Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)

Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)Công thức Euler Poincaré trong hình học lồi (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ PHƯƠNG THẢO CÔNG THỨC EULER - POINCARÉ TRONG HÌNH HỌC LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ PHƯƠNG THẢO CÔNG THỨC EULER - POINCARÉ TRONG HÌNH HỌC LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS HOÀNG LÊ TRƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017 iii Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Danh mục hình vẽ Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi 1.2 Mặt 14 Đặc trưng Euler-Poincaré 21 2.1 Hàm định giá 21 2.2 Công thức Euler-Poincaré 24 Kết luận 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 MỞ ĐẦU Hình học lồi môn nghiên cứu tính lồi hình hình học không gian thực, không gian vectơ không gian trừu tượng khác Về mặt lý thuyết, hình học lồi sở lý luận cho nhiều ngành toán học khác (chẳng hạn Đại số, Giải tích, Lý thuyết tối ưu, ) Về mặt ứng dụng, cấu trúc lồi hình hình học tồn nhiều toán thực tế Trong trường hợp toán có cấu trúc không lồi, người ta xấp xỉ toán có cấu trúc lồi Điều cho thấy việc hiểu biết nghiên cứu hình học lồi bổ ích lý luận thực tiễn Công thức Euler-Poincaré hình học lồi công thức tổ hợp có nhiều ứng dụng giải toán thi học sinh giỏi, giảng dạy hình học phẳng, hình học ba chiều khởi đầu cho nghiên cứu sâu sắc toán học đại Công thức ứng dụng lý thuyết vật lý hóa học mạng tinh thể Với mục đích học tập để hiểu rõ môn tập dượt nghiên cứu khoa học nhằm thu hoạch cách có hệ thống hiểu biết hình học lồi, cố gắng tiếp cận môn sở tài liệu có Do thời gian lực có hạn nên xin hạn chế phạm vi đề tài với tiêu đề "Công thức Euler - Poincaré hình học lồi" Trong luận văn này, trình bày lại khái niệm, định nghĩa, công thức Euler - Poincaré, cách chứng minh công thức Đặc biệt vận dụng công thức việc tính toán ví dụ cụ thể thấy sức mạnh công thức Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày khái niệm hình học lồi tập lồi, bao lồi, đa diện mặt để sử dụng chương Chương 2: Đặc trưng Euler-Poincaré Trong chương trình bày định nghĩa hàm định giá, đặc trưng Euler-Poincaré, từ đưa công thức Euler - Poincaré hình học lồi Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian trình độ hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 22 tháng năm 2017 Tác giả Phạm Thị Phương Thảo Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Hoàng Lê Trường Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Danh mục hình vẽ Hình 1.1: Một số hình ảnh đa diện trang Hình 1.2: Hình vuông xác định (1.2) trang 10 Hình 1.3: Lần lượt hình có chiều Q chiều trang 12 Hình 1.4: Chóp tứ giác trang 17 Hình 1.5: Sơ đồ đếm mặt chóp tứ giác trang 17 Hình 1.6: Dàn mặt kim tự tháp vuông trang 18 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, định nghĩa đối tượng ứng với mối liên hệ hình học lồi tổ hợp Chúng ta bắt đầu vấn đề đếm tập cỡ d cho phần tử thuộc tập [n] Những tập gọi d-đa tập [n] Với tập tương ứng với d-bộ (m1 , m2 , , md ) ∈ Zd cho ≤ m1 ≤ m2 ≤ ≤ md ≤ n Nếu bỏ qua tính nguyên mj ta có đối tượng hình học Đối tượng hình học nghiệm hệ d + bất phương trình tuyến tính n d = {x ∈ Rd : ≤ x1 ≤ x2 ≤ ≤ xd ≤ n} Những d-đa tập xác điểm nguyên n d Tập n d khối đa diện Tập xác định số hữu hạn bất đẳng thức tuyến tính Khối đa diện lớp đối tượng hình học mà nhiều tính chất liên quan đến lĩnh vực đếm tổ hợp Đối tượng luận văn đếm số mặt khối đa diện cho trước Tập mặt có dạng tập có thứ tự, phân loại theo chiều việc đếm mặt chiều dẫn đến công thức tiếng công thức Euler - Poincaré 1.1 Tập lồi Trong tiết này, đưa khái niệm tính chất liên quan đến tập lồi Các đối tượng hình học xây dựng thông qua khái niệm nửa không gian Định nghĩa 1.1 Với số thực a1 , , an a = (a1 , , an ) = 0, mặt phẳng afin tập có dạng H = = H := {x ∈ Rd : a, x = b}, với a ∈ Rd \ {0}, b ∈ R Ở , kí hiệu tích vô hướng Rd Chúng ta gọi H siêu phẳng tuyến tính ∈ H tương đương với b = Bởi ∈ H b = a, = Phần bù Rn \ H có hai phần rời H > := {x ∈ Rn : a1 x1 + + an xn > b} H < := {x ∈ Rn : a1 x1 + + an xn < b} Các phần rời gọi nửa không gian afin mở xác định H, kí hiệu H > H < Tương tự, tập H ≥ := {x ∈ Rn : a1 x1 + + an xn ≥ b}, H ≤ := {x ∈ Rn : a1 x1 + + an xn ≤ b} gọi nửa không gian afin đóng xác định H, kí hiệu H ≥ H ≤ Định nghĩa 1.2 Một tập hợp P ⊆ Rn gọi đa diện giao số hữu hạn nửa không gian afin đóng Lưu ý đa diện tập đóng Rn theo tô pô thông thường không tập bị chặn Ví dụ nửa không gian afin đóng đa diện không không bị chặn Chúng ta nhận xét tầm thường rằng, tất không gian afin, bao gồm Rd ∅ đa diện Chúng ta gọi đa diện P thực không không gian afin Định nghĩa 1.3 Một tập lồi S Rn tập Rn cho với x1 , x2 ∈ S λ ∈ [0, 1], ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ S Ví dụ 1.1 i) Trong R2 , hình đa lồi, hình tròn, hình elip tập lồi Trong R3 khối đa diện, hình cầu tập lồi ii) Hình cầu B = {x ∈ Rn : x ≤ 1} tập lồi Thật vậy, với x, y ∈ B λ ∈ [0, 1], ta có (1 − λ)x + λy ≤ (1 − λ)x + λy = (1 − λ) x + λ y ≤ (1 − λ) + λ = Do (1 − λ)x + λy ∈ B iii) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a ≤ r} tập lồi (ở a ∈ Rn r ≥ 0) Thật vậy, với x, y ∈ B(a, r) λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y − a = λ(x − a) + (1 − λ)(y − a) ≤ λ x − a + (1 − λ) y − a ≤ λr + (1 − λ)r = r Do (1 − λ)x + λy ∈ B(a, r) iv) Siêu phẳng afin H := {x ∈ Rd : a, x = b} tập lồi Thật vậy, cho x, y ∈ H, Khi ta có a, x = b a, y = b Do với moi ≤ λ ≤ 1, ta có a, λx + (1 − λ)y = λ a, x + (1 − λ) a, y = λb + (1 − λ)b = b Vậy λx + (1 − λ)y ∈ H H tập lồi v) Tương tự iv), có H > = {x ∈ Rn : a, x > b} 17 S A B D C Hình 1.4: Chóp tứ giác (SABCD) (SBC) (SAB) SA S AB SB A (SCD) SC BC B C SD (SAD) CD (ABCD) AD D Hình 1.5: Sơ đồ đếm số mặt hình chóp tứ giác Khi đó: Số mặt hình chóp có chiều gồm SABCD tức f3 = Số mặt hình chóp có chiều gồm mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD), (SAD), (ABCD), tức f2 = 18 Số mặt hình chóp có chiều gồm SA, SB, SC, SD, AB, BC, CD, AD tức f1 = Số mặt hình chóp có chiều gồm S, A, B, C, D tức f0 = Vậy f -vector hình chóp tứ giác Q f (Q) = (5, 8, 5, 1) Ví dụ 1.9 Cho kim tự tháp vuông ta có dàn mặt sau Hình 1.6: Các dàn mặt kim tự tháp vuông Bổ đề 1.5 Cho đa diện Q Với điểm p ∈ Q có mặt F Q mà p ∈ F ◦ Điều tương đương, có hợp rời sau F ◦ Q= F Q Chứng minh Bao hàm ⊇ hiển nhiên Ta cần chứng minh bao hàm ⊆ Bởi Định lý 1.1, giả sử Q giao nửa siêu phẳng không rút gọn k Hj≤ , Q= j=1 p ∈ Q Sau đánh số lại nửa siêu phẳng, ta giả sử = p ∈ H1= , , Hm < p ∈ Hm+1 , , Hk< , 19 với ≤ m < k Do m k Hj= F := Hj≤ ∩ j=1 j=m+1 mặt Q có phần m ◦ k Hj= F = j=1 Hj< ∩ j=m+1 chứa p Bổ đề 1.6 Cho F = facew (P ) mặt đa diện lồi P cho F = facev (F ) mặt đa diện lồi F Khi F mặt P Hơn nữa, với > đủ nhỏ, ta có F = facew+ v (P ) Chứng minh Giả sử tập hữu hạn X thỏa mãn P = conv(X) Cho λ = min{w·u | u ∈ X}, Xw = {u ∈ X | u·w = λ}, λ = min{v·u | u ∈ Xw } Xw,v = {u ∈ Xw | v · u = λ } Cho số thực thỏa mãn điều kiện 0< < min{|λ − w · a| | a ∈ X − Xw } max{|λ − v · a| | a ∈ X − Xw } Từ Bổ đề 1.4, ta có F = facew (P ) = conv(Xw ) F = facev (F ) = conv(Xw,v ) Hơn nữa, với u ∈ Xw,v , ta có w · u + v · u = λ + λ Do đó, đủ để với u ∈ Xw,v a ∈ X − Xw,v , ta có w · u + v · u < w · a + v · a Trường hợp a ∈ Xw , ta có (w + v) · (u − a) = w · (u − a) + v · (u − a) = + v · (u − a) < Trường hợp a ∈ Xw v · (u − a) ≤ 0, ta có (w + v) · (u − a) = w · (u − a) + v · (u − a) ≤ w · (u − a) < 20 Trường hợp a ∈ Xw v · (u − a) < 0, ta có (w + v) · (u − a) = w · (u − a) + v · (u − a) ≤ w · (u − a) + Av · (u − a) < w · (u − a) < Do ta có (w + v) · (u − a) < với u ∈ Xw,v a ∈ X − Xw,v Do F = facew+ v (P ) 21 Chương Đặc trưng Euler-Poincaré 2.1 Hàm định giá Bây đến khái niệm quan trọng cho phép liên hệ hình học với tổ hợp, đặc trưng Euler-Poincaré Chúng ta tiếp cận với đặc trưng Euler-Poincaré đa diện thông qua phân tích đa diện thành đa diện đặc biệt, mà gọi khối đa diện Định nghĩa 2.1 Một tập S ⊆ Rd đa lồi hợp rời hữu hạn đa diện mở tương đối S = P1 ∪ P2 ∪ ∪ Pk , P1 , P2 , , Pk ⊆ Rd đa diện mở tương đối Ví dụ 2.1 Một đa diện đa lồi, Bổ đề 1.5, đa diện hợp rời hữu hạn mặt mở đa diện Chúng ta kí hiệu P Cd họ đa lồi Rd Tập