bai tap xa dinh giao tuyen 11

1 BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VỀ XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M ,N nằm hai cạnh AB AC cho AM AN  Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn qua MN,cắt CD BD E AB AC F a)Chứng minh đường thẳng EF luôn qua điểm cố định b)Tìm quĩ tích giao điểm I ME NF c)Tìm quĩ tích giao điểm J MF NE Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O.Gọi M N trung điểm SA SC.Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M,N B a) Tìm giao tuyến (P)  (SAB) (P)  (SBC) b)Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng (P) giao điểm K đường thẳng SD với mặt phẳng (P) c)Xác định giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) mặt phẳng (SDC) d)Xác định giao điểm E, F đường thẳng DA,DC với (P) Chứng minh E ,B ,F thẳng hàng Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên đoạn AC BF lấy điểm M ,N cho: AM = kAC BN = kBF (0 < k < 1) a)Giả sử k = 1/3 ;chứng minh MN // DE b)Giả sử MN // DE, tính k theo MN DE ? Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M N trung điểm cạnh SB SC a)Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) b)Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F trung điểm cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD a)Chứng minh ME//AC , NF//BD b)Chứng minh ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O giao điểm AC BD) đồng qui c)Chứng minh điểm M,N,E,F đồng phẳng Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J hai điểm cố định SA SC với SI > IA SJ < JC Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB M, SD N a) CMR: IJ, MN SO đồng qui (O =ACBD) Suy cách dựng điểm N biết M b) AD cắt BC E, IN cắt MJ F CMR: S, E, F thẳng hàng c) IN cắt AD P, MJ cắt BC Q CMR PQ qua điểm cố định (P) di động Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi C trung điểm SC, M điểm di động cạnh SA Mặt phẳng (P) di động qua CM song song với BC a) Chứng minh (P) chứa đường thẳng cố định b) Xác định thiết diện mà (P) cắt h́ nh chóp SABCD Xác định vị trí điểm M để thiết diện hình bình hành c) Tìm tập hợp giao điểm cạnh đối thiết diện M di động cạnh SA 2 HD: a) Đường thẳng qua C song song với BC ́ b) Hnh thang H́nh b́ nh hành M trung điểm SA c) Hai nửa đường thẳng Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang với đáy AD = a, BC = b Gọi I, J trọng tâm tam giác SAD, SBC a) Tìm đoạn giao tuyến (ADJ) với mặt (SBC) đoạn giao tuyến (BCI) với mặt (SAD) b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến hai mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Bài 9: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J hai điểm di động cạnh AD, BC cho có: IA JB  ID JC a) CMR: IJ song song với mặt phẳng cố định b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước HD: a) IJ song song với mp qua AB song song CD b) Tập hợp điểm M đoạn EF với E, F điểm chia AB, CD theo tỉ số k Bài 10: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông A, Bµ= 600, AB = a Gọi O trung điểm