Dãy số chuyên lý tự trọng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ Trường THPT Chun Lý Tự Trọng                    CHUN ĐỀ  DÃY SỐ                                 NHĨM THỰC HIỆN: Bùi Tấn Phương                        Nguyễn Anh Lộc   Trần Mỹ Hoa                           Dương Minh Qn  Tiêu Ngọc Diễm Quỳnh           Bùi Tuấn Anh  Trần Thị Thanh Huyền             Tống Trung Thành  Lê Thanh Tú  Giáo viên hướng dẫn: Huỳnh Bửu Tính, Trần Diệu Minh.        -1-       Chun đề gồm phần:  :  Định nghĩa và các định lý cơ bản về dãy số.  Các dạng dãy số đặc biệt.  Một số phương pháp xây dựng dãy số.  Phương trình sai phân tuyến tính.  Dãy số và các vấn đề liên quan đến giới hạn.      -2- PHẦN 01: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DÃY SỐ I)Các định nghĩa dãy số: Dãy số: là hàm số  f : S    S=  1; 2;3; ; n  đối với dãy hữu hạn.  S=  đối với dãy vơ hạn bắt đầu là chỉ số 0.  S=   *  đối với dãy vơ hạn bắt đầu là chỉ số 1.  Với dãy f:  S                      n  f (n)   Ký hiệu:   un  ; un  ; với un= f(n).  Trong đó: + u0  hay  u1  được gọi là số hạng đầu.  + un  được gọi là số hạng tổng qt.  +n được gọi là chỉ số của các số hạng.  Dãy số cho theo cách sau đây: 1)Cho dãy số bởi cơng thức của số hạng tổng qt:  VD: Cho dãy số   un   với  un  n  10   2n  2)Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi:    u1  20 VD:     un  2un  95(n  2) 3)Cho dãy số bởi phương pháp liệt kê các phần tử.    VD: dãy 0;1;2;3;4;5;…….  II)Tính chất: 1)Dãy số tăng, dãy số giảm:   Dãy số ( un ) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có:  un  un 1     Dãy số ( un ) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có:  un  un 1     Dãy số tăng hay dãy số giảm được coi là dãy đơn điệu.    VD: Xét tính đơn điệu của dãy số sau: un= n + ( )n  với  n  Giải:   n  +  Ta có: un+1- un= (1- 1 ) +  n1 > 0    (un) là dãy tăng.  n 2 2)Dãy số bị chặn: -3- +       Dãy số ( un ) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số  M  sao cho: n  * , un  M     Số  M  nhỏ nhất được gọi là cận trên đúng của ( un ).Ký hiệu  sup un     Dãy số ( un ) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số  m  sao cho: n  * , un  m   Số  m  lớn nhất được gọi là cận dưới đúng của ( un ).Ký hiệu  inf un     Dãy số ( un ) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn  * tại số  m  và số  M sao cho n    m  un  M   VD: Xét tính bị chặn của dãy số sau: un= (-1)n + cos n,  n  Giải: un= (-1)n + cos n,  n  + +   ;     Ta có:      -1   cos n    1    -2   (-1)n + cos n    2.      Vậy (un) bị chặn.  Chú ý:   Mọi dãy số ( un ) giảm ln bị chặn trên bởi  u1     Mọi dãy số ( un ) tăng ln bị chặn dưới bởi  u1   3) Dãy dãy tuần hồn: Dãy con: Cho dãy (un)  n  +   Lập dãy (V nk ) với các số hạng: V n1 , V n2 ,… , V nk ,…….    Trong đó dãy (nk) là các số tự nhiên tăng vơ hạn.  Dãy (V nk ) được gọi là dãy con của (un).  Nhận xét: (un) là dãy con của chính nó với nk=k.  VD: Cho dãy (un) xác định bởi:  0  u1  với  n   un 1  un (un  1)   +   CMR: dãy (u2n+1) là dãy giảm và dãy (u2n) là dãy tăng.   Giải: Áp dụng phương pháp quy nạp ta dễ dàng suy ra đpcm.  Dãy tuần hồn: Dãy tuần hồn cộng tính: Dãy (un) được gọi là tuần hồn cộng tính khi và chỉ khi  l  Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (un).  