CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. MỤC TIÊU. • Về kiến thức: HS củng cố, khắc sâu các kiến thức cơ bản về phương trình và hệ phương trình. Bổ sung cách giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức Cremer. • Về kỹ năng: Biết cách giải và biện luận phương trình bậc nhất bậc hai một ẩn, các dạng toán về định lí Vi−ét, giải được các loại phương trình hữu tỉ, phương trình tích, phương trình chứa giá trị tuyệt đối và phương trình chứa căn thức (dạng đơn giản). Biết cách giải hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn, ba phương trình bậc nhất 3 ẩn và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn. 2. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH. GV: Chuẩn bị hệ thống các bài tập hợp lí, phù hợp với năng lực thực tế của học sinh. HS: Giải quyết trước các bài tập về phương trình và hệ phương trình ở SGK ĐS lớp 10. 3. DỰ KIẾN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC. Sử dụng phương pháp vấn đáp – gợi mở có phối hợp hoạt động nhóm và phân bậc hoạt động các nội dung ghi bảng. 4. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC. Phân phối thời lượng: Tiết 1: Dạng 1 − Giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai Tiết 2: Dạng 2 − Định lí Vi−ét và các ứng dụng. Tiết 3, 4: Dạng 3 − Phương trình tích, phương trình trùng phương, phương trình hữu tỉ Dạng 4 − Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 5 − Phương trình chứa căn thức Tiết 5,6: Dạng 6 − Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, 3 ẩn. Tiết 1 a) Bài cũ. H1: Phát biểu quy trình giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn? H2: Với điều kiện nào của các hệ số a, b, c thì phương trình 2 ax bx c 0+ + = a) Có 2 nghiệm phân biệt? b) Có 1 nghiệm? c) Vô nghiệm? B) Bài mới. Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn. Phương pháp. Sử dụng lược đồ giải và biện luận các dạng phương trình trên. HOẠT ĐỘNG 1 Bài số 1. Giải và biện luận phương trình 2 m x m x 1− = + (m là tham số) (1) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Biến đổi phương trình về dạng ax+b=0? H2: Biện luận theo các trường hợp của hệ số a? Kết luận về nghiệm • Gợi ý trả lời H1: (1) ⇔ 2 (m 1)x m 1 0− − − = • Gợi ý trả lời H2: Nếu 2 m 1 0 m 1− ≠ ⇔ ≠ ± , phương trình có nghiệm duy nhất 2 m 1 1 x m 1 m 1 + = = − − Nếu 2 m 1 0 m 1− = ⇔ = hoặc m =−1. Với m =1, ta có phương trình: 0x−2=0 vô nghiệm. Với m =−1, ta có phương trình: 0x=0 phương trình nghiệm đúng với mọi x∈ ¡ . HO Ạ T ĐỘNGII Bài số 2. Cho phương trình 2 mx (2m 1)x m 3 0− − + − = a) Giải phương trình khi m =1. b) Giải và biện luận phương trình theo tham số m. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Xác định phương trình khi m=1? H2: Giải phương trình thu được. H3: Biện luận phương trình theo m? • Gợi ý trả lời H1: Với m =1, ta có phương trình: 2 x x 2 0− − = • Gợi ý trả lời H2: có a−b+c=0, phương trình có 2 nghiệm là 1 2 x 1;x 2= − = − • Gợi ý trả lời H3: − Nếu m =0, ta có phương trình: x−3=0 ⇔ x=3 − Nếu m≠0: Có ( ) 2 2m 1 4m(m 3) 8m 1∆ = − − − = + . Nếu ∆<0 ⇔ 1 m 8 < − : Phương trình vô nghiệm. Nếu ∆=0 ⇔ 1 m 8 = − : Phương trình có nghiệm kép 2m 1 x 5 2m − = = . Nếu ∆>0 ⇔ 1 m 8 > − : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1,2 2m 1 8m 1 x 2m − ± + = Kết luận: Kết luận? m=0: Phương trình có nghiệm duy nhất x =3. 1 m 8 < − : Phương trình vô nghiệm 1 m 8 = − : Phương trình có nghiệm kép x =5. m 0 1 m 8 ≠ > − : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1,2 2m 1 8m 1 x 2m − ± + = HO Ạ T ĐỘNGIII Bài số 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 2 2 2x 2(2m 1)x 2m 5 0− + + + = a) Có 2 nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Tính ∆? H2: Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt? H3: Phương trình có nghiệm kép khi nào? • Gợi ý trả lời H1: Có 2 2 ' (2m 1) 2(2m 5) 4m 9∆ = + − + = − • Gợi ý trả lời H2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆’>0 ⇔ 4m−9 > 0 ⇔ 9 m 4 > • Gợi ý trả lời H3: Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆’=0 ⇔ 4m−9 = 0 ⇔ 9 m 4 = HO Ạ T ĐỘNGIV Bài số 4. Cho phương trình 2 2 x (2m 1)x m m 2 0− + + + − = Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để 2 nghiệm đó thỏa mãn điều kiện 1 2 x 3 x< < . Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Tính ∆? Kết luận về số nghiệm? H2: Tính nghiệm của phương trình theo m? • Gîi ý tr¶ lêi H1: Cã 2 2 (2m 1) 4(m m 2) 9 0 m∆ = + − + − = > ∀ Do ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. • Gîi ý tr¶ lêi H2: Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ: 1 2 2m 1 3 2m 1 3 x m 1;x m 2 2 2 + − + + = = − = = + • Gîi ý tr¶ lêi H3: H3: iu kin 1 2 x 3 x< < ? 1 2 x 3 x< < m1<3<m+2 1<m<4. TIT2 Dng 2. nh lớ Vi ột v cỏc ng dng. nh lớ viột: Nu phng trỡnh bc hai 2 ax bx c 0(a 0)+ + = cú 2 nghim x 1 , x 2 thỡ: 1 2 1 2 b c x x ; x x a a + = = Ngc li, nu 2 s u v v cú tng u+v = S v tớch uv=P thỡ u v v l cỏc nghim ca phng trỡnh 2 X SX P 0 + = . HOT NG I Bi s 1. Bit phng trỡnh 2 (m 3)x 25x 32 0 + = (1) cú mt nghim l 4. Tỡm m v xỏc nh nghim cũn li ca phng trỡnh. Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh H1: x =4 l nghim ca (1) khi no? H2: p dụng định lí Viét, tìm nghiệm x 2 ? Gợi ý trả lời H1: Vì (1) có 1 nghiệm là x 1 = 4 nên ta có (m3).1625.4+32 = 0 29 m 4 = . Gợi ý trả lời H2: Theo định lí Viét ta có 1 2 25 100 x x (m 3) 17 + = = 2 100 32 x 4 17 17 = = HO T NG II Bi s 2. Gi s x 1 , x 2 l cỏc nghim ca phng trỡnh 2 2x 11x 13 0 + = . Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau: ( ) ( ) 3 3 4 4 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x x A x x ; B x x ;C 1 x 1 x x x = + = + = + Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh H1: Tớnh 1 2 1 2 x x , x .x ?+ H2: Biểu diễn A dới dạng tổng và tích các nghiệm? từ đó tính A? H3: Tơng tự tính B, C? Gợi ý trả lời H1: Theo định lí Viét ta có: 1 2 1 2 11 13 x x ;x x 2 2 + = = Gợi ý trả lời H2: Có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A x x x x x x x x x x (x x ) 3x x 11 11 13 473 . 3. 2 2 2 8 = + = + + = + + = = ữ ữ ữ Gợi ý trả lời H3: ( ) 4 4 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 B x x 3409 x x 2x x 2x x 16 = + = = + = ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x C 1 x 1 x x x x x x x 2x x 2x x x x x x (x x ) 2x x 269 2x x x x 26 = + + = + = + = = HO T NG III Bi s3. Tỡm tt c cỏc giỏ tr dng ca m cỏc nghim ca phng trỡnh 2 2 2x (m 2)x 7 m 0 + + = trỏi du nhau v cú giỏ tr tuyt i l nghch o ca nhau. Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh H1: iu kin phng trỡnh cú 2 nghim trỏi du. H2: p dụng định lí Viét, tìm nghiệm hệ thực giữa các hệ số? Gợi ý trả lời H1: 2 7 m P 0 m 7 2 = < > Gợi ý trả lời H2: Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm đó. áp dụng định lí Viét và theo yêu cầu bài toán ta có: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 m 2 x x x x 2 m 9 1 7 m x x x . 1 x 2 + + = = = = = = ữ m=3. (Do m dơng) : TIT 3 A) Bi c. H1: Cỏch gii phng trỡnh trựng phng? H2: Tỡm iu kin ca phng trỡnh 2x(x 1) 1 1 x 1 x x 1 + + = + ? B) Bi mi. Dng 3. Gii v bin lun phng trỡnh tớch, phng trỡnh trựng phng, phng trỡnh hu t HOT NG I Bi s 1. Khụng gii phng trỡnh hóy xột xem phng trỡnh sau cú bao nhiờu nghim? ( ) 4 2 2x 2 2 3 x 12 0 = (1) Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh H1: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình bậc hai? H2: Xét nghiệm phương trình (2)? • Gợi ý trả lời H1: Đặt 2 t x (t 0)= ≥ , ta có phương trình: ( ) 2 2t 2 2 3 t 12 0− − − = (2) • Gợi ý trả lời H2: Phương trình (2) có a 2 0= > và c 12 0= − < nên có 2 nghiệm trái dấu. Như vậy (2) chỉ có một nghiệm dương duy nhất suy ra phương trình (1) chỉ có 2 nghiệm đối nhau. HO Ạ T ĐỘNG II Bài số 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) ( ) ( ) m 1 x 1 x 1 0+ − − = (1) b) ( ) ( ) mx 2 2mx x 1 0− − + = (2) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Giải và biện luận phương trình(a)? H2: Xét nghiệm phương trình (*)? Khi nào (1) có 2 nghiệm phân biệt? H3: Giải và biện luận phương trình (2) • Gợi ý trả lời H1: Ta có ( ) ( ) m 1 x 1 x 1 0+ − − = x 1 (m 1)x 1 0 (*) = ⇔ + − = • Gợi ý trả lời H2: Nếu m+1 = 0 ⇔ m=−1, phương trình (*) vô nghiệm nên (1) có nghiệm duy nhất x =1. Nếu m +1 ≠0 ⇔ m≠ −1. Khi đó (*) ⇔ 1 x m 1 = + . Có 1 x 1 m 0 m 1 = = ⇔ = + Do vậy với m =0, (1) có 1 nghiệm x =1. Khi m ≠0, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là 1 x m 1 = + và x =1. • Gợi ý trả lời H3: ( ) ( ) mx 2 2mx x 1 0 mx 2 0 (a) (2m 1)x 1 0 (b) − − + = − = ⇔ − + = Nếu m =0, phương trình (a) vô nghiệm. Phương trình (b) ⇔ −x+1=0 ⇔ x =1. ⇒ (2) có nghiệm duy nhất x =1. Nếu 1 m 2 = , ta có phương trình (b) vô nghiệm, phương trình (a) ⇔ x = 4 ⇒ Phương trình (2) có nghiệm duy nhất x = H4: Kết luận? 4. Nếu 1 m 0,m 2 ≠ ≠ , phương trình (a) có nghiệm 2 x m = , phương trình (b) có nghiệm x= 1 2m 1 − − . Ta có: 2 1 2 4m 2 m m m 2m 1 5 = − ⇔ − = − ⇔ = − khi đó (2) có 1 nghiệm kép 5 x 4 = . • Gợi ý trả lời H4: m =0, phương trình có nghiệm duy nhất x =1. 1 m 2 = , phương trình có nghiệm duy nhất x = 4. 2 m 5 = , phương trình có nghiệm kép 5 x 4 = . 1 2 m 0,m ,m 2 5 ≠ ≠ ≠ , phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 x m = , x= 1 2m 1 − − . HO Ạ T ĐỘNG III Bài số 3. Giải và biện luận các phương trình: (m 1)x m 2 3x m x m a) m; b) x 3 x 3 x 3 + + − + − = = + − + Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Điều kiện của phương trình? H2: Biến đổi về phương trình đa thức và biện luận? H3: Tương tự, xét b)? • Gợi ý trả lời H1: Điều kiện x + 3 ≠ 0 ⇔ x≠−3. • Gợi ý trả lời H2: Ta có phương trình tương đương với (m 1)x m 2 m(x 3) x 2m 2+ + − = + ⇔ = + . Nếu 2m + 2 = −3 ⇔ 5 m 2 = − : Phương trình vô nghiệm. Nếu 2m + 2 ≠ −3 ⇔ 5 m 2 ≠ − : Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2. • Gợi ý trả lời H3: Điều kiện x 3 0 x 3 x 3 0 − ≠ ⇔ ≠ ± + ≠ Khi đó phương trình đã cho tương đương Kết hợp nghiệm? với: ( ) (3x m)(x 3) (x m)(x 3) x 0 2x x m 6 0 x m 6 + + = − − = ⇔ + + = ⇔ = − − Nếu m 6 3 m 3 m 6 3 m 9 m 6 0 m 6 − − = − = − − − = ⇔ = − − − = = − phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Nếu m 3 m 9 m 6 ≠ − ≠ − ≠ − : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x =−m−6. TI Ế T 4 Dạng 4. Giải và biện luận phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp: • Chia khoảng, khử dấu giá trị tuyệt đối. • Bình phương 2 vế. • Đặt ẩn phụ Dạng 5. Phương trình chứa ẩn trong căn thức Phương pháp. − Bình phương 2 vế để khử căn thức. - Đặt ẩn phụ HOẠT ĐỘNG I Bài số 1. Giải các phương trình: a) 2x 3 x 5− = − ; b) 2x 5 3x 2+ = − Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Khử dấu giá trị tuyệt đối? H2: Xác định phương trình trên mỗi khoảng và tìm nghiệm? • Gợi ý trả lời H1: Ta có 2x 3 2x 3 2x 3 3 nÕu x 2 3 nÕu x< 2 − ≥ − = − + • Gợi ý trả lời H2: − Khi 3 x 2 ≥ , ta có phương trình: 2x − 3 = x− 5 ⇔ x =−2 x =−2 không thỏa mãn điều kiện 3 x 2 ≥ ⇒ loại. − Khi 3 x 2 < , phương trình trở thành: H3: Kh du gtt v gii phng trỡnh? 2x + 3 = x 5 3x = 8 8 x 3 = 8 x 3 = khụng tha món iu kin 3 x 2 < loi. Gi ý tr li H3: Bỡnh phng 2 v ca phng trỡnh ta c: ( ) ( ) 2 2 2 2x 5 3x 2 2x 5 3x 2 x 7 5x 32x 21 0 3 x 5 + = + = = = = Kt lun phng trỡnh cú 2 nghim l 1 2 3 x 7,x 5 = = . HO T NG II Bi s 2. Gii v bin lun phng trỡnh sau theo tham s m: 3x m 2x m 1 = + + Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh H1: A B= ? Vận dụng để giải ph- ơng trình trên? H2: Biện luận nghiệm? H3: Kết luận? Gợi ý trả lời H1: 3x m 2x m 1 x 2m 1 3x m 2x m 1 1 x 3x m 2x m 1 5 = + + = + = + + = = Gợi ý trả lời H2: Hai nghiệm trên trùng nhau khi và chỉ khi 3 1 2m 1 m 5 5 + = = Gợi ý trả lời H3: Với 3 m 5 : Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 1 x 2m 1;x 5 = + = Với 3 m 5 = : Phơng trình có nghiệm kép 1 x 5 = HOT NG 3 Bi s 3. Gii phng trỡnh: 2 2x 2x 8 x 1+ = + (1) Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh H1: Điều kiện xác định? H2: Giải phương trình đã cho? H3: Phương pháp chung giải loại phương trình trên? • Gợi ý trả lời H1: Điều kiện xác định: 2 1 17 x 2 2x 2x 8 0 1 17 x 2 − − ≤ + − ≥ ⇔ − + ≥ • Gợi ý trả lời H2: Ta có: 2 2 x 1 0 (1) 2x 2x 8 (x 1) + ≥ ⇔ + − = + 2 2 2 x 1 x 1 2x 2x 8 x 2x 1 x 9 x 1 x 3 x 3 ≥ − ≥ − ⇔ ⇔ + − = + + = ≥ − ⇔ ⇔ = = ± Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. • Gợi ý trả lời H3: Một cách tổng quát ta có: ( ) 2 g(x) 0 f(x) g(x) f(x) g (x) f(x) 0 g(x) 0 f(x) g(x) f(x) g(x) ≥ = ⇔ = ≥ ≥ = ⇔ = HO Ạ T ĐỘNG IV Bài số 4. Giải các phương trình: 2 2 a) 5x 10 8 x; b)x 6x 9 4 x 6x 6+ = − − + = − + Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: Điều kiện xác định? H2: Giải phương trình? H3: Tương tự giải b)? • Gợi ý trả lời H1: Điều kiện xác định 5x + 10 ≥ 0 ⇔ x≥-2 (*) • Gợi ý trả lời H2: Ta có: 2 8 x 0 5x 10 8 x 5x 10 64 16x x − ≥ + = − ⇔ + = − + 2 x 8 x 21x 54 0 x 8 x 3 t / m (*) x 3 x 18 ≤ ⇔ − + = ≤ ⇔ ⇔ = = = Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. . biện luận phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp: • Chia khoảng, khử dấu giá trị tuyệt đối. • Bình phương 2 vế. • Đặt ẩn phụ Dạng. phương, phương trình hữu tỉ Dạng 4 − Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 5 − Phương trình chứa căn thức Tiết 5,6: Dạng 6 − Hệ phương