giải tích và phương thức giải

CHƯƠNG I:LÝ THUYẾT GIỚI HẠN §1: SỐ THỰC 1) cần thiết mở rộng tập hợp số hữu tỉ : Trong thực tế nghiên cứu số hữu tỷ không đáp ứng được,nên thiết phải mở rộng tập hợp số Ví dụ: Tìm số hữu tỷ (nếu có) mà bình phương số kết 2) Định nghĩa: Số thập phân vô hạn không tuần hoàn xem biểu diễn số vô tỷ Nếu gọi tập hợp số hữu tỷ ¤ tập hợp số vô tỷ I.thì tập hợp số thực xác định ¡ = ¤ ∪ I Nếu với tập X = { x} có số M cho ∀x ≤ M nói tập X bị chặn số M.Trái lại có số m để ∀x ≥ m nói tập X bị chặn Tập bị chặn trên(dưới) không bị chặn dưới(trên).Số M hay m gọi cận hay tập X Nhận xét:Một tập bị chặn trên(dưới) có vô số cận trên(dưới) Định nghĩa • Số bé cận gọi cận gọi M = SupX x∈X X •Số lớn cận gọi cận gọi m = inf x∈X 3) Định lý • Số M gọi cận tập X ⇔ ∃x o ∈ X cho x o > M − ε • Số m gọi cận tập X ⇔ ∃x o ∈ X cho x o < m + ε §2:HÀM MỘT BIẾN SỐ 1) Khái niệm hàm số :Hàm số ánh xạ f: X → Y X ⊆ ¡ ;Y ⊆ ¡ Ta gọi X tập xác định , f (X) ⊆ Y gọi tập giá trị 2) Cách cho hàm số: • Lập bảng • Đồ thị • Biểu thức giải tích 3) Một số lớp hàm quan trọng: a) Hàm sơ cấp • Hàm đa thức: y = a o x n + a1x n −1 + a x n − + a 3x n −3 + + a n −1x + a n a o x n + a1x n −1 + a x n − + a 3x n −3 + + a n −1x + a n • Hàm hữu tỷ nguyên: y = • Hàm lũy thừa: • Hàm mũ: y = a x với a > a ≠ • Hàm lôgarit: y = log a x với a > a ≠ 1; x > • Hàm lượng giác: y = sinx ; y = cosx ; y = tgx ; y = cotgx • ex − e− x ex + e− x shx chx Hàm hypebonic shx = ;chx = ; thx = ;coth x = 2 chx shx bo x n + b1x n −1 + b x n − + b3x n −3 + + b n −1x + b n y = x a với a số thực tùy ý b) Hàm ngược:Giả sử hàm y = f(x) cho miền X đó,và giả sử Y tập tất giá trị mà hàm lấy x biến thiên miền X Với y0 ∈ Y → ∃x ∈ X : f (x ) = y Như với y ∈ Y ứng với hay số giá trị x ∈ X Như Y ta có hàm x = g(y) gọi hàm ngược hàm f(x) Hàm lượng giác ngược  π π • y = arcsinx xác định [ −1,1] nhận giá trị  − ,   2 Còn Arcsin x = arcsin x + k2π xác định [ −1,1] nhận giá trị [ 0,π] • y = arccosx arccos x = π π  − arcsin x cos(arccos x) = cos  − arcsin x ÷ ⇔ x = sin(arcsin x) 2  • y = arc tgx thỏa mãn − π π < arc tgx < 2 Ngoài ta có mối liên hệ arctgx arcsinx arc tgx = arcsin x 1+ x (−∞, +∞) V arcsin x = arc tg x 1− x ( −1 < x < 1) • y = arccot gx có miền xác định (−∞, +∞) miền giá trị (0, π) Mặt khác có mối liên hệ arccot gx = π − arc tgx Ngoài hàm ngược hàm siêu việt §3:GIỚI HẠN DÃY SỐ 1) KHÁI NIỆM: Cho dãy số x1, x , , x n −1, x n , Số a gọi giới hạn dãy biến x n chỗ tức số thứ tự n lớn biến x n sai khác a nhỏ Hoặc: số a gọi giới hạn dãy { x n } ∀ε > 0, ∃N(ε) = N > cho x n = a Khi ta viết x → a ∀n > N thỏa mãn x n − a < ε ⇔ nlim n →∞ lim x n = a Khi ta nói dãy x n hội tụ đến a.Đặc biệt x n = a với n lim x n = a Từ (1) có −ε < x n − a < ε ⇔ a − ε < x n < a + ε khoảng mở (a − ε,a + ε) gọi lân cận điểm a.Như với lân cận bé điểm a,tất giá trị x n giá trị n cần phải rơi vào lân cận Ví dụ n +1 n2 +1 a Chứng minh lim = 0; lim n →∞ n + n →∞ 3n + Chứng minh: để 1 n +1 n +1 2 −0 n n n ε n +2 n +2 n +1 n +1 2 − < ε tức lim =0 Chọn N =   + với n > N ta có n →∞ n + n +2 ε b Chứng minh lim n2 + n →∞ 3n +2 = n2 + 1 1 2 − = < ε ⇔ 3n > − ⇔ n > − Để ε 3ε 3n + 3n +  2 −  + với n > N ta có điều phải chứng minh Chọn N =  ε 3  Đại lượng vô bé (gọi vô bé - VCB): biến x n gọi đại lượng vô bé lim x n = 1 (−1) n +1 Ví dụ: x n = ; x n = − ; x n = vô bé n n n Đại lương vô lớn (VCL): Dãy x n gọi VCL với giá trị n lớn , trở nên mãi có giá trị tuyệt đối lớn số A > lớn tùy ý x n = ∞ ⇔ với ∀A > đủ lớn ∃N > cho ∀n > N ⇒ x > A cho trước Hay nlim 0 n →∞ Ví dụ: x n = q n q > VCL Chú ý : + Số VCB,cũng 1023 VCL + Nghịch đảo VCB (VCL) VCL (VCB) 2) CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN DÃY Định lý: lim x n = a ,a > p(a < q) ⇒ ∃ N > cho ∀n > N : x n > p(x n < q) n →∞ xn = a ⇔ a − ε < xn < a + ε Chứng minh: chọn ε < a − p ⇒ a − ε > p nlim →∞ ∀n > N ⇒ x n > p tương tự cho trường hợp a < q x n = a a Định lý 2: nlim →∞ x n = a′ a < a′ ⇒ ∃r : a < r < a ′ Chứng minh : Giả sử nlim →∞ x n = a nên có N > ; ∀n > N Do nlim 1 →∞ x n = a ′ nên có N > ; ∀n > N nlim 2 →∞ xn < r xn > r Chọn N = max { N1, N } ⇒ ∀n > N x n < r ; x n > r Điều vô lý , nên a′ = a Định lý :Nếu x n có giới hạn x n giới nội xn = a ⇔ a −1 < xn < a + Chứng minh : nlim →∞ Chọn M = max { a + 1, x1, x , x N } x n ≤ M ∀n Định lý 4: x n = lim z n = a ⇒ lim y n = a ( nguyên lý bị kẹp giữa) Cho x n ≤ y n ≤ z n nlim →∞ n →∞ n →∞ x n = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N1 ∀n > N1 a − ε < x n < a + ε Chứng minh : nlim →∞ lim z n = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∀n > N a − ε < z n < a + ε n →∞ Khi N = max { N1, N } ⇒ a − ε < x n ≤ y n ≤ z n < a + ε ⇒ a − ε < y n < a + ε ⇔ lim y n = a n →∞ Định nghĩa: Dãy x1, x , , x n −1, x n , • Được gọi dãy tăng x1 ≤ x ≤ .x n −1 ≤ x n , • Được gọi dãy tăng nghiêm ngặt x1 < x < ., x n −1 < x n , • Được gọi dãy giảm x1 ≥ x ≥ .x n −1 ≥ x n , • Được gọi dãy giảm nghiêm ngặt x1 > x > ., x n −1 > x n > Định Lý Cho x n → a ; y n → b ta có kết sau f (x) = l • xlim →+∞ • αx n + β y n → αa + β b α, β = cos nt • x n y n → ab • xn a → yn b b ≠ • x n ≤ yn ⇒ a ≤ b Định lý: Mọi dãy đơn điệu bị chặn hội tụ.Nếu { x n } đơn điệu tăng(giảm) bị chặn trên(dưới) hội tụ, { } Dãy con: Cho dãy x n dãy x n k trích từ dãy x n dãy { n k } { } dãy tăng số chạy k n.Dãy x n k gọi dãy dãy x n Lưu ý: ∀x:0 < x − x < δ Mỗi dãy dãy Định nghĩa: ∞ Dãy { ∆ n } n =1 ∆ n = [ a n ,b n ] ; gọi dãy đoạn thắt • ∆ n +1 ⊆ ∆n