Tiểu luận Phương pháp xác định độ chính xác gia công

Ta dùng ví dụ này để tính tỷ số quan hệ ytheo công thức sau.. Để đánh giá quan hệ phi tuyến cần xác định tủ số quan hệ y và x theo công thức.. Để xác định các hệ số a, b, c cần thiết

Chuyên đề cao học

âu 20: Quan hệ tuyến tính và quan hệ phi tuyến.

a.Quan hệ tuyến tính

Nếu trên cơ sơ phân tích hệ số quan hệ và tỷ số quan hệ xác định đợc sự tồn

tại với quan hệ tuyến tính giữa y và x thì mối quan hệ này đợc biểu thị bằng phơng trình sau đầy:

y

x - Y = r xy x

y





( x - X ) = b ( x - X ) (1)

ở đây : b – hệ số phụ thuộc của y từ x ( hệ số quan hệ giữa y và x )

b = rxy x

y





, còn phơng trình (1) gọi là phơng trình gọi là phơng trình phụ thuộc của y từ x ( hoặc phơng trình quan hệ giữa y và x)

Vì trong phơng trình (1) các đại lợng b, Y , X là những đại lợng cố định cho nên sau khi thay các giá trị số vào, phơng trình có dạng:

y x = a + b.x (2)

Ví dụ 1:

Tính hệ số quan hệ và tỷ số quan hệ của số liệu trong bảng sau và lập phơng trình quan hệ giữa y và x

Giải:

Để tiện cho việc tính toán ta lập bảng:

my my.y my.y2

1

2

3

4

5

1 2 1

-1 2 1

-1 2 1

-1 2

1 3 4 4 3

1 6 12 16 15

1 12 36 64 75

Số

dòng

1

2

3

4

5

6

nx

nx.x

nx.x2

nxy.y

x nxy y

y x

4 4 4 8 8 2

4 8 16 12 24 3

4 12 36 16 48 4

3 12 48 14 56 4,7

(1)=15

(2)=36

(3)=10 4

(4)=50

(5)=13 6

8

Trong bảng trên ở cột 1 ghi tần số my của các giá trị y, còn ở dòng 1 ghi tần

số nx của giá trị x Tổng của my theo cột và tổng của nx theo dòng phải trùng nhau

ở cột 2 ghi tích my.y , còn ở cột 3 ghi tích my.y2

ở dòng 2 ghi tích nx.x , còn ở dòng 3 ghi tích nx.x2

ở mỗi ô của dòng 4 ghi tổng các tích tần số n với các giá trị y tơng ứng

Ví dụ đối với x = 1 ta có:  nxy.y =1.1+2.2+1.3 = 8, đối với x= 2:  nxy.y

=1.2 +2.3 +1.4 = 12, đối với x= 3: nxy.y = 1.3 + 2.4 +1.5 = 16

ở dòng 5 ghi tích các giá trị của dòng 4 với giá trị x tơng ứng

ở dòng 6 tính y x bằng cách chia các giá trị của dòng 4 cho các giá trị của dòng 1 Có nghĩa:

y x =

x

xy n

n

Nh vậy, theo số liệu của bảng trên ta có thể tính X,Y, Cxy và rxy một cách rễ dàng

X = . .





x

x

n

x n

= 15

36

=2,4

Y = . .





y

y

m

y m

= 15

50

=3,33

Cxy =



 

x

xy

n

y n

x )

(

- X Y =

15

136

- 2,4.3,3 =1,075

x

2

.

X n

x n

x

x















 2 , 42 15

y

2

.

Y m

y m

y

y















 3 , 332 15

188

=2,20

rxy =

y

x

xy

C



 = 1,081,075.1,20 = 0,826

Ta thấy rxy =0,826 1 cho lên x và y có quan hệ tuyến tính rất chặt chẽ

Ta dùng ví dụ này để tính tỷ số quan hệ ytheo công thức sau

y

 =

y

x y



 .

(3).

Tuy nhiên để dùng công thức này thì ta phải tính y x.Để tiện cho việc tính toán ta lập bảng sau

x nx Y ỹ y ỹ - Y (y ỹ - Y )2 nx( y ỹ - Y )2

1

2

3

4

4 4 4 3

2 3 4 4,7

-1,33 -0.33 0,67 1,37

1,706 0,109 0,450 1,88

7,04 0,436 1,08 5,64

y.

 đợc tính theo công thức:



x

ỹ x

n

Y y

=

15

916 , 14

= 0,99.

