Đạo hàm theo hướng của hàm giá trị trong quy hoạch phi tuyến có tham số

Nguyễn Quang Huy, luận văn Thạc sỹ chuyênngành Toán Giải tích với đề tài "Đạo hàm theo hướng của hàm giá trị trong quy hoạchphi tuyến có tham số" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN QUANG HUY

HÀ NỘI, 2017

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới PGS.TS.Nguyễn Quang Huy người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướngdẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy côgiáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã độngviên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thànhbản luận văn này

Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Tươi

Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Quang Huy, luận văn Thạc sỹ chuyênngành Toán Giải tích với đề tài "Đạo hàm theo hướng của hàm giá trị trong quy hoạchphi tuyến có tham số" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, khôngtrùng với bất cứ luận văn nào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 01 tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Tươi

Mở đầu 1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đạo hàm theo hướng của hàm giá trị có vai trò quan trọng trong việc phân tíchtính ổn định và độ nhạy của bài toán quy hoạch toán học đối với tham số nhiễu Sựtồn tại và phép tính các đạo hàm theo hướng của hàm giá trị luôn được các nhà toánhọc quan tâm nghiên cứu V F Demyanov là người đầu tiên đề xuất nghiên cứu đạohàm theo hướng của hàm giá trị thông qua các khái niệm đạo hàm theo hướng của ánh

xạ đa trị, xem [4] Việc tính các đạo hàm theo hướng đã được nghiên cứu bởi A V.Fiacco, V F Demyanov, A M Rubinov, R T Rockafellar, A Shapiro, J F Bonnans,

A D Ioffe, A Auslender, R Cominetti, L Michenko, A Tarakanov và nhiều tác giảkhác, xem [1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 14, 15] và các tài liệu trích dẫn trong đó Chúng tabiết rằng các tính chất khả vi của hàm giá trị của các bài toán tối ưu có ràng buộcvới nhiễu có mối quan hệ gắn kết với các điều kiện chính quy ràng buộc hoặc các điềukiện chính quy Chẳng hạn, một trong các cách tiếp cận thành công nhất để nghiêncứu đạo hàm theo hướng của hàm giá trị là đặt lên bài toán đang xét điều kiện chínhquy Mangasarian - Fromovitz

Đề tài "Đạo hàm theo hướng của hàm giá trị trong quy hoạch phi tuyến có thamsố" nhằm mục đích nghiên cứu sự tồn tại và và các phép tính đạo hàm theo hướng bậcnhất và bậc hai của hàm giá trị trong các bài toán quy hoạch phi tuyến có tham số

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại đạo hàm theo hướng bậc nhất và bậc hai của hàm giá trịtrong các bài toán quy hoạch phi tuyến có tham số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm đạo hàm theo hướng, các điều kiện chính quy, sự tồntại và quy tắc tính đạo hàm theo hướng bậc nhất và bậc hai của hàm giá trị trong cácbài toán quy hoạch phi tuyến có tham số

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán quy hoạch phi tuyến có tham số, các kháiniệm đạo hàm theo hướng, các điều kiện chính quy và sự tồn tại đạo hàm theohướng bậc nhất và bậc hai của hàm giá trị

+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu đối với lớp bài toán quy hoạch phi tuyến cótham số

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của Giải tích hàm, Giải tích đa trị, Lýthuyết tối ưu, phương pháp phân tích, tổng hợp,

6 Đóng góp của luận văn

Hệ thống hóa các khái niệm đạo hàm theo hướng, tính chất, điều kiện chính quy

Áp dụng để chứng minh sự tồn tại và tính đạo hàm theo hướng của hàm giá trị trongquy hoạch phi tuyến có tham số Minh họa các khái niệm, tính chất, phương pháp tínhđạo hàm của hàm giá trị thông qua các ví dụ cụ thể

tương ứng, được xác định bởi

Tương tự, sử dụng các giới hạn tôpô trên và dưới chúng ta giới thiệu đạo hàmDini trên và dưới của ánh xạ đa trị.

