BaiGiang PTH

Sở giáo dục đào tạo gia lai Tr-ờng thpt chuyên hùng v-ơng huỳnh luân giảng chuyên đề ph-ơng trình hàm Pleiku, tháng 05 năm 2010 Mục Lục Ch-ơng Làm quen với ph-ơng trình hàm 1.1 Khái niệm mở đầu 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.3.1 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn cộng tính 1.3.2 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính 1.4 Hàm số đơn điệu 1.5 Hàm số liên tục Ch-ơng Một số ph-ơng trình hàm 2.1 Ph-ơng trình hàm với biến số độc lập 2.1.1 Ph-ơng trình hàm dạng f (p (x)) = q (x) 2.1.2 Ph-ơng trình hàm dạng f (ax + b) = cf (x) + d 2.1.3 Ph-ơng trình hàm dạng f ( (x)) = pf (x) + q, x D 13 2.1.4 Ph-ơng trình hàm dạng: af (f ( f (x))) + bf (f ( f (x))) + + cf (f (x)) + df (x) = h (x) 2.2 Ph-ơng trình hàm với hai biến số độc lập 16 19 2.2.1 Hàm số chuyển đổi phép tính số học 2.2.2 Hàm số chuyển đổi đại l-ợng trung bình 20 Ch-ơng Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình hàm 22 20 3.1 Ph-ơng pháp 22 3.2 L-u ý đến tính đơn ánh, toàn ánh, tập xác định, tập giá trị hàm 22 3.3 L-u ý đến tính đơn điệu hàm 22 3.4 L-u ý đến tính liên tục hàm 22 3.5 L-u ý đến tính khả vi hàm 22 3.6 L-u ý đến tính bị chặn hàm 22 Ch-ơng Ph-ơng trình hàm với đặc tr-ng hàm số l-ợng giác, l-ợng giác ng-ợc, hyperbolic 23 4.1 Các đặc tr-ng hàm số 23 4.2 Các kỷ thuật giải 23 Ch-ơng Ph-ơng trình đa ẩn hàm Ch-ơng Ph-ơng trình hàm tập đa thức Ch-ơng Ph-ơng trình hàm với hàm xác định tập rời rạc 24 25 26 7.1 Ph-ơng pháp sai phân 26 7.2 Ph-ơng pháp sử dụng hàm nhân tính tập số nguyên d-ơng 32 7.2.1 Ph-ơng pháp 32 7.2.2 Bài tập áp dụng 7.3 7.4 7.5 Ph-ơng pháp chứng minh quy nạp 32 35 35 7.3.1 Ph-ơng pháp 7.3.2 Bài tập áp dụng Ph-ơng pháp sử dụng nguyên lý thứ tự 35 41 41 7.4.1 Ph-ơng pháp 7.4.2 Bài tập áp dụng 41 Một số dạng ph-ơng trình hàm tập số tự nhiên tập số nguyên 43 7.5.1 Ph-ơng pháp chung 43 7.5.2 Một số dạng tập áp dụng Ch-ơng Một số dạng ph-ơng trình hàm không chuẩn mực 43 49 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Sử dụng ph-ơng pháp điểm bất động để giải ph-ơng trình hàm 49 8.1.1 Ph-ơng pháp 49 8.1.2 Bài tập áp dụng Sử dụng ph-ơng pháp để giải ph-ơng trình hàm 49 52 52 8.2.1 Ph-ơng pháp 8.2.2 Bài tập áp dụng Sử dụng tính liên tục hàm số để giải ph-ơng trình hàm 52 55 55 8.3.1 Ph-ơng pháp 8.3.2 Bài tập áp dụng Sử dụng lý thuyết giới hạn để giải ph-ơng trình hàm 55 59 59 8.4.1 Ph-ơng pháp 8.4.2 Bài tập áp dụng Sử dụng giá trị đối số giá trị hàm số 59 61 61 8.5.1 Ph-ơng pháp 8.5.2 Bài tập áp dụng Sử dụng tính chất đối xứng ph-ơng trình hàm 61 63 63 8.6.1 Ph-ơng pháp 8.6.2 Bài tập áp dụng Giải ph-ơng trình hàm lớp hàm đơn điệu 64 66 66 8.7.1 Ph-ơng pháp 8.7.2 Bài tập áp dụng Ch-ơng Hệ ph-ơng trình hàm 79 80 81 Ch-ơng 10 Bất ph-ơng trình hàm Ch-ơng 11 Bài tập tổng hợp 66 Ch-ơng làm quen với ph-ơng trình hàm 1.1 Khái niệm mở đầu Cho hai tập số khác rỗng X, Y Một hàm số xác định nhận giá trị Y qui tắc cho t-ơng ứng phần tử phần tử Y Định nghĩa X X 1.1.1 Bài toán 1.1.1 Cho hàm số Tính f (5) ; f (10) ; f (17) Bài toán 1.1.2 Tính f :RR thỏa Cho hàm số f : R R thỏa f x2 + = 2x, x f (1) = f (x + y) = f (x) + f (y) + (4xy 1) , x; y f (19) Bài toán 1.1.3 Cho hàm số f : N N thỏa f (1) = f (f (n)) = 4n + n n+1 f (2 ) = + 3, n N Tính f (1789) HD: 1789 = 4.445 + 9; 445 = 4.109 + 9; 109 = 4.25 + 9; 25 = 52 Tùy theo lĩnh vực toán học có liên quan đến ph-ơng trình hàm, ng-ời ta đ-a định nghĩa ph-ơng trình hàm Do đó, khó đ-a định nghĩa chung ph-ơng trình hàm Một cách t-ơng đối ta định nghĩa ph-ơng trình hàm nh- sau Ph-ơng trình hàm ph-ơng trình mà hai vế đ-ợc thành lập từ số hữu hạn hàm ch-a biết từ số hữu hạn hàm số biết biến độc lập Miền xác định ph-ơng trình hàm miền biến mà ph-ơng trình hàm có nghĩa a) Một nghiệm riêng ph-ơng trình hàm hàm số thoả mãn ph-ơng trình hàm miền xác định b) Nghiệm tổng quát ph-ơng trình hàm tập tất nghiệm riêng c) Giải ph-ơng trình hàm tìm nghiệm tổng quát ph-ơng trình hàm Định nghĩa 1.1.2 5 Tr-ớc hết ta cần thống hàm số nh- đ-ợc cho xác định? Một hàm số đ-ợc xem xác định rõ tập xác định a) Hoặc biết qui tắc tìm ảnh phần tử miền xác định b) Hoặc hàm số tuần hoàn với chu kỳ xác định 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Xét hàm số Định nghĩa 1.2.1 f(x) với tập xác định Hàm số D(f) R tập giá trị đ-ợc gọi hàm số chẵn f(x) R(f) R M, M D(f) x M = x M Định nghĩa 1.2.2 Hàm số f(x) Cho 1.2.1 f(x) = f(x), x M đ-ợc gọi hàm số lẻ x M = x D(f) Ví dụ và f(x) = f(x), x M Xác định tất hàm số x0 R M, M D(f) f(x) cho f(x0 x) = f(x), x R Giải Đặt Khi x= x0 x0 t t = x 2 x0 x = x0 +t ph-ơng trình trở thành f( x0 x0 + t) = f( t), t R 2 hay g (t) = g (t) , t R, với g(t) = f( x0 + t) Kết luận: Ví dụ 1.2.2 f(x) = g(x Cho x0 ), a, b R g(x) hàm chẵn tuỳ ý Xác định tất hàm số f(a x) + f(x) = b, x R Giải Đặt a x = t Khi x= a t ax= a + t f(x) R cho nên ta đ-ợc f( a a + t) + f( t) = b 2 hay g(t) = g(t), t R, với f( a b + t) = g(t) 2 Kết luận: 1.3 a b f(x) = g(x ) + , 2 g(x) hàm lẻ tuỳ ý R Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn cộng tính 1.3.1 Định nghĩa 1.3.1 cộng tính chu kỳ Hàm số a (a > 0) (xác định D) đ-ợc gọi hàm tuần hoàn M M D f(x) x M x + a M, x a M f(x + a) = f(x), x M Nếu tồn số d-ơng T nhỏ số chu kỳ sở hàm số f(x) Định nghĩa 1.3.2 Hàm số cộng tính chu kỳ b (b > 0) a T đ-ợc gọi (xác định D) đ-ợc gọi phản tuần hoàn M M D f(x) x M x + b M, x b M f(x + b) = f(x), x M Nếu tồn số d-ơng T nhỏ số chu kỳ sở hàm số f(x) b T đ-ợc gọi Cho cặp hàm f(x) g(x) tuần hoàn M có chu kỳ lần l-ợt a b với ab Q Chứng minh F (x) = f(x) + g(x) G(x) = f(x).g(x) hàm tuần hoàn M Ví dụ 1.3.1 Giải Theo giả thiết Đặt T = na = mb m, n N+ , (m, n) = Khi cho a m = b n F (x + T ) = f(x + na) + g(x + mb) = f(x) + g(x) = F (x), x M G(x + T ) = f(x + na).g(x + mb) = f(x).g(x) = G(x), x M Hơn nữa, ta có x M hàm tuần hoàn M 1.3.2 x + T M, x T M Vậy F (x) G(x) Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 1.3.3 Hàm số nhân tính chu kỳ f(x) (xác định D) đ-ợc gọi a (a / {1, 0, 1}) M M D hàm tuần hoàn x M ax M, a1 x M f(ax) = f(x), x M Định nghĩa 1.3.4 Hàm số f(x) (xác định D) đ-ợc gọi hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a / {1, 0, 1}) M M D x M ax M, a1 x M f(ax) = f(x), x M 1.4 Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1.4.1 Hàm số mà x < x2 f(x) f(x1 ) < f(x2 ) đ-ợc gọi tăng Hàm số f(x) đ-ợc gọi giảm f(x1 ) > f(x2 ) D D nh- với nh- với x1 , x2 D x1, x2 D mà x1 < x Hàm số tăng giảm tập đ-ợc gọi hàm số đơn điệu khoảng Tính chất 1.4.1 1) Mọi hàm đơn điệu khoảng đơn ánh khoảng 2) Nếu hàm f : D R; g : D R hai hàm tăng 3) Nếu hàm hàm tăng f : D R; g : D R hai hàm tăng không âm f +g hàm tăng 4) Nếu hàm f đơn điệu khoảng (a; b) ph-ơng trình nhiều nghiệm khoảng f(x).g(x) f(x) = m có 5) Nếu hàm tăng f : Df R Chú ý: *) Nếu hàm g : Dg R tăng Df Dg hàm số hợp g0 f f tăng hàm số hợp f(f(x)) (nếu đ-ợc xác định) f giảm hàm số hợp f(f(x)) (nếu đ-ợc xác định) tăng *) Nếu hàm giảm 1.5 Hàm số liên tục 1.5.1 Cho hàm số f(x) xác định khoảng liên tục x0 (a, b) xx lim f(x) = f(x0 ) Định nghĩa số f(x) (a, b) Ta nói hàm Hàm số f(x) đ-ợc gọi liên tục tập hợp cho tr-ớc liên tục điểm tập hợp X X hàm Ch-ơng Một số ph-ơng trình hàm 2.1 Ph-ơng trình hàm với biến số độc lập 2.1.1 Ph-ơng trình hàm dạng f (p (x)) = q (x) Ph-ơng pháp: Đặt Bài toán 1; f x + x 2.1.1 = x2 + t = p (x) , q (x) theo t + 2, x = x2 x2 + = x 2; f x + biểu diễn x2 + 1, x 3; f (cos x) = sin2 x + 2, x 2.1.2 Ph-ơng trình hàm dạng f (ax + b) = cf (x) + d Bài toán 2.1.2 f (x + b) = f (x) , x Đây hàm số tuần hoàn đ-ợc xem nh- xác định Bài toán 2.1.3 f (x + b) = f (x) + d, x H-ớng ta hệ số tự Vì hệ số f (x + b) f (x) giống nên d phân tích thành bậc đ-ợc, ta phân tích theo bậc Mong muốn: f (x + b) + (x + b) = f (x) + x = Bài toán 2.1.4 d b f (x + b) = cf (x) , x Để giải hệ số c f (x), tức làm cho hai hệ số ta nhờ đến hàm lũy thừa Mong muốn: x+b f (x + b) = x f (x) = c b L-u ý phải đảm bảo có nghĩa lũy thừa Bài toán 2.1.5 f (x + b) = cf (x) + d, x f (x + b) f (x) 10 Ta làm hệ số tự Vì hệ số f (x + b) thể phân tích thành bậc d Mong muốn: f (x + b) + = c [f (x) + ] = c1 Bài toán 2.1.6 f (ax) = f (x) , x f (x) khác nên d có T Ha > : Xét x > 0, đặt x = at f (at) = h1 (t) ta đ-ợc h1 (t + 1) = h1 (t) Xét x < 0, đặt x = at f (at ) = h2 (t) ta đ-ợc h2 (t + 1) = h2 (t) Tại x = 0, f (0) = tùy ý KL: h1 (loga x) , khix > k, khix = h2 (loga |x|) , khix < h1 (x) ; h2 (x) hàm f (x) = đó, thực tùy ý số tuần hoàn chu kỳ k số T Ha < : Ta có: f (ax) = f (x) , x f (ax) = f (x) , x f a2x = f (x) , x f (x) = f a2 x + f (ax) , x f a2 x = f (x) , x f (x) = [f (x) + f (ax)] , x f a2 x = f (x) , x f (x) = [g (x) + g (ax)] , x g (x) hàm tùy ý thỏa g a2 x = g (x) , x Hàm g (x) đ-ợc xác định theo tr-ờng hợp đầu Bài toán 2.1.7 f (ax) = f (x) + d, x Vì hai hệ số ph-ơng trình Bài toán 2.1.8 f (ax) = cf (x) , x ax = x có nghiệm nên ĐKC d = Để giải hệ số c ta phải dùng hàm lũy thừa không dùng hàm mũ đ-ợc lúc hai hệ số đối số x khác Mong muốn: (ax) f (ax) = xf (x) = loga c L-u ý có nghĩa biểu thức logarit Vấn đề d-ơng ta cần dùng giá trị tuyệt đối xong, tr-ờng hợp |a| = |c| = ta làm nhsau Bài toán 2.1.9 f (x) = bf (x) , x = b = f (x) = f ( (x)) = b2f (x) , x f (x) = 0, x 11 Bài toán 2.1.10 f (ax) = f (x) , x f (ax) = f (x) , x f a2x = f (x) , x f (x) = f a2 x f (ax) , x f a2 x = f (x) , x f (x) = [f (x) f (ax)] , x f a2 x = f (x) , x f (x) = [g (x) g (ax)] , x g (x) hàm tùy ý thỏa g a2x = g (x) , x xác định Bài toán 2.1.11 f (ax) + Bài toán d c1 f (ax) = cf (x) + d, x = c f (x) + 2.1.12 Hàm ta biết cách d c1 , x f (ax + b) = cf (x) + d b b Ta có: ax + b = x x = 1a Do x 1a = hai biểu thức ax + b x b có giá trị Hay hiểu cách khác, ta đặt t = x 1a t = hai biểu thức ax + b x (tính theo t) có giá trị, tức chúng có hệ số tự Ph-ơng trình trở thành: f Đặt g (t) = f t + b 1a at + b 1a = cf t+ b 1a + d, t ta đ-ợc: g (at) = cg (t) + d, t Một số dạng mở rộng cho phần Bài toán 2.1.13 f (x + a) f (x) = h (x) , x với h (x) hàm tuần hoàn chu kỳ a cho tr-ớc Ta chuẩn hóa cách làm cho VP không Vì h (x + a) = h (x) h (x) = 12 [h (x + a) + h (x)] không trùng dấu với VT nên ta nâng bậc Ta có: h (x) = 1 a.h (x) = [(x + a) x] h (x) a a 1 = (x + a) h (x) xh (x) a a 1 = (x + a) h (x + a) xh (x) a a 12 Do đó: f (x + a) f (x) = h (x) f (x + a) f (x) = f (x + a) 1 (x + a) h (x + a) xh (x) a a 1 (x + a) h (x + a) f (x) xh (x) = a a Bài toán 2.1.14 f (x + a) f (x) = h (x) , x với h (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ a cho tr-ớc Ta chuẩn hóa cách làm cho VP không Ta có h (x + a) = h (x) h (x) = [h (x + a) + h (x)] Bài toán 2.1.15 f (x + a) + bf (x) = h (x) , x với h(x) hàm tuần hoàn hay phản tuần hoàn chu kỳ Bài toán 2.1.16 f (x + a) f (x) = P (x) , x P (x) đa thức a cho tr-ớc Ph-ơng pháp làm t-ơng tự, ta biểu diễn P (x) = F (x + a) F (x) cách giả sử dạng đa thức F (x) có bậc cao bậc P (x) bậc, sau dùng ph-ơng pháp đồng thức để tìm hệ số F (x) Ta làm cho chu kỳ a nh- sau: f (at + a) f (at) = P (at) , t g (t + 1) g (t) = Q (t) , t g (t) = f (at) , t Một số ví dụ cụ thể: i)f (x + 1) f (x) = x, x HD : x = 1 2 (x + 1) (x + 1) x x 2 2 ii)f (x + 1) f (x) = x2 , x HD : x2 = 1 1 1 (x + 1) (x + 1) + (x + 1) x3 x2 + x 6 iii)f (x + 1) + 2f (x) = x, x HD : x = 1 1 (x + 1) +2 x 9 iv)f (x + 1) + 2f (x) = x2 + 2x 6, x Bài toán 2.1.17 f (x + 1) f (x) = 2x, x f (x + 1) f (x) = 2x, x f (x + 1) f (x) = 2.2x 2x = 21x 2x = 21x 21(x+1) , x f (x + 1) + 21(x+1) f (x) + 21x = 0, x 13 Chú ý i) (a 1) ax = ax+1 ax (a 1) ax = a1x ax = a1x a1(x+1) ii) Thật ta không cần khó khăn đến đâu Nếu có f (x + a) f (x) = h (x) ta thử tính h (x + a) h (x) xem Nếu h (x + a) h (x) = h (x) khả quan Các tập giải đến tr-ờng hợp VP hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn (l-ợng giác); đa thức hàm mũ Làm thử: f (x + 1) f (x) = 3x sin 2x Bài toán 2.1.18 f (x + a) = f (x) + f (x a) + b, x Đây sai phân bậc hai nên ta phải chuyển hai sai phân bậc B-ớc 1: Làm hệ số tự do, thu đ-ợc B-ớc 2: Chọn p q cho g (x + a) = g (x) + g (x a) , x g (x + a) = g (x) + g (x a) , x [g (x + a) + pg (x)] = q [g (x) + pg (x a)] , x Thật loại ph-ơng trình sai phân tuyến tính với hệ số số 2.1.3 Ph-ơng trình hàm dạng f ( (x)) = pf (x) + q, x D (x) = ax+b cx+d Ta xét làm loại dựa vào việc ph-ơng trình nghiệm phân biệt, hay vô nghiệm Bài toán Vì 2.1.19 (x) = (x) = x x = 1 x2 f (x) = x có nghiệm kép, hai : R R, f ( (x)) = 2f (x) 3, x = nên ta đặt t= f x1 1+ t1 = 2f 1+ t , t = 0; Đặt nh- ta nhận thấy t (x 1) (x) x có giới hạn tức chia có th-ơng (trong tr-ờng hợp 1) khác phần d- mà Bài toán 2.1.20 (x) = 3x 14 Vì (x) = x x = 1, x = t= nên ta đặt x1 f x2 2+ t 1 = 2f 2+ t1 , t = 0; 1; Đặt nh- ta nhận thấy t (x 2) (x) x có giới hạn tức chia có th-ơng (trong tr-ờng hợp 2) khác phần d- mà Còn t = (x = 1) (x) x phải hệ số t (ở 1/2) phần lại phải (ở phần tử mẫu) Bài toán 2.1.21 Ta nhận thấy (x) = (x) = x 2x5 x2 vô nghiệm Đối với loại ta đề cập đến TH đặc biệt dãy x1 = x xn+1 = (xn ) , n tuần hoàn Khi cách giải vòng quanh để lập hệ Ph-ơng pháp mở rộng cho pth dạng: a (x) f ( (x)) + b (x) f (x) + c (x) = với điều kiện tiên dãy Bài toán 2.1.22 f : R R, thỏa x1 = x xn+1 = (xn) , n tuần hoàn x2f (x) + f (1 x) = 2x x4 , x x2f (x) + f (1 x) = 2x x4 (1 x) f (1 x) + f (x) = (1 x) (1 x) x2 x f (x) = x2 x2 x Gs a, b hai nghiệm pt x2 x = Để xác định giá trị hàm dùng định lý Viete a, b Khi ta có: f (x) = x2 , x = a, b ta thay vào lập hệ để giải L-u ý x = a a2f (a) + f (b) = 2a a4 x = b b2f (b) + f (a) = 2b b4 Hệ có D = Dx = Dy nên nghiệm hệ nghiệm ph-ơng trình a2f (a) + f (b) = 2a a4 f (a) = , R f (b) = 2a a4 a2 15 Bài toán 2.1.23 i)2f (x) + 5xf (x) = 4x + 3, x ii)xf (x) + 2f x1 x+1 = 1, x = iii)f x3 x+1 +f iv)f (x) + f x1 x 3+x 1x = x, x = = + x, x = 0; Vấn đề nảy sinh hệ thu đ-ợc có vô số nghiệm sao? (D = 0) giải Ta dùng đẳng thức đơn giản Bài toán 2.1.24 (x) = 2x5 x2 f : R\ {2} R; f ( (x)) + f (x) = 3, x = Ta chuẩn hóa f ( (x)) + f (x) = 3, x = f ( (x)) 3 + f (x) = 0, x = 2 Trong TH ta dùng đẳng thức đơn giản là: a+b = 0a= f (x) = 2 f (x) f (x) hàm tùy ý Bài toán 2.1.25 [a b] f ( (x)) = [f (x) f ( (x))] = [g (x) g ( (x))] , 2 g (x) (x) = 2x5 x2 f : R\ {2} R; f ( (x)) f (x) = h (x) , x = Thay x bỡi (x) ta suy điều kiện cần h ( (x)) = h (x) Nếu thỏa đ-ợc điều kiện h (x) đ-ợc phân tích: h (x) = [h (x) h ( (x))] f ( (x)) f (x) = h (x) , x = f ( (x)) f (x) = [h (x) h ( (x))] , x = 2 1 f ( (x)) + h ( (x)) = f (x) + h (x) , x = 2 g ( (x)) = g (x) , x = g (x) = f (x) + 12 h (x) , x = [g (x) + g ( (x))] , x = 2 g (x) = [k (x) + k ( (x))] , x = 2 g (x) = với k (x) hàm tùy ý 16 Bài toán 2.1.26 (x) = x+1 ; f : R\ {1; 0} R; f ( ( (x))) + f ( (x)) + f (x) = 3, x = 1; Do dãy t-ơng ứng tuần hoàn chu kỳ nên phải pth nh- thuộc loại ta nói (tức loại mà hệ thu đ-ợc có D = 0) Loại ta dùng đẳng thức sau: a+b+c =0 a= (2a b c) Ta phải đ-a lên đủ ba thành phần nh- xuất đủ chu kỳ dãy Bài toán 2.1.27 (x) = x+1 ; f : R\ {1; 0} R; f ( ( (x))) + f ( (x)) + f (x) = h (x) , x = 1; Điều kiện cần h ( ( (x))) = h ( (x)) = h (x) Và hàm h (x) thỏa điều kiện ta phân tích h (x) = [h (x) + h ( (x)) + h ( ( (x)))] ta lại chuẩn hóa đ-ợc 2.1.4 Ph-ơng trình hàm dạng: af (f ( f (x))) + bf (f ( f (x))) + + cf (f (x)) + df (x) = h (x) PP: Xét dãy x0 = x xn+1 = f (xn ) , n Trong ph-ơng trình ban đầu ta chọn x = xn ta thu đ-ợc dãy: axn+k + bxn+k1 + + cxn+2 + dxn+1 = h (xn ) Dùng ph-ơng pháp vi phân ta tìm số hạng tổng quát dãy L-u