BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN ĐẠO HÀM VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Video giảng lời giải chi tiết có website: www.vted.vn Chú ý công thức tính đạo hàm tích thương • uv ′ = u′v + v ′u; ( ) • ⎛ u ⎞⎟′ u′.v − v ′.u ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎝ v ⎟⎟⎠ v2 Một số hàm số có dạng thương ta hay sử dụng phương pháp đưa dạng tích (bằng phép nhân chéo) lấy đạo hàm tích cho đơn giản cos x Ví dụ Với y = x Ta có xy = cos x ⇒ y + xy ′ = 2cos x.(−sin x) Một số đạo hàm cấp cao số hàm số ⎛ nπ ⎞ • Hàm số y = sin(ax + b) có y ( n) = a n sin ⎜⎜ ax + b+ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ nπ ⎞ • Hàm số y = cos(ax + b) có y ( n) = a n cos⎜⎜ ax + b+ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ • Hàm số y = (ax + b)α có y ( n) = α(α−1) (α−(n−1))a n (ax + b)α−n Đặc biệt: (−1) n n! • y = có y ( n) = n+1 ; x x (−1) n a n n! • y= có y ( n) = ax + b (ax + b) n+1 Công thức Lepnit y ( n) = ⎡⎣uv ⎤⎦ ( n) n = ∑ Cnk u ( k ) v ( n−k ) (chứng minh quy nạp) k=0 Câu Cho hàm số y = x −cos 2x Tính y (4) A y (4) = 24 +16cos 2x B y (4) = 24−16cos 2x C y (4) = 48−16cos 2x D y (4) = 48+16cos 2x Câu Cho hàm số y = cos x Tính y (5) A y (5) = 8cos 2x B y (5) = −8cos 2x C y (5) = −16sin 2x D y (5) = 16sin 2x Câu Cho hàm số y = 2x − x Mệnh đề sau ? A y y '' = −1 B y y '' = C y y '' = −8 D y y '' = BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu Cho hàm số y = x + 2x + Mệnh đề sau ? x +1 A y ′′ = B y ′′ = (x + 2x + 3)3 (x + 2x + 3)3 C y ′′ = 2 (x + 2x + 3) D y ′′ = 2 (x + 2x + 3)3 Câu Cho hàm số y = Mệnh đề sau ? x n n! (−1) n! (−1) n+1 n! ( n) ( n) C y ( n) = n+1 A y = n+1 B y = n+1 x x x Câu Cho hàm số y = Mệnh đề sau ? 2x + −2.n! (−2) n n! −2 n n! ( n) ( n) ( n) C y = A y = B y = (2x + 3) n+1 (2x + 3) n+1 (2x + 3) n+1 Câu Cho hàm số y = A y ( n) = (−a) n+1 n! (ax + b) n+1 Mệnh đề sau ? ax + b −a n n! (−a) n n! ( n) B y ( n) = C y = (ax + b) n+1 (ax + b) n+1 D y ( n) = − D y ( n) n! x n+1 (−2) n+1 n! = (2x + 3) n+1 D y ( n) = a n n! (ax + b) n+1 3x + Mệnh đề sau ? 2x + (−2) n n! (−2) n+1 n! (−2) n−1 n! (−1) n n−1.n! ( n) ( n) ( n) A y ( n) = B C D y = y = y = (2x + 3) n+1 (2x + 3) n+1 (2x + 3) n+1 (2x + 3) n+1 Câu Cho hàm số f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) với a < b < c Mệnh đề sau ? f ′′(a) f ′′(b) f ′′(c) f ′′(a) f ′′(b) f ′′(c) + + = + + = −1 A B f ′(a) f ′(b) f ′(c) f ′(a) f ′(b) f ′(c) f ′′(a) f ′′(c) f ′′(b) f ′′(a) f ′′(b) f ′′(c) + =2 + + = C D f ′(a) f ′(c) f ′(b) f ′(a) f ′(b) f ′(c) Câu 10 Cho hàm số f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) với a < b < c Với x ∉ {a;b;c}, hỏi mệnh đề sau ? A f ′′(x) f (x)−[ f ′(x)]2 > B f ′′(x) f (x)−[ f ′(x)]2 < Câu Cho hàm số y = C f ′′(x) f (x)−[ f ′(x)]2 = D f ′′(x) f (x)−[ f ′(x)]2 ≠ Câu 11 Cho hàm số y = x + x +1 Mệnh đề sau ? A 4(1+ x ) y ′′ + 4xy ′ = y B 4(1+ x ) y ′′ + 4xy ′ = −y C 4(1+ x ) y ′′ − 4xy ′ = −y D 4(1+ x ) y ′′ − 4xy ′ = y Câu 12 Cho hàm số y = sin(ax) Tính y ( n) BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN ⎛ nπ ⎞ A y ( n) = asin ⎜⎜ ax + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ nπ ⎞ C y ( n) = −asin ⎜⎜ ax + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ nπ ⎞ B y ( n) = a n sin ⎜⎜ ax + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ nπ ⎞ D y ( n) = −a n sin ⎜⎜ ax + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ Câu 13 Cho hàm số y = cos(ax) Tính y ( n) ⎛ nπ ⎞ A y ( n) = −a n cos⎜⎜ ax + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ nπ ⎞ C y ( n) = a n cos⎜⎜ ax + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ nπ ⎞ B y ( n) = (−a) n cos⎜⎜ ax + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ nπ ⎞ D y ( n) = acos⎜⎜ ax + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ 5x −3 Tính y ( n) x −3x + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 7 ( n) n ⎥ ⎢− ⎥ A y ( n) = (−1) n n!⎢ B − y = (−1) n! + ⎢ (x − 2) n+1 (x −1) n+1 ⎥ ⎢ (x − 2) n+1 (x −1) n+1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 7 ( n) n ⎥ ⎢− ⎥ C y ( n) = (−1) n n!⎢ D + y = (−1) n! − ⎢ (x − 2) n+1 (x −1) n+1 ⎥ ⎢ (x − 2) n+1 (x −1) n+1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x2 Câu 15 Cho hàm số y = Tính y (100) (0) 1− x (100) A y (0) = 100! B y (100) (0) = −100! C y (100) (0) = −99! D y (100) (0) = 99! Câu 14 Cho hàm số y = Câu 16 Cho hàm số y = x +1 1− x Tính y (100) (0) B y (100) (0) = −100! 399.197! 399.197! C y (100) (0) = D y (100) (0) = − 100 2100 Câu 17 Tìm đa thức P(x) có bậc lớn thoả mãn đẳng thức: A y (100) (0) = 100! (x + 2)(x − 4) P′′(x)− 2x(x + 2) P′(x) +12P(x) = 0,∀x A P(x) = a(x + 6x −12x + 8) B P(x) = a(x −6x +12x −8) C P(x) = a(x + 6x +12x + 8) D P(x) = a(x −6x +12x + 8) Câu 18 Cho hàm số y = x + 2x Mệnh đề sau ? A ( y ′)2 + y ′′y = B ( y ′)2 + y ′′y = C ( y ′)2 + y ′′y = D ( y ′)2 + y ′′y = −1 Câu 19 Cho hàm số y = −4x + 2x +1 Mệnh đề sau ? A ( y ′)2 + y ′′y = B ( y′ )2 + y′′y = C ( y ′)2 + y ′′y = −1 D ( y ′)2 + y ′′y = −4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 20 Cho hàm số y = 1+ x − x Mệnh đề sau ? A 2(1+ x ) y ′′ + (2x + 1+ x ) y ′ = B (1+ x ) y ′′ + (2x + 1+ x ) y ′ = C 2(1+ x ) y ′′ + (2x − 1+ x ) y ′ = D (1+ x ) y ′′ + (2x − 1+ x ) y ′ = Câu 21 Cho hàm số y = sin x Tính y (2018) (0) A y (2018) (0) = −22017 B y (2018) (0) = 22017 C y (2018) (0) = −22018 ⎛π⎞ Câu 22 Cho hàm số y = sin x cos 2x Tính y (2018) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛π⎞ A y (2018) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛π⎞ C y (2018) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 32018 −1 ⎜⎝ ⎟⎠ D y (2018) (0) = 22018 ⎛ π ⎞ 32018 −1 B y (2018) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ π ⎞ 32018 +1 D y (2018) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ ⎟⎠ Câu 23 Cho hàm số f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) với a < b < c Mệnh đề sau ? 1 1 1 + + = + + = −1 A B f ′(a) f ′(b) f ′(c) f ′(a) f ′(b) f ′(c) 1 1 1 + + = + + = C D f ′(a) f ′(b) f ′(c) f ′(a) f ′(b) f ′(c) 5x −3x − 20 Tính y ( n) x − 2x −3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 4 ( n) n ⎥ ⎢− ⎥ A y ( n) = (−1) n n!⎢ B − y = (−1) n! + ⎢ (x +1) n+1 (x −3) n+1 ⎥ ⎢ (x +1) n+1 (x −3) n+1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 4 ( n) n+1 ⎥ ⎢ ⎥ C y ( n) = (−1) n n!⎢ D + y = (−1) n! + ⎢ (x +1) n+1 (x −3) n+1 ⎥ ⎢ (x +1) n+1 (x −3) n+1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ cos x Câu 25 Cho hàm số y = Mệnh đề ? x A y ′ + xy ′′ = xy B y ′ + xy ′′ = −xy C y ′ + xy ′′ = xy D y ′ + xy ′′ = −xy Câu 24 Cho hàm số y = Câu 26 Cho hàm số y = A B C D y ′ + xy ′′ = xy y ′ + xy ′′ = −xy y ′ + xy ′′ = xy y ′ + xy ′′ = −xy sin x Mệnh đề ? x BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN tan x Mệnh đề ? x A y ′ + xy ′′ = 2(xy)3 + 2xy Câu 27 Cho hàm số y = B y ′ + xy ′′ = (xy)3 + xy C y ′ + xy ′′ = (xy)3 + xy D y ′ + xy ′′ = 2(xy)3 + 2xy cot x Câu 28 Cho hàm số y = Mệnh đề ? x A y ′ + xy ′′ = 2(xy)3 + 2xy B y ′ + xy ′′ = (xy)3 + xy C y ′ + xy ′′ = (xy)3 + xy D y ′ + xy ′′ = 2(xy)3 + 2xy x Mệnh đề ? cos x y ′′ − y y ′′ − y B tan x = C tan x = − y′ y′ Câu 29 Cho hàm số y = A tan x = y ′′ − y y′ x Mệnh đề ? sin x y + y ′′ y + y ′′ B 2cot x = − C 2cot x = y′ y′ D tan x = − y ′′ − y y′ Câu 30 Cho hàm số y = A 2cot x = y ′′ − y y′ D 2cot x = y − y ′′ y′ CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 TẠI VTED PRO X LUYỆNTHITHPTQUỐCGIA MÔN TOÁN 2018 CHO TEEN 2K https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thptquoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K1 https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-bam-sattoan-dien-chuong-trinh-toan-11-plus-11kh968641713.html BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 CHO TEEN 2K1 https://vted.vn/khoa-hoc/xem/olympic-toan-11kh071103157.html PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K2 https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-z-nentang-toan-hoc-10-vung-chac-cho-teen-2k2kh546669683.html ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED ĐÁP ÁN 1B 2C 3A 11A 12B 13C 21B 22D 23A LỜI GIẢI CHI TIẾT 4D 14A 24C 5A 15A 25B 6A 16C 26B 7C 17C 27A 8D 18B 28A 9D 19D 29B 10B 20A 30D 3x + (2x + 3) + (−2) n n! Câu Ta có y = = = + ⇒ y ( n) = 2x + 2x + 2(2x + 3) 2(2x + 3) n+1 Chọn đáp án D Câu Ta có f ′(x) = (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) Và f ′′(x) = 6x − 2(a + b+ c) f ′′(a) 4a − 2b− 2c f ′′(b) 4b− 2c − 2a f ′′(c) 4c − 2a − 2b = ; = ; = Do f ′(a) (a − b)(a − c) f ′(b) (b− c)(b− a) f ′(c) (c − a)(c − b) Suy ra: f ′′(a) f ′′(b) f ′′(c) −(b− c)(4a − 2b− 2c)−(c − a)(4b− 2c − 2a)−(a − b)(4c − 2a − 2b) + + = = f ′(a) f ′(b) f ′(c) (a − b)(b− c)(c − a) BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Chọn đáp án D ⎡ 1 ⎤ ⎥ Câu 10 Ta có f ′(x) = f (x) ⎢ + + ⎢⎣ x − a x − b x − c ⎥⎦ f ′(x) 1 = + + Do f (x) x − a x − b x − c ⎡ f ′(x) ⎤ ′ 1 f ′′(x) f (x)−[ f ′(x)]2 ⎥ =− Và ⎢ − − = < ⎢⎣ f (x) ⎥⎦ (x − a)2 (x − b)2 (x − c)2 f (x) Chọn đáp án B ⎡ ⎤ 7 ⎥ Câu 14 Ta có y = − ⇒ y ( n) = (−1) n n!⎢ − ⎢ (x − 2) n+1 (x −1) n+1 ⎥ x − x −1 ⎣ ⎦ Chọn đáp án A (x −1) +1 (−1)100 100! (100) Câu 15 Ta có y = = −(x +1)− ⇒y =− ⇒ y (100) (0) = 100! 101 1− x x −1 (x −1) Chọn đáp án A x +1 Tính y (100) (0) Câu 16 Cho hàm số y = 1− x Ta có y = Do y −(1− x) + (100) 1− x = − 1− x + − 2 1− x − = −(1− x) + 2(1− x) = −(1− x) + 2(1− x) A y (100) (0) = 100! B y (100) (0) = −100! 399.197! 2100 Câu 20 Ta có C y (100) (0) = ( y′ = D y (100) (0) = − 1+ x − x x ′ ) 1+ x = 1+ x − x −1 = 1+ x − x 399.197! 2100 x − 1+ x 2 1+ x 1+ x − x = −y 1+ x ′ 1+ x y ′ = −y ⇒ 1+ x y ′ = − y ′ ( ⇔ 1+ x y ′′ + ) 2x 1+ x y ′ = − y ′ ⇔ 2(1+ x ) y ′′ + (2x + 1+ x ) y ′ = Chọn đáp án A ⎛ 1 π⎞ Câu 21 Ta có y = − cos 2x ⇒ y (2018) = − 22018 cos⎜⎜2x + 2018 ⎟⎟⎟ ⇒ y (2018) (0) = 22017 ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ Chọn đáp án B BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN ⎛ ⎛ 1⎡ π⎞ π ⎞⎤ Câu 22 Ta có y = ⎡⎣sin3x −sin x ⎤⎦ ⇒ y (2018) = ⎢⎢32018 sin ⎜⎜3x + 2018 ⎟⎟⎟ −sin ⎜⎜ x + 2018 ⎟⎟⎟⎥⎥ ⎜⎝ ⎜⎝ 2⎣ ⎟⎠ ⎟⎠⎦ ⎛ π ⎞ 32018 +1 Do y (2018) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ ⎟⎠ Chọn đáp án D Câu 23 Ta có 1 1 1 + + = + + f ′(a) f ′(b) f ′(c) (a − b)(a − c) (b− a)(b− c) (c − a)(c − b) −(b− c)−(c − a)−(a − b) = = (a − b)(b− c)(c − a) Chọn đáp án A 5(x − 2x −3) + 7x −5 7x −5 = 1+ = 1+ + Câu 24 Ta có y = (x +1)(x −3) x +1 x −3 x − 2x −3 ⎡ ⎤ ⎥ Do y ( n) = (−1) n n!⎢ + ⎢ (x +1) n+1 (x −3) n+1 ⎥ ⎣ ⎦ Chọn đáp án C Câu 25 Ta có xy = cos x ⇒ (xy )′ = −sin x ⇒ y + xy ′ = −sin x ⇒ y + xy ′ ′ = −cos x ( ⇒ y ′ + y ′ + xy ′′ = −cos x = −xy ⇔ y ′ + xy ′′ = −xy Chọn đáp án B Câu 26 Ta có xy = sin x ⇒ y + xy ′ = cos x ⇒ y ′ + y ′ + xy ′′ = −sin x = −xy Chọn đáp án B Câu 27 Ta có xy = tan x ⇒ y + xy ′ = = tan x +1 cos x ⇒ y ′ + xy ′′ = tan x(tan x +1) = 2(xy)3 + 2xy Chọn đáp án A Câu 28 Ta có xy = cot x ⇒ y + xy ′ = − = −cot x −1 sin x ⇒ y ′ + xy ′′ = 2cot x = 2cot x + 2cot x sin x ⇒ y ′ + xy ′′ = 2(xy) + 2xy Chọn đáp án A Câu 29 Ta có BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN ) BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN y cos x = x ⇒ y ′ cos x − y sin x = ⇒ y ′′ cos x − y ′ sin x − y ′ sin x − y cos x = y ′′ − y ⇔ y ′ sin x = ( y ′′ − y)cos x ⇒ tan x = y′ Chọn đáp án B Câu 30 Ta có y sin x = x ⇒ y ′ sin x + y cos x = 1⇒ y ′′ sin x + y ′ cos x + y ′ cos x − y sin x = y − y ′′ ⇔ y ′ cos x = ( y − y ′′)sin x ⇒ 2cot x = y′ Chọn đáp án D CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 TẠI VTED PRO X LUYỆNTHITHPTQUỐCGIA MÔN TOÁN 2018 CHO TEEN 2K https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thptquoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K1 https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-bam-sattoan-dien-chuong-trinh-toan-11-plus-11kh968641713.html PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 CHO TEEN 2K1 https://vted.vn/khoa-hoc/xem/olympic-toan-11kh071103157.html PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K2 https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-z-nentang-toan-hoc-10-vung-chac-cho-teen-2k2kh546669683.html BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN ... ′′ y′ CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 TẠI VTED PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2018 CHO TEEN 2K https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen -thi- thptquoc -gia- mon-toan -2018- kh522847554.html... đáp án D CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 TẠI VTED PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2018 CHO TEEN 2K https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen -thi- thptquoc -gia- mon-toan -2018- kh522847554.html... y (2018) (0) A y (2018) (0) = −22017 B y (2018) (0) = 22017 C y (2018) (0) = − 22018 ⎛π⎞ Câu 22 Cho hàm số y = sin x cos 2x Tính y (2018) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛π⎞ A y (2018) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ ⎟⎠ ⎛π⎞ C y (2018)