Đạo hàm theo hướng của hàm giá trị trong quy hoạch phi tuyến có tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ TƯƠI ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG CỦA HÀM GIÁ TRỊ TRONG QUY HOẠCH PHI TUYẾN CÓ THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ TƯƠI ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG CỦA HÀM GIÁ TRỊ TRONG QUY HOẠCH PHI TUYẾN CÓ THAM SỐ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN QUANG HUY HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.Nguyễn Quang Huy người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập để hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Tươi LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Quang Huy, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Đạo hàm theo hướng hàm giá trị quy hoạch phi tuyến có tham số" hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Tươi BẢNG KÝ HIỆU Tập số thực R n R Không gian Euclide n− chiều ∅ Tập rỗng dom F Miền hữu hiệu F gr F Đồ thị F lim sup Giới cho dãy số lim inf Giới cho dãy số Lim sup Giới theo tôpô Lim inf Giới theo tôpô D+ F (z; x¯) Đạo hàm Dini ánh xạ đa trị F điểm z theo hướng x¯ + D F (z, x¯) Đạo hàm Dini ánh xạ đa trị F điểm z theo hướng x¯ D+ F (z, z¯1 ; x¯2 ) Đạo hàm Dini bậc hai ánh xạ đa trị F điểm z z¯1 theo hướng x¯2 D+2 F (z, z¯1 ; x¯2 ) Đạo hàm Dini bậc hai ánh xạ đa trị F điểm z z¯1 theo hướng x¯2 Mục lục Mở đầu 1 Đạo hàm theo hướng điều kiện quy 1.1 Đạo hàm theo hướng 1.2 Các điều kiện quy Đạo hàm theo hướng hàm giá trị 13 2.1 Đạo hàm theo hướng bậc hàm giá trị 13 2.2 Đạo hàm theo hướng bậc hai hàm giá trị 20 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 28 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đạo hàm theo hướng hàm giá trị có vai trò quan trọng việc phân tích tính ổn định độ nhạy toán quy hoạch toán học tham số nhiễu Sự tồn phép tính đạo hàm theo hướng hàm giá trị nhà toán học quan tâm nghiên cứu V F Demyanov người đề xuất nghiên cứu đạo hàm theo hướng hàm giá trị thông qua khái niệm đạo hàm theo hướng ánh xạ đa trị, xem [4] Việc tính đạo hàm theo hướng nghiên cứu A V Fiacco, V F Demyanov, A M Rubinov, R T Rockafellar, A Shapiro, J F Bonnans, A D Ioffe, A Auslender, R Cominetti, L Michenko, A Tarakanov nhiều tác giả khác, xem [1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 14, 15] tài liệu trích dẫn Chúng ta biết tính chất khả vi hàm giá trị toán tối ưu có ràng buộc với nhiễu có mối quan hệ gắn kết với điều kiện quy ràng buộc điều kiện quy Chẳng hạn, cách tiếp cận thành công để nghiên cứu đạo hàm theo hướng hàm giá trị đặt lên toán xét điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz Đề tài "Đạo hàm theo hướng hàm giá trị quy hoạch phi tuyến có tham số" nhằm mục đích nghiên cứu tồn và phép tính đạo hàm theo hướng bậc bậc hai hàm giá trị toán quy hoạch phi tuyến có tham số Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tồn đạo hàm theo hướng bậc bậc hai hàm giá trị toán quy hoạch phi tuyến có tham số Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm đạo hàm theo hướng, điều kiện quy, tồn quy tắc tính đạo hàm theo hướng bậc bậc hai hàm giá trị toán