DẠNG 1: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC 1/Cho biểu thức P = + + ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = . 3) Tìm giá trị của x để P > 0. 2.Cho biểu thức P = + − ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 33 − 8. 3) Chứng minh rằng: P < . 3.Cho biểu thức P = : ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức khi m = 4 + 2. 4.Cho biểu thức P = 1 + ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của x để P = . 3) Chứng minh rằng: P > . 5.Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Biết = −11, tính giá trị của biểu thức P. 6.Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của x để ≤ . 7.Cho biểu thức P = : ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Với điều kiện để có nghĩa, hãy so sánh với P. 8.Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = . 3) Tìm giá trị của x thỏa mãn P = 6 − 3 − . 9.Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P, biếtx − 2= 3. 3) Tìm giá trị của x để (2 + 2)P + 5 = (2 + 2)(2 − ). 10.Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của a để − ≥ 1. 11.Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của x để P = −1. 3) Tìm giá trị của m để với x > 9, ta có m( − 3)P > x + 1. 12.Cho biểu thức P = − + − 1; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của a để P= 1. 3) Tìm giá trị của a∈Ν sao cho P∈Ν. 13.Cho biểu thức P = + − ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) So sánh P với 5. 3) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức chỉ nhận đúng một giá trị nguyên. 14.Cho các biểu thức A = và B = ; 1) Rút gọn A và B. 2) Tìm giá trị của x để A = B. 3) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P = nhận giá trị nguyên. 15. Cho biểu thức P = ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 11 − 4. 3) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. 16.Cho biểu thức Q = :; 1) Rút gọn biểu thức Q. 2) Tìm giá trị nguyên của b để biểu thức Q < 0. 3) Tìm b để đạt giá trị nhỏ nhất. 17. Cho biểu thức P = ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của x để > 2. 18. Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của x để (x + 1)P = x − 1. 3) Biết Q = − , tìm x để biểu thức Q đạt giá trị lớn nhất. 19. Cho biểu thức P = − − ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = + . 20. Cho biểu thức P = − + ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 3) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị nguyên. 21. Cho biểu thức P = : − 1; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức Q = P − nguyên. 22. Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = . 3) Tìm giá trị của x để P = . 23. Cho biểu thức P = + ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. 3) Tìm giá trị của m để với x > 2, ta có P(x + + 1) − 3 > m(x − 1) + . 24. Cho biểu thức P = 1:; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Hãy so sánh P với 3. 25. Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị của x để P > 1. 3) Tìm giá trị của x để P = . 4) Tìm giá trị lớn nhất của P. K 026; 26. Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm a để P = 3a − 3. 3) Tìm giá trị của m để có a thỏa mãn P( + 1) > + m. 27. Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của . 28. Cho biểu thức Q = :; 1) Rút gọn biểu thức Q. 2) Tìm giá trị của b để Q < 1. 3) Tìm b để biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất. 29.Cho biểu thức P = : ; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. 3) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 19 − 8. 30. Cho biểu thức P = + 1 − ; 1) Rút gọn biểu thức P. Tìm giá trị của x để P = 2. 2) Giả sử x > 1, chứng minh rằng: P −P= 0. 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. 31. Cho biểu thức P = − ; 1) Rút gọn biểu thức P. Chứng minh rằng: P < 0. 2) Tìm giá trị của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. 32. Cho biểu thức P = :; 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tính giá trị của P khi a = 2 − và b = . 3) Tìm giá trị nhỏ DẠNG GIẢI TOÁN QUA MẠNG LỚP Đề ôn luyện số Câu 1: 24 : – …= Câu 3: 15 : × = Câu 2: 15 : × = Câu 4: 32 : – ….= Câu 5: Số bé có hai chữ số mà thương hai chữ số số số Câu 6: Hiện anh 25 tuổi, em 19 tuổi Tính tổng số tuổi anh em tuổi em tuổi anh Trả lời: Tổng số tuổi hai anh em ….tuổi Câu 7: Số bé có hai chữ số mà thương hai chữ số số số Câu 8: Số lớn có hai chữ số mà thương hai chữ số số số Câu 9: Số bé mà đem nhân với kết lớn 38 số Câu 10: Số lớn có hai chữ số mà tích hai chữ số số số Câu 1: 20 : × = Câu 2: 16 : × = Câu 3: 30 : + ….= 19 Câu 4: 15 : × = Câu 5: Có số lượng gạo, có thêm kg vừa đủ để chia vào túi, túi 5kg Hỏi số lượng gạo ki-lô-gam? Trả lời: Số lượng gạo là… kg Câu 6: Ba bạn Lan, Huệ, Hồng tuổi tuổi.Tính tổng số tuổi ba bạn sau năm Trả lời: Tổng số tuổi ba bạn sau năm … tuổi Câu 7: Hiện anh 16 tuổi, em tuổi Tính tổng số tuổi anh em tuổi em tuổi anh Trả lời: Tổng số tuổi hai anh em là… tuổi Câu 8: Số lớn có hai chữ số mà tích hai chữ số số 24 số Câu 9: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 30 số Câu 10: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 25 số Đề ôn luyện số Câu 1: 12 : + … = 20 Câu 2: 32 : – …= VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu 3: 45 : : = Câu 4: 30 : + … = 19 Câu 5: Số bé có hai chữ số mà thương hai chữ số số số Câu 6: Có số lượng gạo, có thêm 2kg vừa đủ để chia vào túi, túi 4kg Hỏi số lượng gạo ki-lô-gam? Trả lời: Số lượng gạo ….kg Câu 7: Có số lượng gạo, có thêm 3kg vừa đủ để chia vào 10 túi, túi 4kg Hỏi số lượng gạo ki-lô-gam? Trả lời: Số lượng gạo … kg Câu 8: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 33 số Câu 9: Số lớn có hai chữ số mà tích hai chữ số số 18 số Câu 10: Số lớn có hai chữ số mà thương hai chữ số số số Đề ôn luyện số Câu 1: 35 : + ….= 14 Câu 3: 20 : × = Câu 2: 15 : × = Câu 4: 15 : × = Câu 5: Có số lượng gạo,nếu đem đựng vào túi 4kg 10 túi.Hỏi số lượng gạo đem đựng vào túi 5kg túi? Trả lời: Nếu đựng vào túi 5kg được… túi Câu 6: Số bé có hai chữ số mà thương hai chữ số số số Câu 7: Có số lượng gạo đem đựng vào túi 4kg túi.Hỏi số lượng gạo đem đựng vào túi 3kg túi? Trả lời: Nếu đựng vào túi 3kg … túi Câu 8: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 33 số Câu 9: Số bé mà đem nhân với kết lớn 25 số Câu 10: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 34 số Câu 1: 32 : + … = 31 Câu 3: 40 : : = Câu 2: 12 : × = Câu 4: 12 : × = Câu 5: Em cho biết có tất số có chữ số khác nhau? Trả lời: Có tất số có chữ số khác VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu 6: Hiện anh 25 tuổi, em 19 tuổi Tính tổng số tuổi anh em tuổi em tuổi anh Trả lời: Tổng số tuổi hai anh em … tuổi Câu 7: Số bé có hai chữ số mà thương hai chữ số số số Câu 8: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 48 số Câu 9: Số bé mà đem nhân với kết lớn 26 số Câu 10: Số bé mà đem nhân với kết lớn 25 số Hãy điền số thích hợp vào chỗ ! Đề ôn luyện số Câu 1: 15 : × = Câu 2: 12 : × = Câu 3: 16 : × 10 = Câu 4: 12 : × = Câu 5: Có số lượng gạo đem đựng vào túi 4kg túi.Hỏi số lượng gạo đem đựng vào túi 3kg túi? Trả lời: Nếu đựng vào túi 3kg … túi Câu 6: Có số lượng gạo, có thêm 2kg vừa đủ để chia vào 10 túi, túi 5kg Hỏi số lượng gạo ki-lô-gam? Trả lời: Số lượng gạo … kg Câu 7: Có số lượng gạo, có thêm kg vừa đủ để chia vào túi, túi 5kg Hỏi số lượng gạo ki-lô-gam? Trả lời: Số lượng gạo … kg Câu 8: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 34 số Câu 9: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 32 số Câu 10: Số bé có hai chữ số mà tích hai chữ số số số Đề ôn luyện số Câu 1: 20 : × = Câu 3: 35 : – ….= Câu 2: 15 : + … = 40 Câu 4: 15 : × = Câu 5: Có số lượng dầu, thêm 1l vừa đủ để đựng vào can, can 3l Tính số lượng dầu Trả lời: Số lượng dầu … l VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu 6: Có số lượng gạo đem đựng vào túi 4kg túi.Hỏi số lượng gạo đem đựng vào túi 3kg túi? Trả lời: Nếu đựng vào túi 3kg được… túi Câu 7: Có số lượng dầu, thêm 2l vừa đủ để đựng vào can, can 5l Tính số lượng dầu Trả lời: Số lượng dầu …… l Câu 8: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 30 số Câu 9: Số lớn có hai chữ số mà thương hai chữ số số số Câu 10: Số lớn mà đem nhân với kết nhỏ 32 số Các tập tự luyện 1/ Bốn năm trước tuổi hai anh em bao nhiêu? Biết số tuổi hai anh em cộng lại 18 tuổi Trả lời : Bốn năm trước tuổi hai anh em cộng lại tuổi Hãy cho biết tuổi bạn Hồng Hà cộng lại tuổi? Biết sau năm tuổi bạn cộng lại 22 tuổi Trả lời: Hiện tuổi bạn cộng lại tuổi Biết tuổi bạn Hồng Hà cộng lại 18 tuổi Hãy cho biết sau năm tuổi bạn cộng lại tuổi ? Trả lời: sau năm tuổi bạn cộng lại tuổi Việt có 19 tem, Việt cho Mai Lan bạn tem Hỏi Việt lại tem ? Trả lời: Việt lại tem Lan có tranh, tranh màu ,gồm loại màu xanh,đỏ,tím.Biết số tranh màu xanh nhiều , màu tím Em cho biết Lan có tranh màu xanh? Trả lời: Số tranh màu xanh Lan Hà có tem, Mai Lan bạn cho Hà thêm tem Hỏi Hà có tem ? Trả lời: Hà lại tem Việt có 11 tem, Việt cho Mai Lan bạn tem Hỏi Việt lại tem ? Trả lời: Việt lại tem Lan có viên bi, viên màu ,gồm loại màu xanh,đỏ,tím Biết số viên bi màu xanh nhiều , màu tím Em cho biết Lan có viên bi màu xanh? Trả lời: Số viên bi màu xanh Lan viên Mẹ cho lan hoa người bánh Sau mẹ cho thêm người hỏi Hỏi ...Các dạngtoánluyệnthi vào lớp 10 Cácdạngtoánluyệnthi vào lớp 10 A. Căn thức và biến đổi căn thức A.1.Kiến thức cơ bản A.1.1. Căn bậc hai a. Căn bậc hai số học - Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a - Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0 - Một cách tổng quát: 2 0x x a x a = = b. So sánh các căn bậc hai số học - Với hai số a và b không âm ta có: a b a b< < A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức 2 A A= a. Căn thức bậc hai - Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn - A xác định (hay có nghĩa) A 0 b. Hằng đẳng thức 2 A A= - Với mọi A ta có 2 A A= - Nh vậy: + 2 A A= nếu A 0 + 2 A A= nếu A < 0 A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng a. Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: . .A B A B= + Đặc biệt với A 0 ta có 22 ( )A A A= = b. Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng a. Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có: A A B B = b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a không âm và b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai. c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dơng ta có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó. A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn - Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có 2 A B A B= , tức là + Nếu A 0 và B 0 thì2 A B A B= + Nếu B < 0 và B 0 thì2 A B A B= b. Đa thừa số vào trong dấu căn + Nếu A 0 và B 0 thì2 A B A B= + Nếu B < 0 và B 0 thì2 A B A B= c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn - Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có A AB B B = Lê Thanh Tịnh 1 Cácdạngtoánluyệnthi vào lớp 10 d. Trục căn thức ở mẫu - Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B B B = - Với các biểu thức A, B, C mà 0A và 2 A B , ta có 2 ( )C C A B A B A B = - Với các biểu thức A, B, C mà 0, 0A B và A B , ta có ( )C A B C A B A B = A.1.6. Căn bậc ba a. Khái niệm căn bậc ba: - Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a - Với mọi a thì 3 3 3 3 ( )a a a= = b. Tính chất - Với a < b thì 3 3 a b< - Với mọi a, b thì 3 3 3 .ab a b= - Với mọi a và 0b thì 3 3 3 a a b b = A.2.Kiến thức bổ xung A.2.1. Căn bậc n a. Căn bậc n ( 2 n N ) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng Căn bậc lẻ của số âm là số âm Căn bậc lẻ của số 0 là số 0 c. Căn bậc chẵn (n = 2k ) Số âm không có căn bậc chẵn Căn bậc chẵn của số 0 là số 0 Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là 2k a và 2k a d. Các phép biến đổi căn thức. 2 1 . k A + xác định với A 2 . k A xác định với 0A 2 1 2 1 k k A A + + = với A 22 k k A A= với A 2 1 2 1 2 1 . . k k k A B A B + + + = với A, B 222 . . k k k A B A B= với A, B mà . 0A B 2 1 2 1 2 1 . . k k k A B A B + + + = với A, B 222 . . k k k A B A B= với A, B mà 0B Lê Thanh Tịnh 2Cácdạngtoánluyệnthi vào lớp 10 2 1 2 1 2 1 k k k A A B B + + + = với A, B mà B 0 222 k k k A A B B = với A, B mà B 0, . 0A B m n mn A A= với A, mà 0A m m n n A A= với A, mà 0A A.2.2. Bất đẳng thức và bất phơng trình Bất đẳng thức Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f 1 (x), f 2 (x), ,f n (x) là các biểu thức bất kì 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x f x f x f x f x f x+ + + + + + . Đẳng thức xảy ra khi ( ) ( ) 1, i f x i n= cùng dấu Bất đẳng thức Côsi: a 1 , a 2 , , a n là các số không âm, khi đó 1 2 1 2 . n n CÁCDẠNGTOÁNLUYỆNTHI VÀO LỚP 10 A CĂN THỨC VÀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC D.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học a - Với số dương a, số gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học x ≥ x= a ⇔ x = a - Một cách tổng quát: b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không âm ta có: a ta có: b Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a không âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta chia số a cho số b khai phương kết A.1.6 Biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mà B ≥ A2 B = A 0, ta có B , tức A.1.7 + Nếu A ≥ B A.1.8 + Nếu A < B a Đưa thừa số vào dấu A.1.9 + Nếu A ≥ B A.1.10 + Nếu A < B a Khử mẫu biểu thức lấy ≥ ≥ ≥ ≥ A2 B = A B A2 B = − A B thì A.1.11 - Với biểu thức A, B mà A.B A B = A2 B A B = − A2 B ≥ B ≠ A = B AB B 0, ta có a Trục thức mẫu A.1.12 - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B = B B A.1.13 - Với biểu thức A, B, C mà A≥0 A ≠ B2 , ta có C C ( A ± B) = A − B2 A±B A.1.14 - Với biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ A≠ B , ta có C ( A ± B) C = A− B A± B A.1.15 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a b Tính chất ( a )3 = a3 = a - Với a < b a0 15 - x + 16 x1 ∞ 17 f( 18 ∞ Cùng dấu a x2 Trái dấu a Cùng dấu a Biến đổi tam thức bậc hai 19 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a f ( x) = ax + bx + c = a ( x − f ( x) ≥ Nếu a > f ( x) ≤ Nếu a < A= 20 * Chú ý Nếu Amin ⇔ k A' −∆ 4a −∆ 4a b ∆ ) − 2a 4a ≠ với 0) Khi ta có ∆ = b − 4ac f ( x) = −∆ −b ⇔x= 4a 2a max f ( x) = −∆ −b ⇔x= 4a 2a x∈R nên x∈R nên (k số