đềthihọcsinhgiỏi cấp huyện Trờng THCSYên trung Môn: Toán (Thời gian làm bài: 150 phút) Lớp Đề Câu1: (4.0 điểm) Cho biểu thức x x +1 x x : x + A = x x x a) Tìm ĐKXĐ A Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = Cõu 2: (5.0 im) Trên mặt phẳng tọa độ cho đờng thẳng (d): 3x 2y + = (d') : 3x + 2y = cắt C lần lợt cắt trục Ox A, B a) Tìm tọa độ điểm A, B, C b) Tìm diện tích chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trục cm Câu 3:(4.0 điểm) a) Cho biểu thức : M = x x + y + xy y + 2014 Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ b) Giải hệ phơng trình : x + y + x + y = 18 x ( x + 1) y ( y + 1) = 72 Câu (5.5đ): Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh a) EF // BC b) Các tam giác AED ADC; AFD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = AF.AB = AD2 Câu (1,5 điểm).Cho a, b số thực dơng Chứng minh : ( a + b) + a+b 2a b + 2b a Đáp án hớng dẫn chấm Câu1: (4điểm) a) ĐKXĐ: x > x (0.5đ) x x +1 x x : x + A = x x x Ta có: ( x + 1)( x x + 1) x x ( x 1) + ( x 1)( x + 1) x : x = = x (0.5đ) x x x +1 x x x + x : x x x (0.5đ) = x x +1 x +1 x : x x (0.5đ) = x +2 x : x x = x +2 x x x (0.75đ) = b) A = => x x x =3 x (0.5đ) => 3x + x -2=0 (0.25) => x = 2/3 (0,5đ) Cõu 2: (5,0 im) C giao điểm d d/ nên tọa độ C thỏa mãn hệ : 2y= 3x+ 2y= 3x+ x = Vậy C(1 ; 3) (1.0đ) 2y= - 3x 4y= 12 y = Phơng trình trục Ox y = nên tọa độ A thỏa mãn hệ : 2y= 3x+ x = - Vậy A(- 1; 0) (0.5đ) y= y = tọa độ B thỏa mãn hệ : 2y= - 3x x = Vậy B(3 ; 0) (0.5đ) y= y = Gọi H hình chiếu C trục Ox CH đờng cao tam giác CAB CH = cm ( tung độ điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = + = (cm) y y= 3x+3 C dt(ABC) = 1 AB.CH = 4.3 = 2 (cm2) (1.5đ) HA = HO + OA = + = (cm) HB = AB - AH = (cm) HA = HB = 2(cm) tam giác CAB cân C (CH vừa đờng cao vừa trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có : 2 2 CA = AH + HC = + = 13 (cm) chu vi ABC : AB + BC + CA = + 13 (cm) (1.5đ) Câu 3: (4.0 điểm) Ta có : -1 A O x H B y= ( 9-3x ) ( ) M = x + x + + y + y + + ( xy x y + ) + 2007 M = ( x ) + ( y 1) + ( x ) ( y 1) + 2007 2 (0,25đ) (0,5đ) 2 M = ( x ) + ( y 1) + ( y 1) + 2007 (0,25đ) 2 Do ( y 1) ( x ) + ( y 1) x, y M 2007 M = 2007 x = 2; y = (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) u = x ( x + 1) v = y ( y + 1) Đặt : (0,25đ) u + v = 18 u ; v nghiệm phơng trình : uv = 72 Ta có : (0.25đ) X 18 X + 72 = X = 12; X = u = 12 ; u = v = v = 12 x ( x + 1) = 12 y ( y + 1) = ; x ( x + 1) = y ( y + 1) = 12 (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) Giải hai hệ ta đợc : Nghiệm hệ : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hoán vị (0,5đ) ằ ã ã = EFD (= sdED ) Câu 4: (5.5 điểm) a) EAD (0,5đ) ằ ã ã FAD = FDC (= sdFD ) ã ã ã ã mà EDA = FAD EFD = FDC (0,5đ) (0,5đ) EF // BC (2 góc so le nhau) (0,5đ) A ằ = DF ằ b) AD phân giác góc BAC nên DE 1 ằ = sđ ADE ã sđ AE 2 ã ã ã ã ACD EAD = ADE = DAC E ã ẳ DF ằ )= = sđ( AED sđ ACD D ADC (g.g) Tơng tự: F (0,5đ) ằ ẳ ã ằ ) = sdAF = sd(AFD DF sđ ADF B 2 ẳ ằ ) = sdABD ã DE = (sdAFD ã ã ADF = ABD AFD ~ d c) Theo trên: + AED ~ DB (0.5đ) C D (0.25đ) (0.25đ) (0,5đ) (g.g) AE AD = hay AD2 = AE.AC (1) AD AC AD AF = + ADF ~ ABD AB AD (0,5đ) (0.25đ) AD2 = AB.AF (2) (0.25đ) Từ (1) (2) ta có AD = AE.AC = AB.AF (0,5đ) 2 1 Câu 5: (1,5 điểm) Ta có : a ữ 0; b ữ 2 a,b>0 (0,25đ) a a + 1 0; b b + 4 (0,25đ) 1 (a a + ) + (b b + ) a , b > 4 a+b+ a+ b >0 (0,25đ) Mặt khác a + b ab > (0,25đ) Nhân vế ta có : ( a + b ) ( a + b ) + ab ( a + b ) (0,25đ) ( a + b) + ( a + b) 2a b + 2b a (0,25đ) ... + + y + y + + ( xy x y + ) + 2007 M = ( x ) + ( y 1) + ( x ) ( y 1) + 2007 2 (0 ,25đ) (0 ,5đ) 2 M = ( x ) + ( y 1) + ( y 1) + 2007 (0 ,25đ) 2 Do ( y 1) ( x ) + ( y 1) x, y... y ( y + 1) = ; x ( x + 1) = y ( y + 1) = 12 (0 ,5đ) (0 ,25đ) (0 ,25đ) Giải hai hệ ta đợc : Nghiệm hệ : (3 ; 2) ; (- 4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (- 4 ; -3) hoán vị (0 ,5đ) ằ ã ã = EFD (= sdED ) Câu 4: (5 .5... (0 .25đ) (0 .25đ) (0 ,5đ) (g.g) AE AD = hay AD2 = AE.AC (1 ) AD AC AD AF = + ADF ~ ABD AB AD (0 ,5đ) (0 .25đ) AD2 = AB.AF (2 ) (0 .25đ) Từ (1 ) (2 ) ta có AD = AE.AC = AB.AF (0 ,5đ) 2 1 Câu 5: (1 ,5 điểm)