De thi của đọi tuyển toán quốc gia

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA CỦA TRUNG QUỐC NĂM 2012 ********* Đề TST Ngày Bài Cho số phức xi , yi với i  1, n thỏa mãn xi  yi  với i  1, n Đặt n n x , y    y , z  xyi  yxi  xi yi , i  1, n n i 1 i n i1 i i x n Chứng minh z i 1 i n Bài Cho tam giác ABC nhọn, không cân ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D , E, F tiếp điểm đường tròn (I) lên cạnh BC , CA , AB Gọi A0 điểm đối xứng với D qua EF A1 giao điểm AA0 với đường thẳng BC Các điểm B1 , C1 xác định tương tự Chứng minh A1 , B1 , C1 nằm đường thẳng Euler tam giác DEF Bài Với số nguyên dương n , ta đặt xn  C2nn Chứng minh tồn hai tập hợp vô hạn A , B cho x A  B   x i A iB i  2012 i Ngày Bài Cho trước hai đường tròn 1 , 2 Gọi S tập hợp tất tam giác ABC thỏa mãn 1 , 2 đường tròn ngoại tiếp đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC Giả sử 2 tiếp xúc với đường thẳng BC , CA , AB D , E, F Chứng minh tập S khác rỗng trọng tâm tam giác DEF cố định Bài Với số nguyên dương n, ta kí hiệu  (n) tập hợp tất ước nguyên dương n Một số nguyên dương n gọi “số tốt”   m   n với m  n Chứng minh với số nguyên dương k cho trước, tồn hữu hạn số tốt không chia hết cho k Bài Xét n   hàm số f :    thỏa mãn f  x  y  f  y    f  x   ny với x, y   Hãy tìm tất hàm số f thỏa mãn điều kiện Đề TST Bài Cho đồ thị đơn G Gọi tập hợp gồm t đỉnh t  clique chúng đôi kề Một đỉnh nối với tất đỉnh đồ thị gọi đỉnh trung tâm Cho số nguyên n, k thỏa mãn  n  k  n Một đồ thị G thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau: 1 G không chứa  k  1  clique 2 Nếu ta thêm vào G cạnh thu  k  1  clique Tìm số đỉnh trung tâm nhỏ G Bài Chứng minh tồn số thực dương C thỏa mãn tính chất: Với n  tập hợp X tập tập 1, 2,3, , n thỏa mãn X  , tồn số x, y, z , w thuộc X (không thiết phân biệt) thỏa mãn  xy  zw  C 4 với   X n Bài Cho a1 , a2 với a1  a2 số nguyên cho trước Với n  3, số an số nguyên dương nhỏ lớn an 1 an biểu diễn cách dạng tổng  a j mà  i  j  n  Chứng minh tồn hữu hạn số chẵn dãy an  dãy an 1  an  tuần hoàn, nghĩa tồn số nguyên dương T mà an 1T  an T  an 1  an , n Ngày Bài Cho n  số tự nhiên Chứng minh tồn hữu hạn n số nguyên dương a1 , a2 , , an  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) a1  a2  a3   an (ii) a1 , a2 , a3 , , an   n (iii) a1   ai , ai1  với quy ước an1  a1 i 1 Bài Cho hai số nguyên dương m, n  số thực dương r , s thỏa mãn r  s Với aij  số thực không đồng thời 0, tìm giá trị lớn biểu thức f   n  j1    m  j1   r r m s s i 1 ij  s s n s r i 1 ij a a           Bài Cho số nguyên dương n  2, hàm số f :   1, 2, 3, , n gọi tốt, với số nguyên dương k thỏa  k  n  tồn số nguyên j  k  thỏa mãn với số nguyên m f  m  j  k   f m  k   f mmod n  1 Tìm số hàm số “tốt” ĐỀ TST Ngày Bài Cho tam giác ABC nhọn có A  60 , trực tâm H Gọi M , N điểm thuộc cạnh AB, AC cho HMB  HNC  60 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN Giả sử D điểm nằm phía với A so với BC cho tam giác DBC Chứng minh H , O , D thẳng hàng Bài Xét số nguyên dương k  Chứng minh tồn k số nguyên dương a1 , a2 , a3 , , an đôi khác cho tồn số nguyên không âm b1 , b2 , b3 , , bk c1 , c , c , , c k thỏa mãn  bi  2ai , i  1, 2, 3, , k k k i 1 i 1 k k i 1 i 1  bici   bi ta có k bici   bi Bài Tìm giá trị nhỏ có c cho với đa thức monic có bậc 2012 P  x  x 2012  a2011x 2011  a2010 x2010   a1x  a0 , ta xây dựng đa thức Q  x từ cách nhân 1 vào số hệ số đa thức P  x nêu cho với nghiệm phức z đa thức Q  x ta có bất đẳng thức sau Im z  c Re z Ngày Bài Cho số nguyên dương n  xét tập hợp A , B  1, 2, 3, , n thỏa mãn điều kiện Với a  A , b  B ab  số phương Chứng minh  A , B   log n Bài Tìm tất số nguyên dương k  thỏa mãn tính chất: Tồn số nguyên dương m, n cho  m  k ,1  n  k m , k  n, k   1, m  n  k , đồng thời k |m  1n  1 Bài Trong hình vuông tạo 2012  2012 ô vuông có chứa bọ, ô vuông có nhiều bọ Vào thời điểm đó, bọ bay lên lại đậu xuống lại vào ô vuông, ô vuông có nhiều bọ Đối với bọ, xem đoạn thẳng có hướng nối tâm ô vuông lúc đầu tâm lúc sau mà đậu lên tạo thành vector Với số lượng bọ ban đầu, xét tất trường hợp xảy với vị trí cuối bọ, tìm độ dài lớn tổng vector ... 2 tiếp xúc với đường thẳng BC , CA , AB D , E, F Chứng minh tập S khác rỗng trọng tâm tam giác DEF cố định Bài Với số nguyên dương n, ta kí hiệu  (n) tập hợp tất ước nguyên dương n Một số nguyên... chất: Với n  tập hợp X tập tập 1, 2,3, , n thỏa mãn X  , tồn số x, y, z , w thuộc X (không thi t phân biệt) thỏa mãn  xy  zw  C 4 với   X n Bài Cho a1 , a2 với a1  a2 số nguyên cho