ý kiện đặc biệt để xác định hệ số Bài toán 2.1.28 f : (0; +) (0; +) f (f (x)) + f (x) = 1999.2000x, x > Với x>0 cố định, xét dãy: Khi ta có: x0 = x xn+1 = f (xn) , n xn+2 + xn+1 = 1999.2000xn, n xn > 0, n 17 Ta có ph-ơng trình đặc tr-ng: n t2 + t = 1999.2000 t = 1999 t = 2000 n Suy ra, xn = C1(1999) + C2(2000) Vì xn > 0, n C2 = Cho đó, xn = 1999nx Vậy f (x) = x1 = 1999x Bài toán 2.1.29 f : R+ R+ f (f (x)) + f (x) = 6x Bài toán 2.1.30 f : R+ R+ f (f (x)) + f (x) = 12x n = C1 = x Do Trong nhiều tr-ờng hợp ta không đủ giả thiết để suy hệ số ph-ơng pháp xem cách mò nghiệm để định h-ớng cho cách giải Luyện tập Bài toán 2.1.31 f f :RR x2 + x + x +f x2 x + x = x2 + + , x = x2 Đại l-ợng chung biểu thức: x+ =t x f (t + 1) + f (t 1) = t2 + Làm vế phải: (t + 1)2 + (t 1)2 f x2 + + x f x2 + x = x, x t2 + = Bài toán 2.1.32 x2 + + x x2 + x = x2 + + x x2 + x x = L-u ý: Bài toán 2.1.33 Khi thay x bỡi Chuẩn hóa: f (x) + f (x) + f x; x1 ; x1 x + f x1 = q (x) ta đ-ợc điều kiện cần: q (x) = q (x) + q (x) + q Dẫn đến g (x) + g (x) + g x x q (x) = q (x) = q +q +g x x =0 với g (x) = f (x) 14 q (x) Đặt h (x) = g (x) + g (x) ta đ-ợc h (x) + h = h (x) = h (x) h x h (x) = h (x) h (x) = h (x) x x = q 1x 18 h (x) = với (x) (x) x hàm chẵn tùy ý Bài toán 2.1.34 x f (x) f (x) + f Thành lập hệ .f 1x = h (x) f (x) f (x) + f x f (x) f (x) + f f x f x x = h (x) = h (x) f (x) f (x) = [h (x) h (x)] 1 f = [h (x) + h (x)] f x x f (x) f (x) = [h (x) h (x)] 1 h +h f (x) f (x) = x x Bài toán 2.1.35 f (x) f x =1 Dùng đẳng thức A.B = A = A B Ta đ-ợc f (x) f (x) = f x1 f (x) = với q (x) hàm tùy ý thỏa Bài toán Thay x 2.1.36 bỡi x f (x) f x q (x) q x q (x) q x1 > 0, x = = h (x) ta thu đ-ợc điều kiện cần: h (x) = h x h (x) = h (x) h Do ph-ơng trình trở thành f (x) f x = h (x) h x Chuẩn hóa ta đ-ợc: f (x) f x1 =1 h (x) h x1 Bài toán 2.1.37 f (x) f x + f (x) f x1 = h (x) x 19 Thay x bỡi ta nhận đ-ợc điều kiện cần: x; x1 ; x1 x h (x) = h (x) = h =h x Do đó: h (x) = x h (x) h h (x) h + x Đặt x g (x) = f (x) f Ta đ-ợc: q (x) hàm tùy ý thỏa x = 2.2 t+1 t Việc tìm q (x) biết thỏa f (x) , x = x2 t = 1; Ta tính f t+1 C1 : f = f 1+ t t C2 : f x h (x) h [q (x) q (x)] , = q (x) x q 2.1.38 f : R R, i)f (x) = f (x) , x ii)f (x + 1) = f (x) + 1, x Bài toán iii)f g (x) + g (x) = g (x) = [g (x) g (x)] 1 = g (x) g = g (x) g x x g (x) = với f = t t+1 t t+1 t+1 t theo hai cách = 1+f f = t t+1 t t+1 = 1+ f (t) t2 1f = t t+1 t+1 f (t+1) (t+1)2 t t+1 = 1+f (t) (t+1)2 t t+1 = Ph-ơng trình hàm với hai biến số độc lập *) Hàm số liên tục biến tập liên thông thành tập liên thông *) Việc chuyển đổi thứ tự lấy giới hạn hàm số liên tục thực đ-ợc Về tập hợp số thực R Tính trù mật: Tập số hữu tỷ tập mật tập số thực Cận trên, cận d-ới m 2n : m Z; n N hai tập số trù 20 2.2.1 Hàm số chuyển đổi phép tính số học 2.2.2 Hàm số chuyển đổi đại l-ợng trung bình Luyện tập Bài toán 2.2.1 f :RR liên tục f (ax + by) = af (x) + bf (y) , x, y x = y = (a + b 1) f (0) = T H : a + b = f (0) = f (ax) = af (x) ; f (by) = bf (y) f (ax + by) = f (ax) + f (by) , x, y f (x + y) = f (x) + f (y) , x, y T H : a + b = f (0) = c Đặt g (x) = f (x) f (0) Bài toán 2.2.2 f :RR Bài toán 2.2.3 f : R+ R+ , 2.2.4 x +y x + y = [f (x)] +[f (y)] 2.2.5 f : R+ R+ , Bài toán 2.2.6 f : R R, N X : (x y) = 2x2 + 2y2 f ( xy) xy = Bài toán 2.2.7 f(x) f(y) x + y 2.2.8 a b f xa yb = [f (x)] [f (y)] , x, y > b liên tục f : R+ R+ , Bài toán Bài toán liên tục g (u) = f (eu ) g (au + bv) = [g (u)] [g (v)] , u, v f f f (ax + by) = af (x) bf (y) , x, y a Đặt x = eu , y = ev , logrit hóa Bài toán liên tục Đặt liên tục f : R+ R+ , f , x, y > g (x) = [f (x)] liên tục x+y 2 [f (x)] + [f (y)] = x+y f x+y +4 liên tục xy = f = x+y 2 f (x)+f (y) = xyf [f (x)] +[f (y)] , x, y > + (x y)2 , x, y f (x)+4x2 +f (y)+4y 2 xy = yf (x)+xf (y) , x, y >0 , x, y > Tìm hàm liên tục thỏa f : R R, thỏa f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy, x, y f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy, x, y f (x + y) (x + y) = f (x) x2 + f (y) y2 , x, y g (x + y) = g (x) + g (y) , g (x) = f (x) x2 21 Bài toán 2.2.9 Tìm hàm liên tục thỏa f : R R, thỏa (x y) f (x + y) = xf (x) yf (y) , x, y (x y) f (x + y) = xf (x) yf (y) , x, y xf (x) = yf (y) + (x y) f (x + y) , x, y xf (x) = (x + y) f (x + y) yf (2x + y) , x, y yf (y) + (x y) f (x + y) = (x + y) f (x + y) yf (2x + y) , x, y 2yf (x + y) = y [f (y) + f (2x + y)] , x, y f (y) + f (2x + y) , x, y = ý: y + (2x + y) = (x + y) u=y=0 f (u)+f (v) f u+v = , u = 0, v 2 v = 2x + y f (x + y) = L-u Đặt: Bài toán Đặt: 2.2.10 Tìm hàm liên tục f : R+ R, f f (xy) = f (x) f (y) , x, y > f (1) = a f (x) = af (xy) , x, y > f (xy) f (xy) f (x) f (y) af (xy) = f (x) f (y) , x, y > = , x, y > a a a )y = f = af (x) , x > f ... dãy x1 = x xn+1 = (xn ) , n tuần hoàn Khi cách giải vòng quanh để lập hệ Ph-ơng pháp mở rộng cho pth dạng: a (x) f ( (x)) + b (x) f (x) + c (x) = với điều kiện tiên dãy Bài toán 2.1.22 f : R ... {1; 0} R; f ( ( (x))) + f ( (x)) + f (x) = 3, x = 1; Do dãy t-ơng ứng tuần hoàn chu kỳ nên phải pth nh- thuộc loại ta nói (tức loại mà hệ thu đ-ợc có D = 0) Loại ta dùng đẳng thức sau: a+b+c =0