ĐT+ĐA ToánỨngDụng (CKM) ngày 9/1/2015

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM ĐỀ THI MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN Mã môn học: MATH131501 Thời gian làm bài: 90 phút Ngày thi: 9/1/2015 Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Bài (3 điểm) (Mô hình tăng trưởng logictic) Giả sử dân số Việt Nam sau t năm tính từ năm 2013 p (t ) , đơn vò tính 10 triệu người, xấp xỉ mô hình phương trình vi phân logictic p ' (t ) = 0,00234 p (1 − p ) , p (0) = (tức là, năm 2013 dân số quốc gia 90 triệu người) 18 Theo số liệu từ Ngân Hàng Thế giới (World Bank), năm 2014 dân số Việt Nam 90,18 triệu người a) Theo mô hình trên, tốc độ tăng dân số Việt Nam năm 2013 p ' (0) ≈ (1) %/năm b) p dụng phương pháp Ơle với h = , ước tính dân số Việt Nam năm 2014 p (1) ≈ (2) sai số so với số liệu từ Ngân Hàng Thế giới xấp xỉ (3) (người) c) p dụng phương pháp Ơle với h = , ước tính dân số Việt Nam năm 2016 p (3) ≈ (4) tốc độ tăng dân số Việt Nam năm 2016 p ' (3) ≈ (5) (10 triệu người/năm) d) p dụng phương pháp Ơle cải tiến với h = , ước tính dân số Việt Nam năm 2015 p (2) ≈ (6) Bài (2 điểm) Cho tích phân 1, I = ∫ e −3 x dx a) Áp dụng cơng thức hình thang đoạn chia, I ≈ (7) với sai số tuyệt đối Δ ≤ (8) b) Áp dụng cơng thức Simpson đoạn chia: y2 = e −3x = (9), I ≈ (10) 2 PHẦN TỰ LUẬN Bài (1 điểm) (Phương pháp Bình phương bé nhất) Một kỹ sư quan sát phát triển loại sinh vật diện tích cố đònh bề mặt vật liệu thu bảng số liệu sau ( y (t ) số lượng sinh vật ngày thứ t kể từ lúc bắt đầu quan sát): t (đơn vò ngày) y (đơn vò 1000 cá thể) 8,5 10 12 15 19 24 30 a) Hãy biểu diễn bảng số liệu mặt phẳng tọa độ với trục hoành trục 0t , trục tung trục y b) Giả sử áp dụng phương pháp Bình phương bé để xấp xỉ bảng số liệu hàm số dạng: Δ : y (t ) = A + Bt (C ) : y (t ) = Ae Bt Hãy quan sát hình biểu diễn câu (a) để xác đònh xem hai dạng hàm số dạng hàm số xấp xỉ tốt cho bảng số liệu tìm số A, B dạng hàm số p dụng kết có ước tính số lượng sinh vật vào ngày thứ 10 (kể từ lúc bắt đầu quan sát) Bài (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x'−7 y = sin 4t ⎨ 2t ⎩ x + y '−8 y = e với điều kiện x(0) = 0, y(0) = Bài (2 điểm) Cho phương trình vi phân y ' ' (t ) + y ' (t ) + 16 y (t ) = cos 3t + sin 3t , y (0) = , y ' (0) = a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân b) Giả sử y (t ) phương trình chuyển động thẳng chất điểm theo thời gian t Xác đònh giá trò (gần đúng) biên độ chuyển động t đủ lớn Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi Ngày tháng năm 2015 TRƯỞNG NGÀNH GIẢNG VIÊN RA ĐỀ Lưu Việt Hùng Ngô Hữu Tâm ĐÁP ÁN MƠN TỐN ỨNG DỤNG TRONG KỸ THUẬT - CLC Mã mơn: MATH131501 Ngày thi: 9/1/2015 BẢNG TRẢ LỜI BÀI 1, 2, Đáp án Điểm Câu Câu (1) 0,5 p ' (0) ≈ 0,01053 (10 triệu người/năm) = (6) Đáp án Điểm p ( 2) ≈ 9,021059978 0,5 (10 triệu người) 0,01053 × 100 (%/năm) ≈ 0,1171 (%/năm) − 0,01053 (2) p (1) ≈ 9,01053 (10 triệu người)= 90,1053 (triệu người) 0,5 (7) 0,5088161183 0,5 (3) 74.700 người 0,5 (8) 0,096 0,5 (4) p (3) ≈ 9,0315899 (10 triệu người) 0,5 (9) 0,3395955 0,5 0,5 (10) 0,50981562 = 90,315899 ( triệu người) (5) p ' (3) ≈ 0,0105299 (10 triệu người/năm) BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Bài a) (0,5 điểm) 0,5 b) (0,5 điểm) Từ hình vẽ ta thấy, hai dạng hàm số dạng hàm số y (t ) = Ae Bt xấp xỉ tốt