dương) ta có A’max Amax ⇔ A’min B HỆ PHƯƠNG TRèNH B.1 Kiến thức b.1.1 Hệ phương trỡnh bậc ẩn a Phương trình bậc hai ẩn ∈ ≠ • Phương trình bậc hai ẩn: ax + by = c với a, b, c R (a2 + b2 0) • Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Phương trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng (d): ax + by = c ≠ ≠ - Nếu a 0, b đường thẳng (d) đồ thị hàm số ≠ y=− a c x+ b b - Nếu a 0, b = phương trình trở thành ax = c hay x = c/a đường thẳng (d) song song trùng với trục tung ≠ - Nếu a = 0, b phương trình trở thành by = c hay y = c/b đường thẳng (d) song song trùng với trục hoành b Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c a ' x + b ' y = c ' • Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: a, b, c, a’, b’, c’ • Minh họa tập nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, ta có (d) // (d’) hệ vô nghiệm (d) (d) ∩ ≡ ∈ R { A} (d’) = hệ có nghiệm (d’) hệ có vô số nghiệm • Hệ phương trình tương đương Hệ hai phương trình tương đương với chúng có tập nghiệm c Giải hệ phương trình phương pháp • Quy tắc • Giải hệ phương trình phương pháp Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để hệ phương trình có phương trình ẩn Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ d Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số • Quy tắc cộng • Giải hệ phương trình phương pháp Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình đối áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (phương trình ẩn) Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho b.1.2 Hệ phương trỡnh đưa phương trỡnh bậc ≥ - Nếu hai số x y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) hai số x, y nghiệm phương trình: x2 + SX + P = B.2 Kiến thức bổ sung b.2.1 Hệ phương trỡnh đối xứng loại a Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x y gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phương trình hệ không đổi b Cách giải ≥ • Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P • Giải hệ để tìm S P • Với cặp (S, P) x y hai nghiệm phương trình: t2 – St + P = c Ví dụ • Giải hệ phương trình x + y + xy = 2 x + y + xy = 13 x + y + xy + = 2 x + y − x − y = 22 b.2.2 Hệ phương trỡnh đối xứng loại a Định nghĩa x + y + x2 + y2 = xy ( x + 1)( y + 1) Cácdạngtoánluyệnthi vào lớp 10 A.1 Kiến thức Cácdạngtoánluyệnthi vào lớp 10 A Căn thức biến đổi thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dơng a, số a đợc gọi bậc hai số học a - Số đợc gọi bậc hai số học x - Một cách tổng quát: x = a x = a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không âm ta có: a < b a < b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A = A a Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số , ngời ta gọi A thức bậc hai A, A đợc gọi biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu A xác định (hay có nghĩa) A b Hằng đẳng thức - Với A ta có - Nh vậy: + A2 = A A2 = A A2 = A A + A2 = A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phơng a Định lí: + Với A B ta có: A.B = A B + Đặc biệt với A ta có ( A ) = A2 = A b Quy tắc khai phơng tích: Muốn khai phơng tích thừa số không âm, ta khai phơng thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dới dấu với khai phơng kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phơng A A = B B b Quy tắc khai phơng thơng: Muốn khai phơng thơng a/b, a không âm b dơng ta lần lợt khai phơng hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dơng ta chia số a cho số b khai phơng kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đa thừa số dấu a Định lí: Với A B > ta có: - Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có + Nếu A B A2 B = A B , tức A2 B = A B + Nếu A < B A2 B = A B b Đa thừa số vào dấu + Nếu A B A B = A2 B + Nếu A < B A B = A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy Cácdạngtoánluyệnthi vào lớp 10 - Với biểu thức A, B mà A.B B 0, ta có A = B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B = B B - Với biểu thức A, B, C mà A A B , ta có C C ( A B) = A B2 AB - Với biểu thức A, B, C mà A 0, B A B , ta có C ( A B) C = A B A B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a ( a )3 = a = a b Tính chất - Với a < b a < b - Với a, b ab = a b Với a b - a 3a = b 3b A.2 Kiến thức bổ xung A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n ( n N ) số a số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) Mọi số có bậc lẻ Căn bậc lẻ số dơng số dơng Căn bậc lẻ số âm số âm Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k ) Số âm bậc chẵn Căn bậc chẵn số số Số dơng có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu 2k a 2k a d Các phép biến đổi thức k +1 A xác định với A 2k A xác định với A k +1 2k A2 k = A với A k +1 2k A.B = k +1 A.2 k +1 B với A, B A.B = k A k B với A, B mà A.B k +1 2k A2 k +1 = A với A A2 k +1.B = A.2 k +1 B với A, B A2 k B = A k B với A, B mà B Cácdạngtoánluyệnthi vào lớp 10 k +1 2k A = B A = B m n k +1 k +1 2k A 2k B A với A, B mà B B với A, B mà B 0, A.B A = mn A với A, mà A m An = A n với A, mà A A.2.2 Bất đẳng thức bất phơng trình Bất đẳng thức Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), ,fn(x) biểu thức f1 ( x) + f ( x ) + + f n ( x ) f1 ( x ) + f ( x ) + + f n ( x) m ( ) Đẳng thức xảy f i ( x) i = 1, n dấu Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, , an số không âm, a1 + a2 + + an n a1.a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, , an ) (b1, b2, , bn ) hai số bất kì, (a1b1 + a2b2 + + anbn ) (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) a a1 a2 = = = n (quy ớc bi == = 0) Đẳng thức xảy b1 b2 bn Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối f ( x) ( 0) f ( x) f ( x) ( 0) f ( x) f ( x ) A.2.3 Dấu nhị thức bậc dấu tam thức bậc hai a Cho nhị thức f(x) = ax + b (a 0) Khi ta có x - -b/a f(x) = ax + b Trái dấu với a b Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0) Khi ta có Nếu x - -b/2a f(x) = ax2 + bx + c Cùng dấu với a Nếu > x - x1 f(x) Cùng dấu a Trái dấu a + Cùng dấu với a + Cùng dấu với a x2 + Cùng dấu a A.2.4 Biến đổi tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0) Khi ta có b f ( x ) = ax + bx + c = a ( x )2 với = b 4ac 2a 4a b f ( x) = x= Nếu a > f ( x) nên xR 4a 4a 2a b f ( x) = x= Nếu a < f ( x) nên max xR 4a 4a 2a k * Chú ý Nếu A = (k số dơng) ta có A' CácdạngtoánluyệnCÁCDẠNG BÀI THIVIOLYMPICLỚP BÀI SỐ 1: Tìm phân số biết mẫu số tử số 45 đơn vị biết phân số có giá trị 2/5 Trả lời: Phân số là: 30/75 *********** BÀI SỐ 2: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 2011 biết chúng có tất số chẵn Giải: Hai số tự nhiên liên tiếp có tổng 2011 là: ( 2011 + ) : = 1006 ( 2011 - ) : = 1005 Vì khoảng có số chẵn nên ta có: Số nhỏ : 1005 – = 996 Số lớn : 1006 + = 1015 *********** BÀI SỐ 3: Tìm số biết tổng chúng 571 biết chúng có tất 18 số chẵn Giải: Hai số tự nhiên liên tiếp có tổng 571của là: Số lớn là: ( 571 + ) : = 286 Số bé : ( 571 – ) : = 285 Vì có 18 số chẵn nên ta có: Số lớn là: 286 + 18 = 304 Số bé : 285 – 18 = 267 Đáp số: 267 304 -*********** BÀI SỐ 4: Trong phép chia hai số tự nhiên biết thương số dư 24 biết hiệu số bị chia số chia 218 Tìm số bị chia số chia Bài giải: Gọi số chia