Tỷ số quan hệ:

y

 =

y

x

y



 .

= 01,,992 = 0,826

Nh vậy ta có y= rxy

Điều này có nghĩa x và y có mối quan hệ rất chặt chẽ

Để lập phơng trình quan hệ giữa y và x ta dùng công thức sau

y ỹ - 3,33 = 0,826  2 , 4

08 , 1

02 , 1



Hoặc : y ỹ = 0,92.x + 1,33

Theo phơng trình này ta tính giá trị lý thuyết y x, ứng với các giá trị x và so sánhy x, từ bảng trên

ỹ

,

x

y 2,05 2,97 3,98 4,81

Nh vậy ta xây dựng đợc đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa x và y

0

Nếu các giá trị x và y lớn thì để đơn giản hoáviệc tính toán các thông số ta

có thể thay x và y thành x,, và y, :

Khi đó : x, =

x

x

c

a

x ã

Y, =

y

y

c

a

y 

ở đây ay, và ax là gốc toạ độ mới Còn cy và cx là giá trị khoảng chia theo y và x

Theo các giá trị X ,, Y ,, x,, xy,, C xy,có thể tính đợc giá trị thực của chúng theo công thức sau

X = ax + cx X,

Y = ay + cyY ,

x=c x x,

y = cy

,

y



xy = cy xy,

Cxy = cx.cy C xy,e

Để tính hệ số quan hệ rxy và y có thể dùng các công thức sau

rxy =

y ỹ

xy

C



,

.

y y x x

xy y x

c c

C c c



, y

x xy

C



y =

y

x

y



 .

,

.

y y

xy y

c

c





= ,

,

y

xy





b Quan hệ phi tuyến

Nếu hệ số quan hệ rxy rất nhỏ và giữa x và y không có quan hệ thì có khả năng tồn tại quan hệ phi tuyến Để đánh giá quan hệ phi tuyến cần xác định

tủ số quan hệ y và x theo công thức

Quan hệ giữa x và y; y =

y

x y



 .

x =

ỹ

xy





Nừu quan hệ x và y là chặt chẽ thì y= 1 Nừu không có quan hệ thì y=0

Đối với xcũng tơng tự nh vậy Quan hệ càng chặt chẽ khi ytiến đến 1 còn càng yếu dần khi ytiến đến 0

Trong thực tế, mối quan hệ phi tuyến thờng có dạng parabol Dới đây ta xét trờng hợp khi quan hệ giữa chúng có dạng parabol bậc 2

y x = a +b.x + cx2

Trong đó a, b, c, là các hệ số

x

y là giá trị trung bìnhthành phần của y tơng ứng với các giá trị của x tơng ứng

Để xác định các hệ số a, b, c cần thiết lập hệ phơng trình sau

n.a + b.n x.x + c.n x .x2 = n x y ỹ

a n x.x + b n x .x2 + c.n x .x3 = n x.x.y x (*)

a n x .x2 + b n x .x3 + c.n x .x4 = n x.x 2 y x



ở đây : n là tổng số các giá trị nghiên cứu x ( tổng số chi tiết )

Nx là tần số của giá trị x

Giải hệ phơng trình trên cho ta giá trị của hệ số a b c

Ví dụ: xác định số phụ thuộc parabol giữa 2 thông số y và x theo số liệu

bảng sau

1

2

3

4

5

6

2 1

-1 2 3 1

-1 3 2

-1 2 1

-2 1

-1 1

3 3 4 5 7 3

y

n xy.

-x

y 1,33 2,57 4,17 5,0 5,33 5,50 Giải:

Để tính các hệ số a b c theo công thức trên ta cần lập bảng sau

nx x nxx nxx2 nxx3 nxx4

x

y nx y x nx.x

x

y

nx.x2

x

y

3

7

6

4

3

2

1

2

3

4

5

6

3 14 18 16 15 12

3 28 54 64 75 72

3 56 162 256 375 432

3 112 486 1024 1875 2592

1.33 2.57 4.17 5.0 5.33 5.50

3.99 17.99 25.02 20.00 15.99 11.00

3.99 35.98 75.06 80.00 79.95 66.00

3.99 71.96 225.18 320.00 399.75 396.00

Nh vậy hệ phơng trình (*) có dạng:

25a + 78b + 296c = 93.99

78a + 296b + 1284c = 304.98

296a + 1284b + 6092c = 1416.88

Giải hệ phơng trình trên ta đợc : a = - 0.89

b = 2.21

c = - 0.19

Nh vậy phơng trình parabol biều thị quan hệ giữa y và x có dạng:

y = - 0.89 + 2.21x – 0.19x2

Thay các giá trị x = 1,2,3,4,5,6, vào phơng trình trên ta có các giá trị trung bình thành phần lý thuyết y xnh sau:

x

y 1.44 2.78 4.07 4.91 5.41 5.52

Dựa theo các giá trị thực nghiệm y xvà các giá trị lý thuyết y x, Ta xây dựng

đợc các đờng cong parabol lý thuyết và thực nghiệm biểu thị quan hệ giữa y

và x Dựa vào đồ thị ta thấy hai đờng cong này gần trùng nhau

0 1 2 3 4

Câu 11: Đánh giá các thông

cậy

bình), phơng sai ó2 và sai lệch bình phơng trung bình ó của loạt lớn N chi tiết

1 Khoảng tin cậy để đánh giá X 0

Nếu loạt lớn N chi tiết phân bố theo quy luật chuẩn thì đại lợng t =

x

X X



0



( cho nhóm chọn có n đủ lớn) cũng phân bố theo quy luật chuẩn với giá trị trung bình t = 0 và phơng sai Dt = 1 Vì vậy, đối với bất kỳ xác suất P nào cũng có thể xây dựng giới hạn tin cậy cho giá trị X 0 bằng công thức sau: P( X0 - tX < X0 < X + t X ) = 

Nếu đặt X =

n

s

, ta có:

 = ( X - t

n

s

<X 0 < X + t

n s

)

Đại lợng t đợc xác định nhờ phụ lục 1 theo xác suất  = 2  (t) Ví dụ, khi n= 100 với xác suất  = 0,95 ta có t = 1,96 Do đó khoảng tin cậy có điểm

đầu là X - 1,96

100

s

= X - 0,196s và điểm cuối là X + 1,96

100

s

= X + 1,96s ở bbên trong khoảng tin cậy này có giá trị trung bình X 0 cha biết với xác suất 0,95

Giá trị X 0± 0,196s là giới hạn tin cậy cho giá trị trung bình X 0 của loạt lớn

N chi tiết với mức có nghĩa 5% ( mức có nghĩa q = 1 -  = 1- 0,95 = 0,05) Nếu số chi tiết đợc chọn n ≤ 25 thì đại lợng t có phân bố Student Vì vậy trong trờng hợp này giá trị t đợc xác định nhờ phụ lục 2 theo giá trị  và k =

n – 1 Ví dụ, n = 10 và  = 0,95 Theo phụ lục 2 ta có t = 2,26

Khi đó giới hạn tin cậy của X 0 sẽ bằng:

X ± 2,26 10s = X ± 0,72s

2 Khoảng tin cậy để đánh giá  2 và 

Nếu loạt lớn N chi tiết phân bố theo quy luật chuẩn thì đại lợng 2

0

2



ns

có phân

bố 2

 với số bậc tự do k = n – 1

ở đây: n – số chi tiết của nhóm chọn và s2 – phơng sai của nhóm chọn Nếu cho xác suất  khi xác định giới hạn tin cậy cho  2 và xác định mức

ý nghĩa q = 1 -  , ta có thể tính đợc ( theo phân bố 2

 của đại lợng 2

0

2



ns

) hai giá trị  2: giá trị 2

1

 cho xác suất P1 = 1 -

2

q

Khi đó, xác suất mà đại

l-ợng 2

0

2



ns

nằm trong giới hạn từ 2

1

 đến 2

2

 sẽ bằng  :

P( 2

1

 < 2

0

2



ns

< 2 2

 ) =  Hoặc :

2 2

2

.



s n

<  2

0 < 2

1

2

.



s n

Với các giá trị 2

2

2

.



s n

và 2

1

2

.



s n

có thể xác định giới hạn tin cậy cho  2

0 Các giá trị  2 đối với P khác nhau đợc xác định theo phụ lục o cuối cuôn sách “ Các Phơng Pháp Xác Định Độ Chính Xác Gia Công “ Khi đó ta có

Khi k = n – 1 = 20 – 1 = 19 và P1 = 1 -

2

q

= 1 – 0.02 = 0.98 thì 2

1

 = 8.6; Khi P2 =

2

q

= 0.04/2 = 0.02 thì 2

2

 = 33.7

Do đó, giới hạn tin cậy cho  2 sẽ bằng:

7

.

33

.

20s2

<  2 <

6 8

.

