Tổng hợp 40 bài toán thực tế luyện thi THPT quốc gia 2017

40 BÀI TOÁN TỐI ƯU THỰC TẾ  TÀI LIỆU LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN  BÀI TẬP GIẢI CHI TIẾT PHẦN I: ĐỀ BÀI Câu 1: Cho nhôm hình vuông cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhôm bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại hình vẽ để hộp không nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn Đề Minh Họa Môn Toán – THPT QG 2017 A.x = B C.x = D.x = x =3 Câu 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích toàn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích toàn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy 1dm hình trụ phải bao nhiêu? 1 A dm B dm 2π π C dm 2π D π dm Câu 3: Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà sinh học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ có cân nặng P = 960 − 20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá ? A 23 B 24 C 25 D 26 Câu 4: Cho nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm AB có độ dài không đổi Ta gập nhôm theo cạnh MN PQ vào phía đến AB DC trùng hình vẽ bên để hình lăng trụ khuyết đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ tạo thành lớn ? A.x = 20 B x = 25 C.x = 10 D.x = 30 Câu 5: Bên phòng hình lập phương , ký hiệu sau ABCD.A’B’C’D’ cạnh ( cm ) Người ta tiến hành trang trí nhà cách gắn dây lụa điểm M N theo thứ tự AC A’B ch AM = A' N = t ≤ t ≤ cm Biết dây lụa o ( ) nhập từ nước nên đắt Gia chủ muốn chiều dài dây ngắn Hỏi độ dài ngắn sợi dây mà gia chủ dùng ? A.x = B x C.x = D.x = = 2 Câu 6: Công ty mỹ phẩm cho mẫu sản phẩm dưỡng trắng da chống lão hóa mang tên Sakura với thiết kế khối cầu viên bi khổng lồ, bên khối trụ nằm phần để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ) Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R = (cm ) Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (nhằm thu hút khách hàng) A.16 2π cm B 48 2π cm C.32 cm3 2π D 24 2π cm Câu 7: Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2016, trường THPT Lê Quảng Chí có tổ chức cho học sinh lớp tham quan dã ngoại trời, số có lớp 12A Để có chỗ nghỉ ngơi trình tham quan dã ngoại, lớp 12A dựng mặt đất phẳng lều bạt từ bạt hình chữ nhật có chiều dài 12m chiều rộng 6m cách: Gập đôi bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh chiều rộng bạt cho hai mép chiều dài lại bạt sát đất cách x m (xem hình vẽ) Tìm x để khoảng không gian phía lều lớn nhất? A x = B x = 3 D x = C x = Câu 8: Cho hai vị trí A, B cách 615m, nằm phía bờ sông hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người là: A 569,5 m A 118 m 615 m B 487m Sôn g B 671,4 m C 779,8 m D 741,2 m Câu 9: Trong thực hành môn huấn luyện quân có tình chiến sĩ phải bơi qua sông để công mục tiêu phía bờ bên sông Biết lòng sông rộng 100m vận tốc bơi chiến sĩ nửa vận tốc chạy Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi mét để đến mục tiêu nhanh nhất, dòng sông thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ km theo đường chim bay chiến sĩ cách bờ bên sông 100m A 200 B 100 D C 100 101 200 Câu 10: Người ta cần xây hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 500 bằn m Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân g công để xây hồ 500.000 đồng/m2 Hãy xác định kích thước hồ nước cho chi phí thuê nhân công thấp Chi phí là? A 74 triệu đồng B 75 triệu đồng C 76 triệu đồng D 77 triệu đồng Câu 11: Một công ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2.000.000 đồng tháng hộ có người thuê tăng thêm giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng có hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao công ty phải cho thuê hộ với giá tháng A 2.225.000 B 2.100.000 C 2.200.000 D 2.250.000 Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác Thể tích hình lăng trụ V Để diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ cạnh đáy lăng trụ là: A 4V B V C 2V D 6V Câu 13: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích 3(m3) Tỉ số chiều cao hố (h) chiều rộng đáy (y) Biết hố ga có mặt bên mặt đáy (tức mặt trên) Chiều dài đáy (x) gần với giá trị để người thợ tốn nguyên vật liệu để xây hố ga A B 1,5 C Câu 14: Một đường dây điện nối từ nhà D 2,5 máy điện A đến đảo C khoảng cách ngắn từ C đến B km Khoảng cách từ B đến A Mỗi km dây điện đặt nước 5000 USD, đặt đất 3000 USD Hỏi điểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn 15 13 A km B km 4 C 10 D 19 Câu 15: Khi kim loại làm nóng đến 600 C, độ bền kéo giảm 50% Sau kim loại vượt qua ngưỡng 600 C, nhiệt độ kim loại tăng thêm 50 C độ bền kéo giảm 35% có Biết kim loại có độ bền kéo 280M Pa 6000 C sử dụng việc xây dựng lò công nghiệp Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo vật liệu 38M Pa, nhiệt độ an toàn tối đa lò công nghiệp bao nhiêu, tính theo độ Celsius? A.620 B.615 C.605 D.610 Câu 16: Có hai cọc cao 10m 30m đặt hai vị trí A, B Biết khoảng cách hai cọc 24m Người ta chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C D cọc (như hình vẽ) Hỏi ta phải đặt chốt vị trí mặt đất để tổng độ dài hai sợi dây ngắn A AM = 6m, BM = B AM = 7m, BM = 17m 18m D AM = 12m,BM = 12m C AM = 4m,BM = 20m Câu 17: Một học sinh vẽ hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn đường kính d, có cạnh trùng với đường kính hình tròn ( hình vẽ ) Gọi x độ dài cạnh hình chữ nhật không trùng với đường kính Tính diện tích nửa hình tròn theo x, biết diện tích hình chữ nhật cho lớn A πx C B πx πx D 2πx Câu 18: Một kĩ sư thiết kế sân tập thể thao dạng hình chữ nhật ABCD diện tích 961m mở rộng thêm phần đất cho tạo thành đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O giao điểm hai đường chéo AC BD Tính diện tích nhỏ (có thể đạt được) phần đất mở rộng (Xem hình vẽ bên) A 961 961 m B 1892 946 m C.1922 D 480, 961 m 961 m Câu 19: Tính chiều dài bé thang đơn vị m, để tựa tường mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song cách tường 0,5m kể từ tâm cột đỡ (xem hình vẽ , kết lấy đến chữ số thập phân) A 5, 49m C 5, 59m B 5, 69m D 5, 79m Chọn A Câu 25: + Đặt kích thước hình vẽ + Theo đề ta có: 3x.40000 + 2y.50000 = 60000000 ⇔ 6x + 5y = 3000 ⇔ y = 600 − x   12 + Diện tích khu đất rào là: S = 2xy = 2x 600 − x = 1200x − x     12 + Xét hàm số f ( x ) = 1200x − x với x∈ ( 0; 500 ) , ta có: 24 f ' ( x ) = 1200 − x; f ' ( x ) = ⇔ x = 250 ∈( 0; 500) + Lập bảng biến thiên ta tìm maxf ( x ) = f (250) = 150000 m ( ) (0;500) + Vậy diện tích lớn đất rào 150000 m2 Chọn B Câu 26: + Gọi chiều rộng x , < x < 12 + Thể tích hình hộp là: V = x(12 − x)(24 − x)= x3 −36x2 + 288x + Xét hàm số f ( x) = x − 36x + 288x (0; 12) ta có: f ' ( x ) = 3x − 72x + 288; f ' ( x ) = ⇔  12 + ∉ x= (0; 12) x = 12 − ∈(0; 12) ( ) + Lập bảng biến thiên ta tìm được: maxf ( x ) = f 12 − = 384 ⇒V Max (0;12) Chọn C Câu 27: + Thể tích thỏi son: V = πr h = 20, 25π ⇒ h = 20, 25 = 384 r2 405000 + Chi phí sản xuất thỏi son: T = 60000r + 20000rh = 60000r + r + Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2 T = 60000r + 202500 + 202500 ≥ 33 60000r 202500 202500 = 405000 r Dấu “=” xảy 60000r = r Chọn B Câu 28: r 202500 r r ⇔ r = 1, ⇒ h = ⇒ r + h = 10, + Chu vi hình tròn đáy nón C = 2πr = x x ⇔r= 2π + Ta có bán kính R hình tròn đường sinh khối nón vòng tròn đáy khối x R −r R − 4π = 2 + Khi x  đó, thể tích nón là: V = πr h = 2 x π R −   4π 3  2π  + π x V Suy ra:  4π x   x  R − x = x R − 2 2 2 =     16π4  4π2  8π2 8π2  4π   x2 + x2 + R − x2  + Áp dụng BĐT Cauchy ta có: nón có độ dài x đó: h= V = 4π x 2 x  ≤ 8π 2   28π 4π R − 8π x   4π 4π 8π   = 27  x2 x2 6πR x Dấu “=” xảy = R2 − ⇔x= ⇔ ≈ 5,13 R 8π 4π2 Chọn C Câu 29: 4π R 3πR ⇒V≤ 243 27 + NX: Chi phí vật liệu làm nắp nhỏ ⇔ diện tích xung quanh nắp nhỏ + Đường sinh hình nón là: l = 2 h +r ⇒h = 125 − r h 2 = 2πr = πr 125 − r 3 + Diện tích xung quanh hình nón: S2 = πrl = = 125πr 1+ πr S2 + Vậy diện tích toàn phần của nắp bằng: S = S 1252  r2 + Diện tích xung quanh hình trụ: S1 + Xét hàm f ( r ) = 1252  r2 πr + 125πr, r ∈( 0; 125) Ta có: + 125πr f '(r) = 375 31250π − 4πr +  1252  r2; f ' BAM MAY ⇔ (r) r ≈ 113,12 cm Dấu “=” xảy ⇔ r ≈ 113,12 ⇒ h ≈ 53,187 ⇒ r+ h ≈ 166, 307 125 − r + Từ tìm được: f ( r ) ≤ f (113,12) Chọn C Câu 30: + Ta có: d = 2r + 22, 2 + Diện tích vải để may phần dạng hình trụ là: S1 = 2πrh + πr + Diện tích vải để may phần dạng hình vành khăn là: S2 = πd 2 − πr + Khi đó, ta có: 3πd P = 3S = − S 3π ( 2r + 22, )2 − π r − π rh = − π r2 − π r ,3 4 ( π  −4 ( r − 2 )2 + 1494, 52 ) π −4r + 16r + = 1478, 52  = )   , π 4 Dấu “=” xảy r = ⇒ d = 26, ⇒ r + h = 28, D ( m ≤ C h ọ n  : + G ọ i l c h i ề u r ộ n g c ủ a t ấ m k i m C â u l o i , x l c h i ề u r ộ n g c ủ a m ặ t b ê n , y l c h i ề u r ộ n + Diện tích tiết diện bằng: ( y + z ) + y (y + z + y+z+x+ z + 3x − 3z )4 + Khi đó, ta có: ( )( )( )(  2 ( 2x + y )  m ) S y+z = y+z x+z = = 3x − 3z ≤ 256 256 3 48 y + z = x + z  m x = y =  ⇒S≤ Dấu “=” xảy x + z = 3x12 − 3z ⇔   2x + z = y m= m m    + Gọi α góc tạo mặt bên mặt đáy nhỏ máng ⇒ α = 90 + z arcsin = 120     x Chọn C Câu 32: + Gọi x,y>0 hình vẽ + Theo đề ta có:  xy = 40, 81 BDT Cauchy ⇒a = +x ≥ 81 x = 18 a = 2y + x x x 81 Dấu “=” xảy = 4, 5= xx ⇔ x = ⇒ y Chọn A Câu 33: + Gọi r (m) bán kính hình bán nguyệt; d (m) chiều dài hình chữ nhật (m); S1 , S2 diện tích hình bán nguyệt hình chữ nhật 1,9π + 8,8 − (π + 2)r + Theo đề ra, ta có: 1,9π + 8,8 = πr + 2d + 2r ⇔ d = + Diện tích cánh cổng bằng: + 2rd πr πr S = S1 + S2 = + r  1,9π + 8,8 − ( π +  = 2 2)r =  − ( 3, 8π + 17, ) + Theo tính chất tam thức bậc ⇒ S đạt Max ⇔ r = −2 ( π + ) Chọn B Câu 34: + Theo đề ra, diện tích mảnh bìa bằng: S −(π + 4)r + (3,8π + 2a 2 17,6)r 1, 9π+ = 8, (m) π+ 4ah h 2a 4a + Thể tích hình hộp chữ nhật: V a h a 3a 2a + Xét hàm số fa 3a 2a trê n 0; , ta có: f ' a 3 + Từ tìm max V maxf a f a ;f ' a0 a 2 2 ; Dấu “=” xảy a a h 2 h 2 C h ọ n D C â u : + Gọi cạnh hình vuông EFGH x x −x + Đường cao hình chóp tạo thành: BI = h= 2 − BI IO = 2 x 5 x = 2− − −5 x          25 − 5x + + Vận =  tốc c.4 cá 00 bơi ngược 2v dòng − Thể v − tích km/h hình (v > 6) chóp + là: V= x Năng 0; Xét , ta có: f ' x hàm số f x 2 (x) =x 25 − 5x 2 + 25 − Từ 5.2 10 tìm đượ c () C cá tiêu + () lượng = ) ( hao â u : + Gọi 18 x bán v kín =0 h hìn ⇔ h v = quạ t, y (k độ dài m cun g / tròn h) E+ 997200c Từ tìm tì nguồn m đư là: ợc E ( v ) = Mi cv t = nE v cv C 400 h v ọ − n trình = cm + Ta có: E' ( v ) A C + Ta có chu vi cánh diều = 2x + y xy= x ( − = 2x ( − 2x ) + Diện tích cánh diều S = 4 ( 2x + − =4 Dấu “=” xảy 82xx2 2x Chọn B Câu 38: V  r2 h + Thể tích phễu là: + Ta có chu vi đáy bằng: 2r  Rx  r  Rx 2 + Lại có: h R2  r2 R  2 R x  R 42  x2 42 2 R x4 2  x2 + Khi : V  r h 242 + Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: 3R3 V 3R 48 3.x2  4  x2  2.48 3 13R3  48 Dấu “=” xảy Chọn B Câu 39:   16  x2   x2 3  3R3 4  16  x2  32  4  x2   x2   x2 2.48    3      4  x2   x2  16   x2  13R3 162   48 39 x 2 3  R3 27    + Ký hiệu kích thước hình vẽ bên h 2 2 + Ta có: sinα = ; h = r − = r − ⇒rh =4 r + Suy ra, cường độ C = C(r) = k −4 r , (r > ) r3 + Xét hàm f ( r ) =k Ta tìm được: r − (2; +∞ ) 4r maxf ( x ) = f (2;+∞) = ( ) k max 18 ⇒ C = k Đạt ⇒ h = r = 18 Chọn D Câu 40: + Thể tích lăng trụ tạo thành bằng: x x + 100 − x 2 V = A' = 20 − x = 5x 100 − x ≤ = 250 A.S ABC Dấu “=” xảy x =   2 100 − x ⇔ Chọn D NGUYỄN MINH ĐỨC - HẾT - ... chí nguyên vật liệu 40 000 đồng mét Tìm diện tích lớn đất rào được? A 0m B 0m C 0m D 00m2 Câu 26: Một học sinh giao thi t kế hộp thỏa mãn: Tổng chiều dài chiều rộng 12cm; tổng chiều rộng chiều... không nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn Đề Minh Họa Môn Toán – THPT QG 2017 A.x = B C.x = D.x = x =3 Câu 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, nhà thi t kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm... 30: Một mũ vải nhà ảo thuật gia gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải S1 ) phần dạng hình vành khăn (có tổng diện tích vải S2 ) với kích thước hình vẽ Tính tổng (r + d) cho biểu thức