x theo toán ta có: ( 3x + 24) – x = 218 ==> x = 97 Vậy số bị chia là: ( 97 x ) + 24 = 315 Đáp số: số bị chia 315; số chia 97 *********** BÀI SỐ 5: Số tự nhiên bé có chữ số khác mà tổng chữ số 20 số nào? Bài giải: Số tự nhiên là: 389 ************ BÀI SỐ 6: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 571 biết chúng có tất 18 số chẵn Trả lời: Số bé là: ( 571 – ) : – 18 = 267 Số lớn là: ( 571 +1 ) : + 18 = 304 *********** BÀI SỐ 7: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 999 biết chúng có tất 25 số lẻ Trả lời: Số bé là: ( 999 – 1) : – 25 = 474 Số lớn là: ( 999 + 1) : + 25 = 525 ********** BÀI SỐ 8: Tìm phân số biết tổng tử số mẫu số phân số 215 biết phân số có giá trị 38/57 ( tức 2/3) Trả lời: Phân số là: 86/129 ************* BÀI SỐ 9: Biết trung bình cộng hai số 185 biết số lớn số bé 24 đơn vị Tìm hai số Trả lời: Số bé là: [( 185 x ) – 24] : = 173 Số lớn là: [(185 x ) + 24 ] : = 197 ************* BÀI SỐ 10: Cho hình chữ nhật có chu vi 120 cm Biết chiều dài chiều rộng 8cm Tính số đo cạnh hình chữ nhật Trả lời: So đo chiều rộng là: 26 cm Số đo chiều dài là: 34 cm ************ BÀI SỐ 11: Tìm phân số biết mẫu số tử số 52 đơn vị tổng tử số mẫu số phân số 86 Trả lời: Phân số là: 17/69 ********** BÀI SỐ 12: Một ô tô 135km Hỏi ô tô dược km? Trả lời: Trong ô tô được: 225km *********** BÀI SỐ 13: Hiệu hai số 85.Tỉ số hai số 3/2 Tìm hai số Trả lời: Số bé là: 170 Số lớn là: 255 BÀI SỐ 14: Một công nhân làm 26 ngày trả 3900000 đồng Hỏi người làm 10 ngày trả tiền? ( số tiền trả ngày nhau.) Trả lời: Số tiền 10 ngày công nhân làm được: 1500000 đồng ********* BÀI SỐ 15: Một hình chữ nhật có chu vi 190cm,biết chiều rộng 2/3 chiều dài Tính số đo chiều dài, chiều rộng Trả lời: Số đo chiều dài là: 57cm Số đo chiều rộng : 38cm ************* BÀI SỐ 16: Tổng hai số 344 Số thứ 5/3 số thứ hai (tức hai phần ba) Tìm hai số Trả lời: Số thứ là: 215 Số thứ hai là: 129 BÀI SỐ 17: Bác an mua 5m vải hết 450000 đồng Hỏi bác An mua 15m vải hết tiền? Trả lời: Bác an mua 15m vải hết 1350000 đồng BÀI SỐ 18: Một hình chữ nhật có chu vi 168cm, biết chiều rộng 3/4 chiều dài Tính số đo chiều dài chiều rộng Trả lời: Số đo chiều dài là: 48cm Số đo chiều rông là: 36cm ************* BÀI SỐ 19: Hiệu hai số 154 Tỉ số hai số 5/3 ( tức hai phần ba) Tìm hai số Trả lời: Số bé là: 231 Số lớn là: 385 BÀI SỐ 20: Hiện tổng số tuổi hai ông cháu 78 tuổi Biết tuổi cháu có tháng tuổi ông có nhiêu năm Tính tuổi hai ông cháu Trả lời: Tuổi ông là: 72 tuổi Tuổi cháu là: tuổi BÀI SỐ 21: Một đơn vị đội chuẩn bị số lương thực đủ cho 100 người ăn 30 ngày Hỏi số lương thực đủ cho 60 người ăn ngày? ( Tiêu chuẩn ăn người không thay đổi ) Trả lời:Số lương thực đủ cho 60 người ăn 50 ngày * BÀI SỐ 22: Hiện tổng số tuổi hai mẹ 42 tuổi Biết sau năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Tính tuổi hai mẹ Trả lời: Tuổi mẹ là: 36 tuổi Tuổi là: tuổi BÀI SỐ 23: Hiện tổng số tuổi hai bố 68 tuổi Biết năm trước tuổi bố gấp lần tuổi Tính ... A 33/ Ba lớp 1A1, 1A2, 1A3 lớp có 32 học sinh Tính tổng số học sinh ba lớp Tổng số học sinh ba lớp 34/ Tổng số học sinh ba lớp 1A1, 1A2, 1A3 có 99 học sinh Số học sinh lớp 1A1 1A2 64 em Tính... Tính số học sinh lớp 1A3 số học sinh lớp 1A3 34/ Tổng số học sinh ba lớp 1A1, 1A2, 1A3 có 99 học sinh Số học sinh lớp 1A1 1A2 lớp có 32 em Tính số học sinh lớp 1A3 số học sinh lớp 1A3 35/ Tổng... từ số 29 / Số A cộng với số 31 số 78 trừ số 12 Số A 30/ Số A cộng với số 31 số 78 cộng số 12 Số A 31/ Số A trừ với số 31 số 25 cộng số 12 Số A 32/ Số A trừ với số 31 số 55 trừ số 12 Số A