BC Lấy điểm S (P) cho SB = a SB  OA Gọi M điểm cạnh AB Mặt phẳng (Q) qua M song song với SB OA, cắt BC, SC, SA N, P, Q Đặt x = BM (0 < x < a) a) Chứng minh MNPQ hình thang vuông b) Tính diện tích hình thang Tìm x để diện tích lớn Bài 11: Trong mặt phẳng  cho tam giác ABC Gọi  mặt phẳng cắt  theo giao tuyến BC.Trong mặt phẳng  ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx Cy song song với nằm phía với  Trên Bx Cy ta lấy B’ C’ cho BB’ = 2CC’ a)Tìm giao điểm D đường thẳng BC với mặt phẳng (AB’C’) tìm giao tuyến mặt phẳng (AB’C’) với mặt phẳng  b)Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M cho AM = AC’.Tìm giao điểm I đường thẳng B’M với mặt phẳng  chứng minh I trung điểm AD c)Chứng minh B’ C’ theo thứ tự chạy Bx Cy cho BB’ = 2CC’ mặt phẳng (AB’C’) luôn cắt  theo giao tuyến cố định d)Gọi E F trung điểm AB BC.Cạnh AC cắt DE G AG Hãy tính tỉ số chứng minh AD = 2AF AC Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB Điểm M thay đổi cạnh BC, mặt phẳng  qua M song song với AB SC a) Dựng giao tuyến (SAD)  (SBC) b) Dựng thiết diện hình chóp với  c) Chứng minh đoạn giao tuyến  với (SAD) //SD Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD nửa lục giác ABCD đáy lớn AB = 2a,hai cạnh bên AD BC cắt I Tam giác SAB cân S SI = 2a Trên đoạn AI ta lấy điểm M, đặt AM = x (0< x < 2a ) Mặt phẳng  qua M song song SI AB cắt BI, SB, SA N ,P ,Q a)Tính góc SI AB b) MNPQ hình ? c)Tính diện tích MNPQ theo a x.Tìm x để diện tích lớn Khi MNPQ hình d)Gọi K = MP  NQ Tìm quĩ tích điểm K M chạy đoạn AI Bài14 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD G trung điểm đoạn MN a) Tìm giao điểm A đường thẳng AG với mp(BCD) b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA Mx cắt (BCD) M Chứng minh B, M, A thẳng hàng BM = MA = AN c) Chứng minh GA = 3GA Bài15 Cho hai hình vuông ABCD ABEF hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho: AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD, AF M, N a) Chứng minh: (CBE) // (ADF) b) Chứng minh: (DEF) // (MNNM) c) Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp điểm I M, N di động Bài16 Cho hai nửa đường thẳng chéo Ax, By M N hai điểm di động lần uuur uuur lượt Ax, By cho AM = BN Vẽ NP  BA a) C/ minh MP có phương không đổi MN song song với mặt phẳng cố định b) Gọi I trung điểm MN CMR I nằm đường thẳng cố định M, N di động Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b Tam giác SBD Một mặt phẳng (P) di động song song với mp(SBD) qua điểm I đoạn AC a) Xác định thiết diện hình chóp với (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a, b x = AI Bài 18: Đề thi đại học khối A năm 2011 ( điểm) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 19: ( Đề thi đại học khối A năm 2010 câu IV : điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a Gọi M; N trung điểm cạnh AB AD.; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với (ABCD) SH  a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Bài 20: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông B có AB = a, BC = a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N hình chiếu vuông góc điểm A cạnh SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM 4 Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M ,N nằm hai cạnh AB AC cho AM AN  Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn qua MN,cắt CD BD lần AB AC lượt E F a)Chứng minh đường thẳng EF luôn qua điểm cố định b)Tìm quĩ tích giao điểm I ME NF c)Tìm quĩ tích giao điểm J MF NE GIẢI: AM AN  nên MN không song song với BC AB AC Gọi K  MN  BC cố định Mặt khác : (MNEF)  (BCD) = EF; MN  (MNEF); BC  ( BCD) K  MN  BC nên K  EF hay EF qua điểm K cố định b) Khi (P)  (ABC) B  F; C  E Gọi H  BN  CM cố định Khi (P)  (MND) E  D  F Mặt khác ( BDN)  (CDM) = DH mà ME  (CDM) ; NF  (BDN) nên I  DH hay quỹ tích điểm I đoạn thẳng DH c) Tương tự : MF  (ABD) ; NE  (ADC) mà (ABD)  (ADC) = AD; MF  NE = J a) Vì nên J thuộc đường thẳng AD hay quỹ tích điểm J đường thẳng AD * Giới hạn quỹ tích : Khi (P)  (MND) J  D; (P)  (ABC) J  Anên J   AD  Vậy quỹ tích điểm J đường thẳng AD trừ khoảng AD J D F E I B M C H N A K Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O.Gọi M N trung điểm SA SC.Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M,N B a) Tìm giao tuyến (P)  (SAB) (P)  (SBC) b)Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng (P) giao điểm K đường thẳng SD với mặt phẳng (P) c)Xác định giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) mặt phẳng (SDC) d)Xác định giao điểm E, F đường thẳng DA,DC với (P) Chứng minh E ,B ,F thẳng hàng Giải: S a) Vì B, M   MNB    SAB  nên  MNB    SAB   BM K N  Tương tự :  MNB    SAB   BN I Vì M; N trung điểm H M SA; SC nên MN // AC Gọi I = MN  SO D Suy : I trung điểm SO C Vậy (P) cắt SO trung điểm SO O  Gọi K BI  SD Vì O trung điểm BD A B Từ O, vẽ đường thẳng song song với BI cắt SD H Áp dụng t/c đường trung bình Ta có : E SK = KH = HD c) Từ kết câu b Suy :  P    SAD   MK ;  P    SDC   NK hay Vậy (P) cắt SD K : SK  SD SK SM  ;  nên AD không song song với MK SD SA Gọi E = AD  MK  P   DA  E d) Vì Tương tự : F  DC  NK  P   DC  F nên  P    ABCD   EF mà B   P    ABCD  Suy : B  EF hay ba điểm B; E F thẳng hàng F Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Trên đoạn AC BF lấy điểm M ,N cho: AM = kAC BN = kBF (0 < k < 1) a)Giả sử k = 1/3 ;chứng minh MN // DE b)Giả sử MN // DE tính k theo MN DE GIẢI: E a) Gọi J = AB  EN Ta có : EFN JBN ( g-g) BJ BJ BN JN     EF BA NF NE BJ  nên BA  F B C N hay J trung điểm AB Tương tự : Gọi J1 = AB  DM Ta có : AMJ1 CMD ( g-g) M BJ1 J1M   hay J1 trung điểm AB BA MD Vậy J  J1 nên MD  NE  J JM JN   nên MN // DE ( Định lí Talet) MD NE A D b) Nếu MN // DE Vì M  AC nên DM cắt AB điểm Gọi giao điểm J Tương tự, N  BF nên EN  AB = J1 mà J; J1  (MNED) nên J  J1 Áp dụng định lí Ta let Ta có : MN JM JM AM MN    k hay k  mà DE JD JD AC DE H Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn J Gọi M N trung điểm cạnh SB SC a)Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) b)Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) S