  Khi  trở thành ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1     cos t               t   tan t  1  lim  t    cot  t   lim t  cot  t   lim t      lim        t 0 t 0 t 0 t 0      sin  t        Do sin t  ~ t 2  Khi t               cos t    cos t    cos t   cos 0          lim t   lim t   lim              t   t 0 t 0 t 0  t  sin  t             Vậy  x  lim 1  x  tan    x 1  cách 2: (Biến đổ + Dùng ’Hosp tal) 1  x  tan x  0. VĐ  lim  2 x 1 0. VĐ   lim 1  x   x  x 1 cot    2  g lim 1  x  0  0 x 1  x  cot    2 1 L  lim x 1   VĐ  L' Hospital     x    sin  2    cos x cos x cos 3x 12 d ) lim  lim x2 x 0 x 0 1 cos x  cos 3x  cos 3x x2 1 1 1  cos x   1  cos x   1  cos x   cos x  cos x  1  cos x  4 4  lim  lim 2 x x x 0 x 0  2  7 Câu 13 Tính giới hạn sau x 3  x 1  13 a) lim   x   x    g : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 Cách 1: Mượn bàn tay “LỐC”  x 1  Đặt A  lim   x   x   x 3 1   Lấy Lô-ga Nepe vế ta có: x 3     x 1   x   ln( A)  ln lim     lim 2 x  3 ln   x    x  x    x  Đặt t  ; Khi x  , t  x Vậy ta có giới hạn cho tương đương với   1    t           x   2  t   3t   t       ln 2 x  3 ln  x    lim  t   ln  lim t    2t   lim    x   t 0  t 0         t   t    3t    t    3t    t   3t   t    lim    1  lim   1  ln    lim   ln   t    2t  t    2t t   2t   t 0  t 0  t 0    3t  3t  6t  9t 0   lim   L' Hospital     lim  t   2t  0  t 0  t 0 t  2t L'  18t  lim 6 t 0  4t Vậy ln( A)   A  e Cách 2: Giải nhanh từ Công thức suy cách sau: lim f x   e x lim   x  f  x 1 x a x a  eA Vậy áp dụng CT ta có:  x 1    lim x  x   x 3 e     x 1  2 x 3 1   lim  x 2   x  e     x 9    x 2    lim x    e6 x  x2  x 1  13 b) lim  x   x    g : Áp dụng công thức ta có: x  x  x 1    e lim x  x       x  x 1   1   x 1   lim x x   ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK e     x2     lim    x   x 1   e - Trang | - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 13 c) lim cos x  1/ x2 x 0  g : Áp dụng công thức câu ta có: 1/ x   cos x lim e     cos x1 lim x 0 x     e lim x 0 12 sin x 2  x 1    e    lim x 0 2 sin2 x   x2  x0 e 13 d )  2   lim x 0 lim x 0 sin2 x   x   e 2 Do Khi x  sin x ~ x ln cos x  ln 1  cos x  1 cos x   x2 1     lim  lim lim lim 2 2 2 x x x x 0 x 0 x 0 x x 0 Do Khi x  ln 1  cos x  1 ~ cos x  1;Và cos x  ~ e ax  e bx , a, b  lim x x 0  g : a  b 13 e) e e ax ebx lim  lim x x 0  x2  1  e bx    x x  ax x 0 Ta có:  e ax  1  e ax    a  a    lim x  lim x 0  x 0  ax  Vậy lim x 0 e ax  e bx  a b x 1/ x   sin x  cos x e lim f ) 1  e bx  1  e bx   b  b    lim x  lim x 0  x 0  bx      sin xcos x1 lim  x 0 x e     sin x cos x 1     x x    lim x 0  x0 Mà ta có:  sin x    x   lim x 0  Vậy Và  cos x 1   x   lim x 0  lim x 0    sin2 x     