cho bảng số liệu t (đơn vò ngày) y (đơn vò 1000 cá thể) Y=lny 8,5 ln8,5 ln 10 ln 10 12 ln 12 15 19 ln 15 ln 19 (0,25 điểm) 24 ln 24 30 ln 30 ln y = Y = ln A + Bt ⎧ln A = 2,0078666 ⎧ A = 7,4447412148 ⇒ y (t ) = 7,4447412148e 0,189056785 t Bấm máy tính ⎨ ⇒⎨ ⎩ B = 0,189056785 ⎩ B = 0,189056785 Ước tính số lượng sinh vật vào ngày thứ 10: y (10) = 7,4447412148e 0,189056785×10 ≈ 49,325167 (0,25 điểm) Bài a) Đặt X = L [x], Y = L [y] ; biến đổi Laplace hai vế ta : ⎧ L [x ′] − 7L [ y ] = L [sin 4t ] ⇔ ⎨ 2t ⎩L [x ] + L [y ′] − 8L [ y ] = L e [ ] ⎧ ⎪ PX − 7Y = P + 16 ⎨ ⎪ X + ( P − 8)Y = P−2 ⎩ (1) ⎧ 11 p − 40 p + 176 A B C Dp + E = = + + + X ⎪⎪ ( p − 1)( p − 2)( p − 7)( p + 16) p − p − p − p + 16 ⇔⎨ ( 2) p + 12 p + A' B' C' D' p + E ' ⎪Y = = + + + ⎪⎩ ( p − 1)( p − 2)( p − 7)( p + 16) p − p − p − p + 16 (có nhiều cách phân tích thành phân thức đơn giản) Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm hệ phương trình 1 p ⎧ −1 [ ] A B C D E L + + + + x = −1 2 ⎪⎪ ⎧x = L [X ] p p p − + − − 16 16 p p + + ⇔⎨ ⎨ −1 1 p y = L [ Y ] ⎩ ⎪ y = L −1 [ A' ] + B' + C' + D' + E' ⎪⎩ p −1+ p−2 p−7 p + 16 p + 16 t 2t 7t ⎧ ⇔ ⎨ x(t ) = Aet + Be 2t + Ce 7t + D cos 4t + E sin 4t ⎩ y (t ) = A' e + B' e + C ' e + D' cos 4t + E ' sin 4t ♦ Tìm A, B, C, D, E dựa vào: (có nhiều cách để tìm số A, B, C,….) (1) A B C Dp + E 11 p − 40 p + 176 = + + + 2 ( p − 1)( p − 2)( p − 7)( p + 16) p − p − p − p + 16 11 × 2 − 40 × + 176 11 × − 40 × + 176 11 × 12 − 40 × + 176 147 , B = , C = = (2 − 1)(2 − 7)(2 + 16) (7 − 1)(7 − 2)(7 + 16) (1 − 2)(1 − 7)(12 + 16) 102 11 ( 3) A B C E Từ (1) cho p = = + + + 14 − − − ( 4) A B C D3 + E 11 × − 40 × + 176 = + + + Từ (1) cho p = (3 − 1)(3 − 2)(3 − 7)(3 + 16) − − − + 16 Thay A, B, C vào (3) (4) tìm D, E A= 2đ 0.5đ 0.5đ + 0.5đ 0.5đ Để 10 điểm Sinh Viên phải tìm hàng số A, B,… ♦ Bài a) Tương tự tìm A’, B’, C’, D’, E’ dựa vào: ( 2) p + 12 p + A' B' C' D' p + E ' = + + + p + 16 ( p − 1)( p − 2)( p − 7)( p + 16) p − p − p − 2đ Đặt Y = Y ( p ) = L [ y(t )] Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến 0.5đ tính tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: p Y − py (0) − y ' (0) + 4( pY − y (0) ) + 16Y = L [cos 3t + sin 3t ] p ⇔ Y ( p + p + 16) = + p +9 p +9 ⇔Y= (*) p+6 Ap + 3B C ( p + 2) + 3D = + 2 ( p + 9)[( p + 2) + 12] p2 + ( p + 2) + 12 0.5đ Biếi đổi Laplace ngược hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta 3 p p+2 y (t ) = L −1 [Y ] = L −1 [ A ] +D +B +C ( p + 2) + 12 ( p + 2) + 12 p +9 p +9 0.5đ ⇔ y (t ) = A cos 3t + B sin 3t + Ce −2t cos 3t + De −2t sin 3t Tìm A, B, C , D dựa vào đẳng thức: (*) p+6 Ap + 3B C ( p + 2) + 3D = + 2 ( p + 9)[( p + 2) + 12] p2 + ( p + 2) + 12 Từ (*) cho p = , p = −2 , p = −1 , p = ⎧1 B C D = + + ⎪ 8 ⎪ 24 D ⎪ = − A + 3B + ⎪ 39 13 13 ⎨ − A B C D ⎪ = + + + ⎪ 26 10 10 13 13 ⎪1 A C D2 3B = + + + ⎪ 10 10 21 ⎩ 30 Rút C từ phương trình thứ vào phương trình lại bấm máy tính −5 52 A= ,B = , C ≈ 0,249, D ≈ 0,003327 43 1763 b) +∞ Khi t đủ lớn: e −2t (C cos 3t + D sin 3t ) ≈ ( e −2t ⎯khi ⎯t →⎯ ⎯ →0) Khi y (t ) ≈ A cos 3t + B sin 3t A B Đặt sin α = cos α = Khi A2 + B A2 + B A B cos 3t + sin 3t ) = A + B sin(3t + α ) y (t ) ≈ A + B ( 2 2 A +B A +B Đây phương trình chuyển động dao động điều hòa có biên độ dao động −5 52 Vậy biên độ chuyển động gần A + B với A = ,B = 43 1763 (0,25 điểm) (0,25 điểm) A2 + B