Phương pháp mới nghiên cứu tối ưu kết cấu dầm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - MAI VĂN TRINH PHƢƠNG PHÁP MỚI NGHIÊN CỨU TỐI ƢU KẾT CẤU DẦM Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐOÀN VĂN DUẨN Hải Phòng, 2017 MỞ ĐẦU Tối ưu vật liệu mục tiêu người kỹ sư thiết kế công trình Với phát triển lý thuyết quy hoạch toán học, phương pháp tối ưu ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật nhằm mang lại hiệu kinh tế cao Vấn đề tối ưu kết cấu nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác Trong vòng nửa kỉ nay, ngành toán học - lý thuyết quy hoạch toán học - hình thành phát triển mạnh mẽ đòi hỏi cấp bách kinh tế để thực tiêu tối ưu: nhiều nhất, nhất, nhanh nhất, rẻ nhất, tốt Với lý thuyết quy hoạch, người kĩ sư trang bị thêm công cụ toán học có hiệu lực để giải toán tối ưu mà trước phương pháp cổ điển chưa thể giải Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss GS.TSKH Hà Huy Cương đề xuất phương pháp cho phép áp dụng nguyên lý cực trị Gauss - vốn phát biểu cho hệ chất điểm - để giải toán học vật rắn biến dạng nói riêng toán học môi trường liên tục nói chung Đặc điểm phương pháp nhìn đơn giản cho phép tìm kết xác toán Đối tƣợng, phƣơng pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss nói để xây dựng giải toán tối kết cấu dầm Mục đích nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu tối ưu kết cấu dầm phương pháp mới” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Trình bày tổng quan tối ưu hóa kết cấu Trình bày sở lý thuyết tính toán tối ưu xây dựng Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng giải toán tối ưu kết cấu dầm Lập chương trình máy tính điện tử cho toán nêu CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TỐI ƢU KẾT CẤU DẦM 1.1 Phƣơng pháp thiết kế tối ƣu kết cấu Trong trình tính toán thiết kế kết cấu theo cách thông thường nhằm mục đích xác định kích thước phần tử kết cấu, xếp, bố trí cấu kiện, chọn vật liệu sử dụng cho phần tử kết cấu cho thoả mãn điều kiện tiêu chuẩn, quy phạm thiết kế, người ta thường dùng phương pháp thử dần để tính toán theo bước sau: Chọn vật liệu Giả thiết kích thước hình học Kiểm tra điều kiện cần thiết kết cấu trôn sở ràng buộc, theo trạng thái giới hạn Nếu điều kiện không thoả mãn phương án bị loại bỏ lại lập phương án giả thiết khác kiểm tra lại Cứ có phương án mà điều kiện cần thiết với kết cấu thỏa mãn Đó phương án có khả lựa chọn Với cách thử dần vậy, số lượng phương án thử nhiều mà phương án tuỳ thuộc vào giả thiết đầu số lượng phương án lựa chọn có Bởi vậy, số phương án có khả năng, phải lựa chọn mọt phương án hợp lý với mục tiêu người thiết kế tức phương án chọn Việc tính thử dần phương án kết cấu đòi hỏi khối lượng tính toán lớn Hiện nay, nhờ phương tiện tính toán đại (máy tính, chương trình phần mềm v.v ) nên khả tính toán nhanh, số lượng phương án thử mở rộng nhiều Vì vậy, phương án chọn dần tiến tới phương án tối ưu lân cận vùng tối ưu Tuy nhiên, khối lượng phương án thử tăng lên nhiều chiến lược tìm kiếm tối ưu hợp lý phải tốn nhiều thời gian công sức tìm kiếm phương án chọn phương án chọn chưa phải phương án thật tối ưu Từ vài thập kỷ nay, phương pháp số áp dụng để giải