x    Do  x2      lim x 0    sin2 x   1 Và  x2       x   lim x 0 1/ x   sin x  cos x e lim x0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 sin x  sin x  x sin x 13 g ) lim   x  x 0   g : sin x Xét lim  lim x 0 x  sin x x 0 x 1 sin x x 1  sin x  , Do Giới hạn cho có dạng vô định: 1 , Ta có:  sin x    lim x0  x  sin x xsin x e  sin x  x 1  x  xsin x  lim x 0  e  sin x x  x  x  xsin x  lim x 0   e 1  e Câu 14 Tính giới hạn sau 14 a) x  2x  lim x 1  g x2 1 cách 1: Xét dấu Ta thực xét dấu để “Phá dấu trị tuyệt đối” X -3 x2 +2x - + - + Nhận xét: 1- giá trị hàm số “âm” nên ta có: lim x  2x  x 1  x 1   lim  x 1    x  2x   x  1x  3  x  3  lim  lim  2 x  1x  1 x1 x  1 x 1 x 1 g cách 2: Biến đổi x  2x  x  1x  3 x  1 x  3  lim  lim x  1x  1 x 1 x 1  x  1 x  1 x 1 lim x 1 Do x  1 nên x  1 âm  lim x 1 14 b)  x  1 x  3 x  1x  1  lim x 1  x  3 x  1x  1  4  2  lim arctan x  x  Dựa vào đồ thị hàm arctanx ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 14 c)   tan x   4  4x   lim  x   g cách 1: Dùng định lý kẹp  Chú ý: x   Có nghĩa x   x   Cho nên x   x   0     Vậy ta có: tan x    tan x   Khi giới hạn cho trở thành: 4 4         tan x   tan x   tan x   4 4 4    lim  ; Do  1 lim   4x     x x x x 4 4  g cách 2: (Dùng ’Hosp tal)   tan x   4  0  VĐ  L' Hospital   lim 4x   0   x  g  t  x x  ~   lim x     x t 4t ~   lim x t 0  ( ngầm hiểu: x    tan x   tan t 4   lim 4x   4t  lim  x cách 3: (Đặt ẩn phụ + tương đương)  x   ) 0   VĐ    Do t 4t  t  0  4 Câu 15 Tính giới hạn sau 15 a) lim x 0   x 1 x g cách 1: x 1 lim x x 0  x ln 3 L  lim x 0   g 0   ,VĐ  0  x cách 2:  lim x 0  x 1 ln 3  ln 3   ln 3      2 x ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 10 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 lim 1 x x x 0   lim x 0  Công thức: lim  0 e3 x 1 x  e x ln 3  ln 3      lim    x ln 3 x  x 0   Do e x ln 3  1 x ln 3  1, ln 3 x   e 1  ,   x ln 3  x  cos x x o   ,VĐ  L' Hospital  0  x 0  g : Bài có cách gi sau:  g cách 1: Sử dụng ’Hosp tal L x ln  sin x   ln  g cách 2: Dùng tương đương 2 x  1  1  cos x x  cos x x  cos x     lim lim lim x x x x 0 x 0 x 0 x x ln  ~  x    lim  ln    ln lim x 2 x 0 x 0  15 b) lim Chú ý công thức: 15 c) lim x 0 ax -1 ~ x.lna ;  x arcsin   1 x ln 1  x   sau: Bài có cách gi      – cosax ~ ax 2 0   ,VĐ    g : g  lim x 0  cách 2: Dùng tương đương  x  x  arcsin    1 x2   x  ~    lim lim   x  ln 1   x  x 0 x 0  1 x2 g L  lim x 0    1   cách 3: Sử dụng ’Hosp tal  x  x  1  x  1 x2   2 1 x 1 x2  1 x2 1 x2  lim   1 x 0  1 x 1 x     1  x   x  x  lim  2 x 0   1 x 1 x chọn phương pháp phù hợp      1 x2  x   2    x  x  lim  x 0   1 x              1 Cách lâu dễ sai xót Vậy nên tùy toán mà ta nên lựa  ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 11 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 15 d ) lim x 0  g  g lim x 0 15 e) cách 1: Dùng ’Hosp tal “Dà ” nên hạn chế gi i cách 2: Dùng tương đương ~  arctan x x2 x2 x2  lim  lim  1 lim 2  x x 0  x  x 0 x x 0 x arcsin   sin x  .2 x 2 2 lim sin x 0  0   ,VĐ    arctan x  x arcsin   sin x 2  cos x x  x tan 3x 0   ,VĐ  0  g cách 1: Dùng tương đương 2 x 2 2x 2x 2   lim  2 x  x.3x lim x 0 x  x x 0 x ~   lim x 0  g cách 2: Sử dụng ’Hosp tal (Cách lâu ) 1 x 0   ,VĐ  L' Hospital  lg x   x 1 L 1  lim   ln 10 x 1 x ln 10  Chú ý công thức: log a x   x ln a 15 f ) lim 15 g ) lim x  Đặt arcsin 2 x  1 4x  0   ,VĐ  0  g : Đặt ẩn phụ + Dùng tương đương t  x   Khi x  / 2, t  ; x   2 x    2 x  12 x  1  2 x   12 x  1  t  1.t Vậy ta có: arcsin 2 x  1 arcsin t  ~  t   lim  lim 1 lim1 x  lim t  1.t t 0 t  1.t t 0 t  1 t 0 x 2   1 x 1 1   lim ln  x  ln  x lim  ln 1  x   ln 1  x  1 x x 2  x 0 x 0 x x 0 ln 1  x   ln 1  x  x   x  2x 1 xlim  lim  lim 2x 2x 2x 0 x 0 x 0 15 h) lim x ln ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 12 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 1 lim sin x  cos x  2 x 15 j )  x 0  g VĐ  : 1 Đặt A  lim sin x  cos x  2 x   x 0 VĐ  Lấy Lô-ga Nepe vế ta có:   1   ln sin x  cos x  2 ln( A)  ln lim sin x  cos x  2 x  lim  ln sin x  cos x  2 lim   x  x0   x0  x  x 0    L  0  Đến có cách g i: Cách 1: Dùng Quy tắc L’Hospital (Sẽ lâu)  cos x  sin x  L'     ln sin x  cos x  cos x  sin x cos x    sin x    lim  sin x  cos x   lim xlim  lim   x  x 0  0  x0 sin x  cos x  x0 sin x  1  cos x     x  1 x 1 xlim x2 0 x 1 Vậy ln( A)   A  e Cách 2: Dùng tương đương ln sin x  cos x  2 sin x  cos x   lim  lim x x x 0 x 0 lim x 0 x2 x x   1    lim x 2 x 0  Vậy ln( A)   A  e lim x  e  x x 15 k ) x    VĐ  g a Các kiến thức cần nhớ Nhớ e      1 0   Dạng đặc trưng : v x  limux  lũy thừa số hàm : b Trình tự cách gi i: v x  * B1: Đặt A  limux  , Tìm A  * B2: Lấy Loga Nepe vế (Nhớ câu “thần chú”: “lốc lim = lim lốc” )  ln A  ln limux v  x   lim lnux v  x   lim vx  lnux    b ( Chú ý dấu “….” Tức biến đổi thời gian để đưa “=b” ) Vậy ln A  b  A  e b ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 13 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 c Áp dụng gi i tập k) : * Đặt A  lim x  e x x , Tìm A x  * Lấy lô-ga Nepe vế:   x  ln A  ln lim x  e x x    0. ln x  e x x  x ln x  e x   lim VĐ x  x   x  e x  x L x  e   lim  lim x  x   lim   ex   lim VĐ x  x   e x L e  lim x  x   e * Vậy ln A   A  e1  e  1 VĐ lim  cot x  x    L' Hospital   1 ex x  ex    L' Hospital     VĐ     L' Hospital    L 15 z *) VĐ     x 0  g Mẹo gặp dạng vô định “    ” thường “QUY ĐỒNG” sau dung “ ’Hosp tal”  1  cos x 1  x cos