Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)

Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM THỊ PHƯƠNG THẢO

CÔNG THỨC EULER - POINCARÉ

TRONG HÌNH HỌC LỒI

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS HOÀNG LÊ TRƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2017

MỞ ĐẦU

Hình học lồi là bộ môn nghiên cứu tính lồi của các hình hình học trongkhông gian thực, không gian vectơ và các không gian trừu tượng khác Vềmặt lý thuyết, hình học lồi là cơ sở lý luận cho nhiều ngành toán học khácnhau (chẳng hạn như Đại số, Giải tích, Lý thuyết tối ưu, ) Về mặt ứngdụng, các cấu trúc lồi của các hình hình học tồn tại nhiều trong các bài toánthực tế Trong trường hợp các bài toán có cấu trúc không lồi, người ta đãchỉ ra rằng có thể xấp xỉ bởi bài toán có cấu trúc lồi Điều đó cho thấy rằngviệc hiểu biết và nghiên cứu hình học lồi là hết sức bổ ích cả trong lý luận vàthực tiễn

Công thức Euler-Poincaré trong hình học lồi là một công thức tổ hợp và

có nhiều ứng dụng trong giải các bài toán thi học sinh giỏi, trong giảng dạyhình học phẳng, hình học ba chiều và là khởi đầu cho các nghiên cứu sâu sắchơn trong toán học hiện đại Công thức này còn được ứng dụng lý thuyết vật

lý và hóa học về mạng tinh thể

Với mục đích học tập để hiểu rõ hơn bộ môn và tập dượt nghiên cứu khoahọc nhằm thu hoạch một cách có hệ thống hiểu biết về hình học lồi, chúngtôi cố gắng tiếp cận bộ môn trên cơ sở tài liệu hiện có Do thời gian và nănglực có hạn nên chúng tôi xin được hạn chế phạm vi đề tài với tiêu đề "Côngthức Euler - Poincaré trong hình học lồi"

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại khái niệm, định nghĩa, côngthức Euler - Poincaré, và cách chứng minh công thức này Đặc biệt là vậndụng công thức này trong việc tính toán các ví dụ cụ thể để cho thấy sức

mạnh của công thức Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nộidung luận văn gồm hai chương.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày cáckhái niệm cơ bản về hình học lồi như tập lồi, bao lồi, đa diện và mặt để sửdụng trong chương 2

Chương 2: Đặc trưng Euler-Poincaré Trong chương này chúng tôi trìnhbày định nghĩa của hàm định giá, các đặc trưng Euler-Poincaré, từ đó đưa

ra công thức Euler - Poincaré trong hình học lồi

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chếnên bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giả rấtmong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn này đượchoàn thiện hơn

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 5 năm 2017

Tác giả

Phạm Thị Phương Thảo

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Lê Trường Tác giảxin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, người đãtận tình chỉ bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ và tạo điều kiện thuận lợicho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu luận văn

Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệutrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán

- Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốtnhất để tác giả học tập và nghiên cứu trong suốt thời gian qua

Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và tất cả mọingười đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành luậnvăn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Danh mục các hình vẽ

Hình 1.1: Một số hình ảnh đa diện trang 9Hình 1.2: Hình vuông xác định bởi (1.2) trang 10Hình 1.3: Lần lượt là hình có chiều Q bằng 2 và chiều bằng 3 trang 12Hình 1.4: Chóp tứ giác trang 17Hình 1.5: Sơ đồ đếm các mặt của chóp tứ giác trang 17Hình 1.6: Dàn các mặt của một kim tự tháp vuông trang 18

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi định nghĩa các đối tượng ứng với các mối liên

hệ giữa hình học lồi và tổ hợp Chúng ta bắt đầu vấn đề đếm các tập cỡ d saocho các phần tử thuộc tập [n] Những tập như thế được gọi là d-đa tập con

sao cho

học Đối tượng hình học đó chính là nghiệm của hệ d + 1 bất phương trìnhtuyến tính

một khối đa diện Tập đó được xác định bởi một số hữu hạn các bất đẳngthức tuyến tính Khối đa diện là một lớp các đối tượng hình học mà nhiềutính chất liên quan đến lĩnh vực đếm trong tổ hợp

