CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN

Các dạng bài và phương pháp giải bài tập giới hạn phục vụ cho sinh viên tham khảo môn toán cao cấp và giải tích ( đối với các trường kĩ thuật )............................................................................

CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN

 Đây là phần cơ bản nhất của Giải Tích I các bạn nên nắm chắc để áp dụng cho các dạng

bài tập về sau

 Bước đầu tiên khi làm một câu giới hạn là lấy số x tiến tới thay vào biểu thức tính lim để

phân dạng ^^

 VD: lim 1 

   thay x   vào biểu thức ta được  1        

 Câu này thuộc dạng   

 Có tất cả 5 dạng tính lim bất định cần nhớ

 Khi ta thay x vào mà có thể tính được giá trị của bt thì đó chính là giá trị của lim

1, Cách giải

- Về dạng này các bạn đã gặp nhiều ở lớp 11 cách giải vẫn không thay đổi

- Ta thường dùng cách nhân liên hợp

2, Ví dụ

Tính lim 1 

  

 Thay x   vào ta thấy dạng    => Nhân liên hợp

x x

x x

0





1, Cách giải

- Dạng này ta áp dụng quy tắc L’Hospital

- Quy tắc L’Hospital:  

 

 

 

'

'

- Có thể áp dụng L’Hospital nhiều lần để đưa biểu thức tính lim về dạng dễ tính 

2, Ví dụ Tính

3 3

lim

x



 Thay x   vào ta thấy dạng 

=> L’

 L’ 2 lần ta được

3

L

x

3, Bài tập

1

x





1, Cách giải

- Ta có

0

0

1 / 0







=> đưa về được dạng 2

- Cách làm tương tự

2, Ví dụ Tính lim ln 2.arctan





 Thay x vào ta thấy dạng 0.

 Ta sẽ ưu tiên để ln trên tử để sử dụng L’ dễ dàng



2 1

2 2

2

1

2 lim

x

x

x x

x

x x













3, Bài tập

) lim tan ln 2 ) lim ln ln 1

2

x



Dạng 4: Tính giới hạn bằng phương pháp thay thế vô cùng bé(VCB),

vô cùng lớn(VCL); ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp

1, Cách giải

- Phương pháp này rất quan trọng các bạn cần phải nắm vững sau này có thế áp dụng cho rất nhiều bài tập

- Một số VCB tương đương khi x  ( Học thuộc) 0

2

1

~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln( 1) ~ 1 ~

ln

2

x

a x



- Quy tắc ngắt bỏ VCB, VCL

+ VCB: Nếu f(x) bậc cao h(x) thì ( )f x g x( ) ~ ( )g x

Làm ví dụ cho dễ hiểu



4 8 8

1

2 sin

x

 Vì khi x  thì 0 x0 x4 0 x8 0vì x bậc thấp nhất nên ta ngắt x x4 8

+ VCL: Ta ngắt bỏ ngược với VCB

Ví dụ:

2





2, Ví dụ dùng VCB tương đương

Tính các giới hạn sau

3

2 2

tan

x x

 



0

sin

lim

1

x x

x e

 

 Cách 1: Thay x  vào thấy dạng 0/0 => dùng L’ 0

 Cách 2: Thay x  vào thấy 0 sinx0 e3x  1 0 => sin x và e3x  1 0 là 2 VCB

 Vậy sin ~ ;x x e3x 1 ~ 3x

 Nên 3

1

x

x e



b) 2

0

arctan

lim

2

x

x

x x

 

 Cách 1: ………

 Cách 2: Nhìn mẫu có tổng của 2 cái tiến tới 0 => Ngắt bỏ VCB trước

arctan arctan

2 2

x

x x



 Thay x  thấy arctan0 x  => arctan x là VCB 0

 arctan ~x x

2

x x



 => Nên ngắt bỏ VCB trước khi thay thế VCB

c) lim 2 1 cos1

x x

x





 Cách 1:……

 Cách 2: câu này để ý một chút khi thay x   thì 1 0

x 

 Ta có

2

2

X X

x

  nên

2

1 1

2

x x

 

 

 





2

1

x

x

 

 

 => VCB không nhất thiết phải là x nó có thể thay thế cả biểu thức nếu biểu

thức đó tiến tới 0 khi x  0

d)

3

2 0

1 lim

tan

x

x



 

 Cách 1:……

 Cách 2: Ta thấy e  và tan x là 2 VCB có thể thay thế nhưng trên tử là x3 1

3

2

1

x

e  x về nguyên tắc chúng ta không thể thay thể VCB vào tổng được nên ta tách làm 2 lim rồi thay thế VCB



 => Nếu muốn thay thế VCB vào tổng thì tách ra thành 2 lim

3, Chú ý

 Chỉ được thay thế VCB khi VCB đứng 1 mình hoặc trong tích nếu muốn thay vào

tổng phải tách thành 2 lim

 Không được thay VCB vào hiệu

0

tan sin lim

x

x





+ Cách thay thế VCB trực tiếp 3 3

tan sin

+ Cách 2:

2

2

Vậy cách 1 sai sml ^^

4, Bài tập

2 3

0

2 2

4

2 3

0

arctan ln 1 2

) lim

) lim

2ln 5.2 2.3 sin tan arcsin

) lim

2 3 2 arctan

.sin 3 tan arcsin sin 3 sin 2

sin 2 arcsin arctan 2

x

x

x

a

x

b

c











1 ,0 , 

1, Cách giải

a) Dạng 1:

 Ta học thuộc công thức biến đổi sau

1

lim ln 1

lim

u v

v u v

u v

u e











 Sau đó dùng VCB

b) Dạng 0và 00

 Ta học thuộc công thức biến đổi sau

0

lim ln

0

lim

u v

v u v

u v

u e











 Sau đó dùng L’

 Dạng 00 tương tự

2, Ví dụ

0

x

x







a)

2 5

2 lim

1

x x

x x









 Thay x   thấy dạng 1

 Ốp công thức

1

lim ln 1

lim

u v

v u v

u v

u e











2 5 lim 2 5 ln lim 2 5 ln 1

2 lim

1

x

x

x

x









 Khi x   thấy 1 0

1

x  vậy

1

ln 1

1

x





 là 1 VCB

lim 2 5 ln lim 2 5 ln 1 lim

2

2 lim

1

x

x

x

x



      







 Ta thấy sau khi thay thế VCB được 1 2 1

x



  nên dạng 1



có công thức

giải nhanh

 

1

lim 1 1

lim

u v

v u v

u v

u e













b)

2

1 lim 1

5

x

x x





 Thay x   thấy dạng 1

 Ốp công thức ta được

lim 2

5 5

1 lim 1

5

x

x

x x

x





0

lim x

x x



 Thay x  thấy dạng 0 00

 Ốp công thức ta được



2 2

0

lim ln 0

3 '

2

1 ln

2 2

x x x

x

L

A x x

x









3, Bài tập

2

1 1

arcsin 2

1 tan

1 sin

x x

x

x









DẠNG 5: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG NGUYÊN LÝ KẸP VÀ HÀM BỊ CHẶN

1, Cách giải

a) Nguyên lý kẹp có ( ) g x  f x( )h x( )

Mà

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x g x x x h x a x x f x a

b) Hàm bị chặn

Nếu hàm số ( )f x bị chặn và

0

lim ( ) 0

x x g x

  Thì

0

lim ( ) ( ) 0

x x f x g x

2, Ví dụ

Tính

0

1 lim sin

x x

x



 Ta có

0 0

1

x

x





 