n = 1,2, • lim (b n − a n ) = n →∞ ∞ 10 Bổ đề: Nếu { ∆ n } n =1 dãy đoạn thắt tồn điểm thuộc đoạn dãy Chứng minh : Do ∆ n +1 ⊆ ∆ n n = 1,2, nên a1 < a < < a n < < b n nên { a n } dãy đơn điệu tăng bị chặn trên,nên lim a n = α ⇒ a n ≤ α ≤ b n ∀n Giả sử có β thuộc đoạn ∆ , n n →∞ (b n − a n ) = Nên α = β ≤ β − α < b n − a n nlim →∞ 11 Bổ đề bônxanô-Vâystrat:Từ dãy đoạn thắt rút dãy hội tụ Chứng minh :Giả sử { x n } có a ≤ x n ≤ b ∀n Chia [ a,b ] thành hai phần ,khi có đoạn chứa vô số phần tử { x n } gọi đoạn ∆1 lại chia ∆1 thành hai hai phần lại có phần chứa vô số phần tử { x n } gọi ∞ ∆ Cứ tiếp tục ta thu dãy đoạn thắt { ∆ n } n =1 bn − a n = b−a 2n → n → ∞ Nên có số β thuộc đoạn ∆ n Trong đoạn ∆ n rút phần tử bất kỳ,ký hiệu x n k ∈ ∆ n k a n ≤ x n k ≤ b n lim a n = lim b n = β ⇒ lim x n k = β n →∞ n →∞ n →∞ 12 Định lý (Côsi): Điều kiện cần đủ để dãy { x n } hội tụ ∀ε > 0, ∃N cho ∀n,m > N : a n − a m < ε Chứng minh : ( ⇒ )Do lim x n = a ⇔ ∀ε > ∃ N : x n − a < n →∞ ε ∀n > N; ∀m > N: x m − a < ε ⇒ xn − xm ≤ xn − a + xm − a < ε ⇔ xn − xm < ε (⇐) Từ x n − x m < ε cố định m hiển nhiên { x n } bị chặn nên tồn dãy { } x n k x nk = β Thỏa mãn nlim →∞ x n − β ≤ x n − x n k + x n k − β < ε ⇔ lim x n = β n →∞ n  1 13 SỐ e:Cho dãy số x n = 1 + ÷ tìm giới hạn dãy số  n Chứng minh : Ta có n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) (n − n + 1)  1 x n = 1 + ÷ = + n + + + n n 1.2 n 1.2.3 n n  n =1+1+          n −  1 − ÷+  − ÷1 − ÷+ +  − ÷1 − ÷ 1 − ÷ 2!  n  3!  n  n  n!  n  n   n  mặt khác x n +1 = + + 1      n  1 − ÷+ + 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷ 2!  n +  (n + 1)!  n +  n +   n +  Hiển nhiên x n < x n +1 xn < + 1 1 + + + n + = + =3 2 1− x n người ta chứng minh Tức dãy { x n } đon điệu tăng bị chặn trên,do ∃ nlim →∞ giới hạn e = 2,718218828459015…đó số vô tỷ §4:GIỚI HẠN HÀM SỐ 1) Giới hạn hàm số điểm: Cho hàm số f(x) xác định tập X ⊆ ¡ nhận giá trị ¡ , x điểm giới hạn tập X Định nghĩa : Số l gọi giới hạn hàm f(x) x dần tới x f (x) = l ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x : x − x < δ f (x) − l < ε ⇔ xlim →x (3x + 3) = Ví dụ : chứng minh xlim →2 f (x) = A A Định lý: Nếu xlim →x0 f (x) = A1 A < A ,đặt A − A = 2ε > ⇒ A − ε = A + ε Chứng minh : Giả sử xlim 1 →x0 f (x) = A nên ∃δ > cho A − ε < f (x) < A + ε ∀x :0 < x − x < δ Vì xlim 1 →x0 A − ε < f (x) < A + ε Ta có ∃δ2 > cho A1 − ε < f (x) < A1 + ε ∀x :0 < x − x < δ A1 − ε < f (x) < A1 + ε Chọn δ = min(δ1, δ ) ,khi với x thỏa mãn < x − x < δ f (x) < A + ε → ⇒ A1 − ε < A + ε A1 − A = 2ε f (x) > A − ε  vô lý.Vậy A1 = A Định nghĩa : Ta gọi số l giới hạn trái hàm f(x) x → x − (nghĩa x → x bé x ) ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x:0 < x − x < δ → f (x) − l < ε Ký hiệu lim f (x) = f (x − 0) x →x −0 Định nghĩa : Ta gọi số l giới hạn phải hàm f(x) x → x + (nghĩa x → x lớn x ), ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x:0 < x − x < δ → f (x) − l < ε Ký hiệu lim f (x) = f (x + 0) x →x0 +0 f (x) = l ⇔ lim f (x) = lim f (x) = l Định lý : xlim →x0 x →x0 −0 x→x0 +0 2) Giới hạn vô tận giới hạn vô tận Định nghĩa : Ta gọi số l giới hạn hàm f(x) x → +∞ f (x) = l ∀ε > , ∃ M > cho f (x) − l < ε xảy với x > M Ký hiệu xlim →+∞ Định nghĩa : Ta gọi số l giới hạn hàm f(x) x → −∞ ∀ε > f (x) = l ∃ M > cho f (x) − l < ε xảy với x , ∃δ = δ(A) > cho f (x) > A với ∀x:0 < x − x < δ f (x) = +∞ ta viết xlim →x0 3) TÍNH CHẤT VÀ CÁC PHÉP TOÁN f (x) = l A< l l ′ tồn khoảng J chứa a Định lý : xlim →a x →a cho f(x) > g(x) ∀x ∈ C ∩ J , x ≠ a Định lý 4: Cho hai hàm f(x) g(x) xác định tập C; f(x) > g(x) ∀x ∈ C f (x) = l lim g(x) = l ′ l > l ′ Nếu xlim →a x →a Định lý 5: Cho hàm f(x) , h(x) g(x) xác định tập C,trong f (x) = l = lim g(x) lim h(x) = l f(x) < h(x) < g(x) xlim →a x →a x →a 10 8) Tiêu chuẩn Ráp: Nếu có r > cho:  a  n  n − 1÷ ≥ r với ∀n ≥ n a)  a n +1   a  b) n  n − 1÷ ≤ với ∀n ≥ n  a n +1  ∞ ∑ an hội tụ n =1 ∞ ∑ a n phân kỳ n =1 9) Tiêu chuẩn tích phân Côsi: Cho hàm f(x) dương giảm [ a, + ∞ ) ,khi chuỗi ∞ ∑ f (a + n) hội tụ hay phân kỳ n =1 n ⇔ với tồn hay không tồn giới hạn lim ∫ f (x)dx n →∞ a Chứng minh :Với x ∈ [ a, + ∞ ) tồn k ∈ ¥ : a + k ≤ x ≤ a + k + ⇒ f (a + k) ≥ f (x) ≥ f (a + k + 1) ⇒ ⇒ n −1 a + k +1 ∑ ∫ f (a + k)dx ≥ k =0 a + k ⇒ Sn −1 = n −1 a + k +1 ∑ ∫ a + k +1 ∫ f (a + k)dx ≥ a+k f (x)dx ≥ k =0 a + k a +n n −1 ∑ f (a + k) ≥ ∫ k =0 f (x)dx ≥ a +k ∫ f (a + k + 1)dx a +k f (a + k + 1)dx n −1 ∑ f (a + k + 1) = Sn − f (a) k =0 n Nếu tồn lim ∫ f (x)dx ⇔ ∃ lim a ∑ ∫ ∫ a + k +1 k =0 a + k f (x)dx ≥ a n →∞ n −1 a + k +1 a + k +1 n →∞ a +n ∫ f (x)dx Sn bị chặn chuỗi a n n hội tụ Ngược lại không tồn lim ∫ f (x)dx tức lim ∫ f (x)dx = +∞ n →∞ ⇒ lim Sn −1 = +∞ n →∞ a a n →∞ ∞ ,tức chuỗi ∑ f (a + n) phân kỳ n =1 §3:CHUỖI SỐ VỚI DẤU BẤT KỲ 46 ∞ ∑ f (a + n) n =1 ∞ 1) Chuỗi đan dấu:Chuỗi ∑ (−1)n −1a n n =1 với a n > gọi chuỗi đan dấu ∞ 2) Định lý Lepnit: Cho chuỗi đan dấu ∑ (−1)n −1a n thỏa mãn n =1 a n ≥ a n +1 tức dãy { a n } đơn điệu giảm an = nlim →∞ ∞ Khi chuỗi ∑ (−1)n −1a n hội tụ n =1 Chứng minh :Xét tổng S2n = (a1 − a ) + (a − a ) + (a − a ) + + (a 2n −1 − a 2n ) > tức dãy { S2n } đơn điệu tăng bị chặn a1 vì: S2n = a1 − (a − a ) − (a − a ) − − (a 2n − − a 2n −1) − a 2n < a1 S2n = S Mặt khác S lim S = S lim a n = nên tồn nlim 2n +1 − S2n = a 2n +1 ,do n →∞ 2n +1 →∞ n →∞ Sn = S Các dãy { S2n } { S2n +1} chứa dãy dãy { Sn } nên nlim →∞ ∞ Vậy chuỗi đan dấu ∑ (−1)n −1a n hội tụ n =1 ( −1) n −1 Ví dụ: chuỗi điều hòa đan dấu ∑ n n =1 ∞ 3) Định nghĩa:Chuỗi ∞ ∞ ∞ n =1 n =1 n =1 ∑ a n gọi hội tụ tuyệt đối ∑ a n ∑ a n ∞ hội tụ.Đặc biệt ∑ an n =1 ∞ hội tụ ∑ an hội tụ n =1 Thật từ a n +1 + a n + + + a n + m ≤ a n +1 + a n + + + a n + m < ε 47 nên a n +1 + a n + + + a n + m < ε theo định lý Côsi ta có Còn ∞ ∞ ∞ n =1 n =1 n =1 ∞ ∑ an hội tụ n =1 ∑ a n hội tụ mà ∑ a n phân kỳ ∑ a n gọi chuỗi bán hội tụ ( −1) n −1 Ví dụ : ∑ chuỗi bán hội tụ n n =1 ∞ ∞ 4) Tiêu chuẩn Đirichlê:Chuỗi số ∑ a n bn hội tụ, n =1 ∞ a) ∑ a n hội tụ n =1 b) Dãy { b n } đơn điệu bị chặn ∞ 5) Tiêu chuẩn Abel: Chuỗi số ∑ a n bn hội tụ, n =1 n a) Dãy tổng riêng A n = ∑ a k chuỗi số k =1 ∞ ∑ a n bị chặn n =1 bn = b) Dãy { b n } đơn điệu nlim →∞ B:CHUỖI HÀM 1) Một số khái niệm định lý Định nghĩa :Dãy hàm { u n (x)} ,n = 0,1,2,3, điểm x ∈ X gọi điểm hội tụ chuỗi hàm { u n (x)} dãy số { u n (x )} hội tụ điểm x1 ∈ X gọi điểm phân kỳ dãy hàm { u n (x)} dãy số { u n (x1 )} phân kỳ 48 ∞ Tổng vô hạn u1 (x) + u (x) + + u n (x) + = ∑ u n (x) (1) gọi chuỗi hàm n =1 n Tổng Sn (x) = u1(x) + u (x) + + u n (x) = ∑ u k (x) gọi tổng riêng thứ n k =1 ∞ Sn (x) = S(x) chuỗi hàm chuỗi hàm ∑ u n (x) Nếu tồn nlim →∞ n =1 ∞ hội tụ ∞ ∑ u n (x) = S(x) ,trái lại chuỗi hàm ∑ u n (x) n =1 ∞ ∑ u n (x) gọi n =1 gọi phân kỳ n =1 ∞ Miền hội tụ chuỗi hàm ∑ u n (x) :Để tìm miền hội tụ ta thực n =1 hai cách sau: a) Tiêu chuẩn tích phân Côsi: lim n n →∞ b) Tiêu chuẩn Đalambe: lim n →∞ • u n (x) = l f (x) u n +1 (x) = l f (x) u n (x) Nếu l f (x) < chuỗi hàm ∞ ∑ u n (x) hội tụ n =1 • Nếu l f (x) > chuỗi hàm ∞ ∑ u n (x) phân kỳ n =1 • Nếu l f (x) = phải xét trực tiếp Dãy hàm { u n (x)} gọi hội tụ hàm u(x) tập X ∀ε > cho trước nhỏ tùy ý, ∃N ∈ ¥ cho ∀x ∈ X ∀n > N : u n (x) − u(x) < ε Ký hiệu : u n (x) Ã u(x) với x ∈ X Định nghĩa:Chuỗi hàm (1) gọi hội tụ hàm S(x) tập X ∀ε > cho trước nhỏ tùy ý 49 ∃N ∈ ¥ cho ∀x ∈ X ∀n > N : rn (x) = Sn (x) − S(x) < ε ∞ ∑ u n (x) Ã Ký hiệu : Sn (x) Ã S(x) với x ∈ X S(x) n =1 Định lý: Chuỗi hàm (1) hội tụ tập X điều kiện cần đủ ∀ε > cho trước nhỏ tùy ý, ∃N ∈ ¥ cho ∀x ∈ X : ∀n > N với số p nguyên dương ta có u n +1 (x) + u n + (x) + + u n + p (x) < ε ∞ Chứng minh : ∑ u n (x) Ã n =1 S(x) ⇔ { Sn (x)} Ã S(x) ⇔ Sn + p (x) − Sn (x) < ε ⇒ đpcm Định lý(Dấu hiệu Vâyest’rat):Nếu ∀x ∈ X với n đủ lớn u n (x) ≤ a n mà ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ a n hội tụ, chuỗi hàm ∑ u n (x) hội tụ tuyệt đối tập X0 ∞ Chứng minh :Do ∑ a n hội tụ nên ∀ε > ∃N ∈ ¥ cho ∀x ∈ X : ∀n > N với số p n =1 nguyên dương ta có: a n +1 + a n + + + a n + p < ε u n +1 (x) + u n + (x) + + u n + p (x) ≤ a n +1 + a n + + + a n + p < ε Đó đpcm ∞ 2) Các tính chất tổng chuỗi hàm:Cho ∑ u n (x) n =1 Định lý 1:Nếu hàm u n (x) liên tục [ a,b ] ∞ ∑ u n (x) Ã S(x) n =1 [ a,b] hàm S(x) liên tục [ a,b] Chứng minh : Lấy x ∈ [ a,b ] ,do ∞ ∑ u n (x) Ã n =1 ε S(x) [ a,b ] tức Sn (x) − S(x) < ; 50 ε Mặt khác hàm u n (x) liên ε tục [ a,b ] nên Sn (x) liên tục x tức ta có Sn (x ) − Sn (x ) < x ∈ [ a,b ] Cố định x = x ta có Sn (x ) − S(x ) < Từ ta có S(x) − S(x ) ≤ Sn (x) − S(x) + Sn (x ) − S(x ) + Sn (x ) − Sn (x ) < ε Tức hàm S(x) liên tục x nên liên tục [ a,b ] x tùy ý Định lý 2’:Nếu hàm { f n (x)} liên tục với n = 1,2,3 đoạn [ a,b ] dãy hàm { f n (x)} Ã f (x) đoạn [ a,b ] Thì f (x) liên tục đoạn [ a,b ] Định lý 2: Nếu hàm u n (x) liên tục [ a,b ] [ a,b ] b ∞ b a n =1 a ∞ ∑ u n (x) Ã S(x) n =1 ∫ S(x)dx = ∑ ∫ u n (x)dx b Chứng minh : Theo định lý S(x) [ a,b ] nên tồn ∫ S(x)dx a Ta có ε Sn (x) − S(x) < nên b−a n b Tức lim n b b b k =1 a a a ∑ ∫ u k (x)dx − ∫ S(x)dx ≤ ∫ Sn (x) − S(x) dx < ε b ∞ b b a n =1 a a ∑ ∫ u k (x)dx = ∫ S(x)dx ⇔ ∑ ∫ u n (x)dx = ∫ S(x)dx n →∞ k =1 a Định lý 2’:Nếu hàm { f n (x)} liên tục với n = 1,2,3 đoạn [ a,b ] dãy hàm { f n (x)} hội tụ f (x) ta có b b b a a a f n (x)dx = lim ∫ f n (x)dx ∫ f (x)dx = ∫ nlim →∞ n →∞ 51 Định lý 3: Nếu hàm u n (x) liên tục [ a,b ] [ a,b ] Còn ∞ ∑ u′n (x) Ã n =1 ∞ ∑ u n (x) = S(x) n =1 ∞ F(x) [ a,b ] Khi S′(x) = F(x) ⇔ S′(x) = ∑ u′n (x) n =1 Chứng minh : Theo định lý x ∞ x ∞ a n =1 a n =1 ∫ F(t)dt = ∑ ∫ u′n (t)dt = ∑ [ u n (x) − u n (a) ] = S(x) − S(a) Lấy đạo hàm theo x hai vế ta được: F(x) = S′(x) ,đó điều phải chứng minh Định lý 3’: Nếu hàm { f n (x)} có đạo hàm liên tục với n = 1,2,3 đoạn [ a,b] dãy hàm { f n (x)} hội tụ f (x) ,còn dãy hàm { f n′ (x)} hội tụ hàm f (x) có đạo hàm [ a,b ] và: f ′(x) = lim f n′ (x) n →∞ 3) Chuỗi hàm lũy thừa: Đó chuỗi hàm có dạng ∞ a) ∑ anxn với a n = cos nt n =1 ∞ b) ∑ a n (x − x )n n =1 với a n = cos nt Chuỗi hàm lũy thừa dạng đặc biệt chuỗi hàm nên việc thỏa mãn tính chất chuỗi hàm ,chuỗi hàm lũy thừa có tính chất riêng c) Miền hội tụ: • ∞ Bổ đề:Nếu ∑ anx n =1 n hội tụ x = x 52 ∞ ∑ a n x n hội tụ tuyệt đối ∀x : x < x n =1 ∞ Chứng minh : Thật từ ∑ a n x 0n hội tụ,nên ∃C > cho a n x 0n < C n =1 ∀x : x < x ta có a n x = n a n x 0n x x0 n n x x1 n =1 ∞ Định lý : Đối với chuỗi hàm ∑ a n x n có số R ( ≤ R ≤ +∞ ) n =1 ∞ cho ∑ a n x n hội tụ tuyệt đối ∀x: x < R phân kỳ x > R Giá trị R gọi n =1 bán kính hội tụ • ∞ Định lý :Cho chuỗi hàm ∑ an xn có lim n =1 n →∞ a n +1 =l an ∞ bán kính hội tụ R chuỗi hàm ∑ anxn n =1 1 l  xác định: R = ∞ 0   • < l < +∞ l = l = +∞ ∞ Định lý :Cho chuỗi hàm ∑ a n x n có n =1 53 lim n →∞ n u n (x) = l (0 ≤ l ≤ +∞) ∞ bán kính hội tụ R chuỗi hàm ∑ anxn n =1 1 l  xác định: R = ∞ 0   • < l < +∞ l = l = +∞ ∞ Định lý:Nếu chuỗi ∑ a n x n có bán kính hội tụ R ≠ chuỗi hàm n =1 hội tụ đoạn [ −R ′,R ′] < R ′ < R Nhận xét :Do chuỗi hàm lũy thừa trường hợp đặc biệt chuỗi hàm, nên chuỗi hàm lũy thừa thỏa mãn tính chất chuỗi hàm hội tụ [ −R ′,R ′] 4) Khai triển hàm số thành chuỗi hàm lũy thừa: Định nghĩa: Hàm số S(x) gọi khai triển thành chuỗi hàm lũy thừa khoảng (−R,R) , ∞ tồn chuỗi hàm lũy thừa ∑ a n x n hội tụ S(x) điểm x ∈ (−R,R) n =1 Định lý:Điều kiện có để hàm số S(x) gọi khai triển thành chuỗi hàm ∞ lũy thừa ∑ a n x n khoảng (−R,R) hàm số S(x) có đạo hàm n =1 S(k) (0) = k!a k (k = 0,1,2, ) ∞ n Chứng minh : Ta có S(x) = ∑ a n x với x ∈ (−R,R) n =1 54 cấp (k) S ∞ ∑ n(n − 1) (n − k + 1)a n x n −k (x) = n =k x = ⇒ S(k) (0) = k(k − 1) 1.a k = k!a k ∞ S(n) (0) n x đươc gọi chuỗi Macloranh hàm S(x) n! n =1 S(x) = ∑ Chú ý: chuỗi Macloranh hàm S(x) không hội tụ chuỗi Macloranh hàm S(x) hội tụ không hội tụ hàm S(x) a) b) Ví dụ: ∞ sin(2n x) sin(2n x) ≤ ∀x ∈ ¡ chuỗi Xét chuỗi hàm ∑ có n! n! n! n =1 ∞ ∑ n! hội tụ n =1 ∞ sin(2n x) theo tiêu chuẩn Vâyest’rat ∑ hội tụ tuyệt đối toàn trục số n! n =1 ∞ sin(2n x) Đặt S(x) = ∑ Xét chuỗi Macloranh S(x) (−R,R) n! n =1 π n n π n n sin(2 x + ) 2n sin(2 x + ) n ∞ n ∞ 2 cos(2 x) ≤ ∀x ∈ ¡ Ta có S′(x) = ∑ n! = ∑ n! n! n! n =1 n =1 ∞ 2n mặt khác ∑ hội tụ (Đalambe).Nên chuỗi hàm n! n =1 π 2n sin(2n x + ) hội tụ tuyệt ∑ n! n =1 ∞ đối ¡ nên ta lấy đạo hàm số hạng.Tức (k) S ∞ 2kn π (x) = ∑ sin(2n x + k ) với (k = 1,2, ) n =1 n! (2k) S (2k +1) (0) = S 2(2k +1)n (0) = ∑ (−1) n! n =1 ∞ k 55  22k +1   Nhưng S(2k +1) (0) = ( −1) k ∑  n! n =1 ∞ n ⇒ S(2k +1) (0) = (−1) k e  k +1 − 1  x x2 xn ta có kết e = + + + + + 1! 2! n! x ∞ k +1 S(n) (0) n (e − 1) − 2k +1 k e x = (e − 1)x + x + + (−1) x + Vậy ∑ 3! (2k + 1)! n =1 n! Măt khác lim n →∞ S(n) (0) n x ≠ với ∀x ≠ ,như n! ∞ k +1 S(n) (0) n (e − 1) −1 k e ∑ n! x = (e − 1)x + 3! x + + (−1) (2k + 1)! x 2k +1 + phân kỳ ∀x ≠ n =1 Chứng tỏ chuỗi Macloranh S(x) không hội tụ S(x) khoảng (−R,R) Cho hàm số S(x) = + ϕ(x) 1− x  − 12  ϕ(x) = e x  x ≠ x = Nhận thấy ϕ(k) (0) = với k = 0,1,2, S(k) (0) = k! + ϕ(x) Chuỗi Macloranh S(x) = 1− x Macloranh S(x) = ∞ ∑ xn = − x x < Tức chuỗi n =0 1 + ϕ(x) hội tụ mà không hội S(x) 1− x 1− x Định lý(Điều kiện đủ): (n) Nếu có số C > cho S (x) ≤ C với −R < x < R;n = 0,1,2, hàm số S(x) khai triển thành chuỗi lũy thừa [ −R,R ] 56 Chứng minh : S′(0) S′′(0) S(n −1) (0) n −1 S(n) (θx) n x+ x + + x + x với < θ < Ta có S(x) = S(0) + 1! 2! (n − 1)! n!  S′(0) S′′(0) S(n −1) (0) n −1 x+ x + + x nên rn (x) = S(x) − S(0) + 1! 2! (n − 1)!  Rn ∀x ∈ [ − R,R ] : rn (x) ≤ C n! ∞ ∞ Rn Rn hội tụ theo Dalambe lim =0 ∑ n! n →∞ n! n =0 (n) rn (x) = Tức S(x) = S nên nlim ∑ →∞ n =1  S(n) (θx) n x = n!  (0) n x với −R ≤ x ≤ R n! C:CHUỖI FOURIER 1) Chuỗi lượng giác:Chuỗi hàm số có dạng a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + b n sin nx) n =1 (T) a1,a ,a ;b1,b ,b3 , ,b n , số thực.Ta thấy chuỗi (T) chuỗi tuần hoàn chu kỳ 2π ,do ta cần khảo sát [ −π, π] 2)Hệ số Fourier:Giả sử hàm f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π khai triển thành a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + b n sin nx) ta cần tìm a k ,b k chuỗi lượng giác (T): n =1 a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + b n sin nx) Ã f (x) [ −π, π] Giả sử n =1 tức a0 ∞ f (x) = + ∑ (a n cos nx + b n sin nx) x ∈ [ −π, π] n =1 57 ∞ a0 cos nx + ∑ (a n cos nx cos kx + b n cos nx sin kx) hội tụ [ −π, π] Mặt khác k =1 f (x)cos nx = π ∞ a0 cos nx + ∑ (a n cos nx cos kx + b n cos nx sin kx) với x ∈ [ −π, π] k =1 π π π ∞   a0 cos nxdx + ∑  a n ∫ cos nx cos kxdx + b n ∫ cos nx sin kxdx ÷ nên ∫ f (x)cos nxdx = ∫  ÷ k =1 −π −π −π −π  π π π   ∫ cos nx cos kxdx =  ∫ cos(k + n)xdx + ∫ cos(k − n)xdx  = n ≠ k;n,k = 0,1,2,  −π −π −π  π π π   cos nx sin kxdx = sin(k + n)xdx + sin(n − k)xdx ∫ ∫  = n ≠ k;n,k = 1,2, ∫ −π  −π −π nên n = k ⇒ π π −π −π ∫ f (x)cos nxdx = a n ∫ cos nxdx = πa n π ⇒ a n = ∫ f (x)cos nxdx với n = 0,1,2, π −π π hoàn toàn tương tự b n = ∫ f (x)sin nxdx với n = 1,2,3, π −π Chú ý: a Nếu hàm f (x) chẵn hệ số b n = với n = 1,2,3, b Nếu hàm f (x) lẻ hệ số a n = với n = 0,1,2,3, c Để khai triển hàm f (x) (a,b) thành chuỗi Fourier,ta nên thác triển hàm f (x) thành hàm chẵn lẻ để từ khai triển theo côsin hay sin d Chuỗi lượng giác chuỗi hội tụ hàm f (x) π 3) Nếu f (x) hàm tuần hoàn chu kỳ [ −l , l ] phép đổi biến x′ = x ta l 58 tuần hoàn chu kỳ 2π ∞ ∞ a a l nπx nπx   f ( x) = + ∑ (a n cos nx′ + b n sin nx′) = + ∑  a n cos + b n sin ÷ π n =1 n =1 l l  l nπx dx với n = 0,1,2, a n = ∫ f (x)cos l −l l l nπx b n = ∫ f (x)sin dx với n = 1,2,3, l −l l Ví dụ:Khai triển hàm số f (x) = 2x thành chuỗi Fourier miền ≤ x < Chứng minh :+Thác triển hàm f (x) thành hàm chẵn  2x ≤ x < g(x) =  −2x − ≤ x < 4x sin nπx Nên a n = 4∫ x cos nπxdx = nπ với n = 1,2, Do x =1 4(cos nπ − 1) − sin nπxdx = =− ∫ (nπ) (2n − 1) π2 x = nπ ∞ cos nπx f (x) = − ∑ π n =1 (2n − 1) + Thác triển hàm f (x) thành hàm lẻ 1 Khi  4x cos nπx 4sin nπx  4cos nπ 4( −1) n +1 b n = ∫ x sin nπxdx =  − + = − = ÷ n π n π nπ (n π )  0 ∞ (−1) n +1 sin nπx nên chuỗi Fourier theo sin f (x) = ∑ π n =1 n 4) Định lý:Mọi hàm số f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π có đạo hàm cấp liên tục ∀x khai triển thành chuỗi Fourier toàn trục số 5) Định lý Dirichlet :Nếu hàm số f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π ,đơn điệu khúc 59 bị chặn đoạn [ −π, π] chuỗi Fourier hội tụ điểm đoạn đó.Tổng S(x) chuỗi f (x) điểm hội tụ hàm số,còn điểm gián đoạn c f (x) ,ta có S(x) x = c = f (c + 0) + f (c − 0) 60