SKNK

phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau Phần I - Đặt vấn đề I- Lý do chọn đề tài. Trong nhà trờng phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng, vì môn toán trong đó có bộ môn hình học là môn học công cụ, do có tính trìu tợng cao và có tính phổ dụng. Môn tón còn góp phần phát triển nhân cách, năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, trìu tợng hoá và khái quát hoá rèn luyện cho học sinh những đức tính, phẩm chất của ngời lao động nh tính cẩn thận, chính xác, tỉ mỉ và tính kỷ luật, sáng tạo. Trong đó bộ môn hình học là một bộ môn mới và khó đối với các em học sinh nói chung đặc biệt với các em học sinh lớp 7 bậc THCS nói riêng vì với các em kiến thức hình học còn rất mới lạ. Môn hình học còn rất mới lạ với lợng kiến thức khá nặng với nhiều loại bài toán khác nhau thì bài toán về chứng minh là hết sức quan trọng, là cơ bản cua bộ môn. Trong các loại bài toán chứng minh thì bài toán chứng minh hai hình bằng nhau chiếm tỷ lệ lớn nhất trong toán hình học THCS trong đó bài toán chứng minh cho hai góc bằng nhau là một dạng bài toán cơ bản mà các em học sinh còn gặp rất nhiều lúng túng khi gặp phải Với những lý do vừa nêu trên tôi thấy cần có một chuyên đề hệ thống các ph- ơng pháp chứng minh 2 góc bằng nhau trong hình 7 để từ đó rút ra những kinh nghiệm để giúp các em học sinh học hình tốt hơn nhất là với bài toán chứng minh hình học, để tránh các lỗ hổng kiến thức, Tôi thấy rằng cần phải giúp các em luyện tập chứng minh hai góc bằng nhau với các bài toán và phơng pháp cụ thể đợc trình bày trong đề tài. II. Mục đích, đối t ợng phạm vi, nhiệm vụ và ph ơng pháp nghiên cứu . Hệ thống một số phơng pháp chứng minh cơ bản thờng gặp nhiều. Nâng cao kỹ năng chứng minh bài toán hình. Để giúp cho các em học sinh lớp 7 có đợc hệ thống các phơng pháp chứng minh các góc bằng nhau làm cơ sở cho các năm học tiếp theo trong bậc học. Tôi xin đề cập đến nội dung chứng minh hai góc bằng nhau trong hình học 7, nhằm giúp các em không phải bỡ ngỡ, ngần ngại khi học hình học, giúp các em nắm chắc hơn và nhiều hơn kiến thức hình học Trong đề tài nay tôi xin đợc đi sâu khai thác và ngiên cứu về bài toán Chứng minh hai góc bằng nhau trong chơng trình hình học lớp 7 THCS, nhằm giúp cho các em học sinh ở bậc THCS có đợc hệ thống kiến thức và kỹ năng cơ bản trong chứng minh các góc bằng nhau, không còn cảm thấy xa lạ với bài toán này, giúp cho các em học sinh tự tin và yêu thích bộ môn hình học nói riêng cũng nh yêu thích bộ môn toán học. * Phạm vi nghiên cứu Đối tợng nghiên cứu: Đối tợng nghiên cứu của đề tài này là học sinh khối lớp 7 trờng THCS Thanh Chăn huyện Điện Biên. Giới hạn kiến thức đợc nghiên cứu: + Chơng trình môn toán trong bậc học THCS + Tài liệu thay sách môn toán bậc THCS + Trọng tâm chính của chơng trình hình học bộ môn toán lớp 7 bậc học THCS Phơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa, sách