1 THÔNG TIN VỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên : Trần Thế Anh Giới tính : Nam Ngày sinh : 12-06-1989 Nơi sinh : Hà Nội Quyết định công nhận học viên số , ngày tháng năm Các thay đổi trình đào tạo : không Tên đề tài luận văn " Một số bất đẳng thức phi tuyến với thời gian rời rạc " Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60460113 10 Cán hướng dẫn khoa học : GS TS Nguyễn Hữu Dư - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội 11 Tóm tắt kết luận văn Luận văn " Một số bất đẳng thức phi tuyến với thời gian rời rạc " trình bày số khái niệm bản, định lý bất đẳng thức sai phân biến nhiều biến Luận văn trình bày hai chương Chương : Bất đẳng thức sai phân biến Chúng ta biết bất đẳng thức cung cấp cho ta nguyên lý so sánh tổng quát việc nghiên cứu tính chất định tính định lượng nghiệm phương trình liên quan Bất đẳng thức tiếng Gronwall ví dụ cho toán tử không đổi nghiệm xác phương trình w = p + κw cung cấp cận số tất nghiệm bất phương trình u ≤ p + κu Chúng ta bắt đầu chương với bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức phi tuyến, sai phân, hệ hữu hạn bất đẳng thức, cuối bất đẳng thức Opial Wirtinger a Bất đẳng thức Gronwall Định lý : Với k ∈ N(a), giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn k−1 u(k) ≤ p(k) + q(k) f (l)u(l) (1) l=a Khi đó, với k ∈ N(a) ta có k−1 u(k) ≤ p(k) + q(k) p(l)f (l) l=a b Bất đẳng thức phi tuyến k−1 (1 + q(τ )f (τ )) τ =l+1 (2) Định lý : Với k ∈ N(a), giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn r u(k) ≤ p(k) = q + Hi (k, u) , i=1 li−1 −1 k−1 Hi (k, u) = fi1 (l1 )u αi1 fii (li )uαii (li ) (l1 ) · · · l1 =a li =a aij , ≤ j ≤ i, ≤ i ≤ r số không âm số q > Khi đó, với k ∈ N(a) ta có k−1 u(k) ≤ qp(k) (1 + ∆Q(l)) α = (3) l=a 1/1−α u(k) ≤ p(k) q 1−α + (1 − α)Q(k) α = (4) r Q(k) = Hi (k, p)q αi −α i=1 α > 1, ta giả thiết q 1−α + (1 − α)Q(k) > với k ∈ N(a) c Bất đẳng thức sai phân Định lý : Với k ∈ N(a), giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn n k−1 ∆n u(k) ≤ p(k) + q(k) qi (l)∆i u(l) (5) i=0 l=a Khi đó, với k ∈ N(a) ta có k−1 k−1 n ∆ u(k) ≤ p(k) + q(k) (1 + φ2 (τ )), φ1 (l) l=a (6) τ =l+1 n−1 i n−1 (k − a)(i−j) ∆ u(a)qi (k) + qn−i−1 (k) (i − j)! i=0 j=0 k−i−1 i φ1 (k) = p(k)qn (k)+ i=0 l=a (k − l − 1)(i) p(l) i! (7) n−1 φ2 (k) = q(k)qn (k) + k−i−1 qn−i−1 (k) i=0 l=a (k − l − 1)(i) q(l) i! (8) d Hệ hữu hạn bất đẳng thức Giới hạn i phạm vi số tự nhiên 1, · · ·, n r số nguyên dương cố định cho ≤ r ≤ n Giới hạn p q phạm vi số tự nhiên tương ứng · · · r r + · · · n Định nghĩa Hàm f (k, u) gọi có tính đơn điệu hỗn hợp • fp (k, u) không giảm u1 , · · ·ur không tăng ur+1 , · · ·un với k cố định thuộc N (a) 3 • fq (k, u) không tăng u1 , · · ·ur không giảm ur+1 , · · ·un Đặc biệt, f (k, u) gọi có tính không giảm fi (k, u) không giảm u1 , · · · , un với k cố định thuộc N(a) Định nghĩa Hàm v(k) xác định N(a) gọi hàm r (n − r) hệ u(k +1) = f (k, u(k)) vp (k +1) ≤ fp (k, v(k)) vq (k +1) ≥ fq (k, v(k)) với k ∈ N(a) Nếu v(k) thỏa mãn bất đẳng thức ngược lại gọi hàm r (n − r) Định lý : Giả sử hàm f (k, u) có tính đơn điệu hỗn hợp Hơn nữa, giả sử tồn hai hàm v(k) w(k) xác định N(a) cho cho vp (k + 1) ≤ fp (k, v(k)), vq (k + 1) ≥ fq (k, v(k)) wp (k + 1) ≥ fp (k, w(k)), wq (k + 1) ≤ fq (k, w(k)) vp (a) ≤ wq (a), vq (a) ≥ wq (a) (9) Khi đó, với k ∈ N(a) ta có vp (k) ≤ wp (k), vq (k) ≥ wq (k) (10) e Bất đẳng thức Opial Định lý : Giả sử u(k) không giảm với k ∈ N(a) u(a) = Khi (a) Nếu p > 0, q > 0, p + q ≥ p < 0, q < k−1 k−1 q p (∆u(l))p+q , (∆u(l)) u (l + 1) ≤ H(k − a) l=a (11) l=a H(0) = q(p + q)−1 với k ∈ N(a + 1) p(k − a)p−1 q(k − a + 1)p , H(k − a) = max H(k − a − 1) + (p + q) (p + q) (b) Nếu p > 0, q < 0, p + q ≤ 1, p + q = p < 0, q > 0, p + q ≥ k−1 k−1 (∆u(l))q up (l + 1) ≥ h(k − a) l=a (∆u(l))p+q , (12) l=a h(0) = q(p + q)−1 , với k ∈ N(a) p(k − a)p−1 q(k − a + 1)p , h(k − a) = h(k − a − 1) + (p + q) (p + q) (c) Nếu p ≥ 1, q ≥ bất đẳng thức (9) thay H(k − a) q(k − a + 1)p (p + q)−1 (d) Nếu p ≤ 0, q < bất đẳng thức (9) thay H(k − a) J(k − a), J(0) = q(p + q)−1 , với k ∈ N(a + 1) J(k − a) = + p(p + q)−1 k (l − a)p−1 l=a+2 (e) Nếu p ≥ 0, p + q < bất đẳng thức (10) thay h(k − a) J(k − a) 4 f Bất đẳng thức Wirtinger Định lý : Giả sử θi ∈ (0, l), pi > 0, i = 1, ···, n, Pn = ni=1 pi , σ = (1/Pn ) ni=1 pi θi Giả sử f (θ) hàm dương C (2) (0, l) cho f (θ)f (θ) = (0, l) [f (θ)]2 − f (θ)f (θ) = µ, < θ < (13) µ số (a) Nếu f (θ) < (0, l) n n − cn pi f (θi ) i=1 n pi f (θi )f (θi ) ≥ Pn f (σ) − i=1 pi f (θi ) , (14) , (15) i=1 (b) Nếu f (θ) > (0, l) n pi f (θi ) i=1 n − cn n pi f (θi )f (θi ) ≤ Pn f (σ) − i=1 pi f (θi ) i=1 cn = Pn f (σ)/f (σ) Trong bất đẳng thức (12) (13) dấu đẳng thức xảy θi = · · · = θn = σ Chương : Bất đẳng thức sai phân nhiều biến độc lập Các bất đẳng thức chương mở rộng cho hàm m biến độc lập Các bất đẳng thức sử dụng công cụ việc nghiên cứu phương trình sai phân phần Chúng ta bắt đầu chương với khái niệm hàm Riemann rời rạc sử dụng hàm để nghiên cứu bất đẳng thức tuyến tính Gronwall Wendroff Tiếp theo bất đẳng thức phi tuyến bất đẳng thức sai phân bậc cao với hai biến độc lập Sau đó, chuyển qua xem xét không gian tuyến tính nhiều chiều với bất đẳng thức tuyến tính phi tuyến không gian Cuối cùng, mở rộng bất đẳng thức Opial Wirtinger với hai biến độc lập a Hàm Riemann rời rạc Cho N = {0, 1, ·} tập số tự nhiên bao gồm số 0, N × · · · × N (m lần) kí hiệu Nm Một điểm (x1 , · · ·, xm ) Nm kí hiệu x, xi kí hiệu thay cho (x1 , ···, xi−1 , xi+1 , ···, xm ) (xi , •) thay cho (x1 , ···, xi−1 , •, xi+1 , ···, xm ) Với s, x ∈ Nm , ≤ s ≤ x tức ≤ si ≤ xi , ≤ i ≤ m Với hàm u(x) cho trước N m , ta định nghĩa sai phân cấp biến xi ∆xi u(x) = u(xi , xi +1)−u(k), sai phân cấp biến xi , xj ∆xi ∆xj u(x) = ∆xi u(xj , xj + 1) − ∆xi u(x) = u(x1 , · · ·, xi−1 , xi + 1, xi+1 , · · ·, xj−1 , xj + 1, xj+1 , · · ·, xm ) − u(xi , xi + 1) − u(xj , xj + 1) + u(x) Sai phân cấp cao định nghĩa tương tự Ngoài ra, kí hiệu x1 −1 xm −1 m Sx−1 l=s u(l) thay cho tổng cấp m l1 =s1 · · · lm =sm u(l1 , · · ·, lm ) ∆x u(x) kí hiệu cho ∆x1 · · · ∆xm u(x1 , · · ·, xm ) b Bất đẳng thức tuyến tính Trong phần ta giả sử hàm xuất bất đẳng thức hàm thực, không âm xác định Nm Định lý : Với x ∈ Nm , giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn u(x) ≤ p(x) + q(x)Sx−1 s=0 f (s)u(s) (16) Khi đó, với x ∈ Nm ta có u(s) ≤ p(x) + q(x)Sx−1 s=0 f (s)p(s)V (s + 1; x), (17) V (s; x) nghiệm toán (−1)m ∆m s V (s; x) = f (s)q(s)V (s + 1; x), s ≤ x − V (si , xi ; x) = 1, ≤ i ≤ m c Bất đẳng thức Wendroff Giả sử W (s; x) hàm xác định với s ≤ x − 1, (s; x) ∈ Nm × Nm (−1)m ∆m s W (s; x) ≥ f (s)q(s)W (s + 1; x), s ≤ x − W (si , xi ; x) = 1, ≤ i ≤ m (18) Khi đó, từ bổ đề 2.1.4 ta suy (2.14), V (s+1; x) thay W (s+1; x) Tuy nhiên, việc tìm W (s; x) phù hợp để thỏa mãn (2.23) khó khăn Do đó, với hàm V (s; x) ta tìm ước lượng phù hợp thực hành tính toán Bổ đề : Cho V (s; x) xác định định lý 2.2.1 Khi đó, với s ≤ x − 1, (s; x) ∈ Nm × Nm ta có x1 −1 −1 + Sxl 1=s f (l)q(l) V (s; x) ≤ 1 (19) l1 =s1 d Bất đẳng thức phi tuyến Định lý: Với x ∈ Nm , giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn r u(x) ≤ p(x) q(x) + Hi (x, u) , (20) i=1 i−1 α1 i Hi (x, u) = Sxx−1 (x ) · · · Sxxi =0−1 fii (xi )uαi i (xi ) =0 fi1 (x )u (21) αij , ≤ j ≤ i, ≤ i ≤ r số không âm, q số dương Đặt αi = ij=1 αij α = max αi Khi đó, với x ∈ Nm ta có 1≤j≤r xi −1 u(x) ≤ qp(x) 1≤i≤m (1 + ∆li Q(xi , li )) , α = (22) li =0 u(x) ≤ p(x)[q 1−α + (1 − α)Q(x)]1/(1−α) , α = r Trong Q(x) = i=1 với x ∈ Nm (23) Hi (x, p)q αi −α α > 1, ta giả sử q 1−α + (1 − α)Q(x) > e Bất đẳng thức chứa sai phân riêng Định lý: Với k, l ∈ N × N, giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn r1 ∆rk1 ∆rl u(k, l) r2 k−1 l−1 hij (τ, η)∆iτ ∆jη u(τ, η) (24) A1 (τ, η)V (τ + 1, η + 1; k, l), (25) ≤ p(k, l) + q(k, l) i=0 j=0 τ =0 η=0 Khi đó, với (k, l) ∈ N × N ta có k−1 l−1 ∆rk1 ∆rl u(k, l) ≤ p(k, l) + q(k, l) τ =0 η=0 r2 −1 A1 (k, l) = hr1 r2 (k, l)p(k, l) + hr1 j (k, l)× j=0 r2 −1 β=j (l)(β−j) r1 β ∆k ∆l u(k, 0) + (β − j)! (r2 − j − 1)! r1 −1 + r1 −1 hir2 (k, l) × i=0 r1 −1 r2 −1 + α=i l−r2 +j (l − η − 1)(r2 −j−1) p(k, η) η=0 (k)(α−i) α r2 × ∆k ∆l u(0, l) + (α − i)! (r1 − i − 1)! k−r1 +i (k − τ − 1)(r1 −i−1) p(τ, l) τ =0 hij (k, l)× i=0 j=0 φij (k, l) + (r1 − i − 1)!