toán quy hoạch phi tuyến với khối lượng biến số điều kiện ràng buộc lớn tạo khả áp dụng quy hoạch toán học thiết kế tối ưu kết cấu Mô hình toán tối ưu kết cấu xây dựng sau : Coi kích thước phần tử kết cấu, đại lượng đặc trưng vật liệu ẩn số gọi chúng biến thiết kế; Xây dựng điều kiện cần thoả mãn kết cấu như: điều kiện trạng thái giới hạn, điều kiện quy phạm, điều kiện thi công v.v Sử dụng điều kiện dạng bất phương trình phương trình có chứa biến thiết kế coi chúng hàm ràng buộc Giải hệ bất phương trình phương trình Hệ bất phương trình phương trình thường không cho nghiệm mà thông thường phải chọn phương án kết cấu để sử dụng Vì vậy, ta phải loại trừ dần số nghiệm để tới lời giải tốt - phương án tối ưu cần tìm Muốn đạt kết quả, người ta gán số vô hướng vào phần tử tập hợp kết cấu chọn phương án có giá trị vô hướng đạt cực trị (cực đại cực tiểu) số kết cấu có khả Giá trị vô hướng hàm với biến thiết kế gọi hàm mục tiêu Vì vậy, kết cấu chọn tương ứng với phương án có hàm mục tiêu đạt cực trị gọi kết cấu tối ưu Như vậy, giải toán tối ưu kết cấu dẫn đến giải toán quy hoạch toán học Thông thường, toán tối ưu kết cấu thường dẫn đến toán quy hoạch phi tuyến Tức là, hàm mục tiêu hàm buộc không quan hệ tuyến tính với biến thiết kế tổng quát; toán quy hoạch tồn hàm buộc dạng phương trình bất phương trình 1.2 Tình hình áp dụng lý thuyết quy hoạch thiết kế tối ƣu Lý thuyết tối ưu lý thuyết xây dựng chọn lời giải tốt cho ( nhiều) mục đích Trong toán học, toán tìm giá trị nhỏ lớn (cực trị) cho hàm số đó, miền định đối số Về tên gọi, tuỳ theo mục tiêu có nhiều tên gọi như: - Bài toán quy hoạch toán học (Mathematical Programing) - Bài toán tối ưu hoá (Optimisation ) - Bài toán tìm cực trị ( Extremum , Minimax ) Lý thuyết tối ưu có từ lâu phát triển theo xu hướng đại, dựa lý thuyết quy hoạch toán học xuất khoảng 40 năm trở lại Với trợ giúp chương trình máy tính đưa nhiều toán lời giải có hiệu mang tính thực tiễn cao Riêng lý thuyết tối ưu kết cấu xây dựng, phân hướng sau: Lý thuyết thể tích nhỏ ( La yout) Năm 1954, Maxwell đề xuất suy nghĩ dựa sở lý thuyết tối ưu kết cấu tích nhỏ Đó kết cấu có phần tử bố trí hợp lý để toàn khối kết cấu tích tối thiểu Năm 1904, Michell tiếp tục phát triển theo ý tưởng Sau có số tác giả khác theo hướng Lý thuyết nằy chưa xét tới ràng buộc dạng hình học kết cấu, có hạn chế Lý thuyết phá hỏng đồng thời Kết cấu coi tối ưu phần tử đồng thời dạt tới giới hạn lực chịu tải Tuy nhiên, thuật ngữ (đồng thời) hạn chế điều kiện chịu tải định Những năm 1940 - 1950 số tác Shanley, Gerard, nghiên cứu theo phương hướng giải toán kết cấu đơn giản với số trường hợp đặt tải độc Tuy nhiên, phát triển theo nhánh khác, lý thuyết thiết kế theo độ bền với số tiết diện có ứng suất đạt tới giới hạn cho phép nhiều Lý thuyết tiêu chuẩn tối ưu Những năm 60 kỷ XX, Prager, Taylor chủ chương dựa sở nguyên lý cực trị học xây dựng tiêu chuẩn để chọn kết cấu tối ưu có khối lượng vật liệu nhỏ Phương hướng áp dụng rộng rãi hạn chế cho cấu trúc đơn giản với phương án đặt tải không phức tạp Dừng lý thuyết quy hoạch toán học Lý thuyết quy hoạch toán học nghiên cứu rộng rãi từ năm 1940 phát triển nhanh với máy tính điện tử Tuy nhiên, áp dụng cho thiết kế tối ưu năm 1950 với Livesley, Ecaren Từ dó đến nay, vài chục năm, phương pháp áp dụng quy hoạch tính toán để thiết kế tối ưu kết cấu phát triển rộng rãi Phương pháp áp dụng lý thuyết quy hoạch để thiết kế tối ưu phát triển nhanh chóng phương pháp tổng quát nhất, tất phương pháp khác trình bày dạng toán quy hoạc toán học Phương pháp toán học bao gồm: - Quy hoạch tuyến tính ( LP ) - Quy hoạch phi tuyến (NLP ) - Quy hoạch động ( DP ) - Quy hoạch hình học ( GP ) Trong bao gồm loại toán quy hoạch khác Quy hoạch Bình phương, Quy hoạch lồi, Bài toán Vận trù, Bài toán Kiểm tra v.v CHƢƠNG CƠ SỞ TỐI ƢU KẾT CẤU DẦM THEO PHƢƠNG PHÁP MỚI 2.1 Những khái niệm định nghĩa lý thuyết quy hoạch tối ƣu  Tối ưu hoá hàm mục tiêu (Z) tìm biến thiết kế xk miền ràng buộc (G) Trong nhiều trường hợp, mô hình toán học có dạng sau: Tìm giá trị n biến (x1, x2 , xn) thoả mãn hệ ràng buộc (đẳng thức bất đẳng thức) gi (x1 xn) > ( ( 0) Trong thực tế, thiết kế tối ưu điều kiện khống chế, bảo đảm cho toàn kết cấu khỏi bị phá hoại cường độ, độ ổn định, mỏi, chuyển vị lớn, nút Ví dụ:  < R0;  <  R0; f < b/100; a < aqđ Ta cần phân biệt điều kiện ràng buộc:  - Ở dạng đẳng thức: g i x = (i = 1, , E)  - Ở dạng bất đẳng thức: gi x   (i = 1, , I) Biểu diễn hình học: Mỗi hàm ràng buộc biểu thức 2, chiều biểu diễn hình học đường thẳng mặt phẳng, đường cong mặt cong Đối với toán nhiều chiều, siêu phẳng siêu mặt Ví dụ: điều kiện ràng buộc gi ( x )  x1+ x2 - < Hình 2.2 Với biến thiết kế liên tục đường mặt biểu diễn liên tục 2.1.7 Vectơ Gradien hàm ràng buộc g( x ) Đó vectơ có thành phần:     g g g  g i x   i i i   x1 x x n  T (2.13) Vectơ g i x  vectơ trực giao với hàm ràng buộc (đường thẳng, đường cong, mặt cong, siêu mặt ) Trình tự tính toán: Với dầm có chiều dài, liên kết, tải trọng cho trước ta thực theo bước sau: Bước 1: Tính M0 h0 Bước 2: Dùng kết M0 h0 vừa tính bước 1, để đưa vào toán (3.3a) (3.3b) Bước 3: Tìm cực tiểu toán (3.3a) 3.3 Ví dụ tính toán thiết kế tối ƣu chiều cao dầm Ví dụ 3.3.1: Dầm đơn giản Cho dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố q như, hình 3.2a Chiều dài nhịp l, độ cứng chống uốn EJ=Const, tiết diện dầm b=1, h=h0 (ứng với Mmax h0 nhịp) Yêu cầu, thiết kế tối ưu chiều cao dầm Hình Dầm đơn giản a Sơ đồ dầm, b Biểu đồ moomen, c Tiết diện dầm sau tối ưu Chia dầm thành 10 đoạn (11 điểm nút), viết biểu thức hàm mục tiêu theo (3.3a) Cực tiểu hóa hàm mục tiêu (3.3a) với điều kiện ràng buộc (3.3b), ta nhận phân bố tối ưu chiều cao dầm ứng với phân bố mômen, theo bảng Bảng 1: Mô men uốn chiều cao tiết diện dầm tối ưu Nút Mômen x ql2 Chiều cao tiết diện (h) 0 0.0450 0.5991 0.0800 0.8004 0.1050 0.9149 0.1200 0.9785 0.1250 1.0000 0.1200 0.9785 0.1050 0.9149 0.0800 0.8004 10 0.0450 0.5991 11 0 (i) Ví dụ 3.3.2 Dầm đầu tự – đầu ngàm Cho dầm sơn đầu tự – đầu ngàm, chịu tải trọng phân bố q như, hình 3a Chiều dài nhịp l, độ cứng chống uốn EJ=Const, tiết diện dầm b=1, h=h h0 (ứng với Mmax đầu ngàm) Yêu cầu, thiết kế tối ưu chiều cao dầm Hình Dầm hai đầu ngàm a Sơ đồ dầm, b Biểu đồ moomen, c Tiết diện dầm sau tối ưu Chia dầm thành 10 đoạn (11 điểm nút), viết biểu thức hàm mục tiêu theo (3.3a) Cực tiểu hóa hàm mục tiêu (3.3a) với điều kiện ràng buộc (3.3b), ta nhận phân bố tối ưu chiều cao dầm ứng với phân bố mômen, theo bảng Bảng 2: Mô men uốn chiều cao tiết diện dầm tối ưu Nút Mômen x ql2 Chiều cao tiết diện (h) 0 -0.0500 0.3165 -0.1000 0.4439 -0.1500 0.5476 -0.2000 0.6274 -0.2500 0.7099 -0.3000 0.7721 -0.3500 0.8368 -0.4000 0.8875 10 -0.4500 0.9424 11 -0.5000 1.0000 (i) Ví dụ 3.3.3 Dầm đầu hai đầu ngàm Cho dầm sơn đầu tự – đầu ngàm, chịu tải trọng phân bố q như, hình 3a Chiều dài nhịp l, độ cứng chống uốn EJ=Const, tiết diện dầm b=1, h=h h0 (ứng với Mmax đầu ngàm) Yêu cầu, thiết kế tối ưu chiều cao dầm Hình Dầm hai đầu ngàm a Sơ đồ dầm, b Biểu đồ moomen, c Tiết diện dầm sau tối ưu Chia dầm thành 10 đoạn (11 điểm nút), viết biểu thức hàm mục tiêu theo (3.3a) Cực tiểu hóa hàm mục tiêu (3.3a) với điều kiện ràng buộc (3.3b), ta nhận phân bố tối ưu chiều cao dầm ứng với phân bố mômen, theo bảng Bảng 3: Mô men uốn chiều cao tiết diện dầm tối ưu Nút Mômen x ql2 Chiều cao tiết diện (h) -0.0833 1.0000 -0.0383 0.6893 -0.0033 0.2134 0.0217 0.5179 0.0367 0.6737 0.0417 0.7229 0.0367 0.6717 0.0217 0.5188 -0.0033 0.2132 10 -0.0383 0.6960 11 -0.0833 1.0000 (i) KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Tác giả xây dựng phương pháp để nghiên cứu tối ưu chiều cao tiết diện dầm dựa nội lực mômen uốn M Giới thiệu phương pháp số để giải toán tối ưu chiều cao dầm cách đơn giản nhận kết xác Phương pháp tính tối ưu chiều cao dầm sử dụng luận văn, dùng để tính cho khung nhiều tầng, nhiều nhịp ta thường biết trước phân bố nội lực trường hợp EJ không thay đổi Như vậy, dùng M0 để tối ưu chiều cao cho cách chọn cần tối ưu tùy thuộc vào kiến trúc sư, tạo điều kiện cho người kiến trúc sư thiết kế khung vừa tiết kiệm vật liệu vừa đáp ứng yêu cầu kiến trúc Phương pháp tính tối ưu dầm khung mới, tài liệu học mà tác giả biết Kiến nghị Đây phương pháp nên dùng công cụ phục vụ công tác giảng dạy học tập Dùng phương pháp xây dựng để nghiên cứu tối ưu cho kết cấu khác dàn, khung, tấm, vỏ vv TÀI LIỆU THAM KHẢO Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, TC Khoa học kỹ thuật, IV/Tr.112-118 Lê Xuân Huỳnh (2009), Tính toán kết cấu theo lý thuyết tối ưu Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà nội Võ Như Cầu (2005), Phân tích kết cấu theo lý thuyết tối ưu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà nội Đoàn Văn Duẩn (2016), Phương pháp nghiên cứu tối ưu chiều cao dầm, Tạp chí xây dựng, số trang 136-138 Đoàn Văn Duẩn (2016), Phương pháp nghiên cứu tối ưu thể tích dàn, Tạp chí xây dựng, số trang 131-133 William R.Spillers Keith M.Bacbain, Structural Optimization, Springer Peter W Christensen, Anders Klarbring An introduction to Structural Optimization NXB Springer 2010 M.P.Bendsoe, Osigmund Topology Optimization NXB Springer 2003 Makoto Ohsaki Optimization of finite Dimentional Structures NXB CRC Press 2011 PHỤ LỤC TÍNH TOÁN %DAM DON GIAN TOI UU DAN HOI p=1; t0=1.e-6;%chieu cao nho nhat ptx=20;%SO PHAN TU n1=ptx+1;%SO NUT ld=1; dx=ld/ptx; nm1=zeros(1,n1); nt=zeros(1,n1); k=0; for m=2:n1-1 k=k+1; nm1(m)=k; end for m=2:n1-1 k=k+1; nt(m)=k; end numvar=k; so_an=numvar %DIEU KIEN h>0.1 va h0.1 va h0.1 va h