bài tập giải tích lớp 12

Bài (Hướng dẫn giải trang 123 SGK Giải tích 12 bản) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y = X2, y = x + 2; b) y = |lnx|, y = 1; c) y = (x – 6)2, y = 6x– x2 Hướng dẫn giải : a) Phương trình hoành độ giao điểm f(x) = X2 – x – =0 ⇔ x = -1 x = Diện tích hình phẳng cần tìm : 1 b) Phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = – ln|x| = ⇔ lnx = ± ⇔ x = e x = 1/e y = ln|x| = lnx lnx ≥ tức x ≥ y = ln|x| = – lnx x < 0, tức < x < Dựa vào đồ thị hàm số vẽ hình ta có diện tích cần tìm : Ta có ∫lnxdx = xlnx – ∫dx = xlnx – x + C, thay vào ta : c) Phương trình hoành độ giao điểm là: f(x) = 6x – x2 – (x – 6)2 = -2(x2 – 9x +18) f(x) = ⇔ -2(x2 – 9x +18) ⇔ x = x = Diện tích cần tìm là: Bài (Hướng dẫn giải trang 123 SGK Giải tích 12 bản) Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trục Ox Đặt OM = R, Gọi V khối tròn xoay thu quay tam giác xung quanh Ox (H.63) a) Tính thể tích V theo α R b) Tìm α cho thể tích V lớn Hướng dẫn giải : a) Hoành độ điểm P : xp = OP = OM cos α = R.cosα Phương trình đường thẳng OM y = tanα.x Thể tích V khối tròn xoay là: b) Đặt t = cosα => t ∈ [1/2;1] (vì α ∈ [0;π/3]),α = arccos t Ta có : Ta có bảng biến thiên: Từ suy V(t) lớn ⇔ Tính tích phân sau: a)∫12−123√(1−x)2dx∫−1212(1−x)23dx b) ∫π20sin(π4−x)dx∫0π2sin(π4−x)dx c)∫2121x(x+1)dx∫1221x(x+1)dx d) ∫20x(x+1)2dx∫02x(x+1)2dx e)∫2121−3x(x+1)2dx∫1221−3x(x+1)2dx g) ∫π2−π2sin3xcos5xdx∫−π2π2sin3xcos5xdx Hướng dẫn giải: a) ∫12−123√(1−x)2dx∫−1212(1−x)23dx = −∫12−12(1−x)23d(1−x)= −35(1−x)53|12−12−∫−1212(1−x)23d(1−x)=−35(1−x)53|−1212 = −35[123√4−33√923√4]=3103√4(33√9−1)−35[1243−393243]=310 43(393−1) b) ∫π20sin(π4−x)dx∫0π2sin(π4−x)dx=−∫π20sin(π4−x)d(π4−x) −∫0π2sin(π4−x)d(π4−x) = cos(π4−x)|π20cos(π4−x)|0π2 = cos(π4−π2)−cosπ4=0cos(π4−π2)−cosπ4=0 c)∫2121x(x+1)dx∫1221x(x+1)dx=∫212(1x−1x+1)dx=ln∣∣xx+1∣∣| 212=ln2∫122(1x−1x+1)dx=ln|xx+1||122=ln2 d)∫20x(x+1)2dx∫02x(x+1)2dx= ∫20(x3+2x2+x)dx=(x44+23x3+x22) |20∫02(x3+2x2+x)dx=(x44+23x3+x22)|02 = 164+163+2=1113164+163+2=1113 e)∫2121−3x(x+1)2dx∫1221−3x(x+1)2dx= ∫212−3(x+1)+4(x+1)2dx =∫212[−3x+1+4(x+1)2]dx∫122−3(x+1)+4(x+1)2dx=∫122[−3x+1+4(x+1) 2]dx = (−3.ln|x+1|−4x+1)|212=43−3ln2(−3.ln|x+1|−4x+1)|122=43−3ln2 g)Ta có f(x) = sin3xcos5x hàm số lẻ Vì f(-x) = sin(-3x)cos(-5x) = -sin3xcos5x = f(-x) nên: ∫π2−π2sin3xcos5x=0∫−π2π2sin3xcos5x=0 Chú ý: Có thể tính trực tiếp cách đặt x= -t biến đổi thành tổng ... ∫π2−π2sin3xcos5xdx∫−π2π2sin3xcos5xdx Hướng dẫn giải: a) 12 123 √(1−x)2dx∫ 121 2(1−x)23dx = − 12 12( 1−x)23d(1−x)= −35(1−x)53 |12 12 ∫ 121 2(1−x)23d(1−x)=−35(1−x)53| 121 2 = −35 [123 √4−33√923√4]=3103√4(33√9−1)−35 [124 3−393243]=310... V(t) lớn ⇔ Tính tích phân sau: a) 12 123 √(1−x)2dx∫ 121 2(1−x)23dx b) ∫π20sin(π4−x)dx∫0π2sin(π4−x)dx c)∫ 2121 x(x+1)dx 122 1x(x+1)dx d) ∫20x(x+1)2dx∫02x(x+1)2dx e)∫ 2121 −3x(x+1)2dx 122 1−3x(x+1)2dx... 164+163+2=1113164+163+2=1113 e)∫ 2121 −3x(x+1)2dx 122 1−3x(x+1)2dx= ∫ 212 3(x+1)+4(x+1)2dx =∫ 212[ −3x+1+4(x+1)2]dx 122 −3(x+1)+4(x+1)2dx= 122 [−3x+1+4(x+1) 2]dx = (−3.ln|x+1|−4x+1)| 212= 43−3ln2(−3.ln|x+1|−4x+1) |122 =43−3ln2