20s2

Hoặc : 0.84 s2 <  2 < 2.34s2

Đánh giá thông số  2

0 nhờ khoảng tin cậy ( 2

2

2

.



s n

, 2

1

2

.



s n

) cho phép đánh

giá thông số s nhờ khoảng tin cậy (

1

.



n s

,

2

.



n s

) cùng với xác suất tin cậy



Nếu ký hiệu

2

.



n

= z1,

1



n

= z2, ta có:

P ( z1s <  0 < z2s ) =  Các giá trị z1 và z2 với xác suất tin cậy  = 0.95 đợc xác định trong bảng phụ lục cuối sách “ Các Phơng Pháp Xác Định Độ Chính Xác Gia Công “ Đối với nhóm chọn có n lớn có thể dùng công thức trên thay cho công thức:

 =

n

s t

2

.

khi đó









































n

t s

n

t

2 1

2

Nếu cho  = 2(t), theo phụ lục 1 trong sách “ Các Phơng Pháp Xác Định

Độ Chính Xác Gia Công “.có thể xác định đợc t và theo t có thể tính đợc giới hạn tin cậy  0

Ví dụ: khi n= 100,  = 0.95 thì ta có t = 1.96 Do đó:

1 -

100

.

2

96

.

1

= 1 – 0.14 = 0.86; 1+

100 2

96 1

= 1.14 Nh vậy giới hạn tin cậy với xác suất  = 0.95 sẽ là:

0.86s <  0 < 1.14s

Câu 32: Ph ơng pháp quy hoạch thực nghiệm

Nguyên tắc cơ bản của qui hoạch thực nghiệm là tốn ít thời gian nhất để nhận thông tin nhiều nhất Đó cũng chính là mục đích của qui hoạch thực nghiệm

1 Kiểm tra tính đồng nhất của các thí nghiệm.

Trớc khi tiến hành qui hoạch thực nghiệm cần phải xác định xem các thực nghiệm có đồng nhất hay không Để kiểm tra tính đồng nhất của các thực nghiệm ta thực hiện một số thí nghiệm song song trong phạm vi thay

đổi của các thông số đầu vào Tính đồng nhất đợc hiểu là tính ổn định của các thí nghiệm ( các kết quả của chúng thay đổi không đột ngột ) Khi thực hiện các thí nghiệm cần lập bảng

i S

1

S

2 Y21 Y22 Y23 Y2k Y2 2

2

S

3

S

4

S

5

S

j

S

N

S

Ghi chú: 1, 2, 3, , j , N – các thí nghiệm có các thông số đầu vào khác nhau:

Yj – giá trị trung bình;

2

i

S - phơng sai

Đối với mỗi loạt thí nghiệm song song cần xác định giá trị trung bình:

j

Y =

K

1





K

i ji

Y

1

(1)

ở đây: j = 1, 2, , N;

K- số thí nghiệm song song đợc thực hiện trong cùng một điều kiện

nh nhau

Sau đó cần xác định phơng sai của từng loạt thí nghiệm song song:

2

j

S =

1

1





K i ji

Y

1

( Y ji - Y j )2 (2) Hiệu trong ngoặc bình phơng của (2) đợc hiểu nh sau:

(Y11 - Y j )2 + ( Y12 - Y j )2 + ( Y13 - Y j )2 , v.v

Để kiểm tra tính đồng nhất của các thí nghiệm cần xác định tỷ số giữa phơng lớn nhất và tổng các phơng sai :

GP =

 2

2

max

j

j

S

S

(3)

GP đợc gọi là chỉ tiêu Kokren Theo phụ lục 22 ta xác định giá trị GT bằng với xác suất tin cậy P = 0,95

Cần nhớ rằng giá trị q = 1 – P = 1 – 0.95 = 0,05 là mức có nghĩa của thí nghiệm

Để xác định GT cần biết số lợng thí nghiệm N theo các điều kiện khác nhau

và số bậc tự do m = K – 1 ( k- số thí nghiệm song song)

Nếu GP < GT thì các thí nghiệm ổn định, còn nếu GP > GT thì các thí nghiệm không ổn định Trong trờng hợp thứ 2 cần dùng các thiết bị kiểm tra chính xác hơn để xác định lại một lần nữa, nếu kết quả vẫn nh cũ thì phơng pháp quy hoạch thực nghiệm không thể áp dụng cho trờng hợp này

