PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.PHƯƠNG TRÌNH: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x ≥ ≥ ≥ = ⇔ ⇔ ∨ = = − = ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x f x g x = − = ⇔ = ⇔ = 2k ( ) [g(x)] 2 ( ) ( ) g(x) 0 f x k f x g x = = ⇔ ≥ ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) 0( ( ) 0) f x g x k k f x g x f x g x = = ⇔ ≥ ≥ Bài 1: Tìm ĐKXĐ của mỗi PT sau rồi suy ra tập nghiệm của PT: a) x x= − ({0}) b) 3 2 2 6x x x− − = − + ({2}) c) 3 3 3 x x x x − = + − − ( ∅ ) d) 1x x x+ − = − ( ∅ ) e) 4 4 4x x x− − = − + ({4}) f) 2 1 1 1x x x+ + = − − − ( ∅ ) Bài 2: Giải các PT: a) 1 2 1x x x+ − = + − ({2}) b) 1 0,5 1x x x+ − = + − ( ∅ ) c) 3 2 5 5 x x x = − − ({6}) d) 2 2 5 5 x x x = − − ( ∅ ) e) 2 3 2x x x+ − = + − ({3}) f) 2 4 1 1 x x x = − − ({2}) Bài 3: Giải các PT : a) 1 2 1 1 1 x x x x − + = − − ({2}) b) 1 2 3 2 2 x x x x − + = − − ( ∅ ) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ c) 2 ( 3 2) 3 0x x x− + − = ({3}) d) 2 ( 2) 1 0x x x− − + = ({-1;2}) Bài 4: Giải các PT sau bằng cách bình phương hai vế : a) 3 9 2x x− = − ({4}) b) 1 3x x− = − ({5}) c) 2 1 2x x− = + ({0; 4}) d) 2 2 1x x− = − ({1}) e) 2 2 1x x− = − ({1}) f) 3 2 1 2x x− = − ( ∅ ) g) 5 2 1x x− = − ({2}) Bài 5: Giải các PT: a) 2 1 3 5x x− = − ({3}) b) 1 2x x− = + ({-1/2}) c) 2 4 2 2 2 x x x x − − = − − ({5}) d) 2 5 1 3 3 x x x x + + + = + + ({0}) e) 3 3 2 1 1 x x x x + = − − ({3/2}) f) 2 2 3 2 3 2 3 x x x x − − = − − ( ∅ ) Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: 1.Dạng : 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + = + = (1) với 2 2 0 1 1 2 2 0 2 2 a b a b + ≠ + ≠ 2.Phương pháp giải và biện luận : (B 1): Tính các định thức 1 1 1 2 2 1 2 2 a b D a b a b a b = = − 1 1 1 2 2 1 2 2 c b D c b c b x c b = = − 1 1 1 2 2 1 2 2 a c D a c a c y a c = = − (B 2 ): Biện luận : 1/ D≠ 0 ⇔ tham số ? Khi đó hệ PT có nghiệm duy nhất : D x x D D y y D = = 2/ D = 0 ⇔ tham số ? Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Thay tham số vào ,D D x y : a) Nếu D = D x = D y = 0 thì hệ PT có vô số nghiệm, tập nghiệm hệ là nghiệm PT a 1 x + b 1 y = c 1 tức là: 1 1 1 1 1 R 1 x R c b y x c a x a hay y b y ∈ − = − = ∈ b) Nếu D = 0 và D x ≠ 0 (hay D y ≠ 0 ) thì hệ PT vô nghiệm . (B 3 ): Kết luận . Chú ý :Sự khả hữu về nghiệm của hệ PT bậc nhất hai ẩn (1) : a) Hệ (1) có nghiệm duy nhất ⇔ D ≠ 0 b) Hệ (1) có nghiệm 0 0 D D D D x y ≠ ⇔ = = = c) Hệ (1) vô nghiệm 0 0 0 0 D D x D D y = ∧ ≠ ⇔ = ∧ ≠ VD: Giải và biện luận hệ 2 1 2 2 5 mx y m x my m + = + + = − + Bài 1: Bằng định thức , giải các hệ PT sau: a) 5 4 3 5 19 ( ; ) 7 9 8 17 17 x y x y − = − − − = b) 3 2 1 ( 3; 2 2) 2 2 3 0 x y x y + = − − + = c) 3 2 7 ( 1; 2) 5 3 1 x y x y + = − − − − = d) 5 3 2 (1; 0,47) 2 3 5 x y x y + = − = Bài 2: Giải các hệ sau: a) 11 2 5 (4;2;5) 3 2 24 x y z x y z x y z + + = − + = + + = b) 2 3 2 4 6 5 ( 1;2;2 / 3) 5 3 5 x y z x y z x y z + + = − + − = − − + = − Bài 3: Giải Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ a) 6 2 3 (3; 2) 3 4 1 x y x y + = − = − b) 3( ) * 7 ( ) 5 5 5 2 3 x y x R x y x y y x y x + = − ∈ − − = = − Bài 4: Giải và biện luận a) 0 1 x my mx y m − = − = + b) 2 +3y=5 ( 1) 0 ax a x y + + = c) ( 1) 2 3 1 ( 2) 1 m x y m m x y m − + = − + − = − d) 4 2 ( 1) mx y m x m y m + = − + − = e) ( 2) ( 4) 2 ( 1) (3 2) 1 m x m y m x m y − + − = + + + = − g) 1 3 2 3 x my mx my m + = − = + Bài 5: Tìm m để mỗi hệ sau có nghiệm : a) ( 1) 1 ( 0) ( 1) 2 a x y a a x a y + − = + ≠ + − = b) ( 2) 3 3 9 ( 1) ( 4) 2 a x y a a x a y + + = + ≠ − + + = Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I. HỆ PT GỒM 1 PT BẬC NHẤT& 1 PT BẬC 2 HAI ẨN : 1.Dạng : ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2) f x y g x y = = với f(x,y) = 0 là 1PT bậc nhất đối với x và y. 2.Giải : Dùng Phương pháp thế : rút 1 ẩn từ (1) thế vào (2), ta được một PT một ẩn giải tìm nghiệm . VD: Giải hệ 2 2 5 7 2 1 x xy y x y − + = + = (1;-1) ; (-2/5; 9/5) A. HỆ PT ĐỐI XỨNG LOẠI I: 1.Dạng : ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2) f x y g x y = = (I) với ( ; ) ( ; ) ( : ) ( : ) f x y f y x g x y g y x = = ( Mỗi PT trong hệ không thay đổi khi hoán vị x và y ) 2.Giải : + Đặt ẩn phụ : S = x+y, P = x.y Điều kiện để hệ có nghiệm (x ; y) là : S 2 - 4P≥ 0 . +Biến đổi HPT cho về HPT mới đối với S,P (II) ; giải hệ tìm S,P ( so sánh với điều kiện ) để nhận S,P . Khi đó x,y là nghiệm PT : t 2 – St + P = 0 . Chú ý : Nếu (x ; y) là nghiệm hệ thì (y ; x) cũng là nghiệm của hệ 3. Điều kiện nghiệm : a) (I) có nghiệm ⇔ (II) có nghiệm và S 2 - 4P≥ 0 b) (I) có nghiệm duy nhất ứng với mỗicặp S,P ⇔ (II) có nghiệm thoả : S 2 - 4P = 0 . c) (I) vô nghiệm ⇔ (II) vô nghiệm hoặc (II) có nghiệm S 2 - 4P = 0 . VD: Giải hệ 11 2 2 30 xy x y x y xy + + = + = (1;5) ; (5;1) ; (2;3) ; (3;2) B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2: Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1.Dạng : ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2) f x y g x y = = (I) với ( ; ) ( ; ) ( : ) ( : ) f x y g y x g x y f y x = = (Khi hoán vị x và y thì PT (1) biến thành PT (2) và ngược lại ) 2.Giải :Sử dụng 1 trong 2 cách : (I) ⇔ ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 f x y g x y f x y − = = hoặc (I) ⇔ ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 f x y g x y f x y g x y − = + = Chú ý: Đối với hệ đối xứng loại 2 có dạng bậc 2 ta giải : (II) x = y f(x,y)=0 ( ) ( , ) 0 ( , ) 0 h(x,y)=0 f(x,y)=0 x y h x y f x y − = ⇔ ⇔ = VD:Giải 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y y x y x − = + − = + (0;0) ; (-3;-3) C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI: 1.Dạng : ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2) f x y g x y = = với f(x,y) và g(x,y) có các số hạng có tổng bậc của x và bậc của y đều bằng 2 . 2. Giải : Cách 1: + Giải hệ khi x = 0 . +Khi x ≠ 0: Đặt y = tx rồi thế vào hệ ; biến đổi ta được HPT dạng 2 ( ) ( ) x h t a k t b = = giải hệ tìm t , x . Suy ra nghiệm (x,y) của hệ cho Cách 2: Khử x 2 ( hoặc y 2 ) từ 2 PT của hệ . Nếu khử đượck ẩn nào thì rút ẩn số ấy ; Suy ra PT trùng phương ; suy ra kết quả . VD: Giải : 2 3 4 2 2 4 1 y xy x xy y − = − + = Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 7 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ D. TÌM THAM SỐ m ĐỂ HPT ĐỐI XỨNG LOẠI 1,2 CÓ NGHIỆM DUY NHẤT : + Giả sử (x 0 ; y 0 ) là nghiệm của hệ , do hệ đối xứng nên (y 0 ; x 0 ) cũng là nghiệm của hệ . Vậy hệ có nghiệm duy nhất thì x 0 = y 0 + Thay x và y bởi x 0 vào hệ PT cho , khử x 0 , tìm giá trị m . + Thử lại với các giá trị m vừa tìm , nếu thoả yêu cầu thì nhận giá trị m đó . BÀI TẬP Bài 1: Giải các hệ sau: a) 2 2 2 164 x y x y − = + = (10;8),(-8;-10) b) 2 2 5 7 2 1 x xy y x y − + = + = (1;-1), (2/5;9/5) c) 2 3 2 2 3 2 3 6 0 x y x xy y x y − = − + + + − = (3 ; 3); (2; 1) Bài 2: Giải các hệ sau: a) 2 2 8 5 x y x y xy x y + + + = + + = (1;2);(2;1) b) 2 2 208 (8;12);(12;8) 96 ( 8; 12);( 12; 8) x y xy + = = − − − − c) 11 2 2 30 xy x y x y xy + + = + = (1;5) ; (5;1) ; (3;2) ; (2;3) Bài 3: Giải các hệ sau: a) 2 2 2 1 x y x y xy x y + − + = + − = − (0;1);(-1;0) b) 3 2 2 6 xy x y x y x y xy − + = − + − + + = (0;-3);(3;0) c) 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x y x y x x y y y + + − = − + + − = ( 2; 2);( 2; 2);(1;2);( 2; 1)− − − − Bài 4: Giải các hệ sau: a) 2 3 2 3 x x y y y x − = − = b) 2 3 2 2 3 2 x x y y y x − = − = Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ c) 2 2 4 5 2 2 4 5 x y y y x x = − + = − + (1;1);(5;5) d) 2 2 3 2 2 3 x xy x y xy y + = + = (0;0);(0;3/2);(3/2;0) (1;1) Bài 5: Giải các hệ sau: a) 2 2 31 2 2 11 x y xy x y xy − + = − − = (5;2);(-5;-2) b) 2 2 3 1 2 2 3 3 13 x xy y x xy y − + = − − + = c) 2 2 7 2 2 3 x y xy x y xy + + = + − = d) 2 2 2 3 9 2 2 2 2 2 x xy y x xy y + + = + + = (1;-2) ; (-1;2) ; ( 3 8 ; 17 17 ± m ) Bài 6: Cho 2 2 2 2 ( ) 4 x y m x y + = + = a) Giải hệ khi m = 2 b) Tìm m để hệ chỉ có 2 nghiệm (m = 1) Bài 7: Cho 2 2 2 1 x y xy m x y y x m + + = + + = + a) Tìm m để hệ có nghiệm ? ( 3 1 4 m m≤ − ∨ ≥ ) b) Tìm m để hệ có 4 nghiệm phân biệt ? ( 3m < − ) Bài 8: Cho 6 2 2 x y x y a + = + = . Tìm a để hệ : a) vô nghiệm ( a<18) b) có nghiệm duy nhất (a = 18 ) c) có 2 nghiệm phân biệt ( a> 18) Bài 9: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất : a) 2 ( 1) 2 ( 1) x y a y x a + = + + = + (a = 3/4) b) 2 2 2( 1) 2 ( ) 4 x y a x y + = + + = ( a ∈∅ ) Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 9 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Bài 10: Cho 3 3 ( ) 1 x y m x y x y − = − + = − a)Giải hệ với m = 3 ; b) Tìm m để hệ có đúng 1 nghiệm .( 3 4 m ≤ ) -------------------------------------------------------------------------------------------------- Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 10 . PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.PHƯƠNG TRÌNH: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). ) Giaáo viêen bien soạn: Cao Thọ Ninh 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: 1.Dạng : 1 1 1