Hình thành công thức ứng dụng trong hình học phẳng theo dạng đại số của số phức

y o c u -tr a c k c Chơng Số phức Giỏo trỡnh hỡnh thnh cụng thc ng dng hỡnh hc phng theo dng i s ca s phc Đ1 Trờng số phức Kí hiệu = ì = { (x, y) : x, y } Trên tập định nghĩa phép toán cộng phép toán nhân nh sau (x, y), (x, y) (x, y) + (x, y) = (x + x, y + y) (1.1.1) (x, y) ì (x, y) = (xx - yy, xy + xy) Ví dụ (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) (2, 1) ì (-1, 1) = (-3, 1) Định lý (, +, ì ) trờng số Chứng minh Kiểm tra trực tiếp công thức (1.1.1) Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không (0, 0) (x, y) , (x, y) + (0, 0) = (x, y) Mọi phần tử có phần tử đối -(x, y) = (-x, -y) (x, y) , (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị (1, 0) (x, y) , (x, y) ì (1, 0) = (x, y) y Mọi phần tử khác phần tử nghịch đảo (x, y)-1 = ( x , ) x + y x + y2 (x, y) - {(0, 0)}, (x, y) ì ( y x , ) = (1, 0) x + y x + y2 Ngoài phép nhân phân phối với phép cộng Trờng (, +, ì ) gọi trờng số phức, phần tử gọi số phức Theo định nghĩa số phức cặp hai số thực với phép toán thực theo công thức (1.1.1) Trên trờng số phức phép trừ, phép chia phép luỹ thừa định nghĩa nh sau (n, z, z) ì ì * với * = - { (0, 0) } z z - z = z + (- z), = z ì (z)-1 z0 = 1, z1 = z zn = zn-1 ì z (1.1.2) z' Bằng cách đồng số thực x với số phức (x, 0) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c F- ! O W y o c u -tr a c k c Chơng Số Phức x (x, 0), (1, 0) (0, 0) tập số thực trở thành tập tập số phức Phép cộng phép nhân số phức hạn chế lên tập số thực trở thành phép cộng phép nhân số thực quen thuộc x + x (x, 0) + (x, 0) = (x + x, 0) x + x, Ngoài tập số phức có số số thực Kí hiệu i = (0, 1) gọi đơn vị ảo Ta có i2 = (0, 1) ì (0, 1) = (-1, 0) -1 Suy phơng trình x2 + = có nghiệm phức x = Nh trờng số thực (3, +, ì) trờng thực trờng số phức (, +, ì) Đ2 Dạng đại số số phức Với số phức z = (x, y) phân tích (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) Đồng đơn vị thực (1, 0) đơn vị ảo (0, 1) i, ta có z = x + iy (1.2.1) Dạng viết (1.2.1) gọi dạng đại số số phức Số thực x = Rez gọi phần thực, số thực y = Imz gọi phần ảo số phức z = x - iy gọi liên hợp phức số phức z Kết hợp công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy dạng đại số phép toán số phức (x + iy) + (x + iy) = (x + x) + i(y + y) (x + iy) ì (x + iy) = (xx - yy) + i(xy + xy) x + iy xx + yy x y xy = + i , x + iy x + y x + y (1.2.2) Ví dụ Cho z = + 2i z = - i z + 2i = =i z' 2i z2 = (1 + 2i) ì (1 + 2i) = -3 + 5i, z3 = z2 ì z = (-3 + 5i) ì (1 + 2i) = -13 - i z ì z = (2 + 2) + i(-1 + 4) = + 3i, Từ định nghĩa suy z =z z3 z = - z z i3 z=z z + z = 2Rez z - z = 2iImz z z = Re2z + Im2z Ngoài liên hợp phức có tính chất sau Định lý (n, z, z) ì ì Trang Giáo Trình Toán Chuyên Đề (1.2.3) d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N PD h a n g e Vi e N O W XC er ! w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Số Phức w z + z' = z + z' zz' = z z' z n = (z ) n z = ( z ) z z = z z Chứng minh Suy từ định nghĩa Ta có zz' = (x + iy) ì (x + iy ) = (xx - yy) - i(xy + xy) z z' = (x - iy) ì (x - iy) = (xx - yy) + i(-xy -xy) Qui nạp suy hệ thức thứ hai Ta có zz = z z = z = ( z )-1 Suy z / z = z(z ) = z z Với số phức z = x + iy, số thực | z | = x + y gọi module số phức z Nếu z = x | z | = | x | Nh module số phức mở rộng tự nhiên khái niệm trị tuyệt đối số thực Từ định nghĩa suy | Rez |, | Imz | | z | | z | = | -z | = | z | = | - z | z z = z z = | z |2 z = z(z)-1 = z z' z-1 = z (1.2.4) z' |z| | z' | Ngoài module số phức có tính chất sau Định lý (n, z, z) ì ì |z|0 |z|=0z=0 | z z | = | z || z | | zn | = | z |n z |z| = | z-1 | = | z |-1 z | z | | z + z | | z | + | z | Chứng minh Suy từ định nghĩa || z | - | z|| | z - z | Ta có | zz |2 = zz zz' = (z z )(z z ) = (| z || z| )2 Qui nạp suy hệ thức thứ hai Ta có | z z-1 | = | z || z-1| = | z-1 | = / | z | Suy | z / z | = | z (z)-1 | = | z | | (z)-1 | Ta có z z + z z = 2Re(z z ) | z z = | z || z| Suy | z + z = (z + z)( z + z' ) = z + 2Re(z z ) + | z|2 (| z | + | z|)2 Đ3 Dạng lợng giác số phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng Số Phức Với số phức z = x + iy * tồn số thực (-, ] cho y x cos = sin = (1.3.1) |z| |z| Tập số thực Argz = + k2, k gọi argument, số thực argz = gọi argument số phức z Chúng ta qui ớc Arg(0) = Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy x = rcos y = rsin Thay vào công thức (1.2.1) nhận đợc z = r(cos + isin) (1.3.2) Dạng viết (1.3.2) gọi dạng lợng giác số phức Từ định nghĩa suy