c)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN) GIẢI: N a) Gọi H = AD  BC Ta có :  SAD    SBC   SH P b) Gọi J  SH  MN M Ta có : SJ = JH D Gọi P  AJ  SD P   AMN  Vậy  AMN   SD  J c) Vậy thiết diện hình chóp SABCD với  AMN  AMNP A C B Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F trung điểm cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD a)Chứng minh ME//AC , NF//BD b)Chứng minh ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O giao điểm AC BD) đồng qui c)Chứng minh điểm M,N,E,F đồng phẳng GIẢI: a) ME; NF đường trung bình SAC ; SBD S nên ME//AC , NF//BD b) Ta có : SAC  SBD  SO Xét ( SAC): Gọi J = SO  ME SJ = JO (Đlí ) Xét ( SBD): Gọi J1 = SO  NF SJ1 = J1O (Đlí ) M F nên J  J1 hay ba đường thẳng đồng quy trung điểm SO J c) Vì ME  NF  J N A nên điểm M,N,E,F đồng phẳng E D O B C Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J hai điểm cố định SA SC với SI > IA SJ < JC Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB M, SD N a)CMR: IJ, MN SOđồng qui (O =ACBD) Suy cách dựng điểm N biết M b) AD cắt BC E, IN cắt MJ F CMR: S, E, F thẳng hàng c) IN  AD =P, MJ  BC = Q CMR PQ qua điểm cố định (P) di động Giải: a) Ta có : (SAC)  (SBD) = IJ Trong (SAC) Gọi K = IJ  SO (1) nên K   P  K  SO  K   SBD  mà  P    SBD   MN S Suy : K  MN (2) Từ (1) (2) Ta có : IJ, MN SO đồng qui N nên N giao điểm MK với SD K I H J D M F A Q O E P B C b) Vì S; E F thuộc giao tuyến mặt phẳng (SAD) (SBC) nên S; E F nằm đường thẳng hay S, E, F thẳng hàng c) Từ IN cắt AD P, MJ cắt BC Q nên PQ giao tuyến (P) (ABCD) Mặt khác : Xét (SAC) Gọi H = IJ  AC Vì IJ AC cố định nên H cố định Mà IJ  (P); AC   ABCD  nên H  PQ hay PQ qua điểm H cố định Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi C trung điểm SC, M điểm di động cạnh SA Mặt phẳng (P) di động qua CM song song với BC a) Chứng minh (P) chứa đường thẳng cố định b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD Xác định vị trí điểm M để thiết diện hình bình hành c) Tìm tập hợp giao điểm cạnh đối thiết diện M di động cạnh SA GIẢI: a) Từ ( P) // BC Gọi B'   P   SB Ta có : B'C' // BC nên B' trung điểm cạnh SB Vậy (P) qua đường thẳng B'C' cố định b) Vì BC // B'C' BC // AD nên B'C' // AD S Mặt khác : ( AB'C'D)  (SAD) = AD + ( AB'C'D)  (P) = B'C' + (P)  (SAD) = MD' Suy : MD' // AD I D' M Vậy D' giao điểm đường thẳng qua M song song với AD B' C' nên thiết diện (P) với hình chóp SABCD B'C'D'M A  Để B'C'D'M hình bình hành B'C' = MD' mà B'C' = BC = AD B C Vậy M trung điểm cạnh SA c) Khi M  A D '  D Gọi I  AB ' DC ' ( = MB ' D ' C ' ) Khi M  S  D '  S nên S = MB ' D ' C ' Vậy tập hợp giao điểm cạnh đối thiết diện M di động cạnh SA đường thẳng SI trừ khoảng SI Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang với đáy AD = a, BC = b Gọi I, J trọng tâm tam giác SAD, SBC a) Tìm đoạn giao tuyến (ADJ) với mặt (SBC) đoạn giao tuyến (BCI) với mặt (SAD) b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến hai mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn hai mặt phẳng (SAB) (SCD) GIẢI: a) Vì mặt phẳng ( SBC); (ABCD) (ADJ) Lần lượt cắt theo ba giao tuyến AD; BC EF AD // BC; J  EF D nên (ADJ)  (SBC) = EF với EF qua J song song với BC * Tương tự : (BCI) cắt (SAD) theo giao tuyến MN song song với AD qua I Vì I trọng tâm SAD MN // AD S MN SM SI 2     MN  AD  a AD SA SH 3 SM SE   nên ME // AB Mặt khác : SA SB E nên Tương tự : NF // DC B K Q M MQ ME ME NF      AB DC QB AB Gọi K = MC  PQ nên F J C I N P Suy : PQ =QK + KP = 2 2 BC  MN  b   a  a  b 3 3 A D H Bài 9: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J hai điểm di động cạnh AD, BC cho có: IA JB  ID JC a) CMR: IJ song song với mặt phẳng cố định b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước HD: a) IJ song song với mp qua AB song song CD b) Tập hợp điểm M đoạn EF với E, F điểm chia AB, CD theo tỉ số k A Giải: a) Cách dựng IJ: IA k AD Dựng IH // CD, H  AC Dựng HJ // AB, J  BC Gọi I I  AD : E I Ta có : IJ đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu toán Giải: Qua I, dựng IH // CD, H  AC  AH IA JB   ( Định lí Ta let) HC ID JC * Dựng mặt phẳng (P) qua CD song song với AB > Ta có mặt phẳng (P) cố định Mặt khác : HJ // AB; AB // (P) Nên (P) // HJ (P) // HI ( HI // CD) Nên (P) // (HIJ) Suy : IJ // (P) cố định P H M N B K D J IM k MJ C Dựng MN // IH ( N  HJ ) Gọi E  CN  AB ; F  EM  CD Ta có : Tập hợp điểm M thuộc đoạn thẳng EF b) Gọi M  IJ : F 10 Thật vậy: Xét (IHJ) : MN // IH nên N  JH Mặt khác : Xét ( CDE): N  CE ; NM / /CD  M  (CDE ) Và F  EM  CD ( cách dựng ) nên M  EF Phần đảo: Gọi M  EF Chứng minh : M  IJ : IM k MJ Thậy vậy: Từ M  EF Qua M, dựng (P)// AB; (P) // CD Cắt CA; CE; CB; DB; DA H; N; J; I K IK cắt CE P Ta có : M  NP ( Vì MP; MN song song với CD) MP FB  k MN FC Mặt khác : M  IJ  NP M P IP NH EA Ta có :    k M1 N NJ NJ EB MP MI MP M 1P  k Vậy   k hay M  M MN MJ MN M N nên Bài 10: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông A, Bµ= 600, AB = a Gọi O trung điểm BC Lấy điểm S (P) cho SB = a SB  OA Gọi M điểm cạnh AB Mặt phẳng (Q) qua M song song với SB OA, cắt BC, SC, S SA N, P, Q Đặt x = BM (0 < x < a) a) Chứng minh MNPQ hình thang vuông P b) Tính diện tích hình thang Tìm x để diện tích lớn µ= 60 , AB = a Giải: a) Ta có:  ABC : µ A  900 , B nửa tam giác a Mặt khác (Q) song song với SB OA nên MN // OA; MQ // SB // NP Từ SB  OA  MN  MQ nên MNPQ hình thang vuông Q b) Từ  ABC nửa tam giác 2a O Suy : ABO  BMN B N Áp dụng định lí Ta let Ta có : MN BM BM  AO x  a x   MN   x AO AB AB A MQ AM AM  SB  a  x  a +   MQ   ax M SB AB AB a a NP CN CN  SB  2a  x  a 2a  x   NP    + SB CB CB 2a 2a  x   a x  4ax  x MQ  NP   MN   x= Vậy S MNPQ  2 +   a x  a 3  * Ta có : 4ax  x2 = 3  x   ax  a   a Vậy Max S MNPQ A 2   = 3  x  a   a   3a C 11 Bài 11: Trong mặt phẳng  cho tam giác ABC Gọi  mặt phẳng cắt  theo giao tuyến BC.Trong mặt phẳng  ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx Cy song song với nằm phía với  Trên Bx Cy ta lấy B’ C’ cho BB’ = 2CC’ a)Tìm giao điểm D đường thẳng BC với mặt phẳng (AB’C’) tìm giao tuyến mặt phẳng (AB’C’) với mặt phẳng  b)Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M cho AM = AC’.Tìm giao điểm I đường thẳng B’M với mặt phẳng  chứng minh I trung điểm AD c)Chứng minh B’ C’ theo thứ tự chạy Bx Cy cho BB’ = 2CC’ mặt phẳng (AB’C’) luôn cắt  theo giao tuyến cố định d)Gọi E F trung điểm AB BC.Cạnh AC cắt DE G AG Hãy tính tỉ số chứng minh AD = 2AF AC Giải: x a) Ta có : BC B'C' không song song B' BC, B'C' thuộc mặt phẳng  y nên D  BC  B ' C ' Vậy AD = (  AB ' C '    C' b)Áp dụng đ/lí Talet cho BDB ' Có : CC' // BB' (gt) DC DC ' CC '    DB DB ' BB ' F B nên C' trung điểm DB' G hay M trọng tâm ADB ' E  I trung điểm AD c) Từ BB’ = 2CC’ Suy : C' trung điểm BD A mà tia BC cố định, độ dài BC không đổi nên D không đổi Vậy (  AB ' C '    = AD không đổi d) Vì G trọng tâm ABD nên C M I AG  AC Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB Điểm M thay đổi cạnh BC, mặt phẳng  qua M song song với AB SC a) Dựng giao tuyến (SAD)  (SBC) b) Dựng thiết diện hình chóp với  c) Chứng minh đoạn giao tuyến  với (SAD) //SD Giải: a) Vì  qua M song song với AB SC nên MQ // AB; MN // SC Gọi K  AD  BC (SAD)  (SBC) = SK b) Vì  // AB nên NP // AB ( Vậy P giao điểm đường thẳng qua N // với AB) nên S.ABCD    MNPQ AQ BM  AD BC BN BM  Từ MN // SC nên BS BC c) Từ AB // MQ // CD nên D S 12 Tương tự : PN // AB nên Suy : BN AP  BS AS K AQ AP  hay PQ // SD AD AS P Cách 2: Từ QM // DC; MN // CS mà QM  MN  M ; DC  CS  C nên (MNPQ) // (SDC) Mà (MNPQ)  (SAD) = PQ (SDC)  (SAD) = SD Nên PQ // SD N C D M Q A B Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD nửa lục giác ABCD đáy lớn AB = 2a,hai cạnh bên AD BC cắt I Tam giác SAB cân S SI = 2a Trên đoạn AI ta lấy điểm M, đặt AM = x (0< x < 2a ) Mặt phẳng  qua M song song SI AB cắt BI, SB, SA N ,P ,Q a)Tính góc SI AB b) MNPQ hình ? c)Tính diện tích MNPQ theo a x.Tìm x để diện tích lớn Khi MNPQ hình d)Gọi K = MP  NQ Tìm quĩ tích điểm K M chạy đoạn AI Giải: S a) Vì mặt phẳng  qua M song song SI AB nên MN // AB // PQ; MQ // SI // NP · Vậy góc tạo SI với AB MQN Mặt khác, gọi H; K trung điểm AB; SI Vì SAB cân nên SH  AB IAB nên IH  AB Suy : AB   SHI   AB  SI mà MQ // SI P Q nên AB  MQ mà PQ // AB · Suy : PQ  MQ hay MQN  900 K A B H M N C D I 13 Bài14 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD G trung điểm đoạn MN a) Tìm giao điểm A đường thẳng AG với mp(BCD) b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA Mx cắt (BCD) M Chứng minh B, M, A thẳng hàng BM = MA = AN A c) Chứng minh GA = 3GA GIẢI: a) Xét (ABN): A' AG  BN b) Vì MM' // AA' nên đồng phẳng P M Nên MM' đường trung bình ABA '  M' trung điểm A'B nên B, M, A thẳng hàng BM' = M'A' G Mặt khác: A'G đường trung bình MM ' N B D nên MA = AN BM = MA = AN M' c) Ta có : AA' = 2MM'; MM' = 2A'G A' Q  A'A = 4A'G N nên GA = 3GA C Bài15 Cho hai hình vuông ABCD ABEF hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho: AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD, AF