dãy tỉ số bằng nhau

SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 A - Đặt vấn đề 1. Lời mở đầu: ở trờng phổ thông, dạy toán là một hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem giải toán là một hoạt động đóng vai trò chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập là các phơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực t duy, hình thành và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải bài tập là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trờng phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với việc nâng cao chất lợng dạy và học Toán, đồng thời góp phần rèn luyện và phát triển trí tuệ cho học sinh. 2. Thực trạng: Khi dạy môn Toán tôi nhận thấy việc phát hiện, tìm tòi, suy luận để tìm ra h- ớng giải cho một bài toán của các em còn rất yếu, nguyên nhân chủ yếu là do các em cha biết cách phân loại, hệ thống kiến thức cũng nh mức độ khó của từng dạng bài tập và tìm ra cách giải phù hợp nên các em thờng rất mông lung khi gặp một dạng mới, một dạng biến đổi của các bài toán đặc trng. Đối với các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7 là một ví dụ, đây là một trong những dạng toán mà các hầu hết các em đều cảm thấy bỡ ngỡ và mông lung khi gặp phải. Lớp 7 các em đã đ- ợc học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tỉ lệ thức, các tính chất của các tỉ lệ thức tuy nhiên hầu hết các em cha nắm vững kiến thức cơ bản, còn hiểu lơ mơ về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, cha xây dựng đợc đờng lối giải bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, phần đa các em cha biết áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nh thế nào cho đúng, hay cần phải biến đổi dãy tỉ số cho trớc nh thế nào để có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào bài toán cụ thể, vì vậy các em cho rằng đây là dạng toán khó, rắc rối và việc liên hệ giữa kiến thức cơ bản với phơng pháp giải các bài tập cha đợc hình thành, hơn nữa khả năng t duy liên hệ lý thuyết của các em còn kém. Qua giảng dạy và lắng nghe thông tin phản hồi từ các em kết hợp với công tác dự giờ rút kinh nghiệm, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp tôi đã phần nào rút ra Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 1 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 đợc nguyên nhân và cách giải quyết vấn đề giúp các em dễ dàng phân loại dạng bài tập loại này để có hớng giải phù hợp với điều kiện bài cho. 3. Kết quả: Từ thực tế giảng dạy và qua khảo sát -kiểm tra đánh giá bớc đầu tôi thu đợc kết quả kiển tra nh sau: Kết quả khảo sát- kiểm tra chất lợng giữa học kỳ I toán 7 năm học 2007 2008 Trờng THCS Nga Tân 4. Giải pháp thực hiện: Vấn đề đặt ra đối với đa phần học sinh và mục đích chính trong sáng kiến này là h- ớng dẫn học sinh phân loại dạng bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài tập bằng cách áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay lập đợc các tỉ số mới từ các tỉ số đã cho trong đó số hạng trên hoặc số hạng dới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán. Vì thế tôi đã phân loại các bài toán sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nh sau nhằm giúp các em có một cái nhìn sâu hơn về cách giải các bài tập dạng này. Từ thực trạng kết quả trên là tôi đã phân loại các bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ra các dạng cụ thể và cách giải của từng dạng để qua đó học sinh có thể đễ dàng tiếp thu và vận dụng vào các bài tập. Đó là: Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải. Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập đợc các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho để sử dụng đợc dữ kiện bài toán. Dạng 3: Dạng bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa. Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 2 STT Lớp Sĩ Số Kết quả Giỏi Khá T. B Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 1 7C 33 0 0 4 12,1 10 30.3 6 18.2 13 39.4 2 7D 33 0 0 3 9.1 11 33.3 7 21,2 12 36.4 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 Dạng 4: Từ dữ kiện bài cho rút ra đợc dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau giải. Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh sự tồn tại của các dãy tỉ số mới từ các tỉ số ban đầu. Dạng 6: Dạng bài tập không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhng học sinh hay nhầm lẫn. Từ việc phân lại nh trên và giới thiệu cho các em tôi thấy qua các tiết học các em tiếp thu kiến thức và áp dụng vào các bài tập cụ thể tốt hơn, các em có thể thi đua nhau tìm cách giải cho một bài tập dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau làm cho không khí tiết học sôi nổi, vui vẻ hơn, không còn gò bó nặng nề, các em tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng. * Với học sinh đại trà: Sau khi học xong phần này các em nắm chắc và biết cách giải các bài toán Dạng1, Dạng 2 , Dạng 4 và Dạng 6 * Với học sinh khá giỏi: Các em nắm đợc cả 6 dạng và có những cách giải khác nhau cho những bài toán dạng này. B Giải quyết vấn đề: I. Về kiến thức: Yêu cầu các em cần nhớ: * Về tỉ lệ thức: + Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số d c b a = hoặc )0;0(:: = dbdcba (a,b,c,d là các số hạng của tỉ lệ thức, a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ ) + Các tính chất của tỉ lệ thức: + Nếu bcad d c b a == (tích các ngoại tỉ bằng tích các trung tỉ) + Nếu bcad = và 0,,, dcba thì ta có các tỉ lệ thức sau: a b c d a c b d d b c a d c b a ==== Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 3 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 (hoán vị các trung tỉ, các ngoại tỉ, cả trung tỉ và ngoại tỉ ta sẽ đợc một tỉ lệ thức mới) * Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau: + Từ dãy tỉ số d c b a = hoặc f e d c b a == Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: * db ca db ca d c b a = + + == * . = = ++ ++ === fdb eca fdb eca f e d c b a Lu ý: Nếu đặt dấu - trớc số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu - trớc số hạng dới của tỉ số đó. II. Về ph ơng pháp giải bài tập: Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải. Dạng này tập trung chủ yếu vào đối tợng học sinh trung bình, yếu để các em củng cố và khắc sâu hơn kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau. VD1: Tìm x,y biết: a) 52 yx = và 21 =+ yx ; b) 52 yx = và 6 = yx Cách giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: a) == == == + + == 155.3 62.3 3 7 21 5252 y x yxyx b) == == = = == 105.2 42.2 2 3 6 5252 y x yxyx VD2: Tìm x,y,z biết: a) 432 zyx == và 18 =++ zyx ; b) 432 zyx == và 15 = zyx Cách giải: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 4 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: a) == == == == ++ ++ === 84.2 63.2 42.2 2 9 18 432432 z y x zyxzyx b) == == == = = === 124.3 93.3 62.3 3 5 15 432432 z y x zyxzyx Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết c z b y a x == và dpznymx =++ Với dcba ,,, là các số cho trớc và 1;1;1 === pnm Phơng pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải. Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập đợc các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho để sử dụng đợc dữ kiện bài toán. VD1: Tìm x, y biết: a) 32 yx = và 3835 =+ yx ; b) 32 yx = và 1032 = yx ở đây học sinh sẽ băn khoăn vì không biết làm thế nào để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Gợi ý: Vì bài cho điều kiện câu a) 3835 =+ yx nh vậy muốn sử dụng dữ kiện này thì từ dãy tỉ số 32 yx = ta phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng tỉ số đã cho trong đó các số hạng trên của nó có dạng x5 và y3 Cách giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 5 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 a) == == == + + ==== 63.2 42.2 2 19 38 910 35 9 3 10 5 32 y x yxyxyx b) == == = = ==== 63.2 42.2 2 5 10 94 32 9 3 4 2 32 y x yxyxyx VD2: Tìm x, y,z biết: a) 543 zyx == và 9342 =++ zyx ; b) 543 zyx == và 3432 =+ zyx Cách giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: a) == == == = = ++ ++ ===== 155.3 124.3 93.3 3 31 93 2083 42 20 4 8 2 543 z y x zyxzyzyx b) == == == = = + + ===== 105.2 84.2 63.2 2 17 34 1546 32 15 3 6 2 543 z y x zyxzxzyx Dạng này học sinh rất dễ nhầm lẫn( đôi khi không biết vậy thì khi nào thì đặt dấu - trớc tử hay mẫu của tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau). Nhấn mạnh: Dấu - đặt trớc số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt trớc số hạng dới của tỉ số đó. Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết c z b y a x == và dpznymx =++ Với dcba ,,, là các số cho trớc và 1;1;1 pnm Phơng pháp giải nh sau: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 6 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 Từ pc pz nb ny ma mx c z b y a x ==== áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số pc pz nb ny ma mx == ta đợc pcnbma d pcnbma pznymx pc pz nb ny ma mx ++ = ++ ++ === Dạng 3: Dạng bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa. VD1: Tìm x,y biết: a) 32 yx = và 222 22 =+ yx ; b) 32 yx = và 1932 22 = yx Đến đây học sinh thấy ở phần dữ kiện bài toán có xuất hiện luỹ thừa của các biến. Vậy phải biến đổi dãy tỉ số trên nh thế nào để sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau? Gợi ý: Vì ở điều kiện bài cho 442 22 =+ yx có luỹ thừa bậc hai của cả x và y nên để suất hiện hai luỹ thừa này ta có thể bình phơng các tỉ số của dãy tỉ số đã cho lên. Cách giải: a) Ta có: 94 )1( 32 22 yxyx == áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: == == == + + === 39 24 1 22 22 184 2 18 2 94 2 2 22222 yy xx yxyyx kết hợp với (1) = = 3 2 y x hoặc = = 3 2 y x b) Ta có: 94 )1( 32 22 yxyx == áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 7 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 == == = = ==== 39 24 1 19 19 278 32 27 3 8 2 94 2 2 222222 yy xx yxyxyx kết hợp với (1) = = 3 2 y x hoặc = = 3 2 y x VD2: Tìm x, y,z biết: a) 543 zyx == và 14142 222 =++ zyx b) 543 zyx == và 7732 222 =+ zyx Cách giải: a) Từ 25169 )1( 543 222 zyxzyx ==== áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: == == == == ++ ++ ===== 525 416 39 1 141 141 100329 42 100 4 32 2 25169 2 2 2 22222222 zz yy xx zyxzyzyx kết hợp với (1) = = = 5 4 3 z y x hoặc = = = 5 4 3 z y x b) Từ 25169 )1( 543 222 zyxzyx ==== Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 8 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: == == == = = + + ===== 525 416 39 1 77 77 751618 32 75 3 18 2 25169 2 2 2 22222222 zz yy xx zyxzxzyx kết hợp với (1) = = = 5 4 3 z y x hoặc = = = 5 4 3 z y x Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết c z b y a x == và dpznymx kkk =++ Với kdpnmdcba ,,,,,,,, là các số cho trớc và Nk Phơng pháp giải nh sau: Từ k k k k k k pc pz nb ny ma mx c z b y a x ==== áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k k k k k k pc pz nb ny ma mx == ta đợc: kkkkkk kkk k k k k k k pcnbma d pcnbma pznymx pc pz nb ny ma mx ++ = ++ ++ === Dạng 4: Từ dữ kiện bài cho rút ra đợc dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau giải. VD1: Tìm x, y,z biết: a) 54 ; 32 zyyx == và 9242 =++ zyx ; b) 52 ; 32 zyyx == và 4732 =+ zyx ở dạng này học sinh sẽ thấy bài cho hoàn toàn cha có dãy tỉ số bằng nhau, vậy làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ lệ thức trên. Gợi ý: Vì ở cả hai tỉ lệ thức đều có y, vậy nên ta sẽ biến đổi hai tỉ lệ thức trên sao cho chúng sẽ có cùng một tỉ số chứa y bằng cách chia cả hai vế của hai tỉ lệ thức trên cho số nào đó để cả hai tỉ lệ thức thu đợc đều có tỉ số chứa y nh nhau tức là các mẫu của Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 9 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 các tỉ số chứa y sẽ là BCNN của các mẫu số ban đầu chứa y. Cụ thể: Biến đổi để các tỉ số chứa y ở câu a) có mẫu là BCNN(3;4) còn ở câu b) có mẫu là BCNN(3;2). Cách giải: a) Từ 15128 151254 12832 zyx zyzy yxyx == == == áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: = = = = = ++ ++ === 15 12 8 1 92 92 60248 42 15128 z y x zyxzyx b) Từ 1564 15652 6432 zyx zyzy yxyx == == == áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: = = = = = + + === 15 6 4 1 47 47 4568 32 1564 z y x zyxzyx VD2: Tìm x, y,z biết: a) 5 4 4 3 3 2 zyx == và 22042 =++ zyx ; b) 5 3 4 5 3 2 zyx == và 21632 =+ zyx ở đây vì dãy tỉ số đã cho có dạng không thuận tiện cho việc áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Vậy làm thế nào để sử dụng dãy tỉ số bằng nhau đã cho cho phù hợp. Gợi ý: Ta nên ta chia các tỉ số đó cho BCNN của các hệ số của tử số Cụ thể Câu a) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;3;4)=12 Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 10 [...]... không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhng học sinh hay nhầm lẫn VD: Tìm x,y,z biết: a) x y = 2 3 và xy = 12 ; b) x y z = = 2 3 4 và xyz = 48 Dạng này học sinh rất hay nhầm lẫn vì các em thấy có xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau ở phần đầu, vì thế đa số các em áp dung luôn tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải Ví nh các em đã giải nh sau: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: Thịnh Thị Oanh... áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: x y x + 2 y 51 x = 21 = = = = 3 7 5 7 + 10 17 y = 15 b) Từ a.x = b y x y = b a áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 11 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 x y x y b a = = = = 1 b a b a b a x= b y= a Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh... áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 Câu b) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;5;3)=30 Cách giải: a) Từ 2x 3 y 4z x y z = = = = 3 4 5 18 16 15 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: x = 2.18 = 36 x y z x + 2 y + 4z 220 = = = = = 2 y = 2.16 = 32 18 16 15 18 + 32 + 60 110 z = 2.15 = 30 b) Từ 2 x 5 y 3z x y z = = = = 3 4 5 45 24 50 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: x =... Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh sự tồn tại của các dãy tỉ số mới từ các tỉ số ban đầu VD: Cho tỉ lệ thức: a c = ( a, b, c, d 0; a b; c d ) b d Chứng minh rằng: a) a +b c + d a b c d = ; = b d a c ; b) a +b c +d = a b c d Cách giải: Từ a c a b = = b d c d áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc: a b a +b a b = = = c d c+d cd a) Từ Từ b a+b a+b c+d = = d c+d b d... quả Giỏi Khá T B Yếu Kém Sĩ SL % SL % SL % SL % SL % STT Lớp Số 1 1 7C 33 3 8 24.2 14 42.4 6 18.2 4 12.1 2 7D 33 1 1 6 18.2 14 42.4 7 21.2 5 15.2 2 Đề xuất: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 14 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 Trên đây là một vài dạng toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7 mà tôi đã rút ra đợc trong quá trình giảng dạy,... này học sinh có thể áp dụng cho hầu hết các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở trên, tuy nhiên trong quá trình giải bài tập cụ thể các em có thể chọn lựa phơng pháp giải phù hợp nhất với bài C- Kết luận: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 13 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 1 Kết luận: Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng... giảng dạy Toán ở trờng THCS tôi nhận thấy từ chỗ các em còn bỡ ngỡ, mơ hồ, cha hiểu, cha định hớng đợc phơng pháp giải các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì sau khi thể hiện sáng kiến trên học sinh đã nắm vững đợc tính chất dãy tỉ số bằng nhau và biết cách phân loại các bài tập loại này ra các dạng cụ thể để vận dụng đúng cách giải và bài Trên cơ sở đó nhen nhóm dần cho học sinh lòng... đợc: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 12 SKKN: Hớng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 x y xy 12 a) = = = = 2 2 3 6 6 x= 4 y= 6 x= 4 x y z xyz 48 b) = = = = = 2 y = 6 2 3 4 24 24 z= 8 Tuy nhiên kết quả trên không đợc chấp nhận vì tính chất dãy tỉ số bằng nhau không đúng đối với phép nhân Vì vậy với dạng này các em nên giải nh sau: Cách giải: a) Đặt x... toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7 mà tôi đã rút ra đợc trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy cũng có thể áp dụng đợc cho giảng dạy ở tất cả các lớp khối 7 khi học phần tính chất dãy tỉ số bằng nhau Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ đợc rút ra trong quá trình giảng dạy toán 7 của bản thân, chắc rằng còn nhiều sai sót tồn tại nhng tôi xin mạnh dạn trình bày Rất mong đợc sự đóng góp . chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài tập bằng cách áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay lập đợc các tỉ số mới từ các tỉ số đã cho trong đó số. tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải. Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập đợc các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho để