Khai thac BDT SGK

A T VN I Lí DO CHN TI Mt bi toỏn d khỏ quen thuc i vi cỏc bn c c gii thiu sỏch BT i s 10 ca NXB Giỏo Dc nm 2006 Cho x, y, z l cỏc s thc dng Chng minh rng: ( x + y ) (y + z)(z + x) v mt bi toỏn kỡ thi Toỏn hc Quc t IMO nm 2000 Cho a, b, c l cỏc s thc dng cú tớch bng Chng minh rng: a + 1ữ b + 1ữ c + 1ữ Mt thc mc t l hai bi toỏn trờn cú mi b c a liờn h gỡ vi khụng ? Cỏc bn s thy cõu tr li thụng qua bi vit ca tụi Nu cỏc bn ch bit gii bi toỏn d trờn bng mt hay nhiu cỏch v cm thy bng lũng vi nhng gỡ mỡnh ó lm c thỡ cỏc bn s khụng bao gi tỡm thy c nhp cu kt ni hai bi toỏn trờn ng trc mt bi toỏn cn phi o sõu suy ngh c gng tỡm c mt phng phỏp gii ngn gn, chớnh xỏc v khụng dng li ú T bi toỏn ó gii c hóy i sõu khai thỏc cỏc khớa cnh v cỏc trng hp ca bi toỏn Lm c nh vy chỳng ta s khụng b trúi cht vo nhng bi toỏn dó cú sn, nu bit khai thỏc bi toỏn ú ỳng hng thỡ chỳng s l nhp cu a chỳng ta n vi nhng bi toỏn khú hn T ú cỏc em hc sinh s tỡm thy c nim vui quỏ trỡnh gii toỏn cỏc em l tỏc gi ca nhiu bi toỏn mi Bi vit ny l mt minh chng cho hot ng khai thỏc bi toỏn quen thuc khỏm phỏ nhng mi II NI DUNG KHAI THC T MT BI TON I S Bài toán Cho x, y, z l ba s thc dng Chng minh: ( x + y)( y + z)( z + x) xyz (1) (Bi 8-Sỏch BTi s 10, NXB Giỏo Dc) Cú mt s cỏch chng minh cho bi toỏn ny Tụi xin gii thiu mt li gii cho bi toỏn: Theo BT CauChy ta cú x + y xy > y + z yz > Suy ra: ( x + y )( y + z )( z + x) xyz z + x zx > (pcm) Bõy gi ta a ý tng vo bi toỏn trờn x = b + c a t y = c + a b Do x, y, z l ba s thc dng nờn a, b, c l ba cnh ca mt tam giỏc; z = a + b c ú BT(1) tr thnh: abc (b + c a)(c + a b)(a + b c) Ta cú bi toỏn sau: Bài1 Cho a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc Chng minh rng: abc (b + c a)(c + a b)(a + b c ) (2) Mt cõu hi t l BT(2) cú ỳng a, b, c khụng l ba cnh ca mt tam giỏc ? Ta th i tỡm cỏch chng minh BT(2) a, b, c l ba s dng v khụng l ba cnh ca mt tam giỏc Gi s a, b, c khụng l ba cnh ca mt tam giỏc ú xóy ba kh nng: a b + c; b c + a; c a + b Vi a b + c ta cú: a + b c b + c + b c = 2b > ; b + c a b + c b c = ; c + a b c + b + c b = 2c > ( b + c a )( c + a b )( a + b c ) Suy abc > (b + c a)(c + a b)(a + b c) Tng t cho cỏc trng hp cũn li Ta thu c bi toỏn mnh hn sau: Bài2 Cho x, y, z l ba s thc dng Chng minh bt ng thc: xyz ( y + z x)( z + x y )( x + y z ) (3) Bõy gi ta khai thỏc cỏc BT(1), BT(2); BT(3) to mt s bi toỏn A- Ta i khai thỏc BT(1) nh sau: **p dng BT(1) cho ba s dng: SinA, SinB, SinC vi A, B, C l ba gúc ca mt tam giỏc ta cú: ( SinA + SinB)(SinB + SinC )( SinC + SinA) 8SinASinBSinC C A B A B C B CA A A B B C C Cos Cos Cos Cos Cos 64 Sin Cos Sin Cos Sin Cos 2 2 2 2 2 2 A B BC CA A B C Cos Cos Cos 8Sin Sin Sin 2 2 2 8Cos Ta thu c bi toỏn quen thuc sau: Bài3 Cho tam giỏc ABC Chng minh rng: A B BC CA A B C Cos Cos 8Sin Sin Sin 2 2 2 A B C **Tip tc ỏp dng BT(1) cho ba s dng: Tan , Tan , Tan vi A, B, C l ba gúc ca 2 A B B C C A A B C mt tam giỏc ta cú: (Tan + Tan )(Tan + Tan )(Tan + Tan ) 8Tan Tan Tan 2 2 2 2 C A B A B C Cos Cos Cos Sin Sin Sin 2 2 2 Sin A Sin B Sin C A B B C C A A B C 2 Cos Cos Cos Cos Cos Cos Cos Cos Cos 2 2 2 2 Cos Ta thu c bi toỏn quen thuc sau: A B C Bài4 Cho tam giỏc ABC Chng minh rng: Sin Sin Sin **Tip tc ỏp dng BT(1) cho ba s dng: Sin2 A, Sin B, Sin2C vi A, B, C l ba gúc ca tam giỏc nhn ABC ta cú: ( Sin2 A + Sin2 B)(Sin2 B + Sin2C )(Sin 2C + Sin2 A) 8Sin2 ASin2 BSin2C 8Sin( A + B )Cos ( A B ) Sin( B + C )Cos ( B C ) Sin(C + A)Cos (C A) 8Sin ASin BSin 2C SinC.Cos ( A B ) SinA.Cos ( B C ) SinB.Cos (C A) 8SinA.CosASinB.CosB.SinC.CosC Cos ( A B )Cos ( B C )Cos (C A) CosA.CosB.CosC Ta thu c bi toỏn sau: Cos ( A B )Cos ( B C )Cos (C A) CosA.CosB.CosC **Tip tc ỏp dng BT(1) cho ba s dng: p a, p b, p c ; ú a, b, c l ba cnh a+b+c ca mt tam giỏc p = ta cú: ( p a + p b)( p b + p c)( p c + p a) 8( p a )( p b)( p c) abc 8( p a )( p b)( p c) abc (a + b + c) 16 p ( p a)( p b)( p c) a bc + b ca + c ab 16S a b + c ( b c ) + 1 1 2 b c + a ( c a ) + c a + b ( a b ) 16 S a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b ) 2 2 1 2 16S + a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) 2 1 2 a b + b c + c a 16 S + a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) 2 Bài5 Cho tam nhn giỏc ABC Chng minh rng: [ [ ] [ ] ] Ta thu c bi toỏn sau: Bài6 Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng S t BC = a, CA = b, AB = c Chng minh 2 2 2 bt ng thc: a b + b c + c a 16S + a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) ng thc xóy no ? ( Bi T7/376- THTT nm 2008) B- Ta i khai thỏc BT(2) nh sau: BT(2) abc 8( p a)( p b)( p c) abc 8S abc abc R R 2r Ta cú bi toỏn p pr p Bài7 Cho tam giỏc ABC cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip, bỏn kớnh ng trũn ni tip ln lt l R, r Chng minh rng: R 2r **Tip tc khai thỏc BT(2) ta cú BT(2) abc(a + b + c) (a + b + c)(b + c a)(c + a b)(a + b c) abc (a + b + c) 16 p ( p a)( p b)( p c) abc(a + b + c) 16 S (ab)(bc ) + (bc)(ca) + (ca)(ab) 16 S (*) Ta ỏp dng BT quen thuc ( x + y + z ) 3( xy + yz + zx) cho ba s dng ab, bc, ca ta c BT ( ab + bc + ca ) 3[ (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab)] Kt hp vi (*) ta cú ( ab + bc + ca ) 48S ab + bc + ca 3S T ú ta thu c bi toỏn Bài8 Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng S t BC = a, CA = b, AB = c Chng minh bt ng thc: ab + bc + ca 3S ** Thờm mt bc bin i cho BT thu c Bài8 nh sau [ ] [ ] [ ] 1 2 a + b ( a b ) + b + c ( b c ) + c + a ( c a ) 3S 2 1 1 1 2 a + b + b + c + c + a 3S + ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) 2 2 2 1 2 a + b + c 3S + ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) 2 ab + bc + ca 3S ( ) ( ) ( ) Ta thu c bi toỏn sau: Bài9 Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng S t BC = a, CA = b, AB = c Chng minh 2 2 2 bt ng thc: a + b + c 3S + ( a b ) + ( b c ) + ( c a ) ** Tip tc khai thỏc BT (*) thu c Bài8 nh sau p dng BT quen thuc: x + y + z xy + yz + xz cho ba s dng ab, bc, ca ta c BT: a b + b c + c a (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) Kt hp vi BT (*) ta cú BT [ ( ) ] [ ( ) ] 2 a + b4 a2 b2 + b4 + c4 b2 c2 + 2 1 1 2 + c + a c a 16 S a + b + b + c + c + a 16 S + ( a + b ) ( a b ) + 2 2 1 1 2 2 2 2 + ( b + c ) ( b c ) + ( c + a ) ( c a ) a + b + c 16S + ( a + b ) ( a b ) + ( b + c ) ( b c ) + 2 2 2 + ( c + a) ( c a) a b + b c + c a 16 S [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) Ta thu c bi toỏn sau: Bài10 Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng S t BC = a, CA = b, AB = c Chng 2 2 2 2 minh bt ng thc: a + b + c 16S + ( a + b ) ( a b ) + ( b + c ) ( b c ) + ( c + a ) ( c a ) ** Thờm mt bc bin i cho BT (*) thu c Bài8 nh sau 2 a + b ( a b ) b + c ( b c ) + 1 2 2 + b + c ( b c ) c + a ( c a ) + c + a ( c a ) a + b ( a b ) 16S2 1 ( a + b ) ( b + c ) + ( b + c ) ( c + a ) + ( c + a ) ( a + b ) 16S2 + 4 1 2 + ( a b ) b2 + c2 + c2 + a ( b c ) ( c a ) + 2 1 2 + ( b c ) c + a + a + b ( c a ) ( a b ) + 2 1 2 + ( c a ) a + b + b + c2 ( a b ) ( b c ) + 2 (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab) 16S2 (a + b + c ) + ( a b + b c + c a ) 16 S + 4 1 2 2 2 2 + ( b + c ) + ( c + a ) ( a b ) + ( c + a ) + ( a + b ) ( b c ) + ( a + b ) + ( b + c ) ( c a ) (**) 8 4 Mt khỏc ta d dng chng minh c BT: a + b + c a b + b c + c a Kt hp vi (**) ta thu c BT sau: 1 2 2 2 2 a + b + c 16 S + ( b + c ) + ( c + a ) ( a b ) + ( c + a ) + ( a + b ) ( b c ) + ( a + b ) + ( b + c ) ( c a ) 8 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ta thu c bi toỏn mi sau Bài11 Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng S t BC = a, CA = b, AB = c Chng minh a + b + c 16 S + [ ] [ ] [ ] ( b + c ) + ( c + a ) ( a b ) + ( c + a ) + ( a + b ) ( b c ) + ( a + b ) + ( b + c ) ( c a ) 8 **Tip tc khai thỏc BT(2) nh sau abc BT(2) (b + c a)(c + a b)(a + b c) a (c + a ) b( a + b) c (b + c ) (**) Mt khỏc theo BT CauChy ta (b + c a )(b + c) (c + a b)(c + a ) (a + b c)(a + b) a (c + a ) b( a + b) c (b + c ) cú: (b + c a)(b + c) + (c + a b)(c + a) + (a + b c)(a + b) 33 33 a (c + a ) b( a + b ) c(b + c) Kt hp vi (**) ta c BT (b + c a )(b + c) (c + a b)(c + a ) (a + b c)(a + b) a (c + a ) b( a + b) c (b + c ) + + (b + c a)(b + c) (c + a b)(c + a ) (a + b c)(a + b) 1 1 1 ( c + a ) + ( a + b ) + (b + c ) b+ca b+c c+a b c+a a+bc a+b c+a a+b b+c c+a a+b b+c + + + + b+ca c+a b a +bc b+c c+ a a +b 2a b 2b c 2c a a+b b+c c+a + + + + b+ca c+ab a+bc c+a a+b b+c Ta thu c bi toỏn mi sau Bài12 Cho tam giỏc ABC t BC = a, CA = b, AB = c Chng minh bt ng thc: 2a b 2b c 2c a a+b b+c c+a + + + + b+ca c+a b a+bc c+a a+b b+c C- Ta i khai thỏc BT(3) nh sau: **p dng BT(3) cho ba s a , b , c ú a, b, c l ba cnh ca mt tam giỏc; ta cú ( )( )( ) a b c b + c a c + a b a + b c a b c 2bcCosA.2caCosB.2abCosC CosACosBCosC Ta cú bi toỏn quen thuc sau: Bài13 Cho tam giỏc ABC Chng minh rng: CosACosBCosC **Tip tc ỏp dng BT(3) cho ba s dng: p a, p b, p c ; ú a, b, c l ba cnh a+b+c = ta cú: 2 ( p a )( p b )( p c ) ( p b + p c p + a )( p c + p a p + b )( p a + p b p + c ) ( p a )( p b )( p c ) ( 2a p )( 2b p )( 2c p ) 3 a b c 2a 2b 2c 2 27 9 27 ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) abc 8abc 6( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) 2 5( ab + bc + ca ) 6abc + 5(1 a b c + ab + bc + ca abc ) abc 5(1 a )(1 b )(1 c ) abc Ta thu c bi toỏn mi sau ca mt tam giỏc v p = Bài14 Cho tam giỏc ABC cú chu vi bng t BC = a, CA = b, AB = c Chng minh bt ng thc: 5(1 a)(1 b)(1 c) abc **Tip tc khai thỏc BT(3) bng phộp bin i sau z BT(3)1 + + + a + b + c + ; ú b c a z z x x y y x a= y y z x 1 x y z , b = , c = v abc = Ta thu c bi toỏn sau y z x Bài15 Cho a, b, c l cỏc s thc dng cú tớch bng Chng minh rng: a + b + c + b c a ( Mt bi thi IMO nm 2000) **Tip tc ỏp dng BT(3) cho ba s dng: x , y , z ( x, y, z > 0; R ) ta cú ( )( )( x y z x + y z y + z x z + x y ) x y y z z x + + + z x y x y z ( )( )( ) a + b b + c c + a Trong ú a = x y z , b = , c = v abc = Ta thu y z x c bi toỏn sau: Bài16 Cho a, b, c l cỏc s thc dng cú tớch bng v l mt s thc bt kỡ Chng minh rng: ( a + b 1)( b + c 1)( c + a 1) **Tip tc ỏp dng BT(3) cho ba s dng: TanA , TanB , TanC ú A, B, C l ba gúc ca tam giỏc nhn ABC v TanA + TanB + TanC = TanATanBTa nC ta cú: TanATanBTa nC ( TanA + TanB TanC )( TanB + TanC TanA )( TanC + TanA TanB ) TanATanBTa nC ( TanATanBTa nC 2TanC )( TanATanBTa nC 2TanA )( TanATanBTa nC 2TanB ) ( TanATanB )( TanBTanC )( TanCTanA ) (TanATanBTa nC ) 2TanATanBTa nC (TanA + TanB + TanC ) + + 4(TanATanB + TanBTanC + TanCTanA ) ( TanA + TanB + TanC ) + 4(TanATanB + TanBTanC + TanCTanA ) Tan A + Tan B + Tan C + 2(TanATanB + TanBTanC + TanCTanA ) Ta thu c bi toỏn mi sau: Bài17 Cho tam giỏc nhn ABC Chng minh bt ng thc : Tan A + Tan B + Tan C + 2( TanATanB + TanBTanC + TanCTanA ) **Tip tc ỏp dng BT(3) cho ba s dng: a, b, c , sau ú ỏp dng BT(3) cho ba s dng a + b c, b + c a, c + a b ú a, b, c l ba cnh ca tam giỏc ABC ta cú abc ( a + b c ) (b + c a )(c + a b) ( 3a b c ) (3b c a )(3c a b) b + c c + a a+b b+c c+a ,y = ( x )( y )( z ) ; ú x = , a b c a b x, y , z > a+b z= v ú Ta thu c bi toỏn mi sau c xyz = x + y + z + x, y , z > Cho xyz = x + y + z + Chng minh rng: ( x )( y )( z ) **Tip tc ỏp dng BT(3) cho ba s dng: a, b, c ta cú a + b b + c c + a abc ( a + b c ) (b + c a )(c + a b) ( x 1)( y 1)( z 1) c a b 1 b+c c+a a+b ,y = ,z = ú x = v ú x + + y + + z + = Ta thu c bi toỏn: a b c x, y , z > Cho + + = Chng minh rng: ( x 1)( y 1)( z 1) x +1 y +1 z +1 Bài18 Bài19 **Tip tc ỏp dng BT(3) cho ba s dng: a b, b c, c a (vi a, b, c > ) ta cú: ( )( )( a 3b c a b + b c c a b c + c a a b c a + a b b c ) a 2b + b 2c c a b c + c a a 2b c a + a 2b b c c3 a3 b3 a b b a b c c b c a a c x y z + + + + x + y + z c a a b b y z z x x c a b y c x2 y2 + x y y2 z + y z z x2 + z x a b c ú x = , y = , z = v ú xyz = Ta thu c bi toỏn: b c a x , y , z > 2 2 2 Cho xyz = Chng minh rng: x y + x y y z + y z z x + z x ( Bài20 )( )( ) ( )( )( ) KHAI THC T MT BI TON HèNH HC Bài toán Cho hai im A, B nm cựng phớa i vi ng thng a cho trc Tỡm im M trờn ng thng a cho MA+MB nh nht (Bi toỏn 2-Bi c thờm: p dng phộp bin hỡnh gii toỏn, SGK Hỡnh hc11, NXBGD) A Li gii: Gi A l nh ca A qua phộp i xng trc a (a l trc i xng) Khi ú: MA+MB = MA+MB AB v MA+MB = AB B v ch M l giao im ca a v A B a Vy im M cn tỡm tho yờu cu bi chớnh M l giao im ca ng thng a v AB A Bõy gi ta a ý tng vo bi toỏn trờn Gi N, B ln lt l nh ca M, B qua phộp tnh tin theo vect MN ( ú vect MN cú giỏ l ng thng a v MN = l khụng i) B Khi ú AM+MN+NB=AM+MN+MB = AB+MN = AB+ l AM+MN+ NB (vi M,N l hai im thay i trờn ng thng a cho MN = l khụng i) v AB+ l = AM+MN+ NB v ch M l giao im ca a v AB Ta thu c bi toỏn sau: A B a N M A Bài1 Cho hai im A, B nm cựng phớa i vi ng thng a cho trc Gi M, N l hai im di ng trờn ng thng a cho MN = l khụng i Tỡm v trớ ca M, N cho AM+MN+NB nh nht Tip tc a ý tng vo bi toỏn ban u B Gi N, B, b ln lt l nh ca M, B, a qua phộp b N tnh tin theo vect MN ( ú vect MN cú B giỏ khụng song song hoc trựng vi ng a thng a v MN = l khụng i) M Khi ú AM+MN+NB=AM+MN+NB = AB+MN = AB+ l AM+MN+ NB (vi M,N ln lt l hai im thay i trờn cỏc ng thng a,b cho MN = l khụng i) v AB+ l = AM+MN+ NB v ch M l giao im ca a v AB Ta thu c bi toỏn sau: A A Bài2 Cho hai ng thng song song a, b v hai im A, B nm cựng phớa i vi ng thng a Gi M, N l hai im di ng trờn cỏc ng thng a, b cho MN = l khụng i Tỡm v trớ ca M, N cho AM+MN+NB nh nht Tip tc a ý tng vo bi toỏn ban u Gi (P) l mt phng to bi im A v ng thng a Thc hin phộp quay quanh trc a cho im B bin thnh im B v khỏc phớa i vi im A Khi ú vi mi im M trờn ng thng a ta cú: AM+MB = AM+MB AB v AM+MB = AB v ch M l giao im ca a v AB Q Ta thu c bi toỏn sau: P A M B B Bài3 Trong khụng gian cho ng thng a v hai im A, B Tỡm v trớ ca M trờn a cho AM+MB nh nht Tip tc a ý tng vo bi toỏn ban u Gi (P) l mt phng to bi im A v ng thng a v (Q) l mt phng im B v ng thng a Thc hin phộp quay quanh trc a cho mp(P) trựng vi mp(Q) v ú gi A l nh ca A qua phộp quay trờn Khi ú vi mi im M trờn ng thng a ta cú: AM+MB = AM+MB AB v P A AM+MB = AB v ch M l giao im ca a v A B Ta thu c bi toỏn sau: Bài4 Trong khụng gian cho hai mt phng phõn bit (P) vA (Q) ct theo giao tuyn l ng thng a Gi A, B l hai im cho trc trờn cỏc mt phng (P), (Q) ( A, B khụng nm trờn a) Tỡm im M trờn a cho AM+MB nh nht M P Tip tc a ý tng vo bi toỏn ban u a Q B M B a A a B Gi (P) l mt phng cha ng thng a vuụng gúc vi mt phng to bi ng thng a v ng thng AB Gi B l im i xng ca im B qua mp(P) Khi ú vi mi im M trờn mp(P) ta cú: AM+MB = AM+MB AB v AM+MB = AB v ch M l giao im ca a v AB Ta thu c bi toỏn sau: Bài5 Trong khụng gian cho mt phng (P) v hai im A, B nm cựng phớa i vi m t phng (P) Tỡm v trớ ca M trờn (P) cho AM+MB nh nht III KT QU THC HIN Tụi ó gii thiu ni dung ca ti trờn cho mt s hc sinh khỏ gii tham kho v gii thiu cho hc sinh mt s bi toỏn cú th khai thỏc c nh hai bi toỏn ó nờu ti, ri yờu cu cỏc em phi tỡm tũi khai thỏc to nhng mi Kt qu cú th núi rt kh quan: khụng nhng cỏc em ó phõn loi c cỏc bi toỏn liờn quan vi thnh mt h thng bi m cũn tỡm thy nhng li gii khỏ c ỏo cho cỏc bi toỏn khú ng thi cỏc em ó bc u to nhng bi toỏn cho riờng mỡnh Cỏc em ó yờu thớch hn hc b mụn toỏn v t kt qu cao b mụn toỏn, kỡ thi HSG trng B KT LUN Nếu với học sinh thực tốt hoạt động tin ngày không xa em học sinh trở thành học sinh giỏi toán; trở thành giáo viên giỏi toán em khám phá toán, định lý mang tầm nhà toán học Chúc đồng nghiệp em học sinh thành công Xin chân thành cảm ơn !!! 10 ... bt ng thc: xyz ( y + z x)( z + x y )( x + y z ) (3) Bõy gi ta khai thỏc cỏc BT(1), BT(2); BT(3) to mt s bi toỏn A- Ta i khai thỏc BT(1) nh sau: **p dng BT(1) cho ba s dng: SinA, SinB, SinC... )( ) KHAI THC T MT BI TON HèNH HC Bài toán Cho hai im A, B nm cựng phớa i vi ng thng a cho trc Tỡm im M trờn ng thng a cho MA+MB nh nht (Bi toỏn 2-Bi c thờm: p dng phộp bin hỡnh gii toỏn, SGK. .. sinh khỏ gii tham kho v gii thiu cho hc sinh mt s bi toỏn cú th khai thỏc c nh hai bi toỏn ó nờu ti, ri yờu cu cỏc em phi tỡm tũi khai thỏc to nhng mi Kt qu cú th núi rt kh quan: khụng nhng