Giáo trình tư duy luyện thi 2018 phần khảo sát hàm số Võ Thanh Bình

Tài liệu gồm 124 trang với phần lý thuyết, ví dụ mẫu, bài tập tự luận và bài tập trắc nghiệm chuyên đề khảo sát hàm số. Các nội dung chính trong tài liệu bao gồm: Bài 00. Các tính chất cơ bản của hàm số Bài 01. Đạo hàm của hàm số Bài 02. Xét đơn điệu của hàm số Bài 03. Xét dấugiải bất phương trình Bài 04. Khái niệm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất Bài 05. Đơn điệu mở rộng Bài 06. Tiệm cận Bài 07. Cực trị của hàm số Bài 08. Đồ thị hàm số Bài 09. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Bài 10. Tương giao Bài 11. Sử dụng đồ thị để biện luận nghiệm phương trình Bài 12. Điểm đặc biệt của (C)

Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số BÀI 00 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ A Định nghĩa hàm số: Trong tốn học, ta giả sử cho hai tập hợp ( tập nguồn tập đích), phần tử tập nguồn ứng với phần tử thuộc tập đích ta coi hàm số f : D  T f : x  f  x  y  f  x  D : tập xác định (hay miền xác định) hàm số, với D  T : miền giá trị hàm số Hiểu là: y  T Hiểu là: x  D x : gọi biến độc lập hay gọi đối số y : gọi biến phụ thuộc hay gọi hàm số f  x  : giá trị hàm f x Xét hàm số: y  f  x   x  3x  ứng với x  ta tìm đƣợc: y    f    22  3.2   1 B Tập xác định: Hàm số y  A( x) (hàm đa thức) Hàm khơng mẫu, khơng A( x) (hàm phân thức- hữu tỉ) y B( x) Hàm có mẫu, khơng y  A( x) (hàm vơ tỉ) Hàm có phía tử Điều kiện có nghĩa x  Tập xác định D  B  x  Giả sử tìm đƣợc x    D  \   A  x   từ ta tìm đƣợc khoảng (đoạn, ) K tập xác định hàm số A( x) B  x   từ ta tìm đƣợc khoảng K (hàm vơ tỉ) B( x) tập xác định hàm số Hàm có phía mẫu Chú ý: hàm đại diện tính tổng qt cho hàm đại số Ở chƣơng trình phổ thơng cần nắm loại hàm: hàm đại số; hàm lượng giác; hàm siêu việt –hàm đào sâu phần sau y ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Câu 1: Tìm miền xác định hàm số sau: y  x  3x    x A D   ;1   2;   B D   3;3 C D   3;1   2;3 D D   3;1  x 1  Câu 2: Tìm miền xác định hàm số sau: y  log    x5 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số A D  1;   B D   ; 5  1;   C D   ;1 D D   ; 1  1;    cos x  B D  R \   k ; k  2  D D  R \   k ; k  6 Câu 3: Tìm miền xác định hàm số sau: y  x  A D  R \ k ; k     C D  R \   k ; k   4  Câu 4: Tìm miền xác định hàm số sau: y        x 1 ln   x  A D  R \ 4 B D   1;5 C D   1;5 \ 4 D D   1;5 Câu 5: Tìm miền xác định hàm số sau: y  x  x  x  A D   0;   B D   ;0  C D  R  x  3x  x 1 Câu 6: Tìm miền xác định hàm số sau: y  A D  R \ 1  A D  R \ 0;  C D  R \  1;1 B D  R \ 1;1 Câu 7: Tìm miền xác định hàm số sau: y   A D  R \ 2 D D  R log x  B D  R \ 0 Câu 8: Tìm miền xác định hàm số sau: y  D D  R \ 0 C D  R ex ex   D D  R \   C D  R \ e D D  R \ ln 2 B D  R Câu 9: Tìm miền xác định hàm số sau: y  ln  ln e  e ln x  x A D  R B D   0;   Câu 10: Tìm miền xác định hàm số sau: y  C D  R \  e; e D D   e;   2x2  A D  R \ 3 x  x2  B D  3;   C D   ; 3  3;   D D   3;3 C Tính chẵn - lẻ: Cho hàm số y  f ( x) Nếu f ( x)  f ( x) hàm số y  f ( x) hàm chẵn – tính chất đồ thị đối xứng qua Oy Nếu f ( x)   f ( x) hàm số y  f ( x) hàm lẻ – tính chất đồ thị đối xứng qua O  f ( x)  f ( x) Nếu  hàm số y  f ( x) hàm khơng chẵn, khơng lẻ  f ( x)   f ( x) | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số BÀI 01 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Trong giải tích tốn học, đạo hàm hàm số miêu tả biến thiên hàm số điểm Trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời chất điểm chuyển động cường độ dòng điện tức thời điểm dây dẫn A Đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y  f ( x) xác định khoảng (a; b) x0   a; b  Đạo hàm hàm số điểm x0 đƣợc kí hiệu f ( x0 ) (hay y( x0 ) ), giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số y x điểm x0 x tiến dần tới Trong đó: x  x  x0 gọi số gia biến số y  f  x   f  x0   f  x  x0   f  x0  gọi số gia hàm số Vậy: f ( x0 )  lim x 0 f  x  x0   f  x0  f  x   f  x0  y  lim  lim  x  x  x x x x  x0 Chú ý: - Nếu hàm số có đạo hàm x0 liên tục điểm y y y y , Trong f   x0   lim đƣợc gọi lần f ( x0 ) tồn lim  lim ; f   x0   lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x lƣợt đạo hàm bên phải đạo hàm bên trái hàm số x0 Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x)  x2  3x  Tìm số gia hàm số x  , biết x  Giải: áp dụng y  f  x  x0   f  x0   f  4  f 1  26   22 Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x)  x  Tìm số gia hàm số x  , biết x  2 Giải: áp dụng y  f  x  x0   f  x0   f  2  f  4  2 3x  Tìm số gia hàm số x  2 , biết x  0, 21 2x  Giải: áp dụng y  f  x  x0   f  x0   f  2, 21  f  2   1,3857042 Ví dụ 3: Cho hàm số y  f ( x)  Ví dụ 4: Cho hàm số y  f ( x)  sin x  cos2 x Tìm số gia hàm số x   , biết x  0,1     Giải: áp dụng y  f  x  x0   f  x0   f   0,1  f    2, 0863604 2  2 Ví dụ 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau : 2x 1 a) f  x   x  3x  x0  b) f  x   x0  c) f  x   3x  x x2 Nhận xét :Ta làm theo quy trình sau : - Gọi x số gia biến số  số gia hàm số y  f  x  x0   f  x0  - Rút gọn tỉ số : y x y x y Vậy: f ( x0 )  lim  const x 0 x - Tính giới hạn : lim x 0 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Giải: a) Cách 1: Gọi x số gia biến số  số gia hàm số y  f  x  1  f 1   x  1   x  1     x   5x 2 y  x   5x    x  x x y  lim  lim  x  5  x 0 x x 0 Vậy: f (1)  Cách 2: f  x   f  x0  f  x   f 1 x  3x  Ta có: f ( x0 )  lim  lim  lim  lim  x    x  x0 x 1 x 1 x 1 x  x0 x 1 x 1 Vậy: f (1)  b) Cách 1: Gọi x số gia biến số 5x  số gia hàm số y  f  x  1  f 1  x  y  lim  lim  5 x 0 x x 0 x  Vậy: f (1)  5 Cách 2: f  x   f  x0  f  x   f 1 x  3x  Ta có: f ( x0 )  lim  lim  lim  lim  x    x  x0 x 1 x 1 x 1 x  x0 x 1 x 1 Vậy: f (1)  c) Gọi x số gia biến số  số gia hàm số y  f  x  x0   f  x0    lim x 0 2 x0 x   x   3x   x0  x    x0  x   3x0  x02 2 x0  x  2 x0  y  lim  2  x  x   x0  x    x0  x   3x0  x02 3x0  x0 Vậy: f (x)  2 x  3x  x    x2 Ví dụ 6: Cho hàm số f  x      x  3x  Giải:  x  x  Tính f  1  1  x   y  f  1   lim  lim  1 x 0 x x 0 x  x   1  x    y   f  1   lim  lim  1 x 0 x x 0 x Do : f  1   f  1   1  f  1  1  | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số B Các quy tắc tính đạo hàm QUI TẮC y uv-w k f ( x) u.v u.v.w u v y n.x x xn ex kx ln x  n 1 n x n 1 sin x cos x tan x cot x k x xm x ax  b cx  d  cx  d  u un eu ku ln u log k u sin u cosu tan u cot u kx u k  y'  n.u n1.u ' n.u '  n 1 u u e u ' k x ln k.u ' u' u u' u.ln k u'.cosu  u'.sin u u' cos u u'  sin u k u' u m mk 1 u u ' k u'  u amx  2anx  bn  cm n ex k x ln k x x.ln k cos x  sin x cos x  sin x x m mk 1 x k  x ad  bc log k x k u ' v '- w ' k f '( x) u '.v  v '.u u '.v.w+u.v '.w  u.v.w' u '.v  v '.u v2 CƠNG THỨC ĐẠO HÀM y  y'  n  y'  um u ax  bx  c mx  n  mx  n  Ví dụ 1: Tính đạo hàm hàm số dƣới đây: a) y  x3  3x2  x  b) y   x  1  x  1 c) y  x2  x 1 3x  Giải: a) y  x3  3x2  x   y   x3  3x  x  5   x3    3x    x    5  3x  x  | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Vậy: y  3x2  x  b) y   x  1  x  1  y   x  1  x  1   x  1  x  1  x  x  1   x  1 Vậy: y  x2  x  c) y  x2  x 1 3x   y  x  x  1  3x  1   3x  1  x  x  1  3x  1 Vậy: y  3x  x   3x  1 Ví dụ 2: Tính đạo hàm hàm số dƣới đây: a) y   x  5 c) y  sin  3x  1 b) y  3x  x  x  3x  1   x  x  1   3x  1 Giải: a) y   x  5  y '   x  5  x  5 Vậy: y '  12  x  5 b) y  3x  x  y   3x  x  3x  x 3x  Vậy: y  3x  x c) y  sin  3x  1     y  3sin  3x  1 sin  3x  1  3sin  3x  1 cos  3x  1  3x  1 Vậy: y  18x.sin  3x  1 cos  3x  1 Ví dụ 3: Tính đạo hàm hàm số dƣới x  a) y  x3  3x  b) y  3x  Giải: a) y  x3  3x2   y  x2  x  y    12 b) y  3x   y  3x  y    3x  Bài tập tự luận nhằm mục đích thuộc cơng thức 1/ y  x3  x2  x  3/ y  x  x  3 10 2/ y  x3  1  2m  x   m  1 x  m2  3 4/ y  mx4  1  3m  x  m(m2  2) | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2x 1 x2  3x 7/ y  x2 9/ y  ( x  3)(2 x2  1) mx  xm mx   m 8/ y  x  m 1 10/ y  ( x3  x  3)(2 x  1) 5/ y  6/ y  11/ y  (2 x  1)5 12/ y  (2 x  1)3  x  1 13/ y  x  14/ y  x3  5x  16/ y  x   x  3  x 15/ y   x  3x  x  18/ y  sin  3x  x  1 17/ y  sin x  19/ y   3x  3x 5x2  22/ y  e2 x sin x 20/ y  x 2 21/ y  ( x2  x  2)e x 23/ y  e2x  x e2 x  e x 24/ y  x x e e 26/ y  cos x.ecot x 25/ y  2x.ecos x 28/ y  ln(2 x2  x  3) 3x 27/ y  x  x 1 29/ y  e x ln(cos x) ln(2 x  1) 31/ y  2x 1 30/ y  (2 x  1) ln(3x2  x) 32/ y  log (cos x) Bài tập bắt buộc Câu 1: Hàm số y  A y  2 x có đạo hàm là: x 1 ( x  1)2 B y   ( x  1)2 C y  ( x  1)2 D y  ( x  2) Câu 2: Đạo hàm hàm số y  x  A 2x 2x 1 B Câu 3: Đạo hàm hàm số y  A x2  2x  x  1 B x 2x 1 C 2x 1 D x x2  x  3x  x 1 x2  8x   x  1 C x2  2x   x  1 Câu 4: Đạo hàm hàm số y  x3   x 1 A 6x  B 6x  C 6x  x x x 4 Câu 5: Hàm số y  sin x  cos x có đạo hàm là: D x2  2x   x  1 D 6x  x2 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số A y '  2sin x B y '  2cos x C y '  2sin x D y '  2cos x Câu 6: Đạo hàm hàm số y   x  1 x  x  A B C 11 D 15 Câu 7: Hàm số y   x  x  1 có đạo hàm là: A y '  4x 1  x  x  1 C y '   B y '  4x 1  x  x  1 2  x  1  x  x  1 3 D y '    x  1  x  x  1  3 Câu 8: Hàm số y  x.e x  3sin x có đạo hàm là: A y '  e x  x  1  cos x B y '  2e x  x  1  cos x C y '  2e x  x  1  6cos x D y '  2e x  x  1  6cos x x 1 có đạo hàm là: 3x   x  1 ln Câu 9: Hàm số y  A y '  C y '  x  x  1 ln 3 x B y '   ln 3x D y '  ln 3x B y '  2x  x  3x  Câu 10: Hàm số y  ln  x  3x  1 có đạo hàm là: A y '  C y '  x  3x  2x  x 2x   3x  1 D y '  x  3x   x  3 C Ý nghĩa đạo hàm - Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm x0 phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M  x0 ; y0  là: y  y0  f   x0  x  x0  , f   x0  gọi hệ số góc tiếp tuyến y0  f  x0  - Ý nghĩa vật lý: o Vận tốc tức thời thời điểm t0 chất điểm chuyển động với phƣơng trình s  s  t  v  t0   s   t  o Cƣờng độ tức thời thời điểm t0 dòng điện với điện lƣợng q  q  t  i  t0   q  t0  | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến điểm M, ta cần ý sau o Tiếp tuyến song song y  ax  b  y '( x0 )  a o Tiếp tuyến vng góc y  ax  b  y '( x0 )   a o Tiếp tuyến tạo với Ox góc   y '( x0 )   tan   y '( x0 )  a  tan    ay '( x0 )  o Tiếp tuyến tạo với y  ax  b   cos n1 ; n2  cos   Ví dụ : Cho hàm số y  x  3x  Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số a Tại điểm M( 2; -2) b Tại điểm có hồnh độ – c Tại điểm có tung độ d Tại giao điểm với trục tung e Tại giao điểm với đƣờng thẳng y = -2 f Biết tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y = 9x + g Biết tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng y   x 45 h Biết cơsin góc tạo tiếp tuyến đƣờng thẳng 4x – 3y = Giải:  D=R  y '  3x  x a/ ta có: x0  2; y0  2 ; y / (2)   phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = 0(x – 2)  y  2 b/ ta có: x0  1  y0  2 ; y / (1)   phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = 9(x + 1)  y = 9x +  x0  c/ ta có: y0 =  x03  3x0    x03  3x0    x0  / * Với x0  ; y0 = 2; y (0)   phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = 0( x – 0)  y = * Với x0  ; y0 = 2; y / (3)   phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = 9( x – 3)  y = 9x – 25 d/ ta có: x0  ; y0 = 2; y / (0)   phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = 0( x – 0)  y =  x0  1 e/ xét PTHĐGĐ: x03  3x02   2    x0  * Với x0  1  y0  2 ; y / (1)   phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = 9(x + 1)  y = 9x + * Với x0   y0  2 ; y / (2)   phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = 0(x – 2)  y  2 f/ Hệ số góc tiếp tuyến y / ( x0 )  3x02  x0   | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Do tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y = 9x +  x0  1 Nên y / ( x0 )   3x0  x0     x0  * Với x0  1  y0  2  phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = 9(x + 1)  y = 9x + * Với x0  ; y0 =  phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = 9( x – 3)  y = 9x – 25 g/ Hệ số góc tiếp tuyến y / ( x0 )  3x02  x0 Do tiếp tuyến vng góc với đƣờng thẳng y   x 45  x0  1 Nên y / ( x0 )   45  3x0  x0  45    x0  3  45 * Với x0   y0  52  phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 52 = 45( x – 5)  y = 45x – 173 * Với x0  3  y0  52  phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 52 = 45( x +3)  y = 45x +83 h/ Gọi tiếp tuyến d có hệ số góc k  y / ( x0 )  3x02  x0  vectơ phƣơng d ud  (1; k )  Vectơ pháp tuyến d là: nd  (k ;  1) Đƣờng thẳng  : 4x – 3y =  Vectơ pháp tuyến  là: n  (4;  3) Theo đề ta có cos(d ; )  k.4  (1).(3) k   (3) 2  4k  3    4k   k  k  1.5 k    k   24   x0  * Với k = ta có: y / ( x0 )   3x0  x0     x0  x0   y0   phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = 0( x – 0)  y = x0   y0  2  phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = 0(x – 2)  y  2 24 24 24 * Với a   ta có: y / ( x0 )    3x0  x0    21x0  42 x0  24  vơ nghiệm 7 Vậy phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2; y = -2 D Vi phân đạo hàm cấp cao I Vi Phân - Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm điểm x Khi f   x  x đƣợc gọi vi phân hàm số điểm x ứng với số gia x cho Kí hiệu: y  f ( x)  dy  d  f ( x)   f   x  dx - Trong phép tính gần đúng, với x nhỏ, xét điểm x0 , ta có cơng thức sau: f  x0  x   f  x0   f   x0  x Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x)  sin x  cos x  Tính vi phân hàm số x0  ứng với x  0,01 sin x  cos x 10 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số BÀI 11 SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH A SỬ DỤNG ĐÚNG ĐỒ THI (C): Cho hàm số y  f ( x) (C)  y  f ( x) (C) Phƣơng trình: g ( x, m)  (*)  f ( x)  A(m)    y  A(m) (d) Số nghiệm PT (*) số giao điểm đồ thị (C) (d) Chú ý: so sánh A(m) với tung độ cực trị Ví dụ: Cho hs y  x3  3x  (C) a/ khảo sát vẽ đồ thị (C) b/ biện luận số nghiệm phƣơng trình : x3  3x2   m c/ Tìm m để phƣơng trình x3  3x2   m có nghiệm phân biệt a) y  x3  3x     D=R x  y '  3x  x Cho y '   3x  x    x  lim y  ; lim y   x  x   BBT  Nhận xét: hs tăng khoảng: (;0) (2; ) Hs giảm khoảng (0; 2) Hs đạt cực đại (0;2), cực tiểu (2;-2) y ''  x  Cho y ''   x    x   y  Vậy hs nhận điểm n I(1;0) làm tâm đối xứng Cho x  1  y  2; x   y  Đồ thị:    b) x3  3x2   m (*)  y  m (D) số nghiệm PT(*) số giao điểm đƣờng thẳng (D) cắt (C) dựa vào đồ thị (C), biện luận: 110 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số  m  2  m  => (D) cắt (C) điểm => pt (*) có nghiệm   m  2   => (D) cắt (C) điểm => pt (*) có nghiệm (1 kép, đơn) m   2  m  => (D) cắt (C) điểm => pt (*) có nghiệm phân biệt c) x3  3x2   m (*)  y  m  (D) số nghiệm PT(*) số giao điểm đƣờng thẳng (D) cắt (C) dựa vào đồ thị (C), PT(*) có ba nghiệm phân biệt (D) cắt (C) giao điểm  2  m 1   1  m   B SỬ DỤNG ĐỒ THI (C) BIẾN ĐỔI BỞI GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Cho hàm số y  f ( x) (C)  f ( x) if f ( x)  (C')    f ( x) if f ( x)  Đồ thị (C’) gồm hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C) Ox Phần 2: phần đối xứng đồ thị (C) dƣới Ox qua Ox  f ( x) if x   y  f ( x ) (C')    f ( x) if x   y  f ( x) Đồ thị (C’) gồm hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C) bên phải Oy Phần 2: phần đối xứng đồ thị (C) bên phải Oy qua Oy d  ax  b if x    ax  b  cx  d c y  (C')   cx  d  ax  b if x   d c  cx  d Đồ thị (C’) gồm hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C) bên phải tiệm cận đứng Phần 2: phần đối xứng đồ thị (C) bên phải tiệm cận đứng qua tiệm cận đứng Ví dụ: Cho hs y  x3  3x  (C) a/ khảo sát vẽ đồ thị (C) b/ Tìm m để phƣơng trình x3  3x   m có nghiệm phân biệt c/ Tìm m để phƣơng trình x  3x   m có nghiệm phân biệt a/ tƣơng tự phần A b/ x3  3x   m (*) 3   x  3x  2;( x  3x   0) (C’) y  x  3x    3   x  3x  2;( x  3x   0) Đồ thị (C’) gồm hai phần: 111 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Phần 1: phần đồ thị (C) Ox Phần 2: phần đối xứng đồ thị (C) dƣới Ox qua Ox Dựa vào (C’) , PT(*) có nghiệm phân biệt   m  c) x  3x   m (*) 3   x  3x  2;( x  0) (C’) y  x  3x      x  3x  2;( x  0) Đồ thị (C’) gồm hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C) bên phải Oy Phần 2: phần đối xứng đồ thị (C) bên phải Oy qua Oy  m  2 Dựa vào (C’) , PT(*) có nghiệm phân biệt   m    m  C SỬ DỤNG ĐỒ THI (C) BIẾN ĐỔI BỞI ĐIỀU KIỆN ĐƢỢC SINH RA DO ĐẶT ẨN PHỤ: Cho hàm số y  f ( x) (C) sin x;cos x  t   Nếu đặt t  sin x;cos x  t   0;1  x  a  t   0;   Ví dụ: Cho hàm số y  f ( x)  8x  9x  1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phƣơng trình 8cos4 x  9cos2 x  m  với x [0;  ] Tự làm ( Thầy tin đến em làm đƣợc, Thầy tin em) Xét phƣơng trình 8cos4 x  9cos2 x  m  với x [0;  ] (1) Đặt t  cosx , phƣơng trình (1) có dạng: 8t  9t  m  (2) Vì x [0;  ] nên t [1;1] , x t có tƣơng ứng đối một, số nghiệm phƣơng trình (1) (2) Ta có: (2)  8t  9t    m (3) Gọi (C1): y  8t  9t  với t [1;1] (D): y = – m Phƣơng trình (3) phƣơng trình hồnh độ giao điểm (C1) (D) Đồ thị (C1) giống nhƣ đồ thị (C) miền 1  t  Dựa vào đồ thị (C1) ta có kết luận sau: 81  : Phƣơng trình cho vơ nghiệm m 32 81  : Phƣơng trình cho có nghiệm m 32 112 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số     81 32  m 1 m0 m IXY theo  đƣợc Y=f(X) hs lẻ => I ( x0 ; y0 ) tâm đối xứng  y  Y  y0 (C) Đối xứng trục tƣơng tự nhƣ => Y=f(X) hàm chẳn => (C) nhận y= làm trục đối xứng Ví dụ: CM hs y  x3  3x  nhận I(-1;1) làm tâm đối xứng x  X 1 Dời trục tọa độ Oxy IXY Ta có:   y  Y 1 => Y   ( X  1)3  3( X 1) 1  Y  X  X  X 1  3( X  X  1)   Y  X  3X  f ( X )  f ( X )   X  X   f ( X ) hs lẻ => đồ thị hàm số nhận I(-1;1) làm tâm đối xứng D ĐIỂM CỐ ĐỊNH: Cho hàm số y  f ( x, m) (Cm ) Tìm điểm cố định M mà (Cm) ln qua m thay đổi  A   Am  B    B   M ( x0 ; y0 )  (Cm )   A    y  f ( x , m )  0   Am  Bm  C    B   C    Ví dụ: Cho hàm số y  x3  3x2  mx  m  (C) Tìm điểm cố định đồ thị hàm số với m  Gọi A  x0 ; y0   (C )  y0  x03  3x02  mx0  m    x0  1 m  x03  3x02   y0  (*)  x0    x0   Theo YCBT  (*) có vơ số nghiệm     x0  3x0   y0   y0   Vậy: A 1;0  điểm cố định (C) với m E ĐIỂM THỎA TÍNH CHẤT NÀO ĐĨ ĐÃ HỌC: Ví dụ: Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Giả sử A(a; a3  3a  1), B(b; b3  3b2  1) thuộc (C), với a  b 121 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Vì tiếp tuyến (C) A B song song với nên: y (a)  y (b)  3a2  6a  3b2  6b  a  b2  2(a  b)   (a  b)(a  b  2)   a  b    b   a Vì a  b nên a   a  a  Ta có: AB  (b  a)2  (b3  3b2   a3  3a  1)2  (b  a)2  (b3  a3  3(b2  a ))2  (b  a)2  (b  a)3  3ab(b  a)  3(b  a)(b  a)   (b  a)2  (b  a)2 (b  a)2  3ab  3.2 2  (b  a)2  (b  a)2 (b  a)2  ab  6  (b  a)2  (b  a)2 (2  ab)2 AB2  (b  a)2 1  (2  ab)2   (2  2a)2 1  (a  2a  2)2   4(a  1)2 1  (a  1)2  3   4(a  1)2 (a  1)4  6(a  1)2  10  4(a  1)6  24(a 1)4  40(a 1)2 Mà AB  nên 4(a  1)6  24(a 1)4  40(a 1)2  32  (a  1)6  6(a  1)4  10(a  1)2   (*) Đặt t  (a  1)2 , t  Khi (*) trở thành:  a   b  1 t  6t  10t    (t  4)(t  2t  2)   t   (a  1)2     a  1  b  Vậy điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(1; 3) Ví dụ: Cho hàm số y   x3  3x  (C) Tìm đƣờng thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ đƣợc tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)  Gọi M (m;2)  (d ) PT đƣờng thẳng  qua điểm M có hệ số góc k có dạng : y  k ( x  m)   x3  3x   k ( x  m)    tiếp tuyến (C)  hệ PT sau có nghiệm   3x  x  k (1) (2) (*) Thay (2) (1) ta đƣợc: x3  3(m  1) x2  6mx    ( x  2) 2 x2  (3m  1) x  2  x     f ( x)  x  (3m  1) x   (3) Từ M kẻ đƣợc tiếp tuyến đến đồ thị (C)  hệ (*) có nghiệm x phân biệt    m  1 hc m   (3) có hai nghiệm phân biệt khác     f (2)   m   m  1 hc m  Vậy từ điểm M(m; 2)  (d): y = với  kẻ đƣợc tiếp tuyến đến (C) m  Ví dụ: Cho hàm số y  2x  có đồ thị (C) x2 122 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Ví dụ: Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn 1    Lấy điểm M  m;     C  Ta có: y (m)   (m  2)2 m2  1 Tiếp tuyến (d) M có phƣơng trình: y   ( x  m)   (m  2) m2   Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là: A  2;   m2  Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là: B(2m – 2;2)  m   Ta có: AB  (m  2)2   Dấu “=” xảy   2 (m  2)   m  Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M (3;3) M (1;1) 2x 1 (C) x 1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đƣờng thẳng qua M giao điểm hai đƣờng tiệm cận có tích hệ số góc –9 Ví dụ: Cho hàm số y   Giao điểm tiệm cận I (1; 2) y  yI  3  Gọi M  x0 ;   (C )  k IM  M   x0   xM  xI ( x0  1)2  + Hệ số góc tiếp tuyến M: kM  y ( x0 )   x0  1  x0  + YCBT  kM kIM     Vậy có điểm M thỏa mãn: M(0; –3) M(–2; 5)  x0  2 2x 1 (C) x 1 Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ 2x 1  Gọi M ( x0 ; y0 )  (C), ( x0  1 ) y0   2 x0  x0  Ví dụ: Cho hàm số y  Gọi A, B lần lƣợt hình chiếu M TCĐ TCN thì: MA  x0  , MB  y0   x0  Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: MA  MB  MA.MB  x0  2 x0   x0   x0   x0  2 Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3)  MA + MB nhỏ x0   123 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 3x  (C) x2 Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận Ví dụ: Cho hàm số y   Gọi M ( x; y)  (C) cách tiệm cận x = y = Ta có: x   y   x   x  3x  x x 2  x2    ( x  2)   x2 x2 x2 x  Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6) 2x 1 x 1 Tìm tọa độ điểm M  (C) cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn Ví dụ: Cho hàm số y     Giả sử M  x0 ;    (C ) PTTT  (C) M là: x    3 y2  ( x  x0 )  3( x  x0 )  ( x0  1)2 ( y  2)  3( x0  1)  x0  ( x0  1) Khoảng cách từ I (1; 2) tới tiếp tuyến  là: d 3(1  x0 )  3( x0  1)   x0  1 Theo BĐT Cơ–si:  x0   ( x0  1)4   ( x0  1)2 ( x0  1)  ( x0  1)2    d  ( x0  1) Khoảng cách d lớn   ( x0  1)2   x0  1   x0  1  ( x0  1) Vậy có hai điểm cần tìm là: M 1  3;    M 1  3;2   x 3 x 1 Tìm hai nhánh đồ thị (C) hai điểm A B cho AB ngắn Ví dụ: Cho hàm số y   Tập xác định D = R \{  1} Tiệm cận đứng x  1 4  4  Giả sử A  1  a;1   , B  1  b;1   (với a  0, b  ) điểm thuộc nhánh (C) a  b  16  16  64 1 1   AB  (a  b)  16     (a  b)2 1  2   4ab 1  2   4ab   32 ab a b  ab   ab  2 a  b a  b  AB nhỏ  AB    ab 4 16   4 ab  a    ab  Khi đó: A  1  4;1  64  , B  1  4;1  64  124 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 ... x) Nếu  hàm số y  f ( x) hàm không chẵn, không lẻ  f ( x)   f ( x) | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số BÀI 01 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Trong...  2x     11 | V T B Võ Thanh Bình 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số BÀI 02 XÉT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ THUẦN GIÁO KHOA: Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K  (x1,... 0917.121.304 Giáo trình tư luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số A Hàm số đồng biến khoảng 1;3 B Hàm số đồng biến khoảng  ; 1 C Hàm số nghịch biến khoảng  ; 1 1;3 D Hàm số nghịch