argz = arg(-z) = - , arg z = - arg(- z ) = - x > 0, argx = x < 0, argx = y > 0, arg(iy) = /2 y < 0, arg(iy) = -/2 Ngoài argument số phức có tính chất sau (1.3.3) Định lý (n, z, z) ì ì arg(zz) = argz + argz [2] arg(zn) = n argz [2] arg(z-1) = - argz [2] arg(z / z) = argz - argz [2] Chứng minh Giả sử z = r(cos + isin) z = r(cos + isin) Suy zz = rr[(coscos - sinsin) + i(sincos + cossin)] = rr[cos( + ) + isin( + )] Qui nạp suy hệ thức thứ hai Ta có arg(zz-1) = arg(z) + arg(z-1) = [2] arg(z-1) = - arg(z) [2] Suy arg(z / z) = arg(zz-1) = argz + arg(z-1) Ví dụ Cho z = + i z = + i Ta có zz = [ (cos + isin )][2(cos + isin )] = 2 (cos + isin ) 4 6 12 12 z100 = ( )100[cos(100 ) + isin(100 )] = -250 4 Với số thực 3, kí hiệu ei = cos + i sin Trang Giáo Trình Toán Chuyên Đề (1.3.4) d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Số Phức w Theo kết có định lý sau Định lý (n, , ) ì ì ei ei = = k2 ei(+) = eiei (ei)-1 = e-i Chứng minh Suy từ công thức (1.3.4) kết e i = e-i (ei)n = ein Hệ (n, ) ì (cos + isin)n = cosn + isinn (1.3.5) 1 cos = (ei + e-i) sin = (ei - e-i) (1.3.6) 2i Công thức (1.3.5) gọi công thức Moivre, công thức (1.3.6) gọi công thức Euler n Ví dụ Tính tổng C = cos k S = k =0 n Ta có C + iS = e k =0 Suy C= ik = e n sin k k =0 i ( n +1) e i cos( n + 1) cos n + cos 1 sin( n + 1) sin n sin S = cos cos Số phức w gọi bậc n số phức z kí hiệu w = n z z = wn Nếu z = w = Xét trờng hợp z = rei w = ei Theo định nghĩa wn = nein = rei Suy n = r n = + m2 Hay = n r = + m với m n n Phân tích m = nq + k với k < n q Ta có + m + k [2] n n n n Từ suy định lý sau Định lý Căn bậc n số phức khác n giá trị khác wk = n r [cos ( + k ) + isin( + k )] với k = (n - 1) n n n n (1.3.7) Ví dụ Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng Số Phức (cos + isin ) có bậc sau 4 w0 = (cos + isin ), w1 = (cos + isin ), w2 = (cos 17 + isin 17 ) 12 12 12 12 12 12 2 Giải phơng trình x - x +1 = Số phức z = + i = Ta có = -3 < phơng trình có nghiệm phức x1,2 = Hệ Kí hiệu k = e ik n i , k = (n - 1) bậc n đơn vị k = n-k k = (1)k n k =0 Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j = e i k =0 = Suy = j2 = j + j + j2 = Đ4 Các ứng dụng hình học phẳng Kí hiệu V mặt phẳng vectơ với sở trực chuẩn dơng (i, j) Anh xạ : V, z = x + iy v = xi + yj (1.4.1) song ánh gọi biểu diễn vectơ số phức Vectơ v gọi ảnh số phức z, số phức z gọi toạ vị phức vectơ v kí hiệu v(z) Kí hiệu P mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy) Anh xạ : P, z = x + iy M(x, y) (1.4.2) song ánh gọi biểu diễn hình học số phức Điểm M gọi ảnh số phức z số phức z gọi toạ vị phức điểm M kí hiệu M(z) Nh hình bên, M(z) với z = x + iy, M1(- z ), M2(-z) M3( z ) M M1 Nếu z = x điểm M(z) (Ox), z = iy điểm M(z) (Oy) Do mặt phẳng (Oxy) gọi mặt phẳng phức, trục (Ox) trục thực trục (Oy) trục ảo Sau M2 M3 đồng số phức với vectơ hay điểm mặt phẳng ngợc lại Định lý Cho vectơ u(a), v(b) V, số thực điểm M(z) P |u|=|a| (i, u) = arg(a) (a + b) = u + v | OM | = | z | Chứng minh Trang 10 (i, OM ) = arg(z) Giáo Trình Toán Chuyên Đề d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Số Phức w Suy từ công thức (1.4.1) (1.4.2) Hệ Trong mặt phẳng cho điểm A(a), B(b), C(c) D(d) AB (b - a), AB = | b - a |, (i, AB ) = arg(b - a) dc ( AB , CD ) = (i, CD ) - (i, AB ) = arg ba Chứng minh Suy từ định lý 1 1 Ví dụ Cho z - {-1, 0, 1} A(1), B(-1), M(z), N( ) P( (z + )) Chứng minh z z đờng thẳng (MN) phân giác góc ( PA , PB ) Ta có (i, AP ) = arg( 1 (z 1) (z + ) - 1) = arg 2z z 1 (z + 1) (i, BP ) = arg( (z + ) + 1) = arg 2z z Suy (i, AP ) + (i, BP ) = arg M P B O A N (z 1) (z + 1) = 2arg(z - ) = 2(i, MN ) 2z 2z z Hệ Với kí hiệu nh Hai đờng thẳng (AB) // (CD) Hai đờng thẳng (AB) (CD) Ba điểm A, B, C thẳng hàng dc dc = [] ba ba dc dc arg = [] i3 ba ba ca ca arg = [] ba ba arg Chứng minh Suy từ hệ thức hệ Ví dụ Trong mặt phẳng tìm điểm A(z) cho ba điểm A(z), B(iz) C(i) thẳng hàng Kí hiệu z = x + iy, ta có iz i A, B, C thẳng hàng = k -y + i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1) zi k k ( k 1) y = kx x= ,y= với k x = k ( y ) k +1 k +1 ánh xạ : P P, M N gọi phép biến hình Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 11 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c F- ! O W y o c u -tr a c k c Chơng Số Phức Phép biến hình M N = M + v gọi phép tĩnh tiến theo vectơ v Phép biến hình M N = A + k AM (k > 0) gọi phép vi tự tâm A, hệ số k Phép biến hình M N cho ( AM , AN ) = gọi phép quay tâm A, góc Tích phép tĩnh tiến, phép vi tự phép quay gọi phép đồng dạng Định lý Cho phép biến hình : M N z = z + b với b Phép biến hình phép tĩnh tiến Phép biến hình phép vi tự z = a + k(z - a) với k 3+, a Phép biến hình phép quay z = a + ei(z - a) với 3, a Phép biến hình phép đồng dạng z = az + b với a, b Chứng minh Suy từ định nghĩa phép biến hình toạ vi phức Ví dụ Cho A(a), B(b) C(c) Tìm điều kiện cần đủ để ABC tam giác i ABC tam giác thuận (a - b) = e (c - b) (a - b) = - j2(c - b) a + jb + j2c = Tơng tự, ACB tam giác nghịch B (a - b) = - j(c - b) a + jc + j2b = Suy ABC tam giác (a + jb + j2c)(a + jc + j2b) = a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca A + C Đ5 D y trị phức ánh xạ : , n zn = xn + iyn (1.5.1) gọi d y số phức kí hiệu (zn)n D y số thực (xn)n gọi phần thực, d y số thực (yn)n phần ảo, d y số thực dơng (| zn |)n module, d y số phức ( z n )n liên hợp phức d y số phức D y số phức (zn)n gọi dần đến giới hạn a kí hiệu lim zn = a n + > 0, N : n > N | zn - a | < D y số phức (zn)n gọi dần vô hạn kí hiệu lim zn = n + M > 0, N : n > N | zn | > M D y có giới hạn module hữu hạn gọi d y hội tụ D y không hội tụ gọi d y phân kỳ Trang 12 Giáo Trình Toán Chuyên Đề d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N PD h a n g e Vi e N O W XC er ! w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Số Phức w Định lý Cho d y số phức (zn = xn + iyn)n a = + i lim zn = a lim xn = lim yn = n + n + (1.5.2) n + Chứng minh Giả sử lim zn = a > 0, N : n > N | zn - a | < n + n > N | xn - | < | yn - | < lim xn = lim yn = Suy n + n + Ngợc lại lim xn = lim yn = n + n + > 0, N : n > N | xn - | < /2 | yn - | < /2 n > N | zn - a | < lim zn = a Suy n + Hệ lim zn = a lim z n = a lim | zn | = | a | n + n + n + lim (zn + zn) = lim zn + lim zn n + n + n + lim (zn zn) = lim zn lim zn lim (zn / zn) = lim zn / lim zn n + n + n + n + n + n + Các tính chất khác tơng tự giới hạn d y số thực Cho d y số phức (zn = xn + iyn)n Tổng vô hạn + z n =0 n = z0 + z1 + + zn + (1.5.3) gọi chuỗi số phức + x n gọi phần thực, chuỗi số thực Chuỗi số thực n =0 + dơng | z n | module, chuỗi số phức n =0 + y n =0 n phần ảo, chuỗi số thực + z n =0 n liên hợp phức chuỗi số phức n Kí hiệu Sn = z k =0 k gọi tổng riêng thứ n chuỗi số phức Nếu d y tổng riêng Sn dần đến giới hạn S có module hữu hạn chuỗi số phức gọi hội tụ đến tổng S kí hiệu + z n =0 n = S Chuỗi không hội tụ gọi chuỗi phân kỳ + Ví dụ Xét chuỗi số phức z n = + z + + zn + ( | z | < 1) n =0 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 13 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng Số Phức Sn = + z + + zn = Ta có z n +1 1 + z 1 z Vậy chuỗi đ cho hội tụ Từ định nghĩa chuỗi số phức tính chất d y số phức, chuỗi số thực suy kết sau Định lý Cho chuỗi số phức + (z n =0 + zn = S n =0 n = x n + iy n ) S = + i + x n = n =0 + y n =0 n = (1.5.4) Chứng minh Suy từ định nghĩa công thức (1.5.2) Hệ + | zn | = | S | n =0 + zn = S n =0 + z n =0 n = S Các tính chất khác tơng tự chuỗi số thực Chuỗi số phức + z n gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi module n =0 + | z n =0 n | hội tụ Rõ ràng chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi hội tụ Tuy nhiên điều ngợc lại nói chung không Ngoài ra, chứng minh chuỗi số phức hội tụ tuyệt đối tổng vô hạn (1.5.3) có tính chất giao hoán, kết hợp, tơng tự nh tổng hữu hạn Đ6 Hàm trị phức Cho khoảng I 3, ánh xạ f : I , t f(t) = u(t) + iv(t) gọi hàm trị phức (1.6.1) Hàm u(t) = Ref(t) gọi phần thực, hàm v(t) = Imf(t) phần ảo, hàm | f(t) | module, hàm f (t ) liên hợp phức hàm trị phức Trên tập f(I, ) hàm trị phức xác định khoảng I, định nghĩa phép toán đại số tơng tự nh tập f(I, 3) hàm trị thực xác định khoảngI Hàm trị phức f(t) gọi bị chặn hàm module | f(t) | bị chặn Cho hàm f : I I Hàm f gọi dần đến giới hạn L t dần đến kí Trang 14 Giáo Trình Toán Chuyên Đề d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng Hàm Biến Phức Trớc hết biến hai đờng tròn lồng hai đờng thẳng song song cách biến điểm i thành điểm Sau dùng phép tĩnh tiến phép vi tự để điều chỉnh băng ngang thành băng ngang đối xứng có độ rộng thích hợp Cuối dùng phép quay để nhận đợc băng đứng Ví dụ Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D = {| z | < 1} - [1/3, 1] thành miền G = {| w | < 1} Trớc hết biến hình tròn với lát cắt [1/3, 1] thành mặt phẳng với lát cắt [-1, 5/3] phép biến hình Jucop Sau thu gọn lát cắt thành đoạn [-1, 1] phép tĩnh tiến phép vi tự Cuối dùng phép biến hình Jucop ngợc 1/3 1 (z + ) z (1) = 1, (1/3) = 5/3 = -1 -1 5/3 = (w + ) w (-1) = -1, (5/3) = = ( ) Lấy tích phép biến hình w = + = (z + ) + [ (z + ) ]2 8 Bài tập chơng Xác định phần thực, phần ảo, module argument hàm sau z+i a w = z3 b w = z c w = d w = z z z Biểu diễn qua z z hàm sau a w = x2 - b w = x2 + y2 + iy c w = 2xy x + y2 Khảo sát tính liên tục, liên tục hàm sau Re z z +1 a w = b w = lnx + iy c w = z z Trang 40 Giáo Trình Toán Chuyên Đề w = x3 + iy3 d w = z |z| d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Hàm BiếnPhức w Khảo sát điều kiện (C - R) tính giải tích hàm sau b w = zRez c w = a w = z3 z +1 d w = z z Điều kiện Cauchy - Riemann a Tìm a, b, c để hàm f(z) = x + ay + i(bx + cy) giải tích b Chứng tỏ hàm f(z) = | xy | thoả điều kiện (C - R) nhng không khả vi z = c Cho f(z) = u(r, ) + iv(r, ) với z = rei Viết dạng lợng giác điều kiện (C - R) w u v d Cho w = u(x, y) + i v(x, y) Chứng minh lim Re = z x z x Tìm góc quay hệ số co phép biến hình w = f(z) điểm z D b w = với z = - i, z = + i a w = z2 với z = + i , z = -3 + 4i z +1 Viết dạng đại số số phức sau a e1 + i b Ln(1 + i) c cos(2 + i) d sin(2i) g (1 - i)3 - 3i h (1) e tg(2 - i) f i i Chứng minh công thức sau a cos(z + z) = coszcosz - sinzsinz 2tgz c tg(2z) = + tg z i b sin2z = 2sinzcosz d ch(2z) = ch2z - sh2z Tìm ảnh miền D qua phép biến hình w = f(z) a w = z2 D = {-/2 < Imz < /2} b w = + ez D = {- < Rez < } c w = cosz D = {-/2 < Imz < /2} d w = shz D = {-/2 < Rez < /2} 10 Cho phép biến hình w = (1 + i)z - a Tìm ảnh đoạn thẳng nối hai điểm z1 = i z2 = -i b Tìm ảnh đờng tròn | z - (1 + i) | = c Tìm ảnh tam giác có đỉnh z0 = 0, z1 = + i z2 = - i z d (x - 1)2 + y2 = 11 Tìm ảnh đờng cong sau qua phép biến hình w = a x2 + y2 = b x = c y = x Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 41 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c y c Chơng Hàm Biến Phức 12 Tìm phép biến hình phân tuyến tính a Biến tam giác có đỉnh 0, 1, i thành tam giác đồng dạng có đỉnh 0, 2, 1+ i b Biến điểm -1, +, i tơng ứng thành điểm i, 1, + i c Biến điểm i thành -i có điểm bất động + 2i d Biến hình tròn | z | < thành nửa mặt phẳng Rew > cho w(0) = 1, w(1) = /2 e Biến hình tròn | z | < thành hình tròn | w - | < cho w(0) = 1/2, w(1) = 13 Tìm phép biến hình biến miền sau thành nửa mặt phẳng Imw > a Imz > 0, | z | < b Imz > 0, | z | < d | z | < 2, < argz < /3 e | z | > 2, < argz < /4 f | z | < 1, | z - i | 1, | z - i | < h | z | > 2, | z - | > i < Rez < j Rez > 0, < Imz < k | z | < 1, < argz < l Mỗi bốn miền giới hạn đờng tròn | z | = | z + | = m (z) - [-1, 1] n (z) - (-, 1] [1, +) o (z) - [1 + i, + 2i] p (z) - { y = x, x } q {| z | > 1} - [i, +i) r {| z | < 1} - [1/2, 1] Trang 42 Giáo Trình Toán Chuyên Đề d o m w o o c u -tr a c k w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng Tích Phân Phức Đ1 Tích phân phức Cho miền D , hàm phức f : D , z f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tham số cung trơn khúc : [, ] D, t (t) = x(t) + iy(t) Tích phân f (z)dz = f[(t )] (t )dt (3.1.1) gọi tích phân hàm phức f(z) dọc theo tham số cung Giả sử : [1, 1] D, s 1(s) tham số cung hớng với Tức có phép đổi tham số bảo toàn hớng : [, ] [1, 1] với (t) > 1(s) = o(t) Khi ta có f[ (t )] (t )dt = f[ (s)] (s)ds Suy tích phân hàm phức không phụ thuộc vào lớp tham số cung hớng Kí hiệu = ([, ]) đờng cong định hớng Tích phân f (z)dz = f (z)dz (3.1.2) gọi tích phân hàm phức f(z) đờng cong Nếu tích phân (3.1.1) tồn hữu hạn hàm f gọi khả tích đờng cong Định lý Hàm phức f liên tục đờng cong trơn khúc khả tích Chứng minh Giả sử f : D liên tục = ([, ]) với : [, ] D tham số cung trơn khúc Khi hàm fo(t)(t) liên tục khúc nên khả tích đoạn [, ] Để tính tích phân phức, thay (t) = x(t) + iy(t) fo(t) = u[x(t), y(t)] + iv[x(t), y(t)] = u(t) + iv(t) vào công thức (3.1.1) tách phần thực, phần ảo suy công thức sau Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 43 d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng Tích Phân Phức f (z)dz = [u(t )x (t ) v(t )y(t )]dt + i [u(t )y(t ) + v(t )x (t)]dt (3.1.3) Ví dụ Tính tích phân I = z Re zdz với đoạn thẳng [1, 2i] 2i Tham số hoá đoạn thẳng [1, 2i] x = t, y = -2t + với t [1, 0] Suy (t) = - 2i, fo (t) = t2 + i(-2t2 + 2t) 0 1 0 I = [t + i(-2t + t )](1 - 2i )dt = (3t t )dt + i (4 t t )dt = Tính tích phân I = -3+ i dz với đờng tròn | z | = R định hớng dơng n z Tham số hoá đờng tròn = (ab) (t) = Reit, t [0, 2] Suy (t) = iReit, fo(t) = R-ne-int I = iR n e i (1 n ) t dt = i 0 ab n =1 n Đ2 Các tính chất tích phân phức Trong mục để đơn giản xem hàm f, g, liên tục miền D, = ([, ]) với : [, ] D đờng cong định hớng, trơn khúc nằm gọn miền D Tích phân hàm phức có tính chất sau Tuyến tính Nếu hàm f g khả tích đờng cong với số phức hàm f + g khả tích đờng cong [f (z) + g(z)]dz = f (z)dz + g(z)dz Chứng minh Từ giả thiết suy hàm [fo(t) + go(t)](t) khả tích [, ] [f (z) + g(z)]dz = [fo(t ) + go(t )] (t)dt Trang 44 Giáo Trình Toán Chuyên Đề (3.2.1) d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Tích Phân Phức w = fo(t ) (t )dt + go(t ) (t )dt = f (z)dz + g(z)dz Định hớng Nếu hàm f khả tích đờng cong + = (ab) hàm f khả tích đờng cong - = (ba) f (z)dz f (z)dz =- ba (3.2.2) ab Chứng minh Tham số hoá + = -([, ]) với - : [, ] D, -(t) = (-t + + ) Từ giả thiết suy hàm fo-(t)-(t) khả tích [, ] fo(-t + + ) (-t + + )dt = - fo(s) (s)ds f (z)dz = - Hệ thức Chasles Nếu hàm f khả tích đờng cong = (ab) với c hàm f khả tích đờng cong = (ac) = (cb) f (z)dz + f (z)dz = f (z)dz ac cb (3.2.3) ab Chứng minh Giả sử c = () với [, ] Tham số hoá = 1([, ]) với : [, ] D, 1(t) = (t) = 2([, ]) với : [, ] D, 2(t) = (t) Từ giả thiết suy hàm fo1(t)1(t) khả tích [, ] fo1(t)1(t) khả tích [, ] fo (t ) (t )dt + fo (t ) (t )dt = fo(t ) (t )dt Ước lợng tích phân Kí hiệu s() độ dài đờng cong Nếu hàm f khả tích đờng cong hàm | f(z) | khả tích đờng cong f (z)dz f (z) ds sup | f(z) | s() (3.2.4) Chứng minh Từ giả thiết suy hàm fo(t)(t) khả tích [, ] Kết hợp công thức (3.1.3) với công thức tích phân đờng loại suy f (z)dz = fo(t ) (t)dt fo(t ) (t ) dt = f (z) ds Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 45 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c F- ! O W y o c u -tr a c k c Chơng Tích Phân Phức Liên hệ tích phân đờng Nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả tích đờng cong hàm u(x, y) v(x, y) khả tích đờng cong f (z)dz = u(x, y)dx v(x, y)dy + i v(x, y)dx + u(x, y)dy (3.2.5) Chứng minh Từ giả thiết suy hàm u(t) v(t) khả tích [, ] Kết hợp công thức (3.1.3) với công thức tích phân đờng loại suy công thức (3.2.5) Công thức Newton-Leibniz Hàm giải tích F(z) gọi nguyên hàm hàm f(z) miền D z D, F(z) = f(z) Cho hàm f(z) có nguyên hàm F(z) = (ab) Khi ta có f (z)dz = F(b) - F(a) (3.2.6) ab Chứng minh Từ giả thiết suy hàm Fo(t) nguyên hàm fo(t) [, ] Kết hợp công thức (3.1.1) công thức Newton - Leibniz tích phân xác định f (z)dz = f[(t )] (t )dt = Fo() - Fo() ab Ví dụ Tính tích phân I = dz với đờng tròn | z | = R định hớng dơng n z Ta có = (ab) với a = Re , b = Rei2 Với n hàm f(z) = 1n có nguyên hàm F(z) = z n suy I = F(b) - F(a) = n z Với n = hàm f(z) = có nguyên hàm F(z) = Lnz Tuy nhiên hàm logarit xác định z đơn trị - (-, 0] Vì I = Ln1(ei2) - Ln0(ei0) = 2i i0 Đ3 Định lý Cauchy Định lý Cho hàm f giải tích miền D đơn liên đờng cong đơn, kín, trơn khúc, định hớng dơng nằm gọn miền D Khi ta có f (z)dz = (3.3.1) Chứng minh Kí hiệu D D miền đơn liên có biên định hớng dơng đờng cong Để đơn giản ta xem hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) với hàm u v có đạo hàm liên tục D Trang 46 Giáo Trình Toán Chuyên Đề d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N PD h a n g e Vi e N O W XC er ! w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Tích Phân Phức w áp dụng công thức (3.2.5), công thức Green điều kiện Cauchy-Riemann f (z)dz = (udx vdy) + i (vdx + udy) = v u u v ( x y )dxdy + i ( x y )dxdy = D D Chú ý Hàm f giải tích không đủ để hàm u v có đạo hàm riêng liên tục Do việc chứng minh định lý Cauchy thực phức tạp nhiều Bạn đọc quan tâm đến phép chứng minh đầy đủ tìm đọc tài liệu tham khảo Hệ Cho miền D đơn liên có biên định hớng dơng đờng cong đơn, kín, trơn khúc hàm f liên tục D , giải tích D f (z)dz = (3.3.2) D Chứng minh Theo định nghĩa tích phân, ta xem tích phân D nh giới hạn tích phân đờng cong đơn, kín, trơn khúc, định hớng dơng, nằm gọn miền D dần đến D Hệ Cho miền D đa liên có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn, kín, trơn khúc hàm f liên tục D , giải tích D f (z)dz (3.3.3) D Chứng minh Giả sử miền D đa liên cắt miền D cung (ab) (cd) nhận đợc miền đơn liên D1 nh c hình bên Ta có D1 = D + (ab) + (ba) + (cd) + (dc) Kết hợp hệ tính định hớng, tính cộng tính tích phân 0= a b d f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz = f (z)dz D D ab ba cd dc D Hệ Cho miền D đa liên có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn, kín, trơn khúc D = L+0 + L1 + + Ln hàm f liên tục D , giải tích D f (z)dz = L0 n f (z)dz (3.3.4) k =1 L k Chứng minh Suy từ công thức (3.3.3) tính định hớng, tính cộng tính tích phân Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 47 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng Tích Phân Phức Hệ Cho hàm f giải tích miền D đơn liên Khi tích phân f ()d với a, z D (3.3.5) az không phụ thuộc đờng cong đơn, trơn khúc, nối a với z nằm gọn miền D Chứng minh Giả sử (amb) (anb) hai đờng cong đơn, trơn n khúc, nối a với z nằm gọn D Khi (amzna) z đờng cong đơn, trơn khúc, kín nằm gọn D a m Từ công thức (3.3.1) tính cộng tính 0= f ()d = f ()d amzna f ()d + amz zna Chuyển vế sử dụng tính định hớng suy f ()d amz = f ()d anz Hệ Cho hàm f giải tích miền D đơn liên a D Khi hàm z F(z) = f ( )d với z D (3.3.6) a nguyên hàm hàm f miền D F(a) = Chứng minh Theo công thức (3.3.5) hàm F xác định đơn trị miền D F(a) = Ngoài với (z, h) D ì cho [z, z + h] D F(z + h) F(z) f (z) = h h z+h (f () f (z))d sup{| f() - f(z) | : [z, z + h]} z h Suy hàm F giải tích D F(z) = f(z) Đ4 Công thức tích phân Cauchy Bổ đề Cho đờng cong đơn, kín, trơn khúc, định hớng dơng D = D Khi ta có dz a - , Ind(a) = = a D (3.4.1) i z a a D Hàm Ind(a) gọi số điểm a đờng cong Chứng minh Trang 48 Giáo Trình Toán Chuyên Đề d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Tích Phân Phức w liên tục D , giải tích D Theo công thức (3.3.2) za tích phân hàm f đờng cong kín không S Với a D, kí hiệu B = B(a, ) D, S = B+ đờng tròn tâm a, a bán kính , định hớng dơng D1 = D - B Hàm f(z) liên tục D D , giải tích D1 theo công thức (3.3.4) ví dụ Với a D , hàm f(z) = Đ1 dz z a = dz za = 2i S Định lý Cho hàm f giải tích miền D đờng cong đơn, kín, trơn khúc, định hớng dơng cho D D Khi ta có f (z) a D - , Ind(a)f(a) = dz (3.4.2) i z a Công thức (3.4.2) gọi công thức tích phân Cauchy Chứng minh f (z ) f (a ) Từ giả thiết suy hàm g(z) = z a f (a ) Sử dụng công thức (3.3.1) ta có f (z) f (a ) = g(z )dz = dz dz z a z a z a giải tích miền D z=a Kết hợp với công thức (3.4.1) suy công thức (3.4.2) Hệ Cho miền D có biên định hớng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn, kín, trơn khúc hàm f liên tục D , giải tích D f ( ) z D, f(z) = d 2i D z (3.4.3) Chứng minh Nếu D miền đơn liên biên D đờng cong định hớng dơng, đơn, kín trơn khúc Lập luận tơng tự nh chứng minh định lý sử dụng công thức (3.3.2) thay cho công thức (3.3.1) Nếu D miền đa liên biến đổi miền D thành miền D1 đơn liên nh hệ 2, Đ3 Sau sử dụng kết đ biết cho miền đơn liên, tính cộng tính tính định hớng tích phân Nhận xét Theo kết giá trị hàm giải tích miền D đợc xác định giá trị biên D .Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 49 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c F- ! O W y o c u -tr a c k c Chơng Tích Phân Phức Hệ Cho đờng cong đơn, kín, trơn khúc, định hớng dơng hàm f liên tục D , giải tích D a D, f (z) z a dz = 2if(a) (3.4.4) Chứng minh Suy từ công thức (3.4.3) Ví dụ Tính tích phân I = z hớng dơng | z | = Theo công thức (3.3.4) I = z dz + z +1 z +1 =1 dz với đờng tròn định z + dz = I + I z z =1 -1 1 thoả m n công thức (3.4.4) đờng tròn | z + | = suy z I1 = 2if(-1) = -i thoả m n công thức (3.4.4) đờng tròn | z - | = suy Hàm g(z) = z +1 I2 = 2ig(1) = i Vậy I = -i + i = Hàm f(z) = Đ5 Tích phân Cauchy Cho đờng cong định hớng đơn, trơn khúc hàm f liên tục Tích phân f ( ) F(z) = d với z D = - (3.5.1) i z gọi tích phân Cauchy dọc theo đờng cong Định lý Hàm F(z) giải tích có đạo hàm cấp miền D Khi ta có n! f ( ) d (3.5.2) (n, z) ì D, F(n)(z) = i ( z) n +1 Chứng minh Do hàm f liên tục z nên hàm F xác định đơn trị miền D Trang 50 Giáo Trình Toán Chuyên Đề d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N PD h a n g e Vi e N O W XC er ! w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Tích Phân Phức w Với a D tuỳ ý F (z) F(a ) f ( ) f ( ) = d d z a za i ( a )( z ) i ( a ) Suy hàm F có đạo hàm cấp miền D tính theo công thức (3.5.2) giải tích miền D Giả sử hàm F có đạo hàm đến cấp n - miền D Với a D tuỳ ý n =1 F ( n 1) (z) F za ( n 1) (a ) ( a ) = k ( z ) n k (n 1)! f ( ) k = i ( a ) n ( z ) n z a d n! f ( ) d i ( a ) n +1 Suy hàm F có đạo hàm cấp n miền D tính theo công thức (3.5.2) Hệ Cho miền D có biên định hơng dơng gồm hữu hạn đờng cong đơn, kín trơn khúc Nếu hàm f liên tục D , giải tích D có đạo hàm cấp miền D n! f ( ) (n, z) ì D, f(n)(z) = d (3.5.3) 2i D ( z) n +1 Chứng minh Nếu D miền đơn liên biên D đờng cong định hớng dơng, đơn, kín trơn khúc Theo công thức (3.4.3) ta có f ( ) z D, f(z) = d F(z) 2i D z Kết hợp với công thức (3.5.2) suy công thức (3.5.3) Nếu D miền đa liên biến đổi miền D thành miền D1 đơn liên nh hệ 2, Đ3 Sau sử dụng kết đ biết cho miền đơn liên, tính cộng tính tính định hớng tích phân Hệ Cho đờng cong đơn, kín, trơn khúc, định hớng dơng hàm f liên tục D , giải tích D a D, f (z) (z a ) ( n +1) dz = 2i (n) f (a) n! (3.5.4) Chứng minh Suy từ công thức (3.5.3) e z dz với đờng tròn | z | = định hớng dơng Ví dụ Tính tích phân I = ( z + 1) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 51 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng Tích Phân Phức Hàm f(z) = ez liên tục hình tròn | z | 2, giải tích hình tròn | z | < Thoả m n công thức (3.5.4) suy 2i I= f(-1) = ie-1 2! Hệ (Định lý Morera) Cho hàm f liên tục miền D với tam giác D f (z)dz = (3.5.5) Khi hàm f giải tích miền D Chứng minh Với a D tuỳ ý, kí hiệu B = B(a, ) D Vì hàm f liên tục B nên khả tích đoạn thẳng [a, z] với z B Do hàm z z+h B F(z) = f ( )d với z B a z a xác định đơn trị hình tròn B F(a) = Ngoài với (z, h) D ì cho [z, z + h ] B F(z + h) F(z) f (z) = h h z+h (f () f (z))d sup{| f() - f(z) | : [z, z + h]} z h Suy hàm F giải tích B F(z) = f(z) Từ định lý suy hàm f có đạo hàm B giải tích B Đ6 Định lý trị trung bình Định lý (Về trị trung bình) Cho hàm f giải tích miền D Khi ta có n , R > : B(a, R) D, f(n)(a) = n! R n f (a + Re Chứng minh Tham số hoá đờng tròn S = B+(a, R) (t) = a + Reit, dz = iReitdt với t [0, 2] Ap dụng công thức (3.5.4) f(n)(a) = Trang 52 n! f (z) dz = n! n n +1 i S (z a ) R f (a + Re Giáo Trình Toán Chuyên Đề it )e int dt it )e int dt (3.6.1) d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N O W ! h a n g e Vi e N PD ! XC er O W F- w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c h a n g e Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng Tích Phân Phức w Hệ (Bất đẳng thức Cauchy) Cho hàm f giải tích miền D n! M n , R > : B(a, R) D, | f(n)(a) | với M = supB| f(z) | Rn Chứng minh Suy từ ớc lợng tích phân (3.6.1) | f(n)(a) | n! 2 f (a + Re it (3.6.2) n! M Rn )e int dt Hệ (Định lý Liouville) Hàm giải tích bị chặn tập số phức hàm Chứng minh Giả sử hàm f giải tích bị chặn tập Khi (a, R) ì 3+ , B(a, R) Theo công thức (3.6.2) với n = với M = sup| f(z) | | f(a) | M R + R Suy a , f(a) = Vậy hàm f hàm Hệ (Định lý DAlembert - Gauss) Mọi đa thức hệ số phức bậc n có n không điểm phức không điểm bội k tính k không điểm Chứng minh Giả sử Pn(z) = a0 + a1z + + zn z , Pn(z) Ta có a a a a | Pn(z) | = | z |n + n + + 0n | z |n n + + 0n z z z z Suy z : | z | r = Max (n + 1)a k k = n Kí hiệu k rn | Pn(z) | n +1 n mr = min{| Pn(z) | : | z | r}, m = min{mr , r } g(z) = , z n +1 Pn (z ) Khi z , | Pn(z) | m hay | g(z) | = 1 | Pn ( z ) | m Nh hàm g(z) giải tích bị chặn , theo định lý Liouville hàm Suy hàm Pn(z) hàm hằng! Điều mâu thuẫn Vậy z1 cho Pn(z1) = Phân tích Pn(z) = (z - z1)Pn-1(z) với degPn-1 = n - Lập luận tơng tự phân tích Pn-1(z) tiếp tục phân tích Pn(z) = (z - z1)(z - z2) (z - zn) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 53 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c F- ! O W y o c u -tr a c k c Chơng Tích Phân Phức Hệ (Nguyên lý module cực đại) Cho miền D giới nội hàm f liên tục D , giải tích D Khi hàm f(z) hàm hàm | f(z) | đạt trị lớn nhất, trị bé D Chứng minh Giả sử hàm f(z) hàm Do hàm | f(z) | liên tục miền D đóng giới nội nên đạt trị lớn nhất, trị bé miền D Chúng ta xét trờng hợp hàm đạt trị lớn Tức a D cho | f(a) | = MaxD | f(z) | Nếu a D0 a điểm cực đại địa phơng B(a, R) D cho t [0, 2], | f(a) | > | f(a + Reit) | Ước lợng công thức (3.6.1) với n = | f(a) | 2 f (a + Re it ) dt < | f(a) | Điều mâu thuẫn Vậy a D Lập luận tơng tự cho trờng hợp hàm đạt trị bé Đ7 Hàm điều hoà Hàm thực u(x, y) liên tục D , thuộc lớp C2 D gọi hàm điều hoà thoả m n phơng trình Laplace Tức 2 (x, y) D, u = u2 + u2 = x y (3.7.1) Định lý Phần thực, phần ảo hàm giải tích hàm điều hoà Chứng minh Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) giải tích miền D Khi hàm f(z) có đạo hàm cấp suy hàm u(x, y) v(x, y) có đạo hàm riêng liên tục thoả m n điều kiện Cauchy - Riemann u x = v y u y = v x Suy + u yy = v yx v xy = v = v xx + v yy = u yx + u xy =0 u = u xx Sau gọi cặp hàm điều hoà thoả m n điều kiện Cauchy - Riemann cặp hàm điều hoà liên hợp Định lý Cho hàm thực u(x, y) điều hoà miền D đơn liên Khi có hàm phức f(z) Trang 54 Giáo Trình Toán Chuyên Đề d o m o w w w d o C lic k to bu y bu to k lic C w w w N PD h a n g e Vi e N O W XC er ! w m h a n g e Vi e w PD XC er F- c u -tr a c k c [...]... ! XC er PD F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng 1 Số Phức 1 Viết dạng đại số của các số phức 2 a (2 - i)(1 + 2i) b 4 3i 4 + 5i 3 4i c d (1 + 2i)3 2 Cho các số phức a, b Chứng minh rằng z + abz (a + b) a | a | = | b | = 1 z , i3 ab a+b b | a | = | b | = 1 và 1 + ab 0 3 1 + ab 3 Viết dạng lợng giác của các số phức b ( 3 + i)10 a -1 + i 3 4 Giải các phơng trình a z2 - (2 + 3i)z - 1... băng ứng < Imz < + 2 Kí hiệu z = x + iy suy ra | w | = ex và Argw = y + k2 (2.6.3) Imz=2 argw=0 argw=2 Imz=0 Qua ánh xạ mũ phức Đờng thẳng y= Băng ngang 0 < Imz < 2 Một mặt phẳng (z) biến thành tia biến thành góc biến thành argw = 0 < argw < 2 - mặt phẳng (w) Hàm logarit phức Hàm logarit phức w = Ln z z = ew (2.6.4) là hàm ngợc của hàm mũ phức Do hàm mũ phức là hàm đa diệp nên hàm logarit phức. .. Vi e w N y bu to k lic c u -tr a c k Chơng 2 Hàm BiếnPhức w trị biến một mặt phẳng (z) thành nhiều tập con rời nhau của mặt phẳng (w) Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét các hàm phức đơn trị xác định trên miền đơn diệp của nó Trên tập F(D, ) các hàm phức xác định trên miền D, định nghĩa các phép toán đại số tơng tự nh trên tập F(I, ) các hàm trị phức xác định trên khoảng I Cho các hàm f : D , z ... Chơng 2 Hàm Biến Phức Nh vậy | f(a) | là hệ số co và argf(a) là góc quay của đờng cong L bất kỳ trong lân cận điểm a Suy ra trong lân cận của điểm a phép biến hình w = f(z) là phép đồng dạng z(t) w(t) dz dw argdz (z) (w) argdw a b Phép biến hình bảo toàn góc giữa hai đờng cong gọi là phép biến hình bảo giác Theo kết quả trên thì hàm giải tích và có đạo hàm khác không là một phép biến hình bảo giác Ngợc... rei suy ra w = rnein argz= 2n argw=2 argz=0 argz=0 Qua ánh xạ luỹ thừa phức Tia argz = 0 < argz < 2 n Một mặt phẳng (z) Góc biến thành tia argw = n biến thành góc 0 < argw < 2 biến thành n - mặt phẳng (w) Hàm căn phức Hàm căn phức w = n z z = wn (2.5.4) là hàm ngợc của hàm luỹ thừa phức Do hàm luỹ thừa phức là n - diệp nên hàm căn phức là hàm n - trị Kí hiệu z = rei và w = ei , ta có = n r , = +... o c u -tr a c k c Chơng 1 Số Phức gọi là một tham số cung Tập điểm = ([, ]) gọi là quĩ đạo của tham số cung hay còn gọi là một đờng cong phẳng Phơng trình (t) = x(t) + iy(t), t [, ] gọi là phơng trình tham số của đờng cong phẳng Tham số cung gọi là kín nếu điểm đầu và điểm cuối trùng nhau Tức là () = () Tham số cung gọi là đơn nếu ánh xạ : (, ) là một đơn ánh Tham số cung gọi là liên tục (trơn... toán Tìm phép biến hình bảo giác f biến miền đơn liên D thành miền đơn liên G Để giải bài toán trên ngời ta thờng sử dụng các kết quả dới đây, gọi là các nguyên lý biến hình bảo giác Việc chứng minh các nguyên lý biến hình bảo giác là rất phức tạp và phải sử dụng nhiều kết quả khác Ơ đây chúng ta chỉ trình bày sơ lợc các ý tởng của các phép chứng minh Bạn đọc quan tâm đến các phép chứng minh chi tiết... hàm f biến hình bảo giác miền D thành miền G Nguyên lý đối xứng Cho các miền đơn liên giới nội D1 đối xứng với D2 qua đoạn thẳng hoặc cung tròn L D1 D2 và hàm f1 : D1 liên tục trên D 1 , giải tích trong D1, biến hình bảo giác miền D1 thành miền G1 sao cho cung L+ thành cung + G1 Khi đó có hàm giải tích f : D1 D2 biến hình bảo giác miền D1 D2 thành miền G1 G2 với G2 là miền đối xứng với G1... tích trong D và biến hình bảo giác D+ thành G+ Khi đó hàm f biến hình bảo giác miền D thành miền G Chứng minh Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 33 d o o c m C m o d o w w w w w C lic k to bu y N O W ! XC er O W F- w PD h a n g e Vi e ! XC er PD F- c u -tr a c k c y o c u -tr a c k c Chơng 2 Hàm Biến Phức Với mọi b G, kí hiệu [f(z) - b] là số gia argument của hàm f(z) - b khi z chạy trên đờng cong Theo. .. một điểm thứ hai (2.11.2) Ví dụ 3 Tìm hàm giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D = { 0 < argz < } thành 3 i miền G = {| w | < 1} sao cho f( e 6 ) = 0 và f(0) = i Trớc hết biến góc nhọn thành nửa mặt phẳng trên bằng phép luỹ thừa Sau đó dùng phép biến hình phân tuyến tính (2.11.1) biến nửa mặt phẳng trên thành phần trong của hình tròn đơn vị Trang 38 Giáo Trình Toán Chuyên Đề d o m o w w w ... gọi dạng đại số số phức Số thực x = Rez gọi phần thực, số thực y = Imz gọi phần ảo số phức z = x - iy gọi liên hợp phức số phức z Kết hợp công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy dạng đại số phép toán số. .. -tr a c k c Chơng Số Phức x (x, 0), (1, 0) (0, 0) tập số thực trở thành tập tập số phức Phép cộng phép nhân số phức hạn chế lên tập số thực trở thành phép cộng phép nhân số thực quen thuộc... hiệu P mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy) Anh xạ : P, z = x + iy M(x, y) (1.4.2) song ánh gọi biểu diễn hình học số phức Điểm M gọi ảnh số phức z số phức z gọi toạ vị phức điểm M