vô hạn tập có thứ tự với quan hệ bao hàm Hơn tập P Cd có phần tử nhỏ lớn ∅ Rd Giao hợp hữu hạn đa lồi lại đa lồi nên tập P Cd dàn phân phối Định nghĩa 2.2 Một ánh xạ Φ từ P Cd đến nhóm Abel định giá 22 Φ(∅) = Φ(S ∪ T ) = Φ(S) + Φ(T ) − Φ(S ∩ T ) (2.1) với S, T ∈ P Cd Khi ta có định lý sau Định lý 2.1 Tồn định giá X : P Cd −→ Z cho X (P ) = với khối đa diện đóng khác rỗng P ⊂ Rd Nhắc lại khối đa diện đóng đa diện tập đóng với tô pô thông thường tập bị chặn Định lý không tầm thường Thật vậy, P ⊂ Rd d–đa diện H = {x ∈ Rd : a, x = b} siêu phẳng cho H ∩ P ◦ = ∅ Vậy P1 := {x ∈ P : a, x < b} P2 := {x ∈ P : a, x b} đa diện khác rỗng cho P1 ∩ P2 = ∅ X (P ) = X (P1 ) + X (P2 ) Vì vậy, X định giá thỏa mãn điều kiện Định lí 2.1, tất yếu X (P1 ) = Mục tiêu phần xây dựng định giá X thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1 Tính chất (2.1) chìa khóa để đơn giản hóa việc tính toán X (S) cho tập đa lồi tùy ý Nếu S = P1 ∪ P2 ∪ ∪ Pk , với Pi ⊆ Rd đa diện mở tương đối Lặp lại trình (2.1), công thức bù trừ X (S) = X (Pi ) − i = X (Pi ∩ Pj ) + (2.2) i := {x ∈ Rd : , x > bi } nửa không gian mở xác đỉnh Hi Tương tự, định nghĩa Hi< Hi= := Hi Với σ = (σ1 , σ2 , , σn ) ∈ {}n kí hiệu Hσ := H1σ1 ∩ H2σ2 ∩ ∩ Hnσn (2.4) khối đa diện mở tương đối Khi đặt P C(H) = {S | tồn σ1 , , σk ∈ {}n cho Hσi = ∅ với i = 1, , k S = Hσ1 Hσ2 Hσk } ⊆ P Cd Chú ý Hσ1 ∩ Hσ2 = ∅ với σ1 = σ2 ∈ {}n Do S ∈ P C(H) có biểu diễn qua Hσ Với σ ∈ {}n kí hiệu X (H, Hσ ) := (−1)dim Hσ Khi với S ∈ P C(H), tồn Hσi = ∅ với i = 1, , k S = Hσ1 Hσ1 Do Hσk k (−1)dim Hσj X (H, S) := j=1 Bổ đề 2.1 Với kí hiệu vừa nêu Ta có hàm X (H, ·) : P C(H) → Z, S → kj=1 (−1)dim Hσj hàm định giá Chứng minh Cho S, T ∈ P Cd (H) Khi tồn σ1 , , σk ∈ {}n cho 24 Hσi = ∅ với i = 1, , k S = Hσ1 Hσs T = Hσt Hσk S ∩ T = Hσt Hσs với ≤ t, s ≤ k (Nếu s < t S ∩ T = ∅) Khi đó, S ∪ T = Hσ1 Hσk Do k (−1)dim Hσj X (H, S ∪ T ) = j=1 dim Hσj = (−1) j=1 s k s dim Hσj + (−1) j=t (−1)dim Hσj − j=t = X (H, S) + X (H, T ) − X (H, S ∩ T ) 2.2 Công thức Euler-Poincaré Trong mục đưa chứng minh Định lý 2.1 Chúng ta bắt đầu với bổ đề sau Bổ đề 2.2 Cho S đa diện mở tương đối chiều d Rd H siêu phẳng Rd cho H ∩ S = ∅ Khi H ∩ S đa diện mở tương đối chiều d − Chứng minh Bởi định nghĩa đa diện mở tương đối, nên cần chứng minh dim H ∩ S = d − Thật vậy, từ định nghĩa bao afin, ta có aff(H ∩ S) = aff(S) ∩ H 25 Do ta có aff(H ∩ S) = aff(S) ∩ H = aff(S) ∩ H Từ dãy khớp sau không gian vector → aff(S) ∩ H → aff(S) ⊕ H → aff(S) + H = Rd → ta nhận dim S ∩ H = dim aff(S) ∩ H = dim aff(S) + dim H − dim Rd = dim S + (d − 1) − d = dim S − Bổ đề 2.3 Giả sử H1 , H2 hai tập siêu phẳng Rd giả sử S ∈ P C(H1 ) ∩ P C(H2 ) X (H1 , S) = X (H2 , S) Chứng minh Chúng ta cần chứng minh X (H1 , S) = X (H1 ∪ {H}, S) H ∈ H2 \ H (2.5) Bởi lặp lại (2.5) ta có X (H1 , S) = X (H1 ∪ H2 , S) tương tự, X (H2 , S) = X (H1 ∪ H2 , S) mà ta phải chứng minh Một cách làm đơn giản hơn, cần chứng minh (2.4) cho S = Hσ với σ Thật vậy, từ phép biểu diễn S = Hσ1 Hσ2 Hσk , X (H1 , S) = X (H1 , Hσ1 ) + X (H1 , Hσ2 ) + + X (H1 , Hσk ) Do đó, giả sử S = Hσk ∈ P C(H1 ) H ∈ H2 \ H1 Có ba khả S liên quan đến H Trường hợp dễ S ∩ H = S S ∩ H = ∅ Trong hai trường hợp S đa lồi thực P Cd (H1 ∪ {H}) X (H1 ∪ {H}, S) = (−1)dim S = X (H1 , S) Trường hợp ý ∅ = S ∩ H = S Vì S đa diện mở tương đối, S < := S ∩ H < S > := S ∩ H > khác rỗng đa diện mở tương 26 đối có chiều dim S S = := S ∩ H = đa diện tương đối mở chiều dim S − Bổ đề 2.2 Vì thế, S = S< S= S> cách biểu diễn S phần tử P C(H1 ∪{H}), X (H1 ∪ {H}, S) = X (H1 ∪ {H}, S < ) + X (H1 ∪ {H}, S = ) + X (H1 ∪ {H}, S > ) = (−1)dim S + (−1)dim S−1 + (−1)dim S = (−1)dim S = X (H1 , S) Cách chứng minh Bổ đề 2.3 phổ biến làm việc với hàm định giá Tính chất 2.1 hàm định giá cho phép làm mịn tập đa lồi cách cắt chúng siêu phẳng nửa không gian mở Rõ ràng không tồn tập hữu hạn siêu phẳng H cho P Cd = P C(H) Tuy nhiên mệnh đề sau cho thấy hạn chế quan tâm tới tập P C(H) với H Mệnh đề 2.1 Cho S ∈ P Cd tập đa lồi Khi tồn tập siêu phẳng H cho S ∈ P C(H) Chứng minh Dễ thấy, ta viết S = P1 ∪ P2 ∪ ∪ Pk , với Pi đa diện mở tương đối Với Pi , tồn tập hữu hạn siêu phẳng Hi := {H1 , H2 , , Hm } cho Pi = ∩j Hjσj với σj ∈ {}m Do Pi ∈ P C(Hi ) Vậy S ∈ P C(H1 ∪ H2 ∪ ∪ Hk ) Chúng ta phát biểu nội dung Mệnh đề 2.1 sau Cho hai xếp siêu phẳng H1 H2 , H1 ⊆ H2 ⇒ P C(H1 ) ⊆ P C(H2 ) Theo ngôn ngữ trừu tượng hơn, P Cd hợp P C(H) với tất xếp siêu phẳng H Tức P Cd = P C(H) H xếp siêu phẳng 27 Mệnh đề 2.2 Tồn định giá X : P Cd −→ Z cho với tập đa lồi S ∈ P Cd , X (S) = X (H, S), với xếp siêu phẳng H mà S ∈ P C(H) Chứng minh Với S ∈ P Cd , Bổ đề 2.3, định nghĩa X (S) := X (H, S) với xếp siêu phẳng H cho S ∈ P C(H) Từ mệnh đề 2.1 chắn có H cho S ∈ P C(H) Chúng ta có kết luận X (P ) = X (H, P ) = (−1)dim P với đa diện mở tương đối khác rỗng P Nhưng tính định giá suy ta từ việc viết tập đa lồi hợp nhiều đa diện mở tương đối Hệ 2.1 Nếu P đa diện mở tương đối khác rỗng X (P ) = (−1)dim P Hàm định giá X Mệnh đề 2.2 đặc trưng Euler, phần lại luận văn này, nói đến đặc trưng Euler P viết X (P ) Chứng minh cho kết luận Định lí 2.1 X (P ) = với P khối đa diện đóng khác rỗng Trước tiên cần lưu ý X (H, Hσ ) = (−1)dim(Hσ ) cho ta cách rõ ràng cách tính đặc trưng Euler khối đa diện đóng khác rỗng số mặt: Nếu P khối đa diện đóng khác rỗng Bổ đề 1.5 biểu diễn sau F ◦, P = F P kí hiệu F P có nghĩa F mặt P Từ công thức bù trừ (2.2) Hệ 2.1 ta có dim P dim F X (P ) = (−1) ∅≺F P Đây công thức Euler-Poincaré (−1)i fi (P ), = i=0 (2.6) 28 Ví dụ 2.2 Cho hình chóp tứ giác SABCD xác định ví dụ 1.8 Ta đếm số mặt hình chóp sau: Số mặt hình chóp có chiều f3 = Số mặt hình chóp có chiều f2 = Số mặt hình chóp có chiều f1 = Số mặt hình chóp có chiều f0 = Áp dụng công thức Euler-Poincaré ta tính được: (−1)i fi (Q) = (−1)0 + (−1)1 + (−1)2 + (−1)3 = X (S) = i=0 Mệnh đề 2.3 Cho P ⊂ Rd khối đa diện đóng chiều d Để tính X (P ), giả sử ∈ P ◦ Với mặt khác rỗng F P , đặt C0 (F ) = tF ◦ = {p ∈ Rd | p ∈ F ◦ với t đó}, t t>0 C0 (∅) = {∅} Khi tập C0 (F ) tập nón đa diện mở tương đối chiều dim F + C0 (P ) = aff(P) = C0 (F) F≺P Bây đưa chứng minh đầy đủ Định lý 2.1 Chứng minh Định lý 2.1 Chúng ta chứng minh đặc trưng Euler X thỏa mãn tính chất Định lý 2.1 Cho P ⊂ Rd khối đa diện đóng chiều d Bởi công thức (2.6), đặc trưng Euler bất biến phép tịnh tiến giả sử ∈ P ◦ Mệnh đề 2.3 cho hai biểu diễn không gian afin aff(P) tính toán đặc trưng Euler theo hai biểu diễn ta có 29 X (C0 (P )) = X (aff(P)) X (C0 (F )) = F ≺P (−1)dim F +1 =1+ ∅≺F ≺P Vì P ◦ C0 (P ) = aff(P) đa diện mở tương đối chiều nên từ Hệ 2.1 X (C0 (P )) = X (P ◦ ) = (−1)d Vậy (−1)dim F = X (P ) 1= ∅≺F P 30 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo, luận văn trình bày số định nghĩa, tính chất tập lồi đưa đến công thức tiếng công thức EulerPoincaré Cụ thể luận văn hoàn thành việc sau: - Trình bày cách hệ thống, xác khái niệm hình học lồi - Trình bày khái niệm, mối liên hệ hình học với tổ hợp đặc trưng EulerPoincaré - Trình bày định nghĩa mặt, cách đếm số mặt khối đa diện cho trước việc đếm mặt chiều dẫn đến công thức Euler- Poincaré hình học lồi - Đưa số ví dụ minh họa 31 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Văn Như Cương Tạ Mân (1998), Hình học Afin hình học Ơclít, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Mộng Hy (1999), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục Tiếng Anh [3] Matthias Beck and Raman Sanyal, Combinatorial Reciprocity Theorems, http://math.sfsu.edu/beck/papers/crt.pdf, The book will be published by the American Mathematical Society in 2017 [4] Rockafellar and Ralph Tyrell (1970), Convex analysis, Princeton University Press ... tiêu đề "Công thức Euler - Poincaré hình học lồi" Trong luận văn này, trình bày lại khái niệm, định nghĩa, công thức Euler - Poincaré, cách chứng minh công thức Đặc biệt vận dụng công thức việc... tiễn Công thức Euler- Poincaré hình học lồi công thức tổ hợp có nhiều ứng dụng giải toán thi học sinh giỏi, giảng dạy hình học phẳng, hình học ba chiều khởi đầu cho nghiên cứu sâu sắc toán học. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ PHƯƠNG THẢO CÔNG THỨC EULER - POINCARÉ TRONG HÌNH HỌC LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương