MẶT TRỤ HÌNH TRỤ KHỐI TRỤ phần 1 CAO TUẤN (1)

Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ Cho hình trụ khối trụ có bán kính R và chiều cao h... MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐÁNG NHỚ  Bài toán 1: Hình trụ tạo

ht

R



 P

 P  C

 C

O

O

M

M

 T

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Mặt trụ tròn xoay

Cho hai đường thẳng và  sao cho song song với 

và d , R Khi ta quay quanh trục  một góc 360 0

thì tạo thành một mặt trụ tròn xoay  T (hoặc đơn giản

hơn là mặt trụ).

  gọi là trục của mặt trụ  T

 gọi là đường sinh của mặt trụ  T

 R gọi là bán kính của mặt trụ  T

Chú ý: Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M lên một

mặt phẳng   và M di động trên môt đường tròn  C cố định thì M thuộc một mặt trụ

cố định  T chứa  C và có trục vuông góc  

2 Hình trụ tròn xoay

Cắt mặt trụ  T trục , bán kính R bởi hai mặt phẳng

 P và  P cùng vuông góc với , ta được giao tuyến là

hai đường tròn  C và  C Phần của mặt trụ  T nằm

giữa  P và  P cùng với hai hình tròn xác định bởi  C

và  C gọi là hình trụ

 Hai đường tròn  C và  C gọi là hai đường tròn

đáy của hình trụ

 OO gọi là trục của hình trụ

 Độ dài OO gọi là chiều cao của hình trụ

 Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ

 Với mỗi điểm M C , có một điểm M C sao cho MM//OO Các đoạn thẳng

như MM gọi là đường sinh của hình trụ Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau

và bằng với trục của hình trụ

3 Khối trụ tròn xoay

hối trụ tròn xoay (gọi tắt là khối trụ)

đó Tức là: H ù v ê ó đượ ọ ố

4 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ

Cho hình trụ (khối trụ) có bán kính R và chiều cao h hi đó:

 Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq 2Rh

 Diện tích đáy (hình tròn): S đáy R2

 Diện tích toàn phần của hình trụ: S S 2S 2Rh2R2

2

CHỦ ĐỀ

ht

II MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐÁNG NHỚ

 Bài toán 1: Hình trụ tạo bởi phép quay hình chữ nhật

 hi quay hình chữ nh t ABCD xung quanh đường thẳng

chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì tạo thành một hình trụ có

 Chiều cao: hAB CD

 Bán kính đáy: R BC AD

R

h

D

C B A

 hi quay hình chữ nh t ABCD xung quanh đường thẳng

đi qua trung điểm của ,O O của AD BC thì tạo thành một ,

hình trụ có

 Chiều cao: h OO AB CD

O R A

D

h

 Ví dụ 1 [Đề Minh Họa – Bộ GD & ĐT – 2017]:Trong không gian, cho hình chữ nh t ABCD

có AB1 và AD2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC Quay hình chữ nh t đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ Tính diện tích toàn phần S của hình trụ đó tp

A. S tp 4  B. S tp 2  C. S tp 6  D. S tp 10 

 Ví dụ 2: Cho hình chữ nh t ABCD có AB a và góc BDC300 Quay hình chữ nh t này

xung quanh cạnh AD Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là

A S xq  3a2 B S xq 2 3a2 C 2 2

3

xq

S  a D S xq a2

 Bài toán 2: Hình trụ tạo bởi cách dán hình chữ nhật

Nếu ta dán hai mép của hình chữ nh t có 2 cạnh là a, b, ta sẽ nh n được một khối trụ có đường

cao là h b , bán kính đáy

2

a R





 Ví dụ 3 [THPT Đông Hà – Quảng Trị – Lần 2 – 2017]: Một tấm nhôm hình chữ nh t có hai

kích thước a và 2a Người ta cuộn tấm nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng

A

3

a

3

2

a

 D 2a3.

 Ví dụ 4 [Đề Minh Họa – Bộ GD & ĐT – 2017]: Từ một tấm tôn hình chữ nh t kích thước

50cm 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai

cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

 Cách 1 Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

 Cách 2 Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt

xung quanh của một thùng

í hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùnggò được theo cách 2 Tính tỉ số 1

2

V

V

ht

A 1

2

1 2

V

2

1

V

2

2

V

2

4

V

V 

 Ví dụ 5: Bạn Tuấn muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh

tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90  cm Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nh t

MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và

AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ

Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là

91125

108000 3

cm

13500 3

cm



 Bài toán 3: Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng

Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn có tâm I nằm trên trục

và bán kính R

I O

O' R

Thiết diện đi qua trục của một hình trụ là hình chữ nh t có kích

thước là h và 2R

Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì h2 R

O'

O R A

D

h

Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nh t

ABCD có khoảng cách tới trục là: d OO ;ABCD OHd

hi đó: BCAD2AH2 OA2 OH2 2 R2d2

H D

A

P

Q

ht

 Ví dụ 6: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông diện tích 16a Thể tích khối 2

trụ tương ứng là

A V 16a3 B V 8a3 C V 12a3 D V 32a3

 Ví dụ 7: Cho hình trụ có bán kính đáy là R , thiết diện qua trục là một hình vuông Tính thể

tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho theo R

A 4R3 B 2 2R3 C 4 2R3 D 8R 3

 Ví dụ 8: Một hình trụ có bán kính đáy ra, thiết diện qua trục là một hình chữ nh t có diện tích bằng 2a Một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng 2 2

2

a

cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?

A S a 2 2 B S2a2 2 C S2 a2 D S a 2

 Bài toán 4: Thể tích tứ diện có hai cạnh đối diện là hai đường kính của hai đường tròn đáy

Cho tứ diện ABCD có AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai

6

ABCD

Đặc biệt nếu AB và CD vuông góc nhau thì:

1 6

ABCD

V  AB CD OO

O

O' C

B A

D

 Ví dụ 9: Một hình trụ có chiều cao h3 Trên mỗi đường tròn đáy lấy các đường kính AB

và CD sao cho góc giữa AB và CD là 60 Biết thể tích tứ diện 0 ABCD bằng 3 3 Thể tích khối trụ là

A V 6  B V 6 3  C V 9 3  D V 9 

 Bài toán 5: Góc và khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ, với A, B lần lượt là hai điểm thuộc hai đường tròn đáy sao cho AB không song song với trục

ẻ AA//OO A,  O

 Góc giữa AB và trục OO: AB OO; A AB

 hoảng cách giữa AB và trục OO: d AB OO ; O H

4

AB

R d AB OO

H A'

O

O' A

B

 Ví dụ 10: Cho hình trụ có bán kính ra Trên mỗi đường tròn đáy  O và  O lần lượt lấy

các điểm A và B sao cho góc giữa AB và OO bằng 30 đồng thời 0 OAO B Thể tích khối trụ

đã cho là

A V 2a3 3 B V 2a3 2 C V a3 6 D V 3a3

ht

 Bài toán 6: Hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một

cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ

Nếu hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có

ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình

trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình

trụ Tức là, độ dài đường chéo hình vuông là:

I

D

C

A

B

O

O'

 Ví dụ 11: Một hình trụ có bán kính đáy R70 cm, chiều cao hình trụ h20 cm Một hình

vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và

không vuông góc với trục hình trụ hi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

A 80 cm B 100cm C 100 2 cm D 140cm

 Bài toán 7: Hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình lăng trụ

Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ khi hai đa giác đáy của lăng trụ là

đa giác nội tiếp đường tròn đáy hình trụ, các cạnh bên là các đường

sinh của hình trụ

 Bán kính đường tròn đáy của hình trụ:

R bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hình lăng trụ

 Chiều cao của hình trụ: h độ dài cạnh bên của hình lăng trụ

h A'

R B

A

C

Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ khi hai đường tròn đáy hình trụ là

đường tròn nội tiếp đa giác đáy của lăng trụ

 Bán kính đường tròn đáy của hình trụ:

r á í đườ ộ ế đ á đá ă

Nếu đá ă m á r S

p

 v S p ượ ,

d ệ í v ử u v ủ m á đá ă

 Chiều cao của hình trụ: h độ d ê ủ ă

h

B'

r r

C A

B r

C' A'

 Ví dụ 12: Cho lăng trụ ABC A B C    có cạnh bên AA 3a, đáy là tam giác vuông tại A với

AB a AC a Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng

A

3

35

4

a



B

3

75 4

a



C

3

25 18

a



D 125a3

 Ví dụ 13: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 3a

Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ ABC A B C    có diện tích xung quanh bằng

A a2 3. B

2

3 3

a



C

2

2 3

a



D

2

3

a



 Ví dụ 14: Cho hình hộp chữ nh t ABCD A B C D     có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , mặt

chéo AA C C  cũng là hình vuông Hình trụ nội tiếp hình hộp ABCD A B C D.     có diện tích xung

quanh bằng

ht

 Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D     có đáy là hình thoi ABCD với

AB AC a  Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ ABCD A B C D     có bán kính bằng

A 3 2

a

B 2

3

a

C 3 4

a

D 2 3 3

a

 Bài toán 8: Một số bài toán khác

 Ví dụ 16: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn O R và ;  O R;  Tồn tại dây

cung AB thuộc đường tròn  O sao cho O AB là tam giác đều và mặt phẳng O AB  hợp với mặt phẳng chứa đường tròn  O một góc 60 hi đó, diện tích xung quanh 0 S hình trụ và thể xq

tích V của khối trụ tương ứng là

A

xq

B

xq

C

7 7

xq

xq

 Ví dụ 17: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCDcạnh a có hai đỉnh liên tiếp , A B

nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng ABCD tạo với đáy hình trụ góc 45 Diện tích xung quanh 0 S xq

hình trụ và thể tích V của khối trụ là

A

xq

B

xq

C

xq

xq

 Ví dụ 18[THPT Thanh Bình 1 – Đồng Tháp – 2017]: Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100 000đ m Chi phí để làm mặt đáy là / 2 120 000 /đ m Hãy tính số thùng sơn 2 tối đa mà công ty đó sản xuất được (Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)

A. 58 135 thùng B. 12 525 thùng C. 18 209 thùng D. 57 582 thùng