Đặc biệt: (un) tuần hồn cộng tính, chu kì l=1 là dãy hằng.  -4- +  sao cho un+l = un  n  +       VD: Dãy số (un) xác định bởi u0= 1, u1= 0, un+1= un + un-1 với n = 1,2,3,…… tuần hồn với chu kì 6:  1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,…….  Dãy tuần hồn nhân tính: Dãy (un) được gọi là tuần hồn nhân tính khi và chỉ khi  l  + , l>1 sao cho un.l = un  n  Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (un).    Bài tập: 01) Cho dãy (un) với un=  n(n  2) , n   và dãy (xn) xác định bởi xn= u1.u2.u3…un.  (n  1) a) CMR dãy (un) tăng, (xn) giảm.  b) CMR xn=  n2   2(n  1) 02) Dãy (un) xác định bởi:  u1  u2  u3   ,  n     un  un 1  un 3 CMR: dãy (un) tăng  n    03) Xét tính bị chặn của dãy un:  un= (1+  n )    n  n +   04) Dãy (un) xác định bởi:    un    un 1 (1  un )  n    CM: dãy (un) tăng và bị chặn.  05) Dãy (un) xác định bởi:  u1    un  un 1   u n  với  n    CM: dãy (u2n+1) tăng và dãy (u2n) giảm.  06) Cho  k  \  CMR dãy (un) xác định bởi:  u0     u1  1 u  ku  u  n  * n n 1  n 1 -5- +   Khơng là dãy tuần hồn.   -6- PHẦN 02: MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT Cấp số cộng:   Định nghĩa: Dãy   được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bằng số  hạng đứng trước nó cộng với số khơng đổi. Số khơng đổi được gọi là cơng sai.  Ký hiệu:      Có     : số hạng đầu tiên  : số hạng thứ n (tổng qt)  : cơng sai  Nhận xét:  -   - Dãy   xác định bởi:            (    là các số thực)   là 1 cấp số cộng.  Tính chất: Cơng thức số hạng tổng qt:    là CSC    có  Chứng minh:                           …    Suy ra:     Nhận xét:   mà:   thì     (Thường dùng chứng minh CSC):    -7-   Tổng của n số hạng đầu tiên:   là cấp số cộng đặt:       Có         Hay    Chứng minh:  Có             Nhận xét:      Ví dụ:  Chứng minh rằng nếu   theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì  tự cũng lập thành một cấp số cộng (giả sử    theo thứ  )  Giải:   theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi            Tức là khi và chỉ khi   theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.  Cấp số nhân: Định nghĩa: Dãy   được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi mỗi số hạng bắng số  hạng đứng trước nó nhân với số khơng đổi. Số khơng đổi được gọi là cơng bội.  Ký hiệu:      -8- Có     : số hạng đầu tiên  : số hạng thứ n (tổng qt)  : cơng bội  Nhận xét: -     - Dãy   xác định bởi:            (    là các số thực khác khơng)   là 1 cấp số nhân.  Tính chất: Cơng thức số hạng tổng qt:    là CSN    có  Chứng minh:                           …    Suy ra:     Nhận xét:   mà:   thì       Tổng của n số hạng đầu tiên:   là cấp số nhân đặt:       Có          Chứng minh:  Có      -9-         Tổng các số hạng của CSN lùi vơ hạn:  1 CSN được gọi là lùi vơ hạn khi và chỉ khi cơng bội   thỏa  Dãy   là CSN lùi vơ hạn với cơng bội  Có          Ví dụ:  Cho  dãy  số  rằng dãy số    xác  định  bởi    và   xác định bởi    với  mọi   với mọi    Chứng  minh   là một cấp số nhân. Hãy cho biết số  hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân đó.  Giải:   Từ cơng thức xác định dãy số   và  , ta có:   với mọi  Từ đó suy ra dãy số     là một cấp số nhân với số hạng đầu    và cơng bội  .  Các số     theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các  số    theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm   và    Giải:   Với    theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, ta có:             hay    Ta lại có:          )  - 10 - b   và  a  , thì dãy phân kì tới     1 b   Giải a) Ta có:  n n k  6k  11k  ( k  1)(k  2)(k  3)      lim   lim  x  x  (k  3)! (k  3)! k 1 k 1 n 1   lim     x  (k  3)!  k 1  k ! 1 1 1 1 1 1   lim               x  1! 4! 2! 5! 3! 6! 4! 7! (n  1)! (n  2)! n ! (n  3)!   1 1 1   lim        x  1! 2! 3! (n  1)! (n  2)! (n  3)!   n k  6k  11k  5   Vậy :  lim     x  (k  3)! k 1 b) Ta có :    n n k 1 (k  1)(k  k  1)    lim   lim  x  x  k 2 k  k  ( k  1)( k  k  1) (k  1)[(k  1)  (k  1)  1]  lim  x  (k  1)(k  k  1) k 2 n  (2  1)(32   1) (3  1)[42   1] ( n  1)[( n  1)  ( n  1)  1]   lim   x  (2  1)(2   1) (3  1)(32   1) (n  1)( n  n  1)   1.2.[(n  1)  (n  1)  1] 2(n  n  1)  lim  lim  x  x  3( n  n ) (22   1) n( n  1) 3 n k 1 Vậy : lim     x  k 2 k   Bài 44 Cho dãy số   xn 1  với  xk  Chứng minh rằng   lim x n xn 1 k       2! 3! 4!  k  1! n    x2n   x1999 Giải Ta có   k 1  k   k  2 !  xk  ,  k  xk 1  xk   xk 1   - 126 -     Mặt khác  (k  1)  1 k       k  1!  k  1! k !  k  1! 1 1      2! 2! 3! k !  k  1!    1  k  1!  xn     n n n  Ta lại có  x1999  0, un+1 > 0 với mọi  n   thì từ (1) suy ra:  un   un21     un   (2)   và un+2 > 0  Mặt khác do u1 = 1 > 0; u2 = 2 > 0 nên từ (2) và lập luận trên suy ra:  un > 0 với mọi n = 1,2,…(dễ dàng chứng minh bằng quy nạp)  mà  un    (AM-GM)  un un21  un21 un21    un   un   un  u n    2 un un un un Đó là điều phải chứng minh.  Bài 2. Cho dãy số (an) xác định bởi a0 = 2, an+1 = 4an +  15an2  60   Chứng minh rằng số  (a2 n  8)  có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số ngun  liên tiếp với mọi n = 1,2,3,    Giải. Từ giả thiết:  an21  8an an 1  an2  60        2 Thay n bởi  n   ta được:  an  8an 1an  an 1  60      Trừ (1) cho (2) ta được:   an1  an 1  an 1  8an  an1     - 131 -     (1)  (2)  Do đây là dãy tăng nên:  an1  8an  an1   Phương trình đặc trưng có dạng:  t  8t       n Với hai nghiệm  t   15  Ta xác định được cơng thức tổng qt của dãy (an) là  n  an   15   4   n 15   Bây giờ ta chứng minh   a2 n    ln biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số  ngun liên tiếp.  Thật vậy, với mỗi  n  1,  thì  k   để  n  n     15   15k       15     15    15k   Hay    15     15   15k    1 Do vậy:   a       15     5 aa  15 n n 2n 2 2n 2n 2n 15  2n    3k   (k  1)2  k  (k  1)    Ta có đpcm.     x1  7, x2  50 Chứng minh x1996  1997.   xn1  xn  xn1  1975 Bài 3. Cho dãy (xn) xác định như sau:  (T6/251) Giải. Đặt xn = Vn +  1975  ,  n   xn+1 = 4xn + 5xn-1 – 1975   Vn+1 – 4Vn – 5Vn-1 = 0  Xét phương trình đặc trưng: x2 – 4x – 5 = 0  x = -1 hoặc x = 5              Vn = a.(-1)n-1 + b.5n-1  Do đó ta được:  V1=a+b=7- 1975   a=- 2005   12        1975 1747      V2=-a+5b=50- b=- 24  Vn = -  2005 1747 n-1 (-1)n-1 -  ,  n  12 24  xn = -  2005 1747 n-1 1975 (-1)n-1 -   +    12 24  x1996 = -  1747 1995 9935  +    24 24 - 132 -      = (-1747.51996 + 49675):120      120x1996 = - 1747(51996 – 1) + 1997.24  Theo định lí nhỏ Fermat:       51996  1 (mod 1997)  51996 -1  0 (mod 1997)   120x1996   1997 mà (120,1997) = 1.  