giáo viên, ứng dụng qua thực tế giảng dạy, kiểm tra kết quả học tập của học sinh và đúc rút kinh nghiệm học hỏi qua dự các lớp bồi dỡng hè, sinh hoạt cụm và dự giờ thi giảng của các đồng nghiệp trong quá trình công tác Phần II Nội dung I. Cơ sở lý luận của đề tài - Trong chơng trình học lớp 7, kiến thức hình học có liên quan đến bài toán chứng minh hai góc bằng nhau chên một lợng không ít sang dạng kiến thức này. Không đợc hình thành thành một đề mục mà nó rải đều và đợc gặp khá phổ biến trong các bài tập với nhiều cách khác nhau, có bài yêu cầu chứng minh trực tiếp, có bài núc xuất hiện ở bớc trung gian . Vì vậy việc chứng minh hai góc bằng nhau rất đa dạng và phong phú. Chơng trình hình học 7 số tiết luyện tập còn ít và đợc rải đều ở các dạng bài tập chứng minh khác do vậy việc nắm đợc các phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau của học sinh còn ở nhiều mức độ khác nhau, nó phụ thuộc vào việc tiếp nhận, nhận biết kiến thức của học sinh, phụ thuộc vào kỹ thuật dạy và hớng dẫn của giáo viên nên do vậy việc giúp cho các em có đợc một hệ thống phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau là hết sức cần thiết, nó tạo cho các em cách nhìn đúng đắn và tự tin trong học tập và yêu thích bộ môn hình II. Cơ sở thực tiễn 2.1- Đặc điểm tình hình thực trạng Qua nhiều năm đợc giảng dạy trên tất cả các đối tợng học sinh: Giỏi, khá, trung bình, yếu kém cùng với qua các chuyên đề ở các cấp từ nhà trờng, cụm và qua các kỳ bồi dỡng thờng xuyên đợc trao đổi với đồng nghiệp, bàn bạc về thực trạng của học sinh. Chúng tôi thấy phần lớn học sinh ở mức độ trung bình trở xuống từ lớp 6 lớp 9 cha hoàn chỉnh đợc các kỹ năng giải bài toán hình nh về hình, chứng minh hình nói chung cũng nh chứng minh các góc bằng nhau, thậm chí còn hiện tợng học sinh các lớp 7, 8, 9 không chứng minh đợc với một bài toán khá đơn giản, điều đó chứng tỏ học sinh cha có đợc một hệ thống các phơng pháp chứng minh hình nói chung cũng nh chứng minh hai góc bằng nhau. Qua các thực tế đợc dự giờ và trợc tiếp giảng dạy một số giờ hình học trong nhà trờng chúng tôi thấy ngay trên lớp khi nghe giảng bài mới thì học sinh có nắm đ- ợc bài, xong khi vận dụng các định nghĩa, địng lý, tính chất . và bài tập thì còn lúng túng cha nhận biết đợc cách vận dụng thậm chí việc ghi giả thíêt và kết luận của một bộ phận học sinh thiếu chính xác từ đó không giải đợc bài tập Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy bản thân chúng tôi thấy học sinh có lỗ hổng ngay từ khi tiếp cận với bài tập chứng minh hình ở lớp 7 nói chung, với chứng minh hai góc bằng nhau mà các phơng pháp vận dụng có cơ sở ban đầu là ở môn hình học 7. Qua điều tra thử nghiệm với 51 học sinh đang học lớp 7 tôi thấy số học sinh có thể giải đợc bài toán chứng minh hai góc bằng nhau là 17 em chỉ đạt 33,3%, số còn lại thì không biết cách giải hoặc giải không hoàn chỉnh, từ đó thúc giục bản thân tôi tìm hiểu và thực hiện nghiên cứu xây dựng hệ thống các phơng pháp cơ bản chứng minh hai góc bằng nhau trong môn hình học lớp 7 THCS 2.2 Kết quả Qua thực tế ở cơ sở bản thân đã trao đổi với đồng nghiệp, bạn bè từ đó rút ra các phơng pháp giảng dạy là hình thành cho học sinh một số phơng pháp cơ bản để chứng minh hai góc bằng nhau một cách hệ thống, dẫn dắt học sinh tự đặt vấn đề tự đặt ra câu hỏi giải quyết yêu cầu của bài vận dụng các phơng pháp một cách có hệ thống để giải đợc các câu hỏi từ đó hớng dẫn học sinh biết chắp nối các vấn đề đ- ợc giải quyết thành một lời giải đúng. Từ đó chúng tôi thấy số học sinh đớc đầu hình thành phơng pháp chứng minh đã tăng rõ rệt cụ thể số học sinh có thể giải đợc bài toán chứng minh hai góc bằng nhau là 38 em/51em mà trớc đó tôi đã kiểm tra. Từ đó bản thân tôi thấy học sinh tự tin hơn trong học tập và sẵn sàng khi lên lớp trên nh lớp 8, 9 2.3- Qua tìm hiểu và giải quyết ở cơ sở bản thân thấy các nhà trờng, tổ còn cần tiếp tục thảo luận trao đổi kinh nghiệm thông qoa sinh hoạt chuyên đề cùng nhau xây dựng hệ thống các phơng pháp chứng minh 2 góc bằng nhau trang bị cho học sinh lớp 7. Mà cụ thể để giải quyết đợc bài tập chứng minh 2 góc bằng nhau các em học sinh phải có đợc các kiến thức để chứng minh 2 góc bằng nhau và - Hai góc đối đỉnh, tia phân giác của 1 góc - Những góc tơng ứng của 2 tam giác bàng nhau - Những góc so le trong, so le ngoài, đồng vị tạo bởi 2 đờng thẳng song song và cắt 1 đờng thẳng - Cùng phụ, cùng bù với 1 góc - Hai góc ở đáy của tam giác cân - Hai góc có cạnh tơng ứng song song hoặc vuông góc ( cùng nhọn cùng tù) * Nếu có đợc hệ thống các kiến thức trên các em dễ dàng chứng minh đợc góc bằng nhau dựa vào các phơng pháp cụ thể sau a) Sử dụng Định nghĩa, tính chất 2 góc đối nhau, tia phân giác của 1 góc - Đây là kiến thức dễ nhận thấy khá quen thuộc với các em Xét ví dụ: Cho hai đoạn thẳng xx và yy cắt nhau tại A, tia At là tia phân giác của góc xAy, vẽ tia đối At của tia At. Vì sao At là tia phân giác của góc xAy Lời giải: Vì At là tia phân giác của góc xAy nên: Có: ( ) 1 21 AA = ,Vì At là tia đối của tia At nên: có: 13 AA = (góc tia đối nhau) (2) 24 AA = (góc đối đỉnh) (3) Từ (1), (2) và (3) ( ) 4 43 AA = Do (4) và tia At nằm giữa 2 tia Ax và Ay ( Công nhận qua hình vẽ, không yêu cầu chứng minh) At là tia phân giác của xAy Bài tập tơng tự: Gọi DI là tia phân giác của MDN Gọi EDK là góc đối đỉnh của IDM Chứng minh rằng: EDK = IDN b) Sử dụng những góc so le trong, so le ngoài, đồng vị tạo bởi hai đờng thẳng và 1 cát tuyến Xét bài toán: Cho ABC có CB 2 = , BI là phân giác của B , BCAH qua H kẻ đ- ờng thẳng song song với BI cắt AC tại N, cắt AB kéo dài tại M. Chứng minh rằng: a) HNC cân, BMH cân b) AIC = ANH GT: Cho ABC , CB 2 = , BI là phân giác của B , BCAH , HN// BI, HN cắt AB tại M KL: a) HNC cân, BMH cân b) AIC = ANH Chứng minh: a, Ta có 