quy hoạch phi tuyến có tham số Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Các toán quy hoạch phi tuyến có tham số, khái niệm đạo hàm theo hướng, điều kiện quy tồn đạo hàm theo hướng bậc bậc hai hàm giá trị + Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lớp toán quy hoạch phi tuyến có tham số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu Giải tích hàm, Giải tích đa trị, Lý thuyết tối ưu, phương pháp phân tích, tổng hợp, Đóng góp luận văn Hệ thống hóa khái niệm đạo hàm theo hướng, tính chất, điều kiện quy Áp dụng để chứng minh tồn tính đạo hàm theo hướng hàm giá trị quy hoạch phi tuyến có tham số Minh họa khái niệm, tính chất, phương pháp tính đạo hàm hàm giá trị thông qua ví dụ cụ thể Chương Đạo hàm theo hướng điều kiện quy Trong chương trình bày khái niệm đạo hàm theo hướng điều kiện quy theo tài liệu [14] 1.1 Đạo hàm theo hướng Trước tiên ta đưa số khái niệm đạo hàm theo hướng Cho ϕ: Rn → R hàm số Giả sử x¯ ∈ Rn Định nghĩa 1.1 Đạo hàm Dini hàm ϕ điểm x0 theo hướng x¯, tương ứng, xác định D+ ϕ(x0 ; x¯) = lim inf t−1 (ϕ(x0 + t¯ x) − ϕ(x0 )), t↓0 D+ ϕ(x0 ; x¯) = lim sup t−1 (ϕ(x0 + t¯ x) − ϕ(x0 )) t↓0 Định nghĩa 1.2 Đạo hàm theo hướng x¯ hàm ϕ điểm x0 , kí hiệu ϕ (x0 , x¯), xác định ϕ (x0 , x¯) = limt↓0 t−1 (ϕ(x0 + t¯ x) − ϕ(x0 )) Định nghĩa 1.3 Đạo hàm ϕ (x0 ; x¯) gọi đạo hàm Hadamard theo hướng x¯ ϕ (x0 , x¯) = limt↓0,ν→¯x t−1 (ϕ(x0 + tν) − ϕ(x0 )) Định nghĩa 1.4 Lấy x¯1 , x¯2 ∈ Rn Đạo hàm cấp hai hàm ϕ điểm x0 theo hướng x¯1 , x¯2 kí hiệu bởi: ϕ (x0 ; x¯1 , x¯2 ) = limt↓0 2t−2 (ϕ(x0 + tx¯1 + t2 x¯2 ) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯1 )) Tương tự, sử dụng giới hạn tôpô giới thiệu đạo hàm Dini ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.5 Đạo hàm Dini ánh xạ đa trị F : Rn → Rm điểm z = (x, y) ∈ gr F theo hướng x¯, tương ứng, xác định D+ F (z; x¯) = Lim inft↓0 F (x + t¯ x) − y , t D+ F (z; x¯) = Lim supt↓0 F (x + t¯ x) − y t Định nghĩa 1.6 Lấy z = (x, y) ∈ gr F Đạo hàm Dini ánh xạ đa trị F điểm z = (x, y) z¯1 = (x¯1 , y¯1 ) theo hướng x¯2 ∈ Rn xác định bởi: F (z, z¯1 ; x¯2 ) = {y¯2 ∈ Rm | ∃o(t) : y + ty¯1 + t2 y¯2 + o(t2 ) D+ ∈ F (x + tx¯1 + t2 x¯2 ), ∀t ≥ 0}, D+2 F (z, z¯1 ; x¯2 ) = {y¯2 ∈ Rm | ∃o(t), ∃tk ↓ : y + tk y¯1 + t2k y¯2 + o(t2 ) ∈ F (x + tk x¯1 + t2k x¯2 )} Chú ý 1.1 Nếu D+ F (z; x¯) = D+ F (z; x¯) ta kí hiệu chung DF (z; x¯) gọi đạo hàm F điểm z = (x, y) ∈ gr F theo hướng x¯ F (z, z¯1 ; x¯2 ) = D+2 F (z, z¯1 ; x¯2 ) ta kí hiệu chung Nếu D+ D2 F (z, z¯1 ; x¯2 ) gọi đạo hàm bậc hai F điểm z = (x, y) z¯1 = (x¯1 , y¯1 ) theo hướng x¯2 ∈ Rn Sau ta đưa ví dụ đạo hàm theo hướng Ví dụ 1.1 Tính đạo hàm theo hướng hàm f (x, y) = x2 y −4y điểm z = (2; −1) theo hướng v = (2; 5) Ta có ∇f (x, y) = 2xy i + (3x2 y − 4)j √ Suy ∇f (2; −1) = −4i + 8j Ta có |v| = 29 nên vector đơn vị theo hướng u= v = √ i + √ j |v| 29 29 Ta có 32 Df (z; v) = ∇f (2; −1).u = (−4i + 8j) √ i + √ j = √ 29 29 29 16 Ví dụ 2.1 Xét toán f (x, y) = −y2 + y1 y2 → min, x ∈ R, y y ∈ F (x) = {y ∈ R3 | y2 + y3 − y12 ≤ 0, y2 ≤ x, y3 = 0, ≤ y ≤ 1/4 − y2 ≤ 1} Giả sử x0 = 0, y0 = (0, 0, 0) Không khó khăn để kiểm tra √ ϕ(x) = x x − x, ω(x) = {y ∈ R3 | y1 = √ x, y2 = x, y3 = 0}, √ với x đủ nhỏ, x > Do ω(x) = {y(x)} với y(x) = ( x, x, 0) y(x) → y0 = (0, 0, 0) ∈ ω(x0 ) = {0 ≤ y1 ≤ 1/4, y2 = y3 = 0} x → x0 Hiển nhiên nghiệm y(x) không Lipschitz x0 Mặt khác, ρ(y, ω(x0 )) = |y2 | = |x| với y ∈ ω(x) Do ánh xạ đa trị ω Lipschitz địa phương x0 nghiệm y(x) không Lipschitz x0 Ánh xạ đa trị F bị chặn lân cận điểm x0 thỏa mãn điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz điểm z0 = (x0 , y0 ) điểm z = (x0 , y) cho: y ∈ ω(x0 ) = {y ∈ R3 | ≤ y1 ≤ 1/4, y2 = 0, y3 = 0} √ Giả sử x¯ = Vì ϕ(x) = x x − x với x ≥ 0, ta tìm ϕ (x0 ; x¯) = −1 Mặt khác, Γ(z0 ; x¯) = {¯ y ∈ R3 | y¯1 ≥ 0, y¯2 ≤ 0, y¯3 = 0}; Γ(z; x¯) = {¯ y ∈ R3 | y¯1 ∈ R, y¯2 ≤ 1, y¯3 = 0} với z = (x0 , y), y ∈ ω(x0 ) cho < y1 < 1/4; Γ(z; x¯) = {¯ y ∈ R3 | y¯1 ≤ 0, y¯2 ≤ 1, y¯3 = 0} với z = (x0 , y), y ∈ ω(x0 ) cho y1 = 1/4 Khi y¯∈Γ(z0 ;¯ x) ∇f (z0 ), (¯ x, y¯) = (−¯ y2 ) = − max y¯2 = 0, y¯∈Γ(z0 ;¯ x) y¯∈Γ(z0 ;¯ x) 17 ∇f (z), (¯ x, y¯) y¯∈Γ(z;¯ x) = (−¯ y2 (1 − y1 )) = − max y¯2 (1 − y1 ) y¯∈Γ(z;¯ x) y¯∈Γ(z;¯ x) = −(1 − y1 ) với z = (x0 , y) cho y ∈ ω(x0 ) \ y0 Do inf ∇f (z), (¯ x, y¯) = inf y∈ω(x0 ) y¯∈Γ(z;¯ x) (−¯ y2 ) = inf (−1) = −1 y∈ω(x0 ) y¯∈Γ(z0 ;¯ x) y∈ω(x0 ) Trong y¯∈Γ(z0 ;¯ x) ∇f (z0 ), (¯ x, y¯) = (−¯ y2 ) = − max y¯2 = y¯∈Γ(z0 ;¯ x) y¯∈Γ(z0 ;¯ x) Do min ∇f (z), (¯ x, y¯) y∈ω(x0 ) y¯∈Γ(z;¯ x) không đạt điểm y ∈ ω(x0 ) Ví dụ 2.2 Xét toán:   f (x, y) = −y2 →     y + y2 ≤ x 1  y2 − y1 ≤ x2     −y2 − ≤ x3 Ta có h1 (z) = y2 + y12 − x1 , h2 (z) = y2 − y12 − x2 , h3 (z) = −y2 − − x3 Suy ∇h1 (z) = (−1; 0; 0; 2y1 ; 1), ∇h2 (z) = (0; −1; 0; −2y1 ; 1), h3 (z) = (0; 0; −1; 0; −1) Lấy x0 = (0, 0, 0), y0 = (0, 0), z0 = (x0 , y0 ) Ta có ∇h1 (z0 ) = (−1; 0; 0; 0; 1), ∇h2 (z0 ) = (0; −1; 0; 0; 1), h3 (z) = (0; 0; −1; 0; −1), I(z) = {i ∈ {1, 2, 3} | hi (z) = 0} = {1, 2} Khi tồn v = (1, 1, 1, 0, 0) cho ∇h1 (z0 ), v = −1 < 0, ∇h2 (z0 ), v = −1 < Mà ∇hi (z0 ) với i ∈ {1, 2, 3} độc lập tuyến tính Suy điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn điểm z0 = (x0 , y0 ) Do F R-chính quy z0 Ta có f (x, y) = −y2 , suy ∇f (z) = (0; 0; 0; 0; −1), ∇f (z0 ), z¯ = −y¯2 , Γ(z0 ; x¯) = {¯ y ∈ Rm | y¯2 ≤ 0} Với x¯ = (0, 1, 0) ta có ϕ (x0 ; x¯) = inf y0 ∈ω(x0 ) y¯∈Γ(z0 ;¯ x) ∇f (z0 ), z¯ = inf −¯ y2 = y0 ∈ω(x0 ) y¯2 ≤0 Đạo hàm theo hướng bậc hàm giá trị tìm thấy [3] điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz hay gọi điều kiện quy theo 18 hướng Tính R-chính quy không kéo theo điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz theo hướng Ta đưa vào giả thiết sau: (A1) - Ánh xạ đa trị F bị chặn điểm x0 , ta tìm thấy lân cận X0 điểm x0 tập bị chặn Y0 ⊂ Y cho F (X0 ) ⊂ Y0 ; (A2) - Bài toán P (x) R-chính quy điểm x0 ; (A3) - Với hướng x¯ ∈ X dãy tk ↓ 0, yk → y0 ∈ ω(x0 ) cho yk ∈ ω(x0 + tk x¯),k = 1, 2, , bất đẳng thức lim sup t−1 k |yk − y0 | < +∞ k→∞ thỏa mãn, tập nghiệm tối ưu ω(x) toán P (x) liên tục Holder điểm x0 theo hướng x¯ Định lý 2.2 Giả sử hi ∈ C , i = 0, , p giả thiết (A1), (A2), (A3) thỏa mãn Khi hàm ϕ khả vi điểm x0 theo hướng x¯ ϕ (x0 ; x¯) = = inf inf inf y0 ∈ω(x0 ) y¯1 ∈D(z0 ) y¯2 ∈Γ2 (z0 ,¯ z1 ;¯ x) Φ2 (¯ y1 , z¯2 ) max {∇x L(z0 , λ)¯ x + ∇2yy L(z0 , λ)¯ y12 } y0 ∈ω(x0 ) y¯1 ∈D(z0 ) λ∈Λ(z0 ) inf inf với z¯1 = (0, y¯1 ), z¯2 = (¯ x, y¯2 ), Φ2 (¯ y1 , z¯2 ) = ∇h0 (z0 )¯ z2 + ∇2yy h0 (z0 )¯ y12 Chứng minh Giả sử lấy tùy ý phần tử y0 ∈ ω(x0 ), y¯1 ∈ D(z0 ) x¯1 = 0, x¯2 = x¯, z¯1 = (0, y¯1 ), z¯2 = (¯ x2 , y¯2 ) Với y¯2 ∈ Γ2 (z0 , z¯1 ; x¯), tồn hàm o(t), o(t)/t → với t ↓ cho y0 + t y¯1 + t¯ y2 + o(t) ∈ F (x0 + t¯ x) Do ϕ(x0 + t¯ x) − ϕ(x0 ) ≤ h0 (x0 + t¯ x, y0 + t y¯1 + t¯ y2 + o(t)) − h0 (x0 , y0 ) y1 + tΦ2 (¯ y1 , z¯2 ) + o˜(t) = t ∇y h0 (z0 )¯ ≤ tΦ2 (¯ y1 , z¯2 ) + o˜(t), (2.2) 19 với o˜(t)/t → t ↓ Do đó, với y¯2 ∈ Γ2 (z0 , z¯1 ; x¯), y¯1 ∈ D(z0 ), y0 ∈ ω(x0 ), bất đẳng thức D+ ϕ(x0 ; x¯) ≤ Φ2 (¯ y1 , z¯2 ) thỏa mãn Do D+ ϕ(x0 ; x¯) ≤ inf inf inf y0 ∈ω(x0 ) y¯1 ∈D(z0 ) y¯2 ∈Γ2 (z0 ,¯ z1 ;¯ x) Φ2 (¯ y1 , z¯2 ) Theo Bổ đề 6.81 Bổ đề 6.82 (xem [12]), ta có Λ2 (z0 , 0) = Λ(z0 ), D+ ϕ(x0 ; x¯) ≤ max {∇x L(z0 , λ)¯ x + ∇2yy L(z0 , λ)¯ y12 } y0 ∈ω(x0 ) y¯1 ∈D(z0 ) λ∈Λ(z0 ) inf inf (2.3) Giả sử {tk }, tk ↓ dãy mà D+ ϕ(x0 ; x¯) = lim inf t−1 ¯) − ϕ(x0 )) k (ϕ(x0 + tk x k→∞ Ta chọn dãy yk ∈ ω(x0 + tk x¯), k = 1, 2, Theo giả thiết (A1), không tính tổng quát ta giả sử yk → y0 Hơn nữa, theo Bổ đề 6.24 (xem [12]), y0 ∈ ω(x0 ) Ta kí hiệu xk = x0 + tk x¯, zk = (xk , yk ) Với λ ∈ Λ(z0 ), ta ϕ(xk ) − ϕ(x0 ) ≥ L(xk , yk , λ) − L(x0 , y0 , λ) = tk ∇x L(z0 , λ)¯ x + ∇y L(z0 , λ)(yk − y0 ) + ∇2yy L(z0 , λ)(yk − y0 )2 + ηk = tk ∇x L(z0 , λ)¯ x + ∇2yy L(z0 , λ)(yk − y0 )2 + ηk (2.4) với ηk = tk (∇x L(x0 + τk tk x¯, yk , λ)¯ x − ∇x L(z0 , λ)¯ x) + [∇2yy L(x0 , y0 + τ¯(yk − y0 ), λ) − ∇2yy L(z0 , λ)(yk − y0 )2 1/2 < τk , τ¯k < Từ giả thiết (A3) ta kết luận |yk − y0 | ≤ Ctk , với C số Do −1/2 không tính tổng quát ta giả sử (yk − y0 )tk → y¯1 Từ bất đẳng thức (2.3) bất đẳng thức D+ ϕ(x0 ; x¯) ≥ ∇x L(z0 , λ)¯ x + ∇2yy L(z0 , λ)¯ y12 (2.5) đạt với λ ∈ Λ(z0 ) số y¯1 Áp dụng Bổ đề 6.24 (trong [12]) với k = 1, 2, , ta có h0 (xk , yk ) − h0 (x0 , y0 ) ≤ ltk , hi (xk , yk ) − hi (x0 , y0 ) ≤ 0, i ∈ I(z0 ), 20 với l ≥ Từ bất đẳng thức ta suy ∇y hi (z0 )¯ y1 ≤ 0, i ∈ {0} ∪ I(z0 ), với y¯1 ∈ D(z0 ) Do D+ ϕ(x0 ; x¯) ≥ max {∇x L(z0 , λ)¯ x + ∇2yy L(z0 , λ)¯ y12 } y0 ∈ω(x0 ) y¯1 ∈D(z0 ) λ∈Λ(z0 ) inf inf Sử dụng kết kết hợp với bất đẳng thức (2.3) bất đẳng thức (2.5) ta điều phải chứng minh 2.2 Đạo hàm theo hướng bậc hai hàm giá trị Tiếp theo, phần ta trình bày đạo hàm theo hướng bậc hai hàm giá trị (xem [3, 12, 14]) Giả sử x¯1 , x¯2 ∈ Rn , tk ↓ Đặt xk = x0 + tk x¯1 + t2k x¯2 xét dãy yk ∈ ω(xk ), k = 1, 2, Không tính tổng quát giả sử yk → y0 k → ∞, y0 ∈ ω(x0 ) theo Bổ đề 1.5 Giả sử z0 = (x0 , y0 ), z¯ = (¯ x, y¯), z¯1 = (¯ x1 , y¯1 ), z¯2 = (¯ x2 , y¯2 ), Γ∗ (z0 ; x¯1 ) = {¯ y1 ∈ Γ(z0 ; x¯1 ) | ∇f (z0 ), (¯ x1 , y¯1 ) = y¯∈Γ(z0 ;¯ x1 ) ∇f (z0 ), (¯ x1 , y¯) }, z¯1 , ∇2 f (z0 ), z¯1 , Λ2 (z0 ; x¯) = {λ ∈ Λ(z0 ) | ∇x L(z0 , λ), x¯ = max ∇x L(z0 , λ), x¯ } Φ(z0 , z¯1 , z¯2 ) = ∇f (z0 ), z¯2 + λ∈Λ(z0 ) Bổ đề 2.2 Giả sử Γ(z0 ; x¯) = ∅ điểm z0 = (x0 , y0 ) với y0 ∈ ω(x0 ) Khi Γ∗ (z0 ; x¯) = ∅ Bổ đề 2.3 Giả sử x¯1 , x¯2 ∈ Rn , hàm hi f C khả vi, ánh xạ đa trị F R-chính quy điểm z0 = (x0 , y0 ) với y0 ∈ ω(x0 ) Khi với dãy tk ↓ 0, {xk }, {yk }, {y0k } cho xk = x0 + tk x¯1 + t2k x¯2 + o(t2k ) ∈ dom F, yk ∈ ω(xk ) yk → y0 ∈ ω(x0 ) k → ∞, y0k ∈ ω(x0 ), |y0k − yk | ≤ M |xk − x0 |, M = const > 0, với k = k0 , ta có khai triển yk = y0k + tk y¯1k + t2k y¯2k + o(t2k ), 21 ϕ(xk ) − ϕ(x0 ) = tk ∇f (z0k ), z¯1k + t2k [ ∇f (z0k ), z¯2k z1k ] + o(t2k ), + z¯1k , ∇2 f (z0k )¯ (2.6) với z0k = (x0 , y0k ), z¯1k = (¯ x1 , y¯1k ), z¯2k = (¯ x2 , y¯2k ) {¯ y1k }, {¯ y2k } dãy bị chặn cho y¯1k ∈ Γ∗ (z0k ; x¯1 ), y¯2k ∈ Γ2 (z0k , z¯1k ; x¯2 ) Chứng minh Giả sử zk = (xk , yk ), z0k = (x0 , y0k ) Vì Γ∗ (z0 ; x¯1 ) = ∅ theo Bổ đề 2.2, ta lấy điểm y0∗ ∈ ω(x0 ) Γ∗ ((x0 , y0∗ ); x¯1 ) cho ∇f (x0 , y0∗ ), (¯ x1 , y¯1 ) = min y∈ω(x0 ) y¯∈Γ((x0 ,y);¯ x1 ) ∇f (x0 , y), (¯ x1 , y¯) Khi đó, từ Bổ đề 1.4 ta có D2 F ((x0 , y0∗ ), z¯1 ; x¯2 ) = Γ2 ((x0 , y0∗ ), z¯1 ; x¯2 ) = ∅ với z¯1 = (¯ x1 , y¯1 ), với y¯1 ∈ Γ(z0 ; x¯1 ) Do bao hàm y0∗ + tk y¯1 + t2k y¯2 + o(t2k ) ∈ F (x0 + tk x¯1 + t2k x¯2 ) thỏa mãn y¯2 ∈ Γ2 ((x0 , y0∗ ), z¯1 ; x¯2 ) k = 1, 2, Bắt đầu với k0 , ta ϕ(xk ) − ϕ(x0 ) ≤ f (xk , y0∗ + tk y¯1 + t2k y¯2 + o(t2k )) − f (x0 , y0∗ ) z1 ] = tk ∇f (z0∗ ), z¯1 + t2k [ ∇f (z0∗ ), z¯2 + z¯1 , ∇2 f (z0∗ )¯ + o(t2k ) ≤ tk ∇f (z0∗ ), z¯1 + M1 t2k , (2.7) với M1 = const > Mặt khác, ϕ(xk ) − ϕ(x0 ) = f (zk ) − f (z0k ) = ∇f (z0k ), zk − z0k + zk − z0k , ∇2 f (z0 )(zk − z0k ) + o(t2k ) nên ∇f (z0k ), zk − z0k ≤ tk ∇f (z0∗ ), z¯1 + M2 t2k , (2.8) với M2 = const > 0, k ≥ k0 Không tính tổng quát, giả sử bất đẳng thức (2.7) (2.8) thỏa mãn với k = 1, 2, Theo giả thiết mệnh đề với dãy yk ∈ ω(xk ), k = 1, 2, y0k ∈ ω(x0 ), k = 1, 2, , tồn dãy bị chặn {νk } cho yk − y0k = tk νk , k = 1, 2, Vì hi (zk ) − hi (z0k ) ≤ với i ∈ I(z0k ) hi (zk ) − hi (z0k ) = với i ∈ I0 nên ∇x hi (z0k ), xk − x0 + ∇y hi (z0k ), yk − y0k + (xk − x0 , yk − y0k ), ∇2 hi (z0k )(xk − x0 , yk − y0k ) + o(t2k ) ≤ 22 với i ∈ I(z0k ) ∇x hi (z0k ), xk − x0 + ∇y hi (z0k ), yk − y0k + (xk − x0 , yk − y0k ), ∇2 hi (z0k )(xk − x0 , yk − y0k ) + o(t2k ) = với i ∈ I0 Khi từ (2.8) định nghĩa y0∗ y¯1 , ta có ∇x f (z0k ), x¯1 + ∇y f (z0k ), νk ∇f (z0∗ ), z¯1 + M2 tk ≤ ≤ y¯∈Γ(z0k ;¯ x1 ) ∇f (z0k ), (¯ x1 , y¯) + M2 tk , ∇x hi (z0k ), x¯1 + ∇y hi (z0k ), νk + tk [ ∇x hi (z0k ), x¯2 + (¯ x1 , νk ), ∇2 hi (z0k )(¯ x1 , νk ) ] + o(tk ) ≤ 0, i ∈ I(z0k ), ∇x hi (z0k ), x¯1 + ∇y hi (z0k ), νk + tk [ ∇x hi (z0k ), x¯2 + (¯ x1 , νk ), ∇2 hi (z0k )(¯ x1 , νk ) ] + o(tk ) = 0, i ∈ I0 (2.9) Từ tồn số M3 > cho ∇x f (z0k ), x¯1 + ∇y f (z0k ), νk ≤ y¯∈Γ(z0k ;¯ x1 ) ∇f (z0k ), (¯ x1 , y¯) + M3 tk , ∇x hi (z0k ), x¯ + ∇y hi (z0k ), νk ≤ M3 tk , i ∈ I(z0k ), | ∇x hi (z0k ), x¯ + ∇y hi (z0k ), νk | ≤ M3 tk , i ∈ I0 Chú ý từ tính R-chính quy ánh xạ đa trị F tai điểm z0 kéo theo R-chính quy lân cận z0 ta có Γ∗ (z0k ; x¯1 ) = ∅ Áp dụng Bổ đề 1.3 ta có ρ(νk , Γ∗ (z0k ; x¯1 ) ≤ α max{0, tk M3 } = αM3 tk , với α M3 số dương Do tồn dãy bị chặn {qk } cho y¯1k = νk −tk qk ∈ Γ∗ (z0k ; x¯1 ) Mặt khác νk = y¯1k +tk qk , với y¯1k ∈ Γ∗ (z0k ; x¯1 ) Khi y = y0k + tk y¯1k + t2k qk Giả sử z¯1k = (¯ x1 , y¯1k ), từ (2.9) ta có: ∇x hi (z0k ), x¯1 + ∇y hi (z0k ), y¯1k (2.10) 23 +tk [ ∇x hi (z0k ), x¯2 + ∇y hi (z0k ), qk + z¯1k , ∇2 hi (z0k )¯ z1k ] + o(tk ) ≤ i ∈ I(z0k ) ∇x hi (z0k ), x¯1 + ∇y hi (z0k ), y¯1k +tk [ ∇x hi (z0k ), x¯2 + ∇y hi (z0k ), qk + z¯1k , ∇2 hi (z0k )¯ z1k ] + o(tk ) ≤ 0, i ∈ I0 Khi đó, giả sử i ∈ I (z0 , z¯1k ) = {i ∈ I(z0k ) | ∇hi (z0k ), z¯1k = 0} z2k = (¯ x2 , qk ) Dựa vào phương trình ta z1k ≤ M4 tk , i ∈ I (z0 , z¯1k ), ∇hi (z0k ), z2k + z¯1k , ∇2 hi (z0k )¯ | ∇hi (z0k ), z2k + z¯1k , ∇2 hi (z0k )¯ z1k | ≤ M4 tk , i ∈ I0 , với M4 = const > Vì Γ2 (z0k , z¯1k ; x¯2 ) = ∅ theo tính R-chính quy ánh xạ đa trị F , áp dụng Bổ đề 1.3 ta ρ(qk , Γ2 (z0k , z¯1k ; x¯2 )) ≤ α2 max{0, tk M4 } = α2 M4 tk , với α2 = const > Khi tồn dãy bị chặn {wk } cho y¯2k = qk − tk wk ∈ Γ2 (z0k , z¯1k ; x¯2 ) Do qk = y¯2k + tk wk , với y¯2k ∈ Γ2 (z0k , z¯1k ; x¯2 ) Dựa vào (2.10) ta yk = y0k + tk y¯1k + t2k y¯2k + o(t2k ) với y¯1k ∈ Γ(z0k ; x¯1 ), y¯2k ∈ Γ2 (z0k , z¯1k ; x¯2 ) Sử dụng hệ thức bên ta ϕ(xk ) − ϕ(x0 ) = f (xk , yk ) − f (x0 , y0k ) = ∇f (z0k ), (xk − x0 , yk − y0k ) (xk − x0 , yk − y0k ), ∇2 f (z0k )(xk − x0 , yk − y0k ) + o(t2k ) z1k ] + o(t2k ), = tk ∇f (z0k ), z¯1k + t2k [ ∇f (z0k ), z¯2k + z¯1k , ∇2 f (z0k )¯ với z¯2k = (¯ x2 , y¯2k ) + Bổ đề 2.4 [1] Giả sử z ∈ gr F Khi khẳng định sau thỏa mãn: (1) Nếu tập Λ(z) Γ(z; x¯) khác rỗng inf y¯∈Γ(z;¯ x) ∇f (z), z¯ = sup ∇x L(z, λ), x¯ (2.11) λ∈Λ(z) Hơn hai tập Λ(z) Γ(z; x¯) khác rỗng giới hạn đạt hai vế đẳng thức 24 (2) Nếu Γ2 (z, z¯1 ; x¯2 ) = ∅ với y¯ ∈ Γ(z; x¯), với x¯ = x¯1 giới hạn (2.11) đạt y¯1 inf y¯2 ∈Γ2 (z,¯ z1 ;¯ x2 ) = sup 2Φ(z, z¯1 ; z¯2 ) {2 ∇x L(z, λ), x¯2 + z¯1 , ∇2 L(z, λ), z¯1 } (2.12) λ∈Λ2 (z;¯ x1 ) Hơn ánh xạ đa trị F R-chính quy điểm z giới hạn đạt hai vế đẳng thức (2.12) Theo [4], giả sử ta đưa vào tập ω(x0 , x¯1 = {(y, y¯1 ) | y ∈ ω(x0 ), y¯1 ∈ Γ((x0 , y); x¯1 ), ϕ (x0 ; x¯1 ) = ∇f (x0 , y), (¯ x1 , y¯1 ) } Định lý 2.3 Giả sử ánh xạ đa trị F R-chính quy điểm z0 = (x0 , y0 ) cho y0 ∈ ω(x0 ), tập ω(x0 , x¯1 ) = ∅ ánh xạ nghiệm ω giả Lipschit điểm z0 = (x0 , y0 ) cho y0 ∈ ω(x0 ), hàm hi f C -khả vi Khi đó, tồn đạo hàm theo hướng bậc hai hàm ϕ điểm x0 theo hướng x¯1 , x¯2 ∈ Rn ϕ (x0 ; x¯1 , x¯2 ) = = inf (y0 ,¯ y1 )∈ω(x0 ,¯ x1 ) y¯2 ∈Γ2 (z0 ,¯ z1 ;¯ x2 ) 2Φ(z0 , z¯1 , z¯2 ) max {2 ∇x L(z0 , λ), x¯2 + z¯1 , ∇2 L(z0 , λ), z¯1 } inf (y0 ,¯ y1 )∈ω(x0 ,¯ x1 ) λ∈Λ2 (z;¯ x1 ) (2.13) Chứng minh Theo giả thiết định lí, hàm ϕ Lipschitz lân cận điểm x0 nên theo Định lí 2.1, tồn đạo hàm ϕ (x0 ; x¯1 ) đẳng thức Định lí 2.1 ϕ (x0 ; x¯) = inf y0 ∈ω(x0 ) y¯∈Γ(z0 ;¯ x) ∇f (z0 ), z¯ = inf max ∇x L(z0 , λ), x¯ y0 ∈ω(x0 ) λ∈Λ(z0 ) thỏa mãn với x¯ = x¯1 Giả sử (y0 , y¯1 ) ∈ ω(x0 , x¯1 ), y¯2 ∈ Γ2 (z0 , z¯1 ; x¯2 ), z0 = (x0 , y0 ), z¯1 = (¯ x1 , y¯1 ), z¯2 = (¯ x2 , y¯2 ) Theo Bổ đề 1.4 ta có DF (z0 ; x¯1 ) = Γ(z0 ; x¯1 ) = ∅ D2 F (z, z¯1 ; x¯2 ) = Γ2 (z0 , z¯1 ; x¯2 ) = ∅ Khi tồn hàm o(t) cho y0 + t¯ y1 + t2 y¯2 + o(t2 ) ∈ F (x0 + t¯ x1 + t2 x¯2 ) với t ≥ Do ϕ(x0 + t¯ x1 + t2 x¯2 ) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯1 ) 25 ≤ f (x0 + t¯ x1 + t2 x¯2 , y0 + t¯ y1 + t2 y¯2 + o(t2 )) − f (x0 , y0 ) − tϕ (x0 ; x¯1 ) ≤ t ∇f (z0 ), z¯1 + t2 ∇f (z0 ), z¯2 + z¯1 , ∇2 f (z0 ), z¯1 + o(t2 ) − tϕ (x0 ; x¯1 ) = t2 Φ(z0 , z¯1 , z¯2 ) + o(t2 ), sau kiểm tra giới hạn t ↓ 0, ta (ϕ(x0 + t¯ x1 + t2 x¯2 ) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯1 )) t↓0 t ≤ 2Φ(z0 , z¯1 , z¯2 ) D+2 ϕ(x0 ; x¯1 , x¯2 ) = lim sup với (y0 , y¯1 ) ∈ ω(x0 , x¯1 ), y¯2 ∈ Γ2 (z0 , z¯1 ; x¯2 ) Khi D+2 ϕ(x0 ; x¯1 , x¯2 ) ≤ inf inf (y0 ,¯ y1 )∈ω(x0 ,¯ x1 ) y¯2 ∈Γ2 (z0 ,¯ z1 ;¯ x2 ) 2Φ(z0 , z¯1 , z¯2 ) (2.14) Giả sử giới hạn D+ ϕ(x0 ; x¯1 , x¯2 ) = lim inf t↓0 (ϕ(x0 + t¯ x1 + t2 x¯2 ) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯1 )) t2 đạt dãy tk ↓ giả sử xk = x0 + tk x¯1 + t2k x¯2 , yk ∈ ω(xk ), k = 1, 2, Không tính tổng quát, giả sử yk → y0 theo Bổ đề 1.5, y0 ∈ ω(x0 ), tồn dãy {y0k } cho y0k ∈ ω(x0 ), |y0k − yk | ≤ M |xk − x0 |, M = const > Theo Bổ đề 2.3 ta có khai triển yk = y0k + tk y¯1k + t2k y¯2k + o(t2k ), ϕ(xk ) − ϕ(x0 ) = tk ∇f (z0k ), z¯1k + t2k [ ∇f (z0k ), z¯2k + z¯1k , ∇2 f (z0k )¯ z1k ] + o(t2k ), với z0k = (x0 , y0k ), z¯1k = (¯ x1 , y¯1k ), z¯2k = (¯ x2 , y¯2k ) dãy {¯ y1k }, {¯ y2k } bị chặn với k = k0 thỏa mãn y¯1k ∈ Γ∗ (z0k ; x¯1 ), y¯2k ∈ Γ2 (z0k , z¯1k ; x¯2 ) Trong trường hợp ϕ(x0 + tk x¯1 + t2k x¯2 ) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯1 ) ≥ tk [ ∇f (z0k ), z¯1k − ϕ (x0 ; x¯1 )] + t2k Φ(z0k , z¯1k , z¯2k ) + o(t2k ) ≥ t2k Φ(z0k , z¯1k , z¯2k ) + o(t2k ) ≥ t2k inf (y0 ,¯ y1 )∈ω(x0 ,¯ x1 ) y¯2 inf ∈Γ2 (z z1 ;¯ x2 ) ,¯ Φ(z0 , z¯1 , z¯2 ) + o(t2k ), Do D+ ϕ(x0 ; x¯1 , x¯2 ) ≥ inf (y0 ,¯y1 )∈ω(x0 ,¯x1 ) inf y¯2 ∈Γ2 (z0 ,¯z1 ;¯x2 ) 2Φ(z0 , z¯1 , z¯2 ) Kết hợp bất đẳng thức với bất đẳng thức (2.14) xét Bổ đề 2.4 ta đẳng thức (2.13) 26 Xét toán P (x), với f (x, y) = c(x), y + d(x), hi (x, y) = (x), y + bi (x), i = 1, , p (2.15) với hàm hi f hàm liên tục khả vi cấp hai Hệ 2.1 Giả sử toán P (x) với giả thiết (2.15) ánh xạ đa trị F bị chặn gần điểm x0 R-chính quy điểm z0 = (x0 , y0 ) cho y0 ∈ ω(x0 ) Khi với x¯1 , x¯2 ∈ Rn , tồn đạo hàm theo hướng bậc hai ϕ (x0 ; x¯1 , x¯2 ) thỏa mãn (2.13) Chứng minh Theo [12], giả thiết (2.15), tồn đạo hàm ϕ (x0 , x¯1 ) ω(x0 , x¯1 ) = ∅ Hơn nữa, tập ω(x0 ) R-chính quy theo Bổ đề 1.3 Do theo Bổ đề 1.6 ánh xạ nghiệm ω giả Lipchitz điểm z0 = (x0 , y0 ) cho y0 ∈ ω(x0 ) Do với từ Định lí 2.3 Hệ 2.1 chứng minh Đạo hàm theo hướng bậc hai hàm giá trị tối ưu nghiên cứu [12] Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1 Giả sử x¯ ∈ X đạo hàm ϕ (x0 ; x¯) tồn Nếu giới hạn [ϕ(x0 + t¯ x) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯)] t↓0 t2 2 D+ ϕ(x0 ; x¯) = lim inf [ϕ(x0 + t¯ x) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯)] t↓0 t D+2 ϕ(x0 ; x¯) = lim sup hữu hạn nhau, hàm ϕ gọi khả vi theo hướng cấp hai điểm x0 ϕ (x0 ; x¯) = lim t↓0 [ϕ(x0 + t¯ x) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯)] t2 (2.16) gọi đạo hàm theo hướng bậc hai ϕ x0 theo hướng x¯ Định nghĩa 2.2 Giả sử x¯1 , x¯2 ∈ X Nếu giới hạn [ϕ(x0 + t¯ x1 + t2 x¯2 ) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯1 )] t↓0 t2 2 ϕ(x0 ; x¯, x¯2 ) = lim inf [ϕ(x0 + t¯ D+ x + t2 x¯2 ) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯1 )] t↓0 t D+2 ϕ(x0 ; x¯1 , x¯2 ) = lim sup hữu hạn nhau, hàm ϕ gọi khả vi theo hướng điểm x0 theo Ben-Tal Zowe theo hướng x¯1 , x¯2 ϕ (x0 ; x¯1 , x¯2 ) = lim t↓0 [ϕ(x0 + t¯ x1 + t2 x¯2 ) − ϕ(x0 ) − tϕ (x0 ; x¯1 )] t gọi đạo hàm theo hướng bậc hai ϕ x0 theo hướng x¯1 , x¯2 (2.17) 27 Dưới điều kiện quy, chương thiết lập điều diện đủ quy tắc tính đạo hàm bậc nhất, bậc hai hàm giá trị toán tối ưu có ràng buộc với nhiễu 28 KẾT LUẬN Trên sở số báo tác giả Demyanov VF, Rubinov AM, Minchenko and Tarakanov, nội dung luận văn trình bày hệ thống khái niệm đạo hàm theo hướng, quy tắc tính, điều kiện quy mối quan hệ chúng, điều kiện đủ cho tồn quy tắc tính đạo hàm bậc nhất, bậc hai theo hướng hàm giá trị quy hoạch phi tuyến có tham số Việc làm để nới lỏng điều kiện quy đặt toán thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu 29 Tài liệu tham khảo [1] A Auslender, R Cominetti (1990), First and second order sensitivity analysis of nonlinear programs under directional constraint qualifications Optimization,(21), 351-363 [2] J-P Aubin, I Ekeland (1984), Applied nonlinear analysis New York (NY): Wiley [3] JF Bonnans, A Shapiro (2000), Perturbations analysis of optimization problems New York (NY): Springer [4] VF Demyanov (1974), Minimax: Differentiability in directions Leningrad University Publ [5] VF Demyanov, AM Rubinov (1990), Foundations of nonsmooth analysis and quasidifferential calculus, Moscow: Nauka [6] VF Demyanov VF, AM Rubinov (1995), Constructive nonsmooth analysis Frankfurt: Verlag Peter Lang [7] VV Fedorov (1979), Numerical methods of max-min Moscow: Nauka [8] B Gollan (1984), On the marginal function in nonlinear programming Math Oper Res, (9), 208-221 [9] R Henrion, A Jourani, J Outrata (2002), On the calmness of a class of multifunctions SIAM J Optim, (13), 603-618 [10] AD Ioffe (1979), Regular points of Lipschitz functions Trans Amer Math Soc, (251), 61-69 [11] AD Ioffe, J Outrata (2008), On metric and calmness qualification conditions in subdifferential calculus, (16), 199-227 30 [12] B Luderer, L Minchenko, T Satsura (2002), Multivalued analysis and nonlinear programming problems with pertubations Dordrecht: Kluwer [13] OL Mangasarian, S Fromovitz (1967) The Fritz-John necessary optimality conditions in presence of equality and inequality constraints J Math Anal, (7), 37-47 [14] L Minchenko and A Tarakanov (2015), On second-order directional derivatives of value functions Optimization, (64), 389-407 [15] A Shapiro (1988), Sensitivity analysis of nonlinear programs and differentiability properties of metric projections SIAM J Control Optim (26), 628-645 ... hoạch phi tuyến có tham số, khái niệm đạo hàm theo hướng, điều kiện quy tồn đạo hàm theo hướng bậc bậc hai hàm giá trị + Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lớp toán quy hoạch phi tuyến có tham số Phương... kiện quy Mangasarian - Fromovitz Đề tài "Đạo hàm theo hướng hàm giá trị quy hoạch phi tuyến có tham số" nhằm mục đích nghiên cứu tồn và phép tính đạo hàm theo hướng bậc bậc hai hàm giá trị toán quy. .. tồn tính đạo hàm theo hướng hàm giá trị quy hoạch phi tuyến có tham số Minh họa khái niệm, tính chất, phương pháp tính đạo hàm hàm giá trị thông qua ví dụ cụ thể 3 Chương Đạo hàm theo hướng điều