Vậy: x1996   1997 (đpcm).  Bài 4. Cho dãy số Fibonacci (un): u0 = u1 = 1; un+2 = un+1 + un với n = 0,1,2,3,….  Đặt f(n) = 1985n2 + 1956n + 1960.  Chứng minh tồn tại vơ hạn số hạng un của dãy sao cho f(un)    1989.  Giải. Đặt  h(n)  4n  33n  29  f (n)  h(n)  1989(n  n  1)  Từ đó suy ra:  f (n)1989  h(n)1989   v0  1; v1  (n  1, 2, )   vn 1   1 Xét dãy (vn):   Nói  khác  đi,  dãy  trên  là  dãy  sinh  ra  bởi  dãy  Fibonacci  bằng  các  thêm  vào  trước  dãy  Fibonacci 3 số hạng -1, 1, 0.  Gọi ri là phần dư trong phép chia vi cho 1989 (i = 0,1,2,…). Như vậy ta có   r  1988   Xét dãy các cặp số sau đây:   r0 , r1  ,  r1 , r2  ,  r2 , r3  ,   Vì mỗi số ri chỉ nhận một trong 1989 giá trị. Vậy các cặp khác nhau tối đa là 19892. Từ đó  theo ngun lí Dirichlet thì trong 19892 + 1 cặp đầu tiên có ít nhất hai cặp trùng nhau. Giả sử  cặp ấy là:  r , r ,r p p  p 1 , rp  1  , p,     Điều ấy có nghĩa là:  rp  rp  ; rp 1  rp  1  Theo cách xác định dãy, ta có:  v p 1  v p 1  v p  rp 1  rp 1  rp   Tương tự, ta có:  v p  1  v p  1  v p   rp 1  rp 1  rp   Từ đó suy ra:  rp 1  rp  1   Tương tự, ta có:  rp   rp   ;           …                r2  r  ;       r1  r 1 ;  - 133 -      r0  r   Từ  r0  r ,  r1  r 1  và  1   1  suy ra  ri  ri  , i  0,1, 2,   Do vậy:  r0  r  r2  r3   rk , k  1,  suy ra:  h(vk )1989 A  h(1)  1989 A   Rõ  ràng  vk , k  1, 2,3,   đều  là  số  Fibonacci,  suy  ra  có  vơ  số  số  hạng  của  dãy  Fibonacci  thỏa đề bài.  Bài Chứng minh rằng dãy Fibonacci có tính chất :  a) Với mọi i.j : ai+j = aiaj-1 + ai+1aj  b) Với mọi k, n: akn  an  c) Hai số hạng liên tiếp ngun tố cùng nhau.  Dùng các tính chất trên , tìm USCLN của u1998 và u1960.  Giải a) Ta chứng minh bằng qui nạp Với mọi i.j : ai+ j = aiaj-1 + ai+1aj  (1)  Giả sử j khơng đổi (j > 0) .   Với i = 0   VT(1) = aj     VP(1) = a0aj-1 + a1aj = aj (do ao = 0, a1 = 1)   Giả sử (1) đúng đến i = n   Ta chứng minh (1) đúng với i = n + 1   an 1  an a j 1  an 1 a j   a( n 1)  j  an 1 a j 1  an a j Theo giả thiết quy nạp   Cộng theo vế lại  an+l + a(n-1)+j = (an + an-j)aj-1 + (an + an+1)aj = an+1.aj-1 + an+2.aj Lại có  an+1+l = an+l + a(n-1)+l  Vì vậy an+1+l = an+1.aj-1+an+2.aj  hay (1) đúng với k = 0,1,2,….  Xét với mọi i;j   Với j = 0 thì (1) đúng với mọi i   Giả sử (1) đúng với mọi i và mọi j    m  Xét (1) với mọi i và j = m theo trên thì (1) đúng  suy ra đpcm  b) Cố định n    Với k = 1 thì khẳng định hiển nhiên đúng   Giả sử khẳng định đúng đến k = m tức là amn  an  Xét k = m + 1 . Ta có uk(m+1) = ukm+m.  Theo phần a) an(m+1) = anman-1 + anm+1an  +Kết hợp giả thiết quy nạp suy ra an(m+1)   an  Vậy khẳng định đúng .  c) Kết quả này hiển nhiên.  Theo a) u1988 = u1960.u27 + u1961.u28  (1)  Đặt r = (u1988, u1960) suy ra u1988   r và u1960  r  Do u1988 và u1960 đều chia hết cho u28 tính chất b) nên r  u28 > 1 (2)  suy ra u1961, u28     r  - 134 - Theo c) (u1960, u1961) = 1 mà u1960   r . Vì vậy u28    r hay u28    r (3)  Từ (2) và (3) suy ra ƯSCLN (u1998; u1960) = u28 = 317811  Các bổ đề và tính tốn đề có thể dựa trên cơng thức tổng qt của dãy số Fibonacci:  n n         un       (n > 0)         u  3; u1  17 Bài 5. Cho dãy số  un   xác định bởi:   Chứng minh rằng với mọi n  un  6un1  un2    n  1 ta có  un2 1 2  và thương là một số chính phương.  