Mot so bai toan ve day so

Chương Giới hạn liên tục 14/ Hàm số liên tục: 12 Phân loại điểm gián đoạn: 13 1/ hàm số y = acrsinx 15 5/ hàm số 16 8/ 18 */ Prove: .21 */ Prove that: số vô tỉ: 21 3/ 36 Cho dãy chứng minh: .21 4/ 36 chứng minh: a/ 22 b/ chứng minh: 22 5/ 37 Cho dãy .22 Hãy sai sót lập luận sau: 22 .22 */ Cho dãy hội tụ a ≤ M Cm: a ≤ M 22 * Cho f(x), g(x) liên tục đoạn [a, b], f(x) ≤ g(x)  x  (a, b) Cm: f(a) ≤ g(a) 22 6/ 37 Cho dãy định nghĩa qui nạp sau: .23 a/ chứng minh dãy tăng bị chặn b/ Tính 23 8/ 38 Cho dãy hội tụ, dãy phân kì  dãψ hội tụ, phân kì .23 9/ 38 Cho dãy số dương Giả sử .23 .24 .25 .25 .26 .27 .28 22/42 Xét tính liên tục hàm: 28 23/ 42 Xét tính liên tục hàm: .28 Phần tập tự giải: 29 .29 .29 .30 .30 .31 .32 .33 31/ Tìm để khử dạng vô định ta thực phép đổi biến 33 .34 .35 .36 .37 as long as exists and is nonzero 37 .37 Cấp số cộng .38 1/ Cách đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số: Xét x = 2,333 = 2,3 ⇒ x − = 0,3 ⇒ 10 ( x − ) = 3,3 21 = Xét : y = 0,34545 = 0,345 ⇒ 10y = 3, 45 ⇒ 10y − = 0, 45 ⇒ 100(10y − 3) = 45, 45 ⇒ 10x = 20 + 3,3 = 23 + 0,3 = 23 + x − = 21 + x ⇒ 9x = 21 ⇒ x = ⇒ 1000y = 300 + 45, 45 = 345 + 0, 45 = 345 + 10y − = 342 + 10y 342 ⇒ 990y = 342 ⇒ y = 990 Cách : x = 2,333 = 2,3 = + 3 + + 10 102 10n n  1   −1  ÷ 10  −1 ÷ 10 = 2+   = 2+  = 2+ = ÷ 10 10  − ÷ 10 −1 10  10  n    ÷ −1 45 45 45 45 45  102  y = 0,34545 = 0,345 = 0,3 + + + + = 0,3 + 2n +1 10 10 10 10 10 −1 102   45  −1 ÷ 45 102 45 342 ÷ = 0,3 + = 0,3 +  = + =  99 ÷ 99 10 990 990 10 10 − ÷  10  qn − Sn = u1 q −1 Sn tổng n số hạng đầu cấp số nhân n n n −1 i =1 i =1 i =1 Sn = ∑ u i ⇒ q.Sn = ∑ q.u i = Chứng minh: ∑ ui+1 + u n q ( u n +1 = q.u n ) ⇒ q.Sn − Sn qn − = u n q − u1 = u1.q q − u1 hay ( q − 1) Sn = u1 q − ⇔ Sn = u1 q −1 2/ Nguyên lí Supremum: định nghĩa 1.3.a: Số u gọi cận tập số thực S, x ≤ u, ∀x ∈ S Số u* gọi cận (or cận nhỏ nhất) ( n −1 ) ( n ) S u* cận S u* ≤ u với cận u S ( u* gọi giới hạn dãy số thực S) Kí hiệu: u* = supS, or u* = sup x x ∈ S định nghĩa 1.3.b: Số v gọi cận tập số thực S, x ≥ v, ∀x ∈ S Số v* gọi cận (or cận nhỏ nhất) S v* cận S v* ≥ v với cận v S ( v* gọi giới hạn dãy số thực S) Kí hiệu: v* = inf S, or v* = inf x x ∈ S 1  VD: Cho tập: A = ( 1, ) ; B = ( 3, ∞ ) ; C =  : n ∈ N  Ta có: n  Inf A = 1; sup A = 5; Inf B = 3; không tồn sup B (trong trường hợp ta quy ước sup B = +∞ ) Inf C = 0; sup C = 3/ Định nghĩa giới hạn: lim x n = a ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ( ε ) ∈ N cho x n − a < ε ∀ n ≥ N ( ε ) n →∞ (đọc dãy x n tiến đến a nên tồn số N cho với n > N |xn – a| số vô bé) Vì ∀ ε > nên ta chọn ε ∈ (0, 1) cho ε → 0+ Vì ∀ n ≥ N(ε) nên ta chọn n → +∞ (n số vô lớn) ⇒ n > N(ε) ∀ N(ε) cho trước Vậy ta có định nghĩa đặc biệt hóa giới hạn dãy +∞: lim x n = a ⇔ x n − a = ε n →∞ Với ε vô bé tiến đến Qui tắc cộng, trừ, nhân, chia giới hạn: Cho x n → a ⇒ x n = a + ε, y n → b ⇒ y n = b + ε n → ∞ với ε số vô bé → n → + ∞ C.x n = C.a + C.ε ⇒ C.x n → C.a với C số C.ε số vô bé → x n + y n = a + b + 2ε ⇒ x n + y n → a + b n → ∞ x n y n = ( a + ε ) ( b + ε ) = ab + ε ( a + b ) + ε ⇒ x n y n → ab n → ∞ because ε ( a + b ) va ε so vo bé → Vì : y n → b ⇒ y n = b + ε ⇒ y n = b + ε > ⇒ b ⇒ < yn b y − b yn − b 1 2ε 1 1 − = n ≤ = →0⇒ → ⇒ = + ε n → ∞ 2 yn b yn b y b y b n n b b xn 1 1  a  = ( a + ε )  + ε ÷ = + ε  a + ÷+ ε ⇒ yn b b  b  xn a → n → ∞ yn b 4/ Dãy con: Cho dãy x1, x , x , x n Nếu từ ta trích số: x n1 , x n , x n k cho n1 < n < < n k dãy x n k ( k = 1, 2, ) gọi dãy dãy x n Định lí: Nếu dãy x n có giới hạn a dãy có giới hạn a Chứng minh: cho x n → a x n k dãy Với ∀ε > ( ε số vô bé), x n → a ⇒ ∃N : ∀n > N x n − a < ε (định nghĩa giới hạn) (đọc dãy x n tiến đến a nên tồn số N cho với n > N x n − a số vô bé) Đối với dãy x n k , lấy số n M > N ⇒ x n k − a < ε ∀k > M ⇔ x n k → a Hệ quả: 1/ Nếu tồn dãy x n k (của dãy x n ) không tiến tới a x n không tiến tới a 2/ Nếu tồn dãy (của dãy x n ) tiến tới giới hạn khác dãy x n giới hạn VD1: Cho x n = + ( −1) n Khi dãy con: 2n x 2n = + ( −1) = → x 2n +1 = + ( −1) Vậy dãy x n giới hạn VD2: Cm: lim sin x ko tồn 2n +1 =4→4 x →∞ sin ( x n1 ) = Giải: ta lấy dãy x n1 = nπ ⇒ nlim →∞ π π ⇒ lim sin ( x n2 ) = 1, x n3 = ( 2n + 1) π + ⇒ lim sin ( x n2 ) = −1 2 n →∞ n →∞ sin x ko tồn Vậy xlim →∞ x n2 = 2nπ + 5/ Dãy đơn điệu: định nghĩa: Dãy x n gọi dãy tăng x n ≤ x n +1 ∀n ∈ N Dãy x n gọi dãy giảm x n ≥ x n +1 ∀n ∈ N Dãy tăng dãy giảm gọi chung dãy đơn điệu Định lí: Dãy tăng bị chặn có giới hạn Dãy giảm bị chặn có giới hạn Chứng minh: Giả sử dãy x n tăng bị chặn Xét tập S = { x1 , x , x , } gồm tất phần tử dãy Vậy tập S khác rỗng bị chặn trên, nên có S có cận u* theo nguyên lí Supremum Ta chứng minh x n → u* : ∀ε > 0, ∃ x m ∈ S : u* − ε < x m < u* + ε Khi ay, tu tính tang cua day, ta có : ∀n > m ⇒ x n ≥ x m so u* − ε < x m ≤ x n < u* + ε ⇔ x n − u* < ε ⇒ x n → u* 5n VD: Tính (calculate): lim Giải: n → ∞ n! Put x n = 5n 5n +1 5n 5x ⇒ x n +1 = = = n n! ( n + 1) ! n! n + n + < ⇒ x n +1 < x n n +1 ⇒ dãy x n giảm Mặt khác dãy bị chặn (> 0), nên có giới hạn, ta kí hiệu giới hạn a 5x n 5n xn = cho n → ∞ ⇒ a = 0.a ⇒ a = Vay lim =0 n +1 n → ∞ n! 6/ Để chứng minh hàm f(x) không tiến tới a x → x ta xây dựng dãy x n with n > ⇒ ( ) ' x n ' tiến tới x o cho f ( x n ) → b, f x n → c số b c phải khác a 1 VD: chứng minh không tồn tại: lim sin  ÷ Giải: lấy x→ x 1 xn = , xn' = x n , x n ' → n → ∞ π Khi ta có 2nπ 2nπ + ( ) f ( x n ) = 0; f x n' = → Vậy x → f(x) giới hạn Định lí: (1) dãy số { x n } hội tụ giới hạn (2) dãy số { x n } hội tụ giới nội, tức tồn khoảng (b, c) chứa phần tử xn Cm: (1) giả sử lim x n = a, lim x n = b Khi tồn n1 ∈ N* va n ∈ N* (tập số n →∞ n →∞ tự nhiên N bỏ số 0) cho: ε ε n ≥ n1 ⇒ x n − a < n ≥ n ⇒ x n − b < (ε vô bé, ε → 0) 2 ε ε Dat n o = max ( n1, n ) Voi n ≥ n o ⇒ a − b ≤ a − x n + x n − b < + = ε 2 Vì ε → ⇒ a − b = ⇒ a = b (2) giả sử lim x n = a Khi tồn n ∈ N* cho n →∞ o n ≥ n o ⇒ x n − a < ε ⇒ a − ε < x n < a + ε Gọi b số bé nhất, c số lớn { } tập hữu hạn a − ε, x1, , x n o −1,a + ε ⇒ b ≤ x n ≤ c 7/ Định lí so sánh: (1) cho dãy số { x n } va { y n } If x n ≥ y n ∀n, lim x n = a, lim y n = b ⇒ a ≥ b n →∞ ( ) cho day so : { x n } , { y n } n →∞ va { z n } If x n ≤ y n ≤ z n ∀n, lim x n = lim z n = a ⇒ lim y n = a n →∞ n →∞ n →∞ Cm: (1) ta cm phản chứng Giả sử a < b Khi tồn số r cho a < r < b Vì  x n → a, a < r ⇒ x n < r ⇒ x n < r < y n Dieu mau thuan voi gia thiet x n ≥ y n  y → b, b > r ⇒ y > r  n n x n → a ⇔ x n − a < ε ⇔ a − ε < x n < a + ε ⇒ a − ε < x n ≤ yn ≤ zn < a + ε z n → a ⇔ z n − a < ε ⇔ a − ε < z n < a + ε ( ) Vi :  ⇒ yn − a < ε ⇔ yn → a 8/ Định lí Cantor: cho dãy số { a n } , { bn } cho ∀n ∈ N,a n ≤ b n , [ a n +1, b n +1 ] ⊂ [ a n , b n ]  ⇒ ton tai c ∈ [ a n , b n ] ∀n  lim ( b − a ) = n n n →∞ Cm: chọn số nguyên dương n cố định Ta có a1 ≤ a1 ≤ ≤ a k ≤ ≤ b n Dãy { a k } tăng bị chặn nên hội tụ Gia su c = lim a k Vi a k ≤ b n ∀k ⇒ c ≤ b n Vi c = sup { a k } ⇒ a n ≤ c k →∞ Vay a n ≤ c ≤ b n ∀n ⇒ c ∈ [ a n , b n ] ∀n Điểm c nhất, d điểm chung đoạn [ a n , b n ] ta có: a n ≤ d ≤ b n ⇒ − b n ≤ −d ≤ − a n , a n ≤ c ≤ b n ⇒ a n − b n ≤ c − d ≤ b n − a n ⇔ c − d ≤ b n − a n ∀n Nhung lim ( b n − a n ) = ⇒ c = d n →∞ Định nghĩa: dãy đoạn { [ a n , bn ] } thỏa mãn điều kiện [ a n +1, b n +1 ] ⊂ [ a n , bn ] gọi dãy đoạn bao 9/ Định lí Bolzano – Weierstrass: từ dãy số giới nội ta trích dãy hội tụ Cm: ta dùng phuong pháp chia đôi Dãy { x n } giới nội nên tồn số ao, bo cho a + bo a o ≤ x n ≤ bo ∀n Điểm o chia đoạn [ a o , bo ] thành đoạn a o + bo   a o + b o a o + bo      a o ,  ,  , bo  Ta chọn đoạn  a o ,  đặt       a + bo a1 = a o , b1 = o b − ao Ta có [ a1, b1 ] ⊂ [ a o , bo ] va b1 − a1 = o Lại chia đoạn [ a1 , b1 ] làm điểm a1 + b1 a +b  a1 + b1  Ta chọn đoạn  a1, đặt a = a1 , b = 1   2  b −a Ta có [ a , b ] ⊂ [ a1, b1 ] va b − a = 1 , tiếp tục ta dãy đoạn thẳng bao nhau: [ a o , bo ] ⊃ [ a1, b1 ] ⊃ [ a , b ] ⊃ [ a k , b k ] bo − a o = Theo định lí Cantor, tồn số thực k →∞ k →∞ 2k c ∈ [ a k , b k ] Vì đoạn [ a k , b k ] chứa vô số phần tử dãy { x n } , ta lim ( b k − a k ) = lim { lấy đoạn [ a k , b k ] điểm x n k dãy { x n } Dãy x n k dãy { x n } Vì số x n k c thuộc đoạn [ a k , b k ] } dãy ⇒ a k ≤ x n k ≤ b k , a k ≤ c ≤ b k ⇒ − b k ≤ −c ≤ −a k ⇒ a k − b k ≤ x n k − c ≤ b k − a k b − ao b − ao ⇔ x n k − c ≤ bk − a k = o ⇒ lim x n k − c = lim o = ⇒ lim x n k = c k →∞ k →∞ 2k k →∞ 2k 10/ Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: Định nghĩa: dãy số { x n } gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) x m − x m < ε ∀m, n Định lí 1: dãy Cauchy dãy giới nội Cm: giả sử { x n } dãy Cauchy Khi tồn n o ∈ N* (tập số tự nhiên N bỏ số 0) cho m ≥ n o , n ≥ n o , ta co x m − x n < ε, x n − x n o < ε Nhung x n − x n o > x n − x n o ⇒ x n < x n o + ε { Dat B = max x1 , x , x n o − , x n o + } { A = x1 , x , x n o − , x n o + ⇒ A ≤ xn ≤ B Định lí: điều kiện để dãy số thực { x n } hội tụ dãy Cauchy ε Cm: giả sử dãy { x n } hội tụ, lim x n = a ⇒ x n − a < Khi n →∞ ε ε x m − x n ≤ x m − a + a − x n < + = ε Vậy { x n } dãy Cauchy 2 Đảo lại: giả sử { x n } dãy Cauchy, theo định lí dãy giới nội, theo định lí { } Bolzano – Weierstrass, ta trích dãy hội tụ x n k Giả sử lim x n k = a , k →∞ ta có : x n − a ≤ x n − x n k + x n k − a Vì x n k → a ε ⇒ x n k − a < { x n } day Cauchy ε ε ε ⇒ xn − x nk < ⇒ xn − a ≤ x n − x nk + x nk − a < + = ε 2 ⇒ lim x n = a n →∞ } 11/ Giới hạn lim u ( x ) v( x ) , dạng vô định 1∞ x  1 lim 1 + ÷ ⇒ lim ( + x ) x x→ ± ∞  x→ x 1  = e  dat y = ÷ x  x2  x −1  Find lim  ÷ ÷ x→ ∞  x −2 x2  x2 −  Ta có :  ÷  x2 − ÷   lim ( cos x ) sin x x→ 12/ Vô bé: 3x x2 −2  x2 −2     = 1 +  ÷  x −       = lim  ( + cos x − 1) x→   → e3 cos x −1  sin x cos x −1 ÷ ÷ ÷  ( x → ∞) → e0 = lim α ( x ) = (ở Định nghĩa: hàm số α(x) gọi vô bé x → x o x → xo x o ±∞) lim f ( x ) = a ⇔ f ( x ) = a + α ( x ) α(x) vô bé x → x o x→ xo So sánh vô bé: Cho α(x), β(x) vô bé x → x o Chúng gọi α( x) = c đó, nếu: vô bé so sánh tồn giới hạn: lim x→ xo β ( x ) a/ c ≠ 0, c ≠ ∞ ta nói α(x), β(x) vô bé cấp b/ c = 0, ta nói α(x) vô bé cấp cao β(x), kí hiệu: α ( x ) = o ( β ( x ) ) (khi x → x o ) (đọc o – micro β(x)) r c/ Tồn r > cho α(x) cấp với β ( x )  ta nói α(x) vô bé cấp r β(x) 1 1 VD1: α ( x ) = x.sin  ÷ vcb x → , x vô bé sin  ÷ bị chặn x x ( sin ( x / ) )  sin ( x / )  VD2 : lim = lim = lim  = ÷ x→ x2 x→ x→  x /  x2 / ( cosax − 1) + ( − cos bx ) cos ax − cos bx VD3 : lim = lim x →0 x →0 x2 x2 − cos x − cosax ) − cos bx ) b2 − a ( ( = − lim a + lim b = x →0 ( ax ) x →0 ( bx ) ( − cos x ) cos ax + − cos ax − cos x.cos ax = lim − cos x − cos x x →0 x →0 2   − cos ax  − cos ax a x a  ÷ = + = lim  cos ax + ÷ = lim  cos ax + − cos x  x →0  x →0  ( ax ) − cos x ÷  1 VD5 : = o  ÷ ( x → ∞) x x2 Vô bé tương đương giới hạn: Định nghĩa: Cho α(x), β(x) vô bé x → x o Chúng gọi vô α( x) =1 bé tương đương : lim x→ xo β ( x ) Khi ta viết: α ( x ) : β ( x ) ( x → x o ) Các tính chất vô bé tương đương (khi x → x o ): VD4 : lim a / α ( x) : β( x) ⇔ α ( x) − β( x ) = o ( α ( x ) ) ⇔ α ( x) − β( x) = o ( β( x ) )  β( x)  = lim 1 − ÷= − = α( x) α( x) ÷ x→ xo x→ xo   b / α1 ( x ) : β1 ( x ) , α ( x ) : β2 ( x ) ⇒ α1 ( x ) α ( x ) : β1 ( x ) β2 ( x ) c / Cho β ( x ) = o ( α ( x ) ) ⇒ α ( x ) + β ( x ) : α ( x ) Rut tu lim Cm : lim α( x) − β( x) α( x) + β( x) x→ xo α( x) = + lim β( x) x→ xo α ( x )   β( x) = β ( x ) = o ( α ( x ) ) ÷  lim ÷  x→ xo α ( x )  d / α ( x ) : α1 ( x ) , β ( x ) : β1 ( x ) ⇒ lim = lim α1 ( x ) →1 α( x) x→ xo β ( x ) x → x o β1 ( x ) α ( x ) β1 ( x ) α1 ( x ) x → x o α1 ( x ) β ( x ) β1 ( x ) = lim e/ Quy tắc ngắt bỏ vô bé cấp cao (số nhỏ hơn): Cho α1 ( x ) = o ( α ( x ) ) ⇒ α ( x ) = α1 ( x ) + α ( x ) : α1 ( x ) α1 ( x ) vô bé cấp cao α ( x ) β1 ( x ) = o ( β2 ( x ) ) ⇒ β ( x ) = β1 ( x ) + β2 ( x ) : β1 ( x ) α( x) α ( x ) + α2 ( x ) α ( x) ⇒ lim = lim = lim x→ xo β ( x ) x → x o β1 ( x ) + β2 ( x ) x → x o β1 ( x ) α( x) giới hạn tỉ số lim x→ xo β ( x ) giới hạn tỉ số vô bé cấp thấp tử mẫu Khi x → : a / sin x : x b / tgx : x arcsin x arcsin x c / arcsin x : x Cm : lim = lim =1 x x→ x → sin ( arcsin x ) d / ln ( + x ) : x Cm : lim ln ( + x ) x x→   log a ( + x ) x lim = lim  log a ( + x ) x x →0 x →0   = lim ln ( + x ) x→ x → ln e =  ÷ ÷ = log a e ÷  e / e x − : x Put e x − = y ⇒ x = ln ( + y ) ex − y ⇒ lim = lim =1 x→ x y → ln ( + y ) ax −1 lim = ln a ⇒ a x − : x.ln a x →0 x Proof: Put b = a x − ⇒ x = log a ( + b ) , when x → then b → ax − b ⇒ lim = lim = = ln a, loga e x →0 x b →0 loga ( + b ) If take x = so lim n n a − = ln a n n →∞ ( ) 10  1 1   sin  ÷ ≤ lim = ∞ ⇒ lim  sin  ÷÷ dont exist x→ x n x→0  xn  x  x→ x n  x   1   Because : lim x n sin  ÷ ≤ lim x n = ⇒ lim  x n sin  ÷÷ = x→ x→   x  x→  x  Because : lim + 2x − 12 / 39 lim 3x −2 x→8 Solution: = 12 + 2x − 0  in form ÷  0 x→8 x −  Nhân chia với lượng liên hiệp tử mẫu ta được:  x + 23 x +   x + x +  ÷  ÷ 12 2x − 16 )  + 2x − (   → = = x → 3x −2 x −8 + 2x + + 2x + 12 / 39 Tính lim 13/40 lim n a + bx − a n x x→ = b n.a n −1 Solution: 13/40 Calculate: lim n a + bx − a n x x→ 0   in form ÷ 0  tn − an x→0⇒t→a b n a + bx − a b ( t − a ) ⇒ lim = lim x x→ t→ a t n − a n b ( t − a ) b = lim = t → a ( t − a ) t n −1 + t n − a + + a n −1 n.a n −1 n Put a n + bx = t ⇒ x = ) ( with a = ⇒ lim x→ n + bx − x = b bx ⇒ n + bx − : n n 25 14/40 lim m + ax.n + bx − x x→ 15/40 = a b + m n lim  x + 3x − x − 2x ÷ =  x→ ∞  15/40 lim tgx − sin x x→ x =e Solution: 14/40 lim x→ = lim x ( ) + lim n + bx − = a + b n + bx m + ax − x x→ 15/40 m + ax.n + bx − x x→0 lim  x + 3x − x − 2x ÷  x→ ∞  m n ( in form ∞ − ∞ )   = lim   x + 3x − x ÷+  x − x − 2x ÷÷    x→ ∞   = lim x→ ∞ 3x ( x + 3x 15/40 lim x→ ) 2 + x x + 3x + x tgx − sin x x3 + lim = lim x→ x→ ∞ x + 2x x − 2x = 1+1 = sin x ( − cos x ) x cos x sin x − cos x 1 x sin x tgx = lim = 1.1 = ⇒ tgx − sin x : : : 2 2 x → cos x x x2 tgx −sin x 1+ sin x  1+ sin x sin x tgx − sin x  tgx −sin x    ⇒ lim  = lim  + ÷ ÷ + sin x  x →  + sin x  x→   tgx − sin x 1 Since : lim = , lim =1 x → + sin x x → sin x  + tgx  sin3 x 26   =e x +3 x  x+2   x +1  16/40 lim  = 17/41 lim ÷  ÷ x → +∞  2x +  x →∞  x +  dx + e  ax + b  * lim  ÷ x →∞  ax + c  Solution: ( b−c ) d a =e = e −1 dx + e ax + b   gx + h * lim  ÷ x →∞  cx + d  =e  x +2  d a ln  ÷ g c ( ) x x.ln  x.ln x.ln 2−1 ÷  x+2  2x +   = lim e = lim e 16 / 40 lim  ÷ = lim e 2x + x →+∞  x → +∞ x → +∞ x → +∞  = lim e − x.ln = e −∞ = x → +∞ x x x   x+2   2x + +  1 lim  ÷ = lim  ÷ = lim  + ÷ x → +∞  2x +  x →+∞  2x +  x →+∞  4x +  3x 4x +  4x +  ÷   = lim   + ÷ x → +∞   4x +   x +3  x +1  17/41 lim  ÷ x →∞  x +  dx + e  ax + b  * lim  ÷ x → ∞  ax + c  dx + e  ax + b  lim  ÷ x → ∞  ax + c  ÷ ÷  x +3 −( x + )  x + −   = lim  1 − ÷ x +2 x →∞    ÷ ÷    = lim   + ÷ ax + c  x→ ∞    = lim e dx + e ÷ ÷  ( b − c ) d ax + c =e a ax + b  ÷  ax + c  = lim e( dx + e ) ln1 = e ∞.0 x→ ∞ ( dx + e ) ln  = lim e = e −1 ( b − c ) ( dx + e ) ax + c  b − c  b−c ÷ x→ ∞  n.ax + b  lim  ÷ x →+ ∞  ax + c  ( false ) n.ax + b  ÷  ax + c  ( dx + e ) ln  x →+ ∞ 27 ( false ) = lim e( dx + e ) ln n x → +∞  +∞ if d > = 0 if d < dx + e ax + b   gx + h * lim  ÷ x → ∞  cx + d  19/41 lim = lim e x→ ∞ a.ln ( + tgx ) x → b.x + sin n x Solution:  dx + e   ax + b   gx + h ÷.ln  cx + d ÷     19/41 lim a.ln ( + tgx ) 20/41 lim a.ln ( cos x ) x → b.x + sin n x ( x → b.ln + x = a b 20/41 lim =e d a ln  ÷ g c a.ln ( cos x ) ( x → b.ln + x ) =− a 2b a.tgx a.x a = lim = x → b.x x → b.x b = lim )  ln cos x = ln + cos x − : cos x − : − x ( ) ( ) ( )  When x → :  ln + x : x  a.ln ( cos x ) a ⇒ lim =− 2b x → b.ln + x ( ( ) )  sin x , x≠0  22/42 Xét tính liên tục hàm: f ( x ) =  x  1, x=0 Solution: Khi x o ∈ ( −∞,0 ) ∪ ( 0, +∞ ) , hàm sinx, x liên tục x o nên tục x o sin x = = f ( ) Vậy f(x) liên tục x→ x Khi x o = : lim  1 sin  ÷, x ≠ 23/ 42 Xét tính liên tục hàm: f ( x ) =   x   1, x=0  Solution: 28 sin x liên x 1 x o ∈ ( −∞,0 ) ∪ ( 0, +∞ ) : hàm sin  ÷ liên tục nên f(x) liên tục x 1 x o = 0, lim f ( x ) = lim sin  ÷ không tồn nên f(x) không liên tục x→ x→ x Phần tập tự giải: / 42 lim 12 + 22 + + n n3 n →∞ = Solution: n ( n + 1) ( 2n + 1) 12 + 22 + + n 1 / 42 Cho x n = + + + n = ⇒ lim = n→ ∞ n 2 n ( n + 1) ( 2n + 1) dung ( n + 1) ( n + ) ( ( n + 1) + 1) Ta cm: 12 + 22 + + n + ( n + 1) = n ( n + 1) ( 2n + 1) 12 + 22 + + n + ( n + 1) = + ( n + 1) Gia su: 12 + 22 + + n = ( n + 1) ( n ( 2n + 1) + ( n + 1) ) n ( n + 1) ( 2n + 1) + ( n + 1) = = 6 = ( n + 1) ( 2n + n + 6n + 6) / 42 lim = ( n + 1) ( n + ) ( 2n + 3) n n a + b n + c n = max { a, b,c} n→ ∞ ( a, b,c > ) / 42 lim sin  π n + ÷ =   n→ ∞ Solution: / 42 lim n n n→ ∞ a + b n + c n = max { a, b,c} ( a, b,c > ) n n Dat M = max { a, b,c} ⇒ M ≤ a n + b n + c n ≤ 3.M n = M n   a + b n + c n = M = max { a, b,c}  lim n = 1÷ n→ ∞  n→ ∞  ⇒ lim n n 29   π   ÷ / 43 lim sin  π n + ÷ = lim sin  π.n + ÷   n →∞  n →∞ n +1 + n    n = n +  n2 + + n      = lim sin ( π.n ) cos   n →∞     n +  n + + n ÷ n +1 + n +1   = n2 + ÷ = ÷ 2 ÷ n +1 + n n +1 + n ÷     π π ÷+ cos ( π.n ) sin  ÷÷ ÷  ÷÷ n +1 + n   n +1 + n      π π n ÷÷ = lim  ( −1) sin  ÷÷ = ÷÷ n →∞   ÷÷ n +1 + n   n +1 + n     = lim  cos ( π.n ) sin   n →∞    π / 42 lim n.sin  ÷ = π n →∞ n Solution: π π π π π → n → ∞ ⇒ sin  ÷ : n → ∞ ⇒ lim n.sin  ÷ = lim n = π n n →∞ n n  n  n →∞ n 28 / lim 31+ x − 51+ x x x →0 n + ax − a    lim  x→ = x = lim x x →+∞ / 43 lim x →+∞ 1+ + 22 + 33 + + n n n →∞ x x →0 ÷ n÷  x+ x 29 / lim 1+ x −1 + 1− 1+ x ( ) ( ) =1−1= = lim n n x =1 =0 Solution: / 43 Cho x n = = ( + 22 + 33 + + n n n + n + + n n −1 nn n n ⇒ ) = n ( n n − 1) < n n ( n − 1) nn n n ≤ xn ≤ n + n + + n n nn n ⇒ lim x n = n − n→ ∞ 30 15 / 43 Cho : x n = 2n − + + + + ⇒ lim x n = n 22 23 n →∞ Solution: 2n − n 2i − 1 / 43 Cho : x n = + + + + =∑ ⇒ xn i 22 23 2n i =1 n 2t − = + + + = 22 23 24 2n +1 t =1 2t +1 2n − ∑ Ta nhận thấy số hạng có mẫu giống khi: ⇒ ≤ t +1 ≤ n t + = i ≤ i ≤ n  2i = t +1 ⇒ ⇒ ≤ t ≤ n − mà t ≥ ⇒ ≤ t ≤ n − t = i − 1 ≤ t ≤ n − ⇒ ≤ i − ≤ n − ⇒ ≤ i ≤ n  n −1 2i − n −1 2t − n −1 ( t + 1) − − ( 2t − 1) n −1 ⇒∑ −∑ = ∑ = ∑ =∑ i t +1 t +1 t t +1 i=2 t =1 t =1 t =1 t =1 n n 2i − n −1 2t − 1 2n − n −1 1 2n − ⇒ xn − xn = ∑ −∑ + − = ∑ + − i t +1 n +1 t 2 2 2n +1 i=2 t =1 t =1 n −1 1 −1 n −1 1  ÷  Ta có : ∑ = =1 t 2 t =1 −1 n −1 dãy cấp số nhân t t =1 ∑ n −1   1  Vì lim  ÷ = 0÷  n −1→ ∞   ÷   Sn = u1 nhân qn − q −1 n n n −1 i =1 i =1 i =1 Cm : Sn = ∑ u i ⇒ q.Sn = ∑ q.u i = Sn tổng n số hạng đầu cấp số ∑ u i+1 + u n q ( u n +1 = q.u n ) ⇒ q.Sn − Sn qn − = u n q − u1 = u1.q n −1 q − u1 hay ( q − 1) Sn = u1 q n − ⇔ Sn = u1 q −1 ( ) ( 31 ) ' n ( ) 2n − n n = lim n = lim lim = lim = lim =0 n →∞ 2n +1 n →∞ 2n +1 n →∞ 2n n →∞ n ' n →∞ n.2n −1.ln 2 n n y n n +1 n n +1 Day y n = co n +1 = ÷ = → < ( n → ∞ ) ⇒ lim y n = n n +1 n y 2n n →∞ 2 n 2− ( )  n −1 1 2n −  1 ⇒ lim x n − x n = lim  ∑ + − = + = ⇒ lim x n = ÷ 2 n →∞ n →∞  t =1 t n →∞ 2n +1 ÷  xx − aa 26 / 43 lim = a a ln a + a a x →a x − a Solution:  x x − xa xa − aa xx − aa = lim  + x −a x →a x − a x →a  x − a 26 / 43 lim  ÷ ÷  ( )  ln x x −a  x e − 1÷.ln x a x −a  ÷ x x −1 x x − xa   lim = lim = lim x−a x →a x − a x →a x →a ( x − a ) ln x ( = lim x →a ( x a e( x − a ) ln x ) ) − ln x ( x − a ) ln x  a x a  ex −  = a ln a  = 1÷  x ÷   a a    x−a a  a   ÷ − 1÷ a  1 + − ÷ ÷ a a  ÷  ÷ a a     x −a     lim = lim = lim x−a x −a x →a x − a x →a x →a a a  x−a  aa  a ÷ x x − aa a a   = lim = a ⇒ lim = a a ln a + a a x−a x →a x →a x − a a a a 32 30 / lim x →+∞ ) ( x+ x −x x + x − x = lim x →+∞ = lim x →+∞ x+ x + x 1+ +1 x =   − 31/ Tìm lim  ÷ để khử dạng vô định ta thực phép đổi biến x →1 − x − x  x = y6 when that: = 1− x − 1− x = − y3 − − y2 = ( ( + y ) − + y + y2 ) ( − y ) ( + y ) ( + y + y2 ) ( − y ) ( + 2y ) ( + 2y ) = ( − y ) ( + y ) ( + y + y2 ) ( + y ) ( + y + y2 )  ⇒ lim  − x →1 − x − x  cosax  x 33 / lim  ÷ x →0  cos bx  =e b2 − a 2 Vì: lim  ( + 2y ) = lim = ÷  y→1 ( + y ) + y + y   = lim   + x →0    ( cosax − cos bx cos bx  x cos bx cosax − cos bx  cosax −cos bx ÷ cos ax − cos bx cos bx = lim ÷  ÷ ÷  ( cos ax − 1) + ( − cos bx ) x cos bx − cosax ) − cos bx )  b2 − a ( (   − lim = lim a + lim b ÷ = ÷ x →0 cos bx  x →0 ( ax ) x →0 ( bx )   x →0 x cos bx ) x →0 33 ( ) ln e x − − ln x  ex −  35 / lim ln  =1 ÷ = lim x x →+∞ x  x ÷ x →+∞  Dat e x − = y ⇒ x = ln ( + y )   x ln x lim = lim ln  x x →∞ x x →∞   1< x x < ( [ x ] + 1) x lim ( )= ln e x − x x → +∞ ln y =1 y→ +∞ ln ( + y ) lim  ÷ n n ÷ = Ta có : lim n = ⇒ lim n + = n →∞ n →∞ ÷  ≤ ( [ x ] + 1) [ x] → ⇒ lim x x x →∞   x = ⇒ lim ln  x x →∞   x2 x x −1 = 32/43 lim ( cos x ) = 34/43 lim ( + sin x ) x →1 x ln x x →0 x →0 Solution: xx −1 e x.ln x − 30 / 43 I = lim = lim , Put y = x.ln x, x → ⇒ y → x →1 x.ln x x →1 x.ln x 30/43 lim xx −1 ey − ⇒ I = lim = lim =1 x →1 x.ln x y→0 y 32 / 43 lim ( cos x ) 1/x x →0 = lim ( + cos x − 1) x →0  cos x −1 1/ ( cox −1)  x = e −1/2   cos x − 1 =− ÷  lim 2  x →0 x sin x 1/x 1/sin x  x 34 / 43 lim ( + sin x ) = lim ( + sin x ) =e   x →0 x →0  n.sin x n/x 1/sin x  x = en lim ( + sin x ) = lim ( + sin x )  x →0 x →0  cos x − + − cos x 23 / 43 lim x →0 cos x − cos x x2 = lim ( ) ( x2 x →0 34 Voi x > 1: ) x  ÷ ÷ = ln1 = ÷  =e ax + b 36/44 lim x →+∞ a x − b = 37/44 lim ( ) =1 ln e x + x x → +∞ lim x →−∞ ( ) = ln1 = ln e x + x −∞ Solution: 36 / 44 lim ax x →+∞ a x  b a x 1 + x +b a  = lim − b x →+∞ a x 1 − b   ax ( ) ln e x + 37 / 44 Tính lim x x →±∞ Dat e + = y ⇒ x = ln ( y − 1) x lim (  ÷ x  = lim a + b = lim + b = −1  x →−∞ a x − b x →−∞ − b ÷  ( lim x x → +∞ ) = ln1 = )= ln e x + ln y =1 y→ +∞ ln ( y − 1) lim ln e x + −∞ x x → −∞ 42 / lim a x −1 x →1+ lim a x −1 x →1− 43 / lim = lim e x →1+ ln a 0− = lim e x →1− ln ( + 2x.sin x ) tg x x →0 ln a x −1 = lim e x →1+ = lim 2x.sin x x →0 x2 3x ) ( 44 / lim = lim x →0 ln ( − 2x ) x →0 ( −2x ) x →1 ( = +∞ = e −∞ = sin 3x 45 / lim ln a 0+ = = lim 2x x →0 x =2 ) = lim ex −1 − sin e x −1 − ln x x →1 ln x ( Cause x → ⇒ e x −1 ey − = lim =1 y →0 y ( Vì x → ⇒ x − → 0, ln x → ) ) ( ) − → ⇒ sin e x −1 − : e x −1 − 35 * Given ( k n x < ⇒ lim n x n = lim n n x = lim n x = x < n →+∞ n →+∞ n →+∞ k n ) n n k ⇒ lim n x = n →+∞ Solution: Ta thay n, k biểu thức vô lớn cho tốc độ hội tụ đến ∞ k k k < n , lim =0 < n: n →+∞ n k →+∞ We have : lim + + + + n n nn n→ ∞ = 0, n repalce k = + + + + n = ∑ i i , m = n n n i =1 with x < ⇒ lim m n→ ∞ m k x m = lim m k/m n→ ∞ ( ) x = lim n n n→ ∞ k/m x = n n n ∑ ii ii ∑ n n ⇒ lim n i =1 x n = ⇒ lim n i =1 x n − = ∀x ∈ ( 0,1) n→ ∞ n→ ∞  1/ y  ln y = lim ln  y ÷ = 0, replace k = ln ( y ) , n = y, x = x y − with x < y→∞ y y→∞   lim y y ln y ⇒ lim n k x y − = lim y ( ) x y − = ∀x ∈ ( 0,1) y→∞ y→∞ dx + e  k.ax + b  lim  ÷ x →+ ∞  ax + c  = lim e( dx + e ) ln k x → +∞ = lim e x →+ ∞  +∞ if d > = 0 if d < Cho d < 0, thay k = ( k.an + b ) n = ( an + c ) dn =e k.ax + b  ÷  ax + c  ( dx + e ) ln  dn.ln ( an + c ) dn =e dn.ln ( k.an + b ) , , with x < Given k = e, a = π, b = sin ( x.π ) , c = cos ( x.π ) , d = −e 36 dx  k.ax + b  ⇒ lim  ÷ x →+ ∞  ax + c  −e2 x  πe.x + sin ( πx )  = lim  ÷ x →+ ∞  π.x + cos ( πx )   e.πx + sin ( πx )  −e2 x.ln  ÷ πx + cos( πx )   = lim e =0 x →+ ∞ */ I = lim ( cos x ) cot2x =1 cot2x = lim e x →0 Solution: * / I = lim ( cos x ) x →0 cot ( 2x ) ln ( cos x ) x →0 =1 ' ( ln cos x ) ln cos x lim cot ( 2x ) ln ( cos x ) = lim = lim x →0 x →0 tan ( 2x ) x →0 ( tan ( 2x ) ) ' − tan x.cos   − sin x   = lim  = lim ÷ ÷  x →0  cos x   tan 2x +  x →0 ( 2x ) =0 ⇒ I = e0 = ) if a → and b → ∞, then lim a b = e ( This comes from two things: first, taking the logarithm to get lim b ln a then noting ln a → 1, so we can replace ln a by a − that as a → 1, a −1 lim ( a −1) b * lim f ( kh ) − f ( ) h →0 f ( h ) − f ( ) = lim k f ( kh ) − f ( ) h →0 kh long as f ' (0) exists and is nonzero * lim log n − − n →∞ 1 −L − = γ m 1 n  lim  + + L + =1 (n + 1)! ÷ n →+∞  2! 3!  37 h = k.f ' ( ) = k as f ( h ) − f ( 0) f ' ( 0) n +1 n +1 n k − n +1 k n +1 n +1 1 + +L + = ∑ = ∑ − ∑ = ∑ − ∑ 2! 3! (n + 1)! k = k! k = k! k = k! k = ( k − 1) ! k = k! n +1 1 1 n  = ∑ − ∑ = 1− ⇒ lim  + + L + ÷= k! k! n + ! 2! 3! (n + 1)! ( ) n →+∞   k =1 k =2 n n +1 1 1  lim  + + L + = lim ∑ − = e − ÷ (n + 1)!  n →+∞ k =1 k! n →+∞  2! 3!  i +1 n i.log ∑  ÷ = ∑ ( i.log ( i + 1) − i.log i ) i   i =1 i =1 = log − log1 + 2log − 2log + 3log − 3log * n  ( n + 1) n  ÷ = n.log ( n + 1) − ∑ log i = n.log ( n + 1) − log ( n!) = log   ÷ n! i =1   n Cấp số cộng Cho dãy 2n a 2n = + + + 2n = ∑ i = ( + 2n ) + ( + 2n − 1) + ( + 2n − ) + + ( n + n + 1) i =1 2n ( 2n + 1) a 2n +1 = + + + 2n + 2n + = n ( 2n + 1) + ( 2n + 1) = n ( 2n + 1) = = ( n + 1) ( 2n + 1) = ( 2n + ) ( 2n + 1) n ⇒ a n = + + + n = ∑ i = i =1 n ( n + 1) x 2cos2  ÷ + cos x 2 43 / lim = lim Put + cos x = t + + sin x sin x x →π x →π 38 oo: ∞ >=: ≥ and f ( u n ) − f ( v n ) ≥ ε n day { u n } and { v n } day gioi noi, dó theo dinh lí Bolzano − Weiertrass, ton tai day u n k and v n k hoi tu, because u n k − v n k <