M, N a) Chứng minh: (CBE) // (ADF) b) Chứng minh: (DEF) // (MNNM) c) Gọi I trung điểm MN, E F tìm tập hợp điểm I M, N di động GIẢI: a) Ta có :+ AD // BC; AF // BE mà AF  AD  A BC  BE  B nên (CBE) // (ADF) b) Vì MM' // AB nên MM' // DC AM AM ' BN AN '   ; MC M ' D NF N ' F AM BN  mà ( AC = BF) MC NF AM ' AN '  nên  M ' N '/ / DF M 'D N 'F N N'  A Mặt khác : DC // MM'; + M ' M  M ' N '  M '; DF  DC  D nên (DEF) // (MNNM) c) Phần thuận: * Gọi P; Q trung điểm AB; CF Nếu M  A  N  B nên I  P Nếu M  C  N  F nên I  Q Vậy quỹ tích I đoạn thẳng PQ Phần đảo: Gọi I  PQ C/m tồn điểm M; N : M  AC ; N  BF : AM  BN MN nhận I làm trung điểm Thật vậy: Xét ( CPF) I P Q B M M' D C F 14 Qua I, dựng đường thẳng // FC, cắt PC; PF M1; N1 Qua M1; N1 dựng đường thẳng song song với AB cắt AC; BF M N N' E N1 PN1 PM A  N1F M1C PM AM PN1 BN +  ;  M1C MC N1F NF M' AM BN AM BN     AM  BN (1) Suy : MC NF AC BF + Suy : CMM  FNN1 (c-g-c)  MM  NN1 IM MM Định lí Talet Ta có : hay IM = IN (2)  IN NN1 N I Áp dụng đlí Ta let, ta có : Q B P M1 M C D Vậy điểm I thỏa mãn yêu cầu toán chéo Ax, By M N hai điểm di động Bài16 Cho hai nửa đường thẳnguuu r uuur Ax, By cho AM = BN Vẽ NP  BA a) Chứng minh MP có phương không đổi MN song song với mặt phẳng cố định b) Gọi I trung điểm MN CMR I nằm đường thẳng cố định M, N di động x Giải uuur uuur a) Từ NP  BA  NB  AP mà NB = AM nên AM = AP hay AMP cân Gọi E; F điểm thuộc tia Ax AP : AE = AF Suy : MP // EF cố định * Mặt khác : PN // AB cố định nên MN song song với mặt phẳng qua AB song song với EF cố định b) Phần thuận: * Khi M  A N  B nên I  H trung điểm AB * Khi M  E N  D ( D giao điểm đường thẳng qua F cố định, song song với AB By) nên I  K trung điểm ED Vậy I chạy đường thẳng HK cố định Phần đảo: Lấy I  HK Chứng minh : tồn điểm M  Ax; N  By : AM = BN I trung điểm MN Qua B, dựng tia Bx' // Ax; y' E F M T P K S x' X I y Y J D A Q N H Q  Bx ' : BQ  BN B Gọi J giao điểm đường thẳng qua D // NQ Dựng mặt phẳng qua (HTS) với T; S trung điểm EJ DF Qua I, dựng đường thẳng song song với TS cắt HT; HS X; Y qua X; Y dựng đường thẳng song song với AB cắt Ax; Bx'; By Ay' M; Q; N P Ta có : MQNP hình bình hành ( MQ // NP // AB; MQ = NP = AB)  I trung điểm MN 15 Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b Tam giác SBD Một mặt phẳng (P) di động song song với mp(SBD) qua điểm I đoạn AC S a) Xác định thiết diện hình chóp với (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a, b x = AI GIẢI: a) Vì (P) // (SBD) nên (P)   ABCD   MN ; M  AB; N  AD + Trong ( SAB), qua M: dưng MP // SB; P  AS P ta có : MNP thiết diện (P) với S.ABCD b) Áp dụng định lí Talet Ta có : B MN AN PN MN AM MP   ;   BD AD SD BD AB SB M I MN PN MP    BD SD SB A N Mà SBD nên MNP MN AI AI  BD x  b xb   MN    Áp dụng định lí Talet Ta có : a BD AO AO a 2 3  xb  x2b Vậy SMNP   MN     4  a  a2 C D Bài 18: Đề thi đai học khối A năm 2011 ( điểm) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Giải: S Từ (SAB)  ( ABC) (SAC)  (ABC) nên SA  ( ABC) m AB  BC Suy : SB  BC · góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABC) hay SBA H  SA  tgSBA  AB   2a   a Mặt khác: MN dường trung bình ABC BC a nên MN  1 MN  BC  MB Vậy VSMNBC   SA  S MNBC   SA  3  a  2a   a  3a3 =  3a  N A  Qua N, vẽ a // AB.Suy : d(AB; SN) = d(AB; (SND)) Hạ AD  a ( D  a ) Vì (SAC)   ABC  ( SAB)  (ABC) nên SA   ABC  mà AD  a  SD  a hay a   SAD  M 60° B C S 16 * Hạ AH  SD  AH  ( SND) Vậy AH khoảng cách A (SND) hay AH khoảng cách AB SN ·  900 ; AD  MN  a; Xét SAD : SAD SA  tgSBA.AB = tg 600  2a  3a AH = H D SA2  AD 12a  a 2 39a   2 2 SA  AD 12a  a 13 N C A a M 60° B Bài 19: ( Đề thi đại học khối A năm 2010 câu IV : điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a Gọi M; N trung điểm cạnh AB AD.; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với (ABCD) SH  a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường S thẳng DM SC theo a Giải: a) Ta có : AMD  DNC (c  g  c) · · nên · ADM  DNC  90 · ADM  DCN hay MD  NC + Áp dụng định lí Pitago Ta có : 2 MD  AD  AM  Vậy VS CDNM   SCDNM       2   5a a a    2 1   SH     MD  NC   SH 2  5a   3a  a    24   Từ chứng minh Ta có : MD  NC mà SH   ABCD   SH  MD K B C M H A N D Vậy MD   SHC  Hạ HK  SC mà MD   SHC  nên HK  MD hay HK khoảng cách hai đường thẳng MD SC + Mặt khác : cos DCN   HC  cos DCN  CD    tg DCN 1 1   2  5 5a Áp dụng hệ thức lượng Ta có : HK  a 3 SH  HC SH  HC  a  2 5a  5a      = 57 a 19 17 Bài 20: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông B có AB = a, BC = a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N hình chiếu vuông góc điểm A cạnh SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM S Giải:Cách 1: Hạ NM1  SB Vì BC   SAB  ; NM1 // BC nên NM1   SAB  N Suy : VABCNM  VSABC  VSAMN M1 2a ·  900 Xét SAB : SAB AM  AB AS2 2a  2 AB +AS SM  SA2  AM  4a  4a 4a  5 Mặt khác : M A C a a AC  AB  BC  2a nên SAC vuông cân  N trung điểm SC nên NM1 đường trung bình a Vậy NM1 = nên VABCNM  VSABC  VSAMN B a 4a  AB  BC AM  SM aa a 5 = 3a   SA    NM1    2a     3 3 2 1 Cách 2: Ta có : VABCNM  VSABC  VSAMN = BC  S SAB   NM1  SSAM 3 mà NM1 = BC · Xét SAB : SAB  900 AM  AB AS2 2a 4a 4a 2 ;  SM  SA  AM  4a   AB +AS2 5 4a SM   + SB a nên VSAMN  1  1 1   NM    AM  SM    BC    AM  SC  2  2  21 1     BC   AM  SC   = VS ABC 53 2  3 a3 a3  Suy : VABCNM  VSABC   5 ... phẳng qua điểm M,N B a) Tìm giao tuyến (P)  (SAB) (P)  (SBC) b)Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng (P) giao điểm K đường thẳng SD với mặt phẳng (P) c)Xác định giao tuyến mặt phẳng (P)... C’ cho BB’ = 2CC’ a)Tìm giao điểm D đường thẳng BC với mặt phẳng (AB’C’) tìm giao tuyến mặt phẳng (AB’C’) với mặt phẳng  b)Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M cho AM = AC’.Tìm giao điểm I đường thẳng... = b Gọi I, J trọng tâm tam giác SAD, SBC a) Tìm đoạn giao tuyến (ADJ) với mặt (SBC) đoạn giao tuyến (BCI) với mặt (SAD) b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến hai mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn hai mặt