Định nghĩa 1.6 Lấy z = (x, y) ∈ gr F Đạo hàm Dini dưới và trên của ánh xạ đa trị

Sau đây ta đưa ra một ví dụ về đạo hàm theo hướng

1.2 Các điều kiện chính quy

Trong mục này chúng ta trình bày một số điều kiện chính quy được sử dụng trong

giá trị

ϕ(x) = inf{f (x, y) | y ∈ F (x)}

và tập nghiệm tối ưu ω(x) = {y ∈ F (x) | f (x, y) = ϕ(x)}

của bài toán P (x) được ký hiệu bởi L(z, λ) = f (z) + hλ, h(z)i

nhân tử Lagrange tại điểm z của bài toán P (x) Điều kiện chính quy được biết đếnnhiều nhất là điều kiện Mangasarian-Fromovitz [13]

Định nghĩa 1.7 Điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn tại điểm

Định nghĩa 1.8 Điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz nới lỏng thỏa mãn tại

cận của điểm y

Kết quả đầu tiên về sự tồn tại đạo hàm bậc hai theo hướng ϕ00(x0; ¯x1, ¯x2) được

dương và F (x) thỏa mãn điều kiện chính quy Slater

Trong [15], A Shapiro đã chỉ ra rằng dưới điều kiện chính quy Mangasarian

kiện đủ tối ưu cấp hai mạnh

tuyến tính

Định nghĩa 1.10 Ánh xạ đa trị F được gọi là R-chính quy ( đối với một tập S ⊂

Bổ đề 1.2 Giả sử hàm f : X → r đạt cực tiểu hoặc cực đại trên tập M ⊂ X tại điểm

y 0 ∈Ω(x 0 )f0(x0, y0; ¯x)

Định lý 1.2 Giả sử ánh xạ đa trị F là Mangasarian-Fromovitz chính quy tại điểm

Do đó egk(y) = h+(xk, y) + δk|y − yk| Áp dụng điều kiện đủ cực tiểu (xem trong Bổ đề

Nhận xét 1.1 Các điều kiện chính quy có mối quan hệ chặt chẽ với nhau:

tính R-chính quy thỏa mãn với mọi y ∈ Y và x ∈ int dom F

NF (x)(y), |l| = 1} với t = ρ(y(t), F (x)) ( ở đó NF (x)(y) là nón pháp tuyến của tập F (x)tại điểm y ) Với y(t) như trên ta có:

Do β(x, y) xác định bởi tập I(x, y) và chỉ tồn tại một số hữu hạn các tập con của tập

I = {1, , p}, khi đó β(x, y) ≥ β > 0 với y thuộc biên của F (x) và x tùy ý thuộc

Ví dụ sau đây cho thấy ánh xạ F xác định bởi (1.4) không thỏa mãn điều kiệnMangasarian-Fromovitz

2,1

Trong số các tính chất Lipschitz khác của ánh xạ đa trị, các tính chất đóng vaitrò quan trọng được nói đến là liên tục giả Lipschitz (xem trong [2]) và liên tục giảLipschitz trên (xem trong [9], [11])

một số l > 0 sao cho:

l > 0 sao cho:

Định nghĩa 1.15 Hàm F được gọi là liên tục Lipschitz trên địa phương tại điểm

Khi đó các khẳng định bên dưới thỏa mãn:

(2) Hàm ϕ(x) là Lipschitz trong lân cận của x0;

đẳng thức

thỏa mãn Theo tính liên tục của các hàm số, không mất tính tổng quát ta giả sử

Do đó

Điều kiện cuối tương đương với bao hàm

Trong chương này, chúng ta đã trình bày hệ thống các khái niệm về đạo hàmtheo hướng, các quy tắc tính, các điều kiện chính quy và mối quan hệ giữa chúng Dướicác điều kiện chính quy, chúng ta sẽ thiết lập được các điều kiện đủ cho sự tồn tại đạohàm bậc nhất, bậc hai theo hướng của hàm giá trị được trình bày trong chương sau

Bây giờ ta sẽ trình bày về đạo hàm theo hướng bậc nhất của hàm giá trị (xemtrong [14]) Nhưng trước tiên ta có bổ đề sau:

Định lý 2.1 Giả sử ánh xạ đa trị F là R-chính quy và ánh xạ nghiệm ω là giả Lipschitz

y 0 ∈ω(x0) min

¯ y∈Γ(z 0 ;¯ x)h∇f (z0), ¯zi = inf

y 0 ∈ω(x0) max

λ∈Λ(z 0 )h∇xL(z0, λ), ¯xi

Sau khi kiểm tra giới hạn khi t ↓ 0, ta được

y 0 ∈ω(x 0 ) min

¯ y∈Γ(z 0 ;¯ x)h∇f (z0), ¯zi

y∈ω(x 0 ) inf

¯ y∈Γ((x 0 ,y);¯ x)h∇f (x0, y), ¯zi + o(tk)/tk,sau khi lấy giới hạn khi t ↓ 0, ta được

y∈ω(x 0 ) inf

¯ y∈Γ((x 0 ,y);¯ x)h∇f (x0, y), ¯zi,

y∈ω(x 0 ) min

¯ y∈Γ(z 0 ;¯ x)h∇f (z0), ¯zi

Sử dụng định lí đối ngẫu của bài toán tuyến tính (xem trong [1]), ta được Định

lí 2.1

Ví dụ bên dưới chỉ ra rằng infimum trong Định lí 2.1 không thể thay thế bởiminimum

¯ y∈Γ(z ;¯ x)(−¯y2) = − max

¯ y∈Γ(z ;¯ x)¯2 = 0,

¯

y∈Γ(z;¯ x)h∇f (z), (¯x, ¯y)i = min

¯ y∈Γ(z;¯ x)(−¯y2(1 − y1)) = − max

¯ y∈Γ(z;¯ x)¯2(1 − y1)

y∈ω(x 0 ) min

¯ y∈Γ(z 0 ;¯ x)(−¯y2) = inf

y∈ω(x 0 )(−1) = −1

Trong khi

min

¯ y∈Γ(z 0 ;¯ x)h∇f (z0), (¯x, ¯y)i = min

¯ y∈Γ(z 0 ;¯ x)(−¯y2) = − max

¯ y∈Γ(z 0 ;¯ x)¯2 = 0

Do đó

min

y∈ω(x 0 ) min

¯ y∈Γ(z;¯ x)h∇f (z), (¯x, ¯y)i

y 0 ∈ω(x 0 ) min

¯ y∈Γ(z 0 ;¯ x)h∇f (z0), ¯zi = inf

y 0 ∈ω(x 0 )min

¯ 2 ≤0−¯y2 = 0Đạo hàm theo hướng bậc nhất của hàm giá trị được tìm thấy trong [3] dưới điềukiện chính quy Mangasarian-Fromovitz hay còn được gọi là điều kiện chính quy theo

hướng Tính R-chính quy không kéo theo điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz

và điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz theo hướng Ta đưa vào các giả thiếtsau:

với ˜o(t)/t → 0 nếu t ↓ 0 Do đó, với mọi ¯y2 ∈ Γ2(z0, ¯z1; ¯x), ¯y1 ∈ D(z0), y0 ∈ ω(x0), bất

với l ≥ 0 Từ các bất đẳng thức này ta suy ra

Tiếp theo, trong phần này ta sẽ trình bày về đạo hàm theo hướng bậc hai củahàm giá trị (xem trong [3, 12, 14])

y∈ω(x 0 ) min

¯ y∈Γ((x 0 ,y);¯ x 1 )h∇f (x0, y), (¯x1, ¯y)i

Không mất tính tổng quát, giả sử bất đẳng thức (2.7) và (2.8) thỏa mãn với

nên

với mọi i ∈ I(z0k) và

vào các phương trình trên ta được

Bổ đề 2.4 [1] Giả sử z ∈ gr F Khi đó các khẳng định sau thỏa mãn:

inf

¯ y∈Γ(z;¯ x)h∇f (z), ¯zi = sup

λ∈Λ(z)

được trên cả hai vế của đẳng thức

(2) Nếu Γ2(z, ¯z1; ¯x2) 6= ∅ với ¯y ∈ Γ(z; ¯x), với ¯x = ¯x1 giới hạn dưới trong (2.11) đạt

y 0 ∈ω(x 0 ) min

¯ y∈Γ(z 0 ;¯ x)h∇f (z0), ¯zi = inf

Xét bài toán P (x), với

Hệ quả 2.1 Giả sử trong bài toán P (x) với giả thiết (2.15) ánh xạ đa trị F bị chặn

với từ Định lí 2.3 Hệ quả 2.1 được chứng minh

Đạo hàm theo hướng bậc hai của các hàm giá trị tối ưu cũng được nghiên cứutrong [12] Ta có định nghĩa sau:

Dưới các điều kiện chính quy, trong chương này chúng ta đã thiết lập các điềudiện đủ và quy tắc tính đạo hàm bậc nhất, bậc hai của hàm giá trị trong các bài toántối ưu có ràng buộc với nhiễu.

KẾT LUẬN

Trên cơ sở một số bài báo của các tác giả Demyanov VF, Rubinov AM, Minchenkoand Tarakanov, nội dung luận văn trình bày hệ thống các khái niệm về đạo hàm theohướng, các quy tắc tính, các điều kiện chính quy và mối quan hệ giữa chúng, các điềukiện đủ cho sự tồn tại và quy tắc tính đạo hàm bậc nhất, bậc hai theo hướng của hàmgiá trị trong quy hoạch phi tuyến có tham số

Việc làm thế nào để nới lỏng các điều kiện chính quy đặt trên bài toán vẫn đangthu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu

Tài liệu tham khảo

[1] A Auslender, R Cominetti (1990), First and second order sensitivity analysis ofnonlinear programs under directional constraint qualifications Optimization,(21),351-363

[2] J-P Aubin, I Ekeland (1984), Applied nonlinear analysis New York (NY): Wiley.[3] JF Bonnans, A Shapiro (2000), Perturbations analysis of optimization problems.New York (NY): Springer

[4] VF Demyanov (1974), Minimax: Differentiability in directions Leningrad sity Publ

Univer-[5] VF Demyanov, AM Rubinov (1990), Foundations of nonsmooth analysis andquasidifferential calculus, Moscow: Nauka

[6] VF Demyanov VF, AM Rubinov (1995), Constructive nonsmooth analysis Frankfurt: Verlag Peter Lang

[7] VV Fedorov (1979), Numerical methods of max-min Moscow: Nauka

[8] B Gollan (1984), On the marginal function in nonlinear programming Math.Oper Res, (9), 208-221

[9] R Henrion, A Jourani, J Outrata (2002), On the calmness of a class of functions SIAM J Optim, (13), 603-618

multi-[10] AD Ioffe (1979), Regular points of Lipschitz functions Trans Amer Math Soc,(251), 61-69

[11] AD Ioffe, J Outrata (2008), On metric and calmness qualification conditions insubdifferential calculus, (16), 199-227

[12] B Luderer, L Minchenko, T Satsura (2002), Multivalued analysis and nonlinearprogramming problems with pertubations Dordrecht: Kluwer.

[13] OL Mangasarian, S Fromovitz (1967) The Fritz-John necessary optimality ditions in presence of equality and inequality constraints J Math Anal, (7), 37-47.[14] L Minchenko and A Tarakanov (2015), On second-order directional derivatives

con-of value functions Optimization, (64), 389-407

[15] A Shapiro (1988), Sensitivity analysis of nonlinear programs and differentiabilityproperties of metric projections SIAM J Control Optim (26), 628-645