2 Quy hoạch thực nghiệm trực giao

Quy hoạch thực nghiệm trực giao cho phép xây dựng mô hình toán học biểu thị quan hệ phụ thuộc giữa thông số đầu ra và các thông số đầu vào Mô hình toán học này có thể viết dới dạng:

Y = b0 + b1x1+ b2x2 + + bnxn+ b12x1x2+ + b(n-1)nxn-1xn

Phơng trình trên đợc gọi lầ phơng trình hồi quy Để thuận lợi cho việc tính toán cácc hệ số bi trrong phơng trình trên, tất cả các yếu tố ( các thông số đầu vào ) trong quá trình thí nghiệm thay đổi ở 2 mức dới và trên ( -1 và 1 )

Số thí nghiệm N cần thực nghiệm khi quy hoạch thực nghiệm đợc tính theo công thức:

N = 2k

ở đây: k – số yếu tố ảnh hởng ( số thông số đầu vào );

Nh vậy, nếu k = 2 thì số thí nghiệm cần thực hiện N = 22 = 4, còn nếu k = 3 thì n = 23 = 8, vv

Điều kiện để thực hiện các thí nghệm đợc trình bầy theo nguyên tắc trong

2 bảng sau:

Số thứ tự

thí nghiệm

Các yếu tố ảnh hởng Hàm số đầu ra

1

2

3

4

-1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 +1

y1

y2

y3

y4

3 Ph ơng pháp tối u hoá.

Phơng pháp hồi quy( mô hình toán học) nhận đợc bằng phơng pháp quy hoạch thực nghiệm có thể dùng để xác định các thông số đầu vào tối u khi muốn đạt thông số đầu ra cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất)

Các bớc tối u hoá đợc tiến hành nh sau:

Trớc hết ta chọn bớc thay đổi *

1

x

 để làm thí nghiệm tìm điểm cực trị ( cũng

có thể chọn *

2

x

 ) Để tăng độ chính xác của thực nghiệm nên chọn *

1

x

 <

1

x

 ( x1 là khoảng cách biến động của yếu tố x1 Sau đó cần xác định hệ số

 :

 =

1 1

* 1

x

b

x





ở đây ta chọn x1 = 5, b1 là hệ số của x1 khi đó phơng trình hồi quy có dạng:

*

1

x

 = .b1 x1

Quá trình tìm điểm cực trị ( điểm tối u) đợc thực hiện bằng cách thêm giá trị

*

1

x

 vào giá trị trớc đó và làm thí nghiệm để lấy kết quả Quá trình này đợc kết thúc khi :

- Một hoặc một số yếu tố nào đó vợt ra khỏi giới hạn cho phép

- Đạt đợc một giá trị tối u.

Ví dụ: Cho phơng trình hồi quy nh sau:

y = 35,6 + 1,95 x1 - 1,35 x2

Trong đó : y là phần trăm tạo thành sản phẩm

x1 là nhiệt độ của phản ứng ( 0C )

x2 là nồng độ của chất xúc tác (%)

Cần xác định y tối u trong phạm vi : 300 < x1 < 1200 và 0 ≤ x2 ≤ 70%

Giải:

Chọn *

1

x

 = 40C ta có:

 =

1 1

* 1

x

b

x





= 1,954.5 = 0,41

Ta xác định *

2

x

 theo công thức sau:

*

2

x

 =  b 2. x2 = 0,41.(-1,35).1 = - 0,55%

(ở đây ta chọn x2= 1

Để tiện cho việc tính toán có thể làm tròn - *

2

x

 = - 0,5% Kết quả tính toán

và thực nghiệm đợc ghi trong bảng sau

Đặc tính của thí nghiệm X1 (0C) X2(%) X1 X2 ytt ytn

-Số thứ tự thí nghiệm Kết quả thí nghiệm và tính toán

1 2 3 4 5 6

54 58 62 66 70 74

24,5 24 23,5 23 22,5 22

0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 -3,0

36,5 37,4 38,2 39,1 40 40,9

36,9 37,2 38,5 38 38,1 37,2

Nh vậy thí nghiệm này cho ta giá trị y tn = 38,5 đạt giá trị tối u ( giá trị lớn nhất)

Bài tập : Độ ô van của vòng bi đỡ trớc và sau nhiệt luyện có quan hệ phụ

thuộc phi tuyến theo bảng sau đây Hãy lập phơng trình quan hệ phụ thuộc giữa y ( sau khi nhiệt luyện) và x (sau khi tiện)

Giải:

Để tính các hệ số a b c theo công thức ta cần lập bảng sau