x  sin x   x sin x  lim  cot x  x   lim  sin x  x   lim  x 0 L  lim x 0 x 0  x cos x  sin x  x sin x  x 0  lim 1 cos x  x sin x   cos x  x 0 sin x  x cos x  VĐ   x sin x lim sin x  x cos x x 0   L' Hospital   0  VĐ  0  Tới có cách để giải: Dùng L’hospital, Hoặc tương đương (VCB tương đương), Để đa dạng phương pháp dung cách tương đương ~   x.x x  lim  lim  0 11 x 0 x  x cos x x 0  cos x Câu 16 Xét liên tục hàm số sau điểm x0=0  sin x Khi x   16a) f x    x   Khi x   g 1: Hàm số lien tục điểm x0=0 lim f x  f 0 , Mà lim f x  không tồn tại, thật vậy: x 0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK x 0 - Trang | 14 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 sin x    f x  1 lim     lim x x 0 f  x    x 0 sin x lim f x   lim  1  x 0   x   x 0  Do f(x) không tồn tại x0 =  g 2: ưu ý: Nếu đề cho (x ≠ 0, x = :Thì dùng định nghĩa ), ( Nếu cho x ≥ … , x ≤ … :Thì dùng trái phải )  g chi tiết: Kiểm tra: i) Hàm số f(x) xác định x0 f(0) = 1,  Xác định sin x 0  ii xét lim f x   lim VĐ,  x 0  x 0 x 0 Ta _ thay    f x  f (0) lim   x 0     x 0  Ta _ thay    f x  f (0) lim x 0    x0  Nhận thấy: Hàm số liên tục phải x = mà không liên tục trái Kết luận: Hàm số không liên tục x0 = 1  cos x    Khi x    ;  \ 0   2 16b) f x    sin x  Khi x    g : Hàm số liên tục điểm x0=0 lim f x   f 0 , Mà ta có: x 0 1 lim x 0 cos x x2  cos x 1/  lim   2 sin x x 0 sin x  cos x x f x      cos x  f 0  sin x x 0 x 0 Vậy hàm số f(x) liên tục x0=0  g 2:  g chi tiết: Kiểm tra: i) Hàm số f(x) xác định x0 = f(0)= 1/4 ,  Xác định lim f x   lim ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 15 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1  cos x sin x 0  VĐ  , Giới hạn có cách giải: L’Hospital liên 0  x 0 x 0 hợp, Cách giải sau sử dụng lien hợp sau tương đương ii) xét lim f x   lim lim f x   lim x 0 x 0 ~   lim x 0 ta _ thay   cos x sin x Liên _ hop   cos x lim sin x.1  x 0 cos x  x2 1  lim   2.1  1 x  cos x x 0  cos x     f 0  Thỏa i) ii) nên hàm số lien tục x0 = Câu 17 Tìm giá trị a (và b, có) để hàm số sau liên tục lien tục x0  tan x  Khi x  17a) f x    x  ,   Khi x  Hàm số f(x) liên tục x0=0, Nếu x 0 lim f x  lim a  x  a x 0  + x0  lim f x  f 0 1 Ta có f x   a + tai x 0   lim f x  lim arctan x   x x 0  x 0   a  lim f x   lim f x   x 0  Vậy a    x 0   hàm số liên tục x0=0  1 arctan  Khi x  , tai x0  17b) f x     x  ax Khi x    g : Kiểm tra: i) Hàm f(x) xác định x0=0 f(0) = a.0 = 0,  Xác định ii) Điều kiện để hàm số lien tục x0=0  liên tục phải, liên tục trái x0=0   lim f x   lim f x   f 0 x 0  x 0  Ta có:  lim f x  lim a.x  a.0  x 0   x 0  x  1 lim f x   lim arctan x   arctan   x 0  Từ (*)   x 0   0  hay  x0  x   hay x0  (Vô lý) ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 16 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1   0   (Vô lý)  giá trị a để hàm số f(x) liên tục x0=0    Khi x 1 a  Khi   x  Tại x  x1  17c) f x   arccos x  xb Khi x 1   g :  x  cos y  y  arccos x     0  y    Trước hết hàm số ph xác định x0 = -1 x1 =  f  1  a xác định  f 1  xác định * Hàm f liên tục x  1 vừa phải liên tục phải lien tục trái x  1 Ta có : f x   f  1  a Giới hạn : f x   f  1 lim f x  lim   x  1 Mà : (I)  arccos x  arccos  1   lim f x  lim   x  1 Và : x  1 x  1  a  a Thế vào ( I ) lim f x  lim   x  1 x  1  Vậy để hàm liên tục x  1 a =  * Tương tự hám số liên tục x  Ta có : f x1   f 1  Và : lim f x  lim x  b   b x 1 x 1 Vậy để hàm liên tục x  b =  Vậy để hàm số liên tục a =  b =  Câu 18 Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số sau: x 1 18 a) y  x x2 1    g x 1 x 1 y   x x  xx  1x  1 xx  1   * Tại x0 = 0: Kh lim f x   lim xx  1   x 0 x 0  x0  gọi điểm gián đoạn vô cực: * Tại x0 = -1: Kh lim f x   lim xx  1   x 1 x 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 17 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 Vậy đ ểm g án đoạn loại  sin x  Khi x  18 b) f x    x   Khi x   g * Tại x0 = 0: Kh lim f x   lim x 0 x 0 sin x 1 x  x0  gọi điểm gián đoạn bỏ được: *Tại x  : Kh hàm sinx, x liên tục x0, 18 c) y  sin x lien tục x0 x x 1 x2 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 18 - Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến Toán Cao Cấp A1 Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM BIẾN Câu 2.1 Tính f’(1), f’(2), f’(3) hàm số f(x) = (x – 1)3(x – 2)2(x – 3) f x   f x0  f x   lim x  x0 x  x0 Gọi x  x  x0  x  x0  x  f x0  x   f x0  x0  x  1 x  2 x  3  x0  x  x0 x  x0 lim x  x0 f 1  lim x  13 x  22 x  3  f 2  lim x  1 x  2 x  3  f 3  lim x  1 x  2 x  3  x 1 x 1 3 lim x  1 x  2 x  3  2 x 1 x2 x 2 lim x  1 x  2x  3  x 2 x2 Câu 2.2 Tính đạo hàm x 3 lim x  1 x  2 8 x 3 a) y  2  x   x 2  x  g : Mượn bàn tay Lô-ga ta có:   ln y  ln 2  x   x 2  x  ln 2  x   ln  x  ln  x 1 = ln 2  x   ln 2  x   ln 2  x  2 Lấy đạo hàm vế theo biến x ta có: y 1 2x 3x x x2       y 2  x  2  x 2  x 2  x   x 2  x   x x2  x x2  2  x   x 2  x y     y     3 3 2 x  2 x   2  x   x  2  x   x 1 1 1   x 1  x 2  x 3  y     b) y   x x x x x 33 x  c) y  sin x cos tan x  sin x cos tan x  cos x cos x tan x        sin x tan x  tan x  cos x.cos   cos x. sin x  tan x  cos x.3 tan x 2     cos x cos x tan x cos x x tan x   d) y  x  x x  x     * Ta có: y1  x  y1  x   , y  x  y 2  x * y3  x x  , Ta lấy Loga-Nepe vế ta có  g :  x ln a   ln y3  ln x x  x ln x Lấy đạo hàm vế ta có: y3     x ln x   x  ln x  ln x  x  x ln x  y3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 19 -