Đối tượng chính của luận văn là đếm số mặt của khối đa diện cho trước.Tập các mặt có dạng một tập có thứ tự, được phân loại theo chiều và việcđếm các mặt trong cùng một chiều sẽ dẫn chúng ta đến một công thức nổitiếng đó là công thức Euler - Poincaré

1.1 Tập lồi

Trong tiết này, chúng ta sẽ đưa ra các khái niệm và tính chất cơ bản liênquan đến tập lồi Các đối tượng hình học của chúng ta sẽ được xây dựngthông qua khái niệm nửa không gian

phẳng afin là tập có dạng

ta gọi H là một siêu phẳng tuyến tính nếu 0 ∈ H hoặc là tương đương với

b = 0 Bởi vì 0 ∈ H khi và chỉ khi b = ha, 0i = 0

Các phần rời nhau này được gọi là nửa không gian afin mở xác định bởi H,

được gọi là nửa không gian afin đóng xác định bởi H, và được kí hiệu lần

giao của một số hữu hạn các nửa không gian afin đóng

có thể không là tập bị chặn Ví dụ một nửa không gian afin đóng là đa diệnkhông không bị chặn Chúng ta nhận xét tầm thường rằng, tất cả không gian

sự nếu nó không là không gian afin

Định nghĩa 1.3 Một tập lồi S trong Rn là một tập trong Rn sao cho với

Ví dụ 1.1

thì khối đa diện, hình cầu là các tập lồi

và λ ∈ [0, 1], ta có

k(1 − λ)x + λyk ≤ k(1 − λ)xk + kλyk

= (1 − λ)kxk + λkyk ≤ (1 − λ) + λ = 1

Do đó (1 − λ)x + λy ∈ B

kλx + (1 − λ)y − ak = kλ(x − a) + (1 − λ)(y − a)k

H< = {x ∈ Rn : ha, xi < b}

là tập lồi

Bổ đề 1.1 Giao hữu hạn các tập lồi là tập lồi

là bao lồi của X

Chú ý rằng khối đa diện là đa diện nhưng một đa diện có thể không làkhối đa diện Ví dụ nón là đa diện nhưng không là khối đa diện Chúng tabiết rằng P là khối đa diện khi và chỉ khi P là đa diện và P là tập bị chặn.

Ví dụ 1.3 Hình lăng trụ, hình chóp, hình lập phương, kim tự tháp, là các

Từ Định lý 1.1, chúng ta có thêm một phương thức mô tả đa diện Chúng

i6=j

nữa, chúng ta có duy nhất một họ các nửa không gian không rút gọn được để

mô tả một đa diện Bằng cách sắp xếp pháp tuyến của các siêu mặt như các

lại khối đa diện Q như sau

Định nghĩa 1.6 Bao afin aff(Q) của một đa diện Q ⊆ Rd là không gian con

Chứng minh Vì H là không gian con afin và Q ⊆ H, bởi định nghĩa bao afinnên aff(Q) ⊆ H Do đó

Vì aff(Q) là không gian con afin chứa Q nên

Định nghĩa 1.7 Cho không gian afin

Ví dụ 1.5

i) Cho dim H = 0 ta gọi H là không gian afin chiều 0 hay 0-phẳng tươngứng một điểm

Cho dim H = 1 ta gọi H là không gian afin chiều 1 hay 1-phẳng tương ứng

ii) Khi chiều của đa diện Q bằng 2 thì ta gọi Q là tam giác, khi chiều của

đa diện Q bằng 3 thì ta gọi Q là tứ diện

Hình 1.3: Lần lượt là hình đa diện có chiều Q bằng 2 (tam giác) và chiều Q bằng 3 (tứ diện)

iii) Hình vuông được xác định bởi ví dụ 1.4 có bao afin là

và như vậy số chiều của nó bằng 2

Cho Q là một đa diện được xác định bởi

Q =

k

\

i=1

Khi đó phần trong của đa diện Q được định nghĩa là

Đặt I(Q) := {1 ≤ i ≤ k : hai, xi = bi, với mọi x ∈ Q} Khi đó phần trongtương đối của Q được định nghĩa là

đường thẳng Nếu lineal(Q) = {0} chúng ta gọi Q nhọn hoặc không đườngthẳng

Mọi nón đa diện có biểu diễn thay thế là một tập có dạng

trong đó A là ma trận cỡ d × n

dạng P ∩ H, trong đó H là một giá phẳng của P Nói cách khác, tập

được gọi là một mặt của P Bổ đề sau sẽ cho chúng ta thấy các mặt lại làcác đa diện

Chứng minh Đầu tiên, ta chỉ ra λ = min{w · u | u ∈ P } Cho u ∈ P Khi

Bằng cách thay đổi các chỉ số nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng Xw =

w · u = λ = min{w · v | v ∈ P } Vì vậy w · u ≤ w · v với mọi v ∈ P Khi đó

Chú ý rằng w · ui > λ và ri ≥ 0 với mọi i = r + 1, , s, nên từ đẳng thức

một đa diện vì nó là giao của P với siêu phẳng

x · w = min{x · w | x ∈ P }

Vậy mặt F của P lại là một đa diện nên chúng ta có thể nói về chiều củamặt F Tức là chiều của mặt F là chiều của đa diện F

Chúng ta coi P là một mặt và F là mặt thực sự nếu F 6= P Chúng ta xem

∅ là một mặt Mặt chiều 0 của P được gọi là đỉnh của P Mặt chiều 1 của

đa diện P được gọi là cạnh và mặt chiều d − 1 là siêu mặt của đa diện P Tập các mặt của một d-đa diện P (bao gồm cả ∅) cùng với quan hệ baohàm sẽ thiết lập một tập sắp thứ tự Tập đó được gọi là dàn các mặt Φ(Q)

Để kí hiệu quan hệ sắp thứ tự toàn phần của các mặt của một đa diện P ,

ta viết F  G với F và G là mặt của P sao cho F ⊆ G Trong kí hiệu này,

F ≺ G có nghĩa là F là một mặt thực sự của G Dàn các mặt Φ(Q) đựơcphân loại theo chiều và một quan hệ quan trọng trên dàn các mặt Φ(Q) là

f -vector Cụ thể chúng ta đặt

là số mặt có chiều k của đa diện P Khi đó

được gọi là f -vector của đa diện P

Ví dụ 1.8 Cho hình chóp tứ giác Q = SABCD

D

C

B S

Số mặt của hình chóp có chiều bằng 2 gồm các mặt phẳng (SAB), (SBC),

Số mặt của hình chóp có chiều bằng 1 gồm SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD,

Vậy f -vector của hình chóp tứ giác Q là f (Q) = (5, 8, 5, 1)

Ví dụ 1.9 Cho kim tự tháp vuông ta có dàn các mặt như sau

Hình 1.6: Các dàn mặt của một kim tự tháp vuông

Bổ đề 1.5 Cho một đa diện Q Với mọi điểm p ∈ Q có duy nhất một mặt F

các đa diện mở tương đối

Ví dụ 2.1 Một đa diện là đa lồi, bởi Bổ đề 1.5, bởi vì đa diện là hợp rời hữuhạn của các mặt mở của đa diện

nếu Φ(∅) = 0 và

Khi đó ta có định lý sau

Nhắc lại rằng khối đa diện đóng là một đa diện và là tập đóng với tô pô thôngthường và cũng là tập bị chặn Định lý là không tầm thường Thật vậy, nếu

tích của S như là hợp rời của đa diện mở tương đối

Sau đây là một cách để xây dựng các đa lồi Giả sử H := {H1, H2, , Hn}

Kí hiệu

là một khối đa diện mở tương đối Khi đó đặt

chiều d − 1.

Chứng minh Bởi định nghĩa đa diện mở tương đối, nên chúng ta chỉ cầnchứng minh dim H ∩ S = d − 1 Thật vậy, từ định nghĩa của bao afin, ta có

aff(H ∩ S) = aff(S) ∩ H

Do đó ta có

~

Từ dãy khớp sau của các không gian vector

ta nhận được

được

quan đến H Trường hợp dễ là S ∩ H = S và S ∩ H = ∅ Trong cả hai trường

Trường hợp chú ý duy nhất là ∅ 6= S ∩ H 6= S Vì S là đa diện mở tương đối,

đối có chiều dim S và S= := S ∩ H= là đa diện tương đối mở chiều dim S − 1bởi Bổ đề 2.2 Vì thế,

đa lồi bằng cách cắt chúng bởi các siêu phẳng và nửa không gian mở Rõ ràng

nhiên mệnh đề sau cho chúng ta thấy chúng ta có thể hạn chế sự quan tâmtới tập P C(H) với H nào đó

siêu phẳng H sao cho S ∈ P C(H)

Chúng ta có thể phát biểu nội dung của Mệnh đề 2.1 như sau Cho hai sắp

Mệnh đề 2.2 Tồn tại một định giá duy nhất X : P Cd −→ Z sao cho với

X (S) = X (H, S),với mọi sắp xếp siêu phẳng H mà S ∈ P C(H)

X (S) := X (H, S)

với mọi sắp xếp siêu phẳng H sao cho S ∈ P C(H) Từ mệnh đề 2.1 chắcchắn có một H sao cho S ∈ P C(H) Chúng ta có ngay kết luận rằng X (P ) =

duy nhất của định giá được suy ta từ việc chúng ta có thể viết tập đa lồi như

Hệ quả 2.1 Nếu P là một đa diện mở tương đối khác rỗng thì

Hàm định giá X trong Mệnh đề 2.2 là đặc trưng Euler, và trong phần cònlại của luận văn này, chúng ta nói đến đặc trưng Euler của P khi viết X (P ).Chứng minh cho kết luận của chúng ta về Định lí 2.1 rằng X (P ) = 1 vớibất kì P là khối đa diện đóng khác rỗng Trước tiên chúng ta cần lưu ý

Euler của một khối đa diện đóng khác rỗng bằng các số mặt: Nếu P là mộtkhối đa diện đóng khác rỗng thì Bổ đề 1.5 biểu diễn như sau

Ví dụ 2.2 Cho hình chóp tứ giác SABCD được xác định như ví dụ 1.8

Ta đã đếm được số mặt của hình chóp như sau:

Bây giờ chúng ta đưa ra chứng minh đầy đủ của Định lý 2.1

Chứng minh của Định lý 2.1 Chúng ta sẽ chứng minh đặc trưng Euler X

chiều d Bởi công thức (2.6), đặc trưng Euler là bất biến dưới phép tịnh tiến

Mệnh đề 2.3 cho chúng ta hai biểu diễn của không gian afin aff(P) và tínhtoán đặc trưng Euler theo hai biểu diễn ta có

KẾT LUẬN

Dựa vào tài liệu tham khảo, luận văn đã trình bày một số định nghĩa, tínhchất của tập lồi và đưa đến một công thức nổi tiếng đó là công thức Euler-Poincaré Cụ thể là luận văn đã hoàn thành được những việc như sau:

- Trình bày một cách hệ thống, chính xác các khái niệm cơ bản của hìnhhọc lồi

- Trình bày khái niệm, mối liên hệ hình học với tổ hợp là đặc trưng Poincaré

Euler Trình bày định nghĩa mặt, cách đếm số mặt của khối đa diện cho trước vàviệc đếm các mặt trong cùng một chiều sẽ dẫn đến công thức Euler- Poincarétrong hình học lồi

- Đưa ra một số ví dụ minh họa

Tài liệu tham khảo

by the American Mathematical Society in 2017

[4] Rockafellar and Ralph Tyrell (1970), Convex analysis, Princeton sity Press