(r2 − j − 1)! k−r1 +i k−r2 +j (k − τ − 1)(r1 −i−1) (l − η − 1)(r2 −j−1) p(τ, η) τ =0 η=0 (26) V (τ, η; k, l), τ ≤ k − 1, η ≤ l − nghiệm ∆τ ∆η V (τ, η; k, l) = B1 (τ, η)V (τ + 1, η + 1; k, l) (27) V (k, η; k, l) = V (τ, l; k, l) = 1, (28) B1 (k, l) = hr1 r2 (k, l)q(k, l) r2 −1 + j=0 hr1 j (k, l) (r2 − j − 1)! r1 −1 + hir2 (k, l) i=0 r1 −1 r2 −1 + (r1 − i − 1)! hij (k, l) i=0 j=0 l−r2 +j (l − η − 1)(r2 −j−1) q(k, η) η=0 k−r1 +i (k − τ − 1)(r1 −i−1) q(τ, l) τ =0 × (r1 − i − 1)!(r2 − j − 1)! k−r1 +i k−r2 +j (k − τ − 1)(r1 −i+1) (l − η − 1)(r2 −j−1) q(τ, η) τ =0 η=0 (29) f Bất đẳng thức tuyến tính nhiều chiều Định lý: Cho ma trận n × n G(x) H(x) xác định không âm N m , cho hàm vec-tơ p(x) u(x) xác định N m Hơn nữa, với x ∈ Nm , giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn u(x) ≤ p(x) + G(x)Sx−1 s=0 H(s)u(s) (30) Khi đó, với x ∈ Nm ta có u(x) ≤ p(x) + G(x)Sx−1 s=0 V(s + 1; x)H(s)p(s), (31) V(s; x) thỏa mãn V(s; x) = X + Sx−1 l=s V(l + 1; x)H(l)G(l) (32) g Bất đẳng thức phi tuyến nhiều chiều Ở phần ta so sánh nghiệm u(x), x ∈ Nm phương trình sai phân phi tuyến ∆m x u(x) = f (x, u(x)) (33) với nghiệm v(x) w(x) tương ứng bất phương trình sai phân phi tuyến ∆m x v(x) ≤ f (x, v(x)) (34) ∆m x w(x) ≥ f (x, w(x)), (35) m i khả Do đó, m siêu phẳng x = (1)x dùng lập luận đệ quy để bảo đảm tồn nghiệm (31) Thật vậy, Kí hiệu (i)x cho điểm (x1 , · · ·, xm ) mà i biến Có tất m (−1)i+1 u(x) = i=1 u((i)x) + Sx−1 s=0 f (s, u(s)), (36) i kí hiệu cho tổng tất khả (i)x Từ nghiệm v(x) i w(x) bất phương trình (32) (33) có biểu diễn m (−1)i+1 v(x) ≤ i=1 v((i)x) + Sx−1 s=0 f (s, v(s)) (37) w((i)x) + Sx−1 s=0 f (s, w(s)) (38) i m (−1)i+1 w(x) ≥ i=1 i h Bất đẳng thức Opial Wirtinger hai biến Định lý: Cho r1 r2 số nguyên dương cố định u(k, l) hàm xác định N × N cho u(k, l) = với k, l ∈ N, ≤ k ≤ r1 − 1, ≤ l ≤ r2 − Khi đó, với ≤ i ≤ r1 − 1, ≤ j ≤ r2 − (k, l) ∈ N × N ta có k−r1 +i l−r2 +j |∆iτ ∆jη u(τ + r1 − i − 1, η + r2 − j − 1)||∆rτ1 ∆rτ2 u(τ, η)| τ =1 η=1 r1 − i ≤ √ 2(r1 − i)(r2 − j)! 2r1 − 2i − 1/2 r2 − j 2r2 − 2j − 1/2 k−r1 +i l−r2 +j (r1 −i) × (k) (l) (r2 −j) |∆rτ1 ∆rη2 u(τ, η)|2 τ =0 η=0 Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2014 Học viên : Trần Thế Anh (39) ... l−r2 +j | iτ ∆jη u(τ + r1 − i − 1, η + r2 − j − 1 )|| ∆rτ1 ∆rτ2 u(τ, η )| τ =1 η=1 r1 − i ≤ √ 2(r1 − i)(r2 − j)! 2r1 − 2i − 1/2 r2 − j 2r2 − 2j − 1/2 k−r1 +i l−r2 +j (r1 −i) × (k) (l) (r2 −j) | rτ1... ∆m s V (s; x) = f (s)q(s)V (s + 1; x), s ≤ x − V (si , xi ; x) = 1, ≤ i ≤ m c Bất đẳng thức Wendroff Giả sử W (s; x) hàm xác định với s ≤ x − 1, (s; x) ∈ Nm × Nm (−1)m ∆m s W (s; x) ≥ f (s)q(s)W... tuyến tính nhiều chiều Định lý: Cho ma trận n × n G(x) H(x) xác định không âm N m , cho hàm vec-tơ p(x) u(x) xác định N m Hơn nữa, với x ∈ Nm , giả sử bất đẳng thức sau thỏa mãn u(x) ≤ p(x)