21 BB = (Tính chất tia phân giác) và CBB 21 == . Có 11 BH = ( góc đồng vị vì BI // HN) CH 1 = HNC cân Ta có MN// BI 1 BM = (đồng vị) mà 21 HH = (đối đỉnh) (hoặc 12 BH = so le) 2 HM = BMH cân b, Ta có: HN// BI AIB = ANH (đồng vị) Bài toán vận dụng: Cho góc xOy trên các tia Ox, Oy ngời ta lấy các điểm P, Q qua P và Q dựng PM, QN theo thứ tự vuông góc với Ox và Oy, PM và QN cắt nhau tại I. Từ P và Q lần lợt dựng các đờng vuông góc với Ox, Oy chúng cắt nhau tại J. Chứng minh: IQJ = IPJ c. Những góc tơng ứng cuả hai tam giác bằng nhau Bài toán 1: Cho xOy trên tia Ox lấy C, trên tia Oy lấy D sao cho OD = OC, vẽ cung tròn trên C và D có cùng bán kính cắt nhau tại E, nằm trong xOy. Chứng minh rằng: COE = DOy và ODE = OCE. Lời giải: GT: Cho góc xOy, OyDOxC , OC = OD, DE = CE (cùng bán kính) E nằm trong xOy KL: COE = DOy và ODE = OCE Chứng minh: Xét COE và DOE có: OC = OD (gt); CE = DE (gt) ; OE cạnh chung COE = DOE (c.g.c) COE = DOy và ODE = OCE (góc tơng ứng) Bài toán 2: Cho xOy, trên Ox và Oy lấy điểm A và B ( theo thứ tự) sao cho OA = OB, trên tia phân giác của xOy lấy điểm C. Chứng minh rằng: OBC = OAC Lời giải: GT: Cho góc xOy, OA = OB, Om là phân giác của xOy, OmC KL: OBC = OAC Chứng minh: Có BOC = AOC (vì OC là phân giác của xOy) OA = OB (gt), OC chung ( ) cgcBOCAOC = OAC = OBC Bài toán 3: Tam giác ABC có các đờng cao BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. GT: Cho ABC , ABCEACBD , BD = CE KL: ABC cân Chứng minh: Xét BEC và CDB có BEC = CDB = 90 0 , cạnh huyền BC chung, BD = CE (gt) BEC = CDB góc EBC = góc DCB vậy ABC là tam giác cân Bài tập: Bài 1: Cho 2 tam giác ABC và ABD có AB = BC = CA = 3cm, AD = BD = 2cm, (C và D nằm khác phía đối với AB) Chứng minh rằng: CAD = CBD Bài 2: Qua trung điểm M của đoạn thẳng AB, kẻ đờng thẳng vuông góc với AB. Trên đờng thẳng đó lấy điểm K. Chứng minh rằng AKM = BKM d. Sử dụng các góc cùng phụ hoặc cùng bù với một góc Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC). Tìm góc bằng góc B GT: ABC ( A =1vuông), BCHBCAH ; KL: Tìm góc bằng góc B Cách 1: ABH vuông tại H 0 1 90 == AB Ta lại có: 0 21 90 =+ AA Vậy 2 AB = (cùng phụ với 1 A ) Cách 2: ABC vuông tại A 0 90 =+ CB AHC vuông tại H 0 2 90 =+ CA Vậy: 2 AB = (cùng phụ với C ) Bài toán 2: Cho ABC các đờng cao AH, BP, CQ cắt nhau tại G. Chứng minh: a, BAC = BGQ b, ABC = AGQ c, ACB = AGP GT: ABC , ABCQACBPBCAH ,; KL: a, BAC = BGQ b, ABC = AGQ c, ACB = AGP Chứng minh: a, BAC = BGQ Tứ giác AQGP có 0 11 180 =+ PQ góc QAP = góc QGP = 180 0 mà ta có: QGP + QGB =180 0 Vậy: góc BAC = BGQ (cùng bù với góc PGQ) Bài tập: Cho tam giác vuông ABC (A = 1 vuông) AH là đờng cao. Trên HC lấy D sao cho HB = HD từ C hạ CE vuông góc với AD (E AD). Chứng minh rằng góc HCA = HCE e) Sử dụng kiến thức về góc có cạnh tơng ứng song song hoặc góc có cạnh tơng ứng vuông (cùng nhọn hoặc cùng tù) Bài tập: Cho góc xOy trên các tia Ox, Oy ngời ta lấy các điểm P, Q qua P và Q dựng PM, QN theo thứ tự vuông góc với Ox và Oy, PM và QN cắt nhau ở I. Từ P và Q lần lợt vẽ các đờng vuông góc với Ox, Oy chúng cắt nhau ở J. Chứng minh: OPM = OQN JPI = JQI = xOy GT: xOy, P Ox; Q Oy PM Oy; QN Ox, PM cắt QN tại I JP Ox, JQ Oy KL: a, OPM = OQN b, JPI = JQI = xOy Chứng minh a,OPM = OQN có PM OQ, QN OP OPM = OQN (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc) (Trong trờng hợp này có thể vận dụng 2 góc cùng phụ với góc xOy) b, JPI = JQI = xOy * Chứng minh IPI = JQI Ta có: PM Oy và JQ Oy (gt) PM // JQ (1) QN Ox và JP Ox (gt) QN // JP (2) từ (1) và (2) JPI = JQI (góc có cạnh tơng ứng song song) Ta có: MP Oy (gt); JQ Ox (gt) JPI = xOy (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) (3) Từ (1); (2) và (3) JPI = JQI = xOy Bài tập Cho góc xOy và góc xOy đều là góc nhọn. Có Ox // Ox và cắt 1 đờng thẳng d đi qua O và O tạo các góc O 1 và góc ' 1 O bằng nhau (Hình vẽ). Chứng minh: xOy = xOy f) Sử dụng hai góc đáy của tam giác cân Bài toán: Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc xOy vẽ điểm B sao cho Ox là đờng trung trực của AB, vẽ điểm C sao cho Oy là đờng trung trực của AC. Chứng minh rằng: a, OAB = OBA b, OAC = OCA GT: Cho xOy, A nằm trong xOy, Ox là trung trực của AB, Oy là trung trực của AC KL: a, OAB = OBA b, OAC = OCA Chứng minh: a, ta có vì Ox là trung trực của AB OA = OB Tam giác AOB là tam giác cân tại O OAB = OBA b, Vì Oy là trung trực của AC OA = OC Tam giác AOC là tam giác cân tại O OAC = OCA Bài tập tơng tự: Cho tam giác ABC ( A = 1vuông), M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh rằng: a, MAB = MBA b, MAC = MCA (Gợi ý: Sử dụng tính chất đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền chứng minh đợc các tam giác MAB và tam giác MAC cân tại M từ đó chứng minh đợc bài toán) III. Bài học kinh nghiệm Trong quá trình dạy học môn toán nói chung, dạy học môn hình nói riêng với bài toán chứng minh hình cụ thể với dạng bài toán chứng minh hai hay nhiều góc bằng nhau, bản thân tôi thấy cần phải thực hiện một số khâu quan trọng đó là xây dựng cho học sinh có đợc một hệ thống các phơng pháp cụ thể với cụ thể từng loại dạng toán, nhờ đó tạo điều kiện cho học sinh phát triển năng lực chứng minh, trong đó hớng dẫn cho học sinh những kiến thức, phơng pháp trong chứng minh, kết hợp tốt với gợi động cơ chứng minh để cho học sinh thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh từ đó phát huy đợc tính tự giác, tích cực của học sinh trong học tập - Trong quá trình dạy học chứng minh ngời giáo viên cần hớng dẫn và trang bị cho học sinh những kiến thức, phơng pháp chứng minh nh cụ thể ở đề tài này trang bị cho học sinh phơng pháp chứng minh 2 góc bằng nhau. Thêm nữa giáo viên cần giúp cho học sinh hình thành những kiến thức, phơng pháp thông qua suy luận, kết hợp đ- ợc các phơng pháp một cách linh hoạt, phân biệt và nhận biết. Giáo viên cần điều