Giải Xét phương trình đặc trưng của phương trình sai phân đã cho:   x2  x 1    x   2    x   2    n  n Do đó:  un  a  2  b  2   Theo đề bài ta có:    a   2 a  b         2 a   2 b  17      b   2   n  n  1   2  Ta có:  Nên  un   2 2 n 1 n 1    2   2  un 1        2                     3  2   n 1 Ta chứng minh  vn   với   3 2 n 1 2  là dãy số ngun bằng quy nạp .  Với n = 0,  v0   là số ngun.  3  2   k 1 Giả sử  vk  ngun (k > 0) hay:  vk Ta chứng minh vk+1 cũng ngun  3  2   k 2 Thật vậy:  vk 1 3  3 2  k 1    3 2    k 1   3 2   k 1    3 2  3  2   3k 1  Ck11 3k 2  Ck21 3k 1 2    k 1    k 1  3k 1  Ck11 3k 2  Ck21 3k 1 2     k 1 2 Do   2 k 1  k 2 2 2    3 2   3 2   - 135 -        Vì vậy   2  n 1   3 2  n 1  sẽ có dạng 2 M  (M ngun) kết hợp giả thiết qui nạp   ta được  vn1  ngun (đpcm).  Vậy với mọi n ta có  un2 1 2 và thương là một số chính phương.   x1  7, x2  50 Chứng minh x1996  1997.   xn1  xn  xn1  1975 Bài 6. Cho dãy (xn) xác định như sau:  (T6/251) Giải. Đặt xn = Vn +  1975  ,  n   xn+1 = 4xn + 5xn-1 – 1975   Vn+1 – 4Vn – 5Vn-1 = 0  Xét phương trình đặc trưng: x2 – 4x – 5 = 0  x = -1 hoặc x = 5              Vn = a.(-1)n-1 + b.5n-1  Do đó ta được:  V1=a+b=7- 1975   a=- 2005   12  1975       1747      V2=-a+5b=50- b=- 24  Vn = -  2005 1747 n-1 (-1)n-1 -  ,  n  12 24  xn = -  2005 1747 n-1 1975 (-1)n-1 -   +    12 24  x1996 = -      1747 1995 9935  +    24 24    = (-1747.51996 + 49675):120    120x1996 = - 1747(51996 – 1) + 1997.24  Theo định lí nhỏ Fermat:       51996  1 (mod 1997)  51996 -1  0 (mod 1997)   120x1996   1997 mà (120,1997) = 1.  Vậy: x1996   1997 (đpcm).  Bài 28. Cho các số ngun a, b. Xét dãy số ngun  an   xác định bởi:       a0  a, a1  b, a2  2b  a   n  1     an3  3an   3a21  an c) Tìm cơng thức tổng qt   an    d) Tìm tất cả các số a, b để  an  là số chính phương với mọi  n  1998   (VMO 1998 bảng B) - 136 -   Giải.  a) Phương trình đặc trưng:   x3  3x  3x       x  1     x 1 Cơng thức tổng qt của dãy:  n n n an   1   n 1   n 1  với n = 0, 1, 2, …  an    n  n 2 Theo đề bài ta có:   a0  a   a   a           b    b  a     a1  b  a  2b  a      4  2b  a       2 Vậy  an  a  n  b  a  1  n   b) Giả sử  an  n   b  a  1 n  a  u aaa  n  1998, u     Từ đó:  4u  4n   b  a  1 n  4a   2 4u   2n   b  a  1   4a   b  a  1  2n  b  a   v Đặt   , ta có:  d  4u  v   2u  v  2u  v     4a   b  a  1  d Với n đủ lớn thì   v  2n  b  a     Nếu  d   thì  2u  v    Và  d   2u  v  2u  v   2u  v  v  2n  b  a    Với n đủ lớn thì d = hằng số khơng thể ln lớn hơn bằng v.  Do đó, d = 0, suy ra  4a   b  a  1       a chính phương. Đặt  a  t wwww  t  0, t  N     4t  b  t   2bt  2t  2b  b  t   2bt  2t  2b   b   2t   b  t  2t 1      '   t  1   t  2t 1  4t b1  t   2t   t  1  b2  t   2t   t  12  2 Đảo lại, với  a  t , b   t  1 thì  an  n  t  1  t  1 n  t  n  2tn  t  chính phương.     Với  a  t , b   t  1  thì  an   n  t  chính phương.  - 137 - a  t  Vậy an  u   b   t  1     b   t  1 u1  u2   Bài 29. Cho dãy   un   xác định như sau:   un21   với n = 3, 4, 5, …  u   n un   Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số ngun.       Giải.  Xét bổ đề:    Cho dãy   un   xác định bởi  u1  m ,  u2  p , u3  q  (m, p, q > 0 ) và   un   un21  c ,  n    un Trong đó  c  mq  p    Khi đó   un   là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 dạng  un   aun 1  un  Với  a  Chứng minh:  Ta có:  c  unun  un21    (1).  Thay n bởi n – 1, ta được:  c  un1un 1  un2    (2).  Từ (1) và (2) suy ra:   un 1un1  un2  unun   un21    un 1  un 1  un 1   un  un   un     un 1  un 1 un   un  un un 1   Thay  n lần lượt bởi 1, 2, 3,……, n – 1, n – 2:     a      * Trở lại bài tốn, ta có:  m  u1    u u u u q  m u3  u1    n 1 n 1  n  n   p u2 un un  Suy ra  un   aun 1  un  Bổ đề được chứng minh.  p  u2                   a 1      Áp dụng bổ đề với  c        Bằng quy nạp tốn học, ta chứng minh dễ dàng  un  , n    Vậy mọi số hạng của dãy đã cho đều ngun.  q  u3    12  3 3.1  12  mq  p  , ta có:  un  4un 1  un    Dễ thấy  u1 , u2   nên  u3    - 138 - qm   p   Bài 37 a0  1, a1  45 với n = 0, 1 ,2, …  an   45an 1  an Cho dãy  (an )  được xác định như sau:  a) Tính số các ước dương của  an21  an an  theo n.  b) Chứng minh rằng  1997an2  4.7 n1  là số chính phương với mỗi n.  (VMO năm 1997) a0  1, a1  45 với n = 0, 1, 2, …  an   45an 1  an Giải a) Xét dãy số ngun   Thử với n = 0, 1 để dự đốn hệ thức:   an21  an an   n 1           (*)  Ta chứng minh hệ thức trên đúng  n  N  bằng phương pháp quy nạp tốn học  *  Với n = 0,  a12  a0 an  452  1.(45.45  7)  71   * Giả sử (*) đúng với n = k  (k  N ) , tức là ta có:  ak2  ak 1ak 1  k   Ta phải chứng minh (*) cũng đúng với n = k +1, tức là chứng minh:  ak21  ak ak   k 1   Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và hệ thức truy hồi, ta có:  VT  ak21  ak  45ak 1  ak  VT  ak21  45ak ak 1  ak2 VT  (7 ak2  ak 1  ak 1 )  (ak21  45ak ak 1  ak 1ak 1 ) VT  7(ak2  ak 1ak 1 )  ak 1 (ak 1  45ak  ak 1 )   VT  7.7 k  ak 1.0 VT  k 1 Vậy (*) đúng  n  N   (*)   Số các ước số dương của  an21  an an  bằng ( n + 2).  b/ Từ (*) có:  an21  an (45an 1  an )  n 1   an21  45an an 1  7an2  7n 1  0, n  N   Điều này chứng tỏ pt:  x  45an x  7an2  n 1   có nghiệm ngun nên:    (45an )  4(7an2  n 1 )     =1997a 2n  n 1.4              phải số phương           - 139 -           MỤC LỤC Lời nói đầu   2  Định nghĩa và các tính chất cơ bản của dãy số   3  Một số dạng dãy số đặc biệt   6  Các phương pháp xây dựng dãy số   20  Phương trình sai phân tuyến tính   30  Dãy số và các vấn đề liên quan đến giới hạn   39  Bài tập tổng hợp   90  Tài liệu tham khảo   138  Mục lục   139              - 140 - ... CỦA DÃY SỐ I)Các định nghĩa dãy số: Dãy số:  là hàm số f : S    S=  1; 2;3; ; n  đối với dãy hữu hạn.  S=  đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 0.  S=   *  đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 1. ...      Chuyên đề gồm phần:  :  Định nghĩa và các định lý cơ bản về dãy số.   Các dạng dãy số đặc biệt.  Một số phương pháp xây dựng dãy số.   Phương trình sai phân tuyến tính.  Dãy số và các vấn đề liên quan đến giới hạn. ... +n được gọi là chỉ số của các số hạng.  Dãy số cho theo cách sau đây: 1)Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát:  VD: Cho dãy số  un   với  un  n  10   2n  2)Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi: