Lượng giác, tiếng anh trigonometry (1)

Lượng giác, tiếng Anh Trigonometry Mục lục Lượng giác 1.1 Lịch sử 1.2 Lượng giác ngày 1.3 Về lượng giác 1.4 Các phương trình phổ biến 1.4.1 Định lý Sin 1.4.2 Định lý Cosin 1.4.3 Định lý tang 1.4.4 Công thức Euler 1.5 Chú thích 1.6 Xem thêm 1.7 Liên kết Tí phân 2.1 Lược sử tích phân 2.2 uật ngữ ký pháp 2.3 Một số tính chất tích phân 2.4 Danh sách tích phân 2.5 Phân loại tích phân 2.5.1 Tích phân Riemann 2.5.2 Tích phân Lebesgue 2.5.3 Các loại tích phân khác 2.6 Xem thêm 2.7 am khảo 2.8 Liên kết 2.8.1 Sách trực tuyến Tí phân phần 3.1 Định lý 3.1.1 Tích hai hàm 3.1.2 Mở rộng cho trường hợp khác 3.1.3 Tích nhiều hàm 3.2 Sự hình dung i ii MỤC LỤC 3.3 Ứng dụng để tìm nguyên hàm 10 3.3.1 Kịch 10 3.3.2 y tắc LIATE 11 Ứng dụng toán học tuý 11 3.4.1 Dùng hàm đặc biệt 11 3.4.2 Dùng giải tích điều hòa 11 3.4.3 Dùng lý thuyết toán tử 12 3.4.4 Các ứng dụng khác 12 Tích phân đệ quy phần 12 3.5.1 12 3.6 Các chiều cao 12 3.7 Xem thêm 12 3.8 Ghi 12 3.9 am khảo 12 3.10 Liên kết 12 3.11 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 13 3.11.1 Văn 13 3.11.2 Hình ảnh 13 3.11.3 Giấy phép nội dung 13 3.4 3.5 Tích phân bảng phần Chương Lượng giác 1.1 Lịch sử Nguồn gốc lượng giác tìm thấy văn minh người Ai Cập, Babylon văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ 3000 năm trước Các nhà toán học Ấn Độ cổ đại người tiên phong việc sử dụng tính toán ẩn số đại số để sử dụng tính toán thiên văn lượng giác Lagadha nhà toán học mà ngày người ta biết sử dụng hình học lượng giác tính toán thiên văn học sách ông Vedanga Jyotisha, phần lớn công trình ông bị tiêu hủy Ấn Độ bị người Bộ máy vận dụng tay Canadarm2 trạm không gian ISS Nó nước xâm lược vận hành cách điều khiển góc độ khớp nối đầu Nhà toán học Hy Lạp Hipparchus vào khoảng năm 150 tay máy Để tính toàn vị trí cuối nhà du hành TCN biên soạn bảng lượng giác để giải tam giác vũ trụ, máy vận dụng tay cần phải dùng cách tính toán dựa theo hàm số lượng giác góc độ Một nhà toán học Hy Lạp khác, Ptolemy vào khoảng năm 100 phát triển tính toán lượng giác xa Nhà toán học người Silesia Bartholemaeus Pitiscus Lượng giác, tiếng Anh Trigonometry (từ tiếng Hy Lạp xuất công trình có ảnh hưởng tới lượng giác năm trigōnon nghĩa “tam giác” + metron "đo lường”[1] ) 1595 giới thiệu thuật ngữ sang tiếng Anh Nó nhánh toán học dùng để tìm hiểu hình tiếng Pháp tam giác liên hệ cạnh hình tam giác Một số nhà toán học cho lượng giác nguyên thủy góc độ Lượng giác hàm số lượng giác nghĩ để tính toán đồng hồ mặt trời, Hàm số lượng giác diễn tả mối liên kết tập truyền thống sách cổ toán áp dụng để học tượng có chu kỳ, học Nó quan trọng đo đạc sóng âm Nhánh toán sinh từ kỷ thứ trước công nguyên Ban đầu nhánh toán hình học dùng chủ yếu để nghiên cứu thiên văn.[2] 1.2 Lượng giác ngày Lượng giác móng cho ngành nghệ thuật ứng dụng trắc địa Có nhiều ứng dụng lượng giác Cụ thể nói Những học lượng giác thường dạy trường lớp Một dạy với khóa trước đại số khóa riêng biệt Hàm số lượng giác dùng rộng rãi nhánh toán học túy nhánh toán học ứng dụng Ví dụ phân tích Fourier hàm số sóng Đó thứ có yếu tố quan trọng nhiều nhánh khoa học công nghệ Lượng giác hình cầu nghiên cứu hình tam giác hình cầu, bề mặt số độ cong dương, hình học elip Nó nguyên tắc cho ngành thiên văn học ngành hàng hải Lương giác bề mặt độ cong âm thuộc hình học Hyperbol đến kỹ thuật phép đo đạc tam giác sử dụng thiên văn để đo khoảng cách tới gần, địa lý để đo khoảng cách mốc giới hay hệ thống hoa tiêu vệ tinh Các lĩnh vực khác có sử dụng lượng giác có thiên văn (và hoa tiêu đại dương, ngành hàng không vũ trụ), lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, chiếu chụp y học (các loại chụp cắt lớp siêu âm), dược khoa, hóa học, lý thuyết số (và mật mã học), địa chấn học, khí tượng học, hải dương học nhiều lĩnh vực vật lý, CHƯƠNG LƯỢNG GIÁC đo đạc đất đai địa hình, kiến trúc, ngữ âm học, kinh hàm lượng giác, dựa vào tam giác vuông, tam tế học, khoa công trình điện, khí, xây dựng, đồ giác có góc 90 độ hay π/2 radian), tức tam họa máy tính, đồ học, tinh thể học v.v giác có góc vuông Mô hình đại trừu tượng hóa lượng giác- lượng giác hữu tỷ, bao gồm khái niệm “bình phương sin góc” “bình phương khoảng cách” thay góc độ dài - tiến sĩ Norman Wildberger trường đại học tổng hợp New South Wales nghĩ Do tổng góc tam giác 180 ° hay π radian, nên góc lớn tam giác vuông góc vuông Cạnh dài tam giác cạnh đối góc vuông người ta gọi cạnh huyền Lấy tam giác vuông có chung góc thứ hai A Các tam giác đồng dạng, tỷ lệ cạnh đối, a, góc A so với cạnh huyền, h, cho 1.3 Về lượng giác hai tam giác Nó số nằm khoảng từ tới phụ thuộc vào góc A; người ta gọi Xem thêm hàm lượng giác sin góc A viết sin (A) hay sin A Tương tự, người ta định nghĩa cosin góc A tỷ Hai tam giác coi đồng dạng hai lệ cạnh kề, b, góc A so với cạnh huyền, h, tam giác thu nhờ việc mở rộng (hay thu viết cos (A) hay cos A hẹp) lúc tất cạnh tam giác theo tỷ lệ Điều xảy góc a b tương ứng chúng nhau, ví dụ hai tam giác sin A = cos A = xếp lên có góc cạnh đối h h góc cho song song với Yếu tố định Đây hàm số quan trọng lượng giác; đồng dạng tam giác độ dài cạnh chúng tỷ hàm số khác định nghĩa theo cách lấy lệ thuận góc tương ứng chúng phải tỷ lệ cạnh lại tam giác vuông Điều có nghĩa hai tam giác đồng dạng chúng biểu diễn theo sin cosin Đó cạnh dài tam giác lớn gấp lần cạnh hàm số tang, sec, cotang cosec dài tam giác cạnh ngắn tam giác thứ lớn gấp lần so với cạnh ngắn tam giác thứ hai tương tự cho cặp cạnh sin A a h = sec A = = lại Ngoài ra, tỷ lệ độ dài cặp cạnh tan A = cos A b cos A b tam giác tỷ lệ độ dài cặp cạnh tương ứng tam giác lại Cạnh dài tam cos A b h cot A = = csc A = = giác cạnh đối góc lớn sin A a sin A a Các hàm lượng giác nói định nghĩa cho góc nằm khoảng từ tới 90 ° (0 tới π/2 radian) Sử dụng khái niệm vectơ cho đường tròn đơn vị, người ta mở rộng chúng để có đối số âm dương (xem thêm hàm lượng giác) Khi hàm sin cosin lập thành bảng (hoặc tính toán máy tính hay máy tính tay) người ta trả lời gần câu hỏi tam giác bất kỳ, sử dụng quy tắc sin hay quy tắc cosin Các quy tắc sử dụng để tính toán góc cạnh lại tam giác biết ba yếu tố sau: Độ lớn hai cạnh góc kề chúng Độ lớn cạnh hai góc Độ lớn ba cạnh 1.4 Các phương trình phổ biến Trong công thức đây, A, B C góc tam giác a, b and c chiều dài cạnh đối diện với Sử dụng yếu tố nói đây, người ta định nghĩa góc tương ứng (xem hình vẽ) Tam giác vuông 1.5 CHÚ THÍCH c2 = a2 + b2 − 2ab cos C hoặc: cos C = a2 + b2 − c2 2ab Định lý cosin dùng để chứng minh công thức tính diện tích Heron Một tam giác có chiều dài cạnh a, b, c, nửa chu vi Tam giác có độ dài cạnh a,b,c góc đối diện cạnh A,B,C p= 1.4.1 Định lý Sin (a + b + c), diện tích tam giác tính sau: Định lý sin tam giác bất kỳ: S= a b c = = = 2R sin A sin B sin C √ p(p − a)(p − b)(p − c) 1.4.3 Định lý tang với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: Định lý tang: abc R= √ (a + b + c)(a + c − b)(a + b − c)(b + c − a) tan A−B a−b Một định lý khác liên quan đến hàm sin dùng để a + b = tan A+B tính toán diện tích tam giác Cho chiều dài hai cạnh a b góc hai cạnh C, diện tích tam giác tính sau: 1.4.4 Công thức Euler Công thức Euler, eix = cos x+i sin x , biểu diễn theo hàm sin, cos, tang theo số e đơn vị ảo i sau: Area = ab sin C Fc excsc H ot cvs G θ d cr csc A sin sin x = eix − e−ix , 2i cos x = tan x = tan 1.5 Chú thích arc C O cos versin D exsec E sec [1] “trigonometry” Online Etymology Dictionary [2] R Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., e Gale Group (2002) B Tất hàm lượng giác góc θ dựng đường tròn tâm O 1.6 Xem thêm • Hàm lượng giác • Đẳng thức lượng giác 1.4.2 eix + e−ix , Định lý Cosin Định lý cos hay định lý cosin dạng mở rộng định lý Pytago cho tam giác bất kỳ: 1.7 Liên kết i(e−ix − eix ) eix + e−ix Chương Tích phân f(x) định nghĩa diện tích vùng không gian phẳng xy bao đồ thị hàm f, trục hoành, đường thẳng x = a x = b, cho vùng trục hoành tính vào tổng diện tích, trục hoành bị trừ vào tổng diện tích y + Ta gọi a cận tích phân, b cận tích phân Cho F(x) nguyên hàm f (x) (a, b) Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) viết sau: x a − ∫ b f (x) dx = F (x) + C Mọi định nghĩa tích phân phụ thuộc vào lý thuyết độ đo (measure) Ví dụ, tích phân Riemann dựa độ đo Jordan, tích phân Lebesgue dựa độ đo Lebesgue Tích phân Riemann định nghĩa đơn giản tích phân thường xuyên sử dụng vật lý giải tích Tích phân xác định định nghĩa diện tích S giới hạn đường cong y=f(x) trục hoành, với x chạy từ a đến b Tí phân khái niệm toán học,và với nghịch đảo vi phân (differentiation) đóng vai trò phép tính chủ chốt lĩnh vực giải tích (calculus) Có thể hiểu đơn giản tích phân diện tích diện tích tổng quát hóa Giả sử cần tính diện tích hình phẳng bao đoạn thẳng, ta việc chia hình thành hình nhỏ đơn giản biết cách tính diện tích hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật… Tiếp theo, xét hình phức tạp mà bao đoạn thẳng lẫn đường cong, ta chia thành hình nhỏ hơn, kết có thêm hình thang cong Tích phân giúp ta tính diện tích hình thang cong 2.1 Lược sử tích phân Những phép tính tích phân thực từ cách 2.000 năm Archimedes (287–212 trước Công nguyên), ông tính diện tích bề mặt thể tích khối vài hình cầu, hình parabol hình nón Phương pháp tính Archimedes đại dù vào thời chưa có khái niệm đại số, hàm số hay chí cách viết số dạng thập phân Tích phân, vi phân môn toán học phép tính này, giải tích, thức khám phá Leibniz (1646–1716) Isaac Newton (1642–1727) Ý tưởng chủ đạo tích phân vi phân hai phép tính Hoặc giải thích toán học sau: Cho hàm nghịch đảo Sử dụng mối liên hệ hình thức f biến thực x miền giá trị thực [a, b] này, hai nhà toán học giải số lượng khổng Như tích phân xác định (definite integral) từ a lồ toán quan trọng toán học, vật lý thiên văn học đến b f(x), ký hiệu là: ∫ J B Fourier (1768–1830) nghiên cứu truyền nhiệt tìm chuỗi hàm lượng giác dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi hàm lượng giác ngược lại) b f (x) dx a 2.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN biến đổi tích phân ngày ứng dụng rộng ∫ rãi không khoa học mà Y học, f (x) dx âm nhạc ngôn ngữ học Người lập bảng tra cứu tích phân tính sẵn Với: Gauss (1777–1855) Ông nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào toán toán học • ∫ “sự tích phân” vật lý Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang • f(x)dx gọi biểu thức dấu tích phân cho số phức Riemann (1826–1866) Lebesgue (1875– 1941) người tiên phong đặt tảng lô-gíc • dx biểu diễn việc tích phân x dx gọi vững cho định nghĩa tích phân biến tích phân Trong topo toán học, việc biểu diễn xác dx tách khỏi hàm Liouville (1809–1882) xây dựng phương pháp để tích phân (integrand) dấu cách tìm xem tích phân vô định hàm lại hàm Hermite (1822–1901) tìm thấy thuật toán để tính tích phân cho hàm phân thức Phương pháp mở rộng cho phân thức chứa lô-ga-rít vào năm 1940 A M Ostrowski • Ta thay đổi biểu thức f(x)dx biểu thức f(t)dt đối số f(y)dy, f(u)du dấu tích phân Vào năm trước thời đại máy tính kỷ 20, nhiều lý thuyết giúp tính tích phân khác không ngừng phát triển ứng dụng để lập bảng tra cứu tích phân biến đổi tích phân Một số nhà toán học đóng góp cho công việc G N Watson, E C Titchmarsh, E W Barnes, H Mellin, C S Meijer, W Grobner, N Hofreiter, A Erdelyi, L Lewin, Y L Luke, W Magnus, A Apelblat, F Oberheinger, I S Gradshteyn, H Exton, H M Srivastava, A P Prudnikov, Ya A Brychkov, O I Marichev 2.3 Một số tính chất tích phân Vào năm 1969, R H Risch đóng góp phát triển vượt bậc cho thuật toán tính tích phân vô định công trình ông lý thuyết tổng quát ứng dụng tích phân hàm Phương pháp chưa thể ứng dụng cho hàm cốt lõi phương pháp giải phương trình vi phân khó Những phát triển tiếp nối nhiều nhà toán học khác giúp giải phương trình vi phân cho nhiều dạng hàm khác nhau, ngày hoàn thiện phương pháp Risch Trong năm 1980 có tiến mở rộng phương pháp cho hàm không đặc biệt Từ thập niên 1990 trở lại đây, thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định chuyển giao sang tối ưu hoá cho tính toán máy tính điện tử Máy tính giúp loại bỏ sai sót người, tạo nên khả tính hàng nghìn tích phân chưa xuất bảng tra cứu Một số phần mềm máy tính thương mại có khả tính biểu thức tích phân Mathematica, Maple,… 2.2 Thuật ngữ ký pháp Đối với trường hợp đơn giản nhất, tích phân hàm số thực f(x) x, viết là: CHƯƠNG TÍCH PHÂN 2.4 Danh sách tích phân Còn hàm gọi danh sách nguyên số hàm số thường gặp.[1] ∫ b f (x) dx = F (b) − F (a) a Còn tích phân bất định, tồn lúc nhiều hàm số sai khác số tích phân C thoả mãn điều kiện có chung vi phân, vi phân số 0: ∫ f (x) dx = F (x) + C Ngày biểu thức toán học tích phân bất định tính cho nhiều hàm số tự động máy tính Giá trị số tích phân xác định tìm phương pháp số, biểu thức toán học tích phân bất định tương ứng không tồn Định lý thứ giải tích thể đẳng thức sau: ∫b f (x) dx = f (x) −f (x) d dx a d dx ∫b a f (x) dx = Tồn hàm số mà tích phân bất định chúng biểu diễn hàm toán học Dưới vài ví dụ: ∫ 2.5 Phân loại tích phân e−x dx , ∫ e−x x dx , ∫ sin x x dx , ∫ cos x x dx 2.5.2 Tích phân Lebesgue 2.5.3 Các loại tích phân khác 2.5.1 Tích phân Riemann Ngoài tích phân Riemann Lebesgue sử dụng Có hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác định rộng rãi, có số loại tích phân khác như: (có cận cận dưới) tích phân bất định Tích phân Riemann xác định hàm f (x) với x chạy • Tích phân Riemann-Stieltjes, mở rộng khoảng từ a (cận dưới) đến b (cận trên) viết là: tích phân Riemann ∫ b f (x) dx a Dạng bất định (không có cận) viết là: ∫ • Tích phân Lebesgue-Stieltjes, tổng quát hóa tích phân Riemann-Stieltjes Lebesgue, phát triển Johann Radon • Tích phân Daniell • Tích phân Haar f (x) dx • Tích phân Henstock-Kurzweil eo định lý thứ giải tích, F(x) tích phân bất định f (x) f (x) vi phân F(x) Tích phân xác định tính từ tích phân bất định sau: • Tích phân Itō Stratonovich • Tích phân Young 2.8 LIÊN KẾT NGOÀI 2.6 Xem thêm • Phép cộng • Phép trừ • Phép nhân • Phép chia • Phép khai • Lũy thừa 2.8.1 Sách trực tuyến • Keisler, H Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin • Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa • Mauch, Sean, Sean’s Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus • Phép logarit • Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook • Vi phân • Garre, Paul, Notes on First-Year Calculus • Giới hạn • Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook • Hàm số • Đạo hàm • Tích phân đường • Tích phân mặt 2.7 Tham khảo [1] Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước, tr.185 • Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước Phương pháp giải toán Giải tích 12 theo chương trình (Tái lần 1) Nhà xuất Đại học sư phạm,, Hà Nội 2011 • Havil, J (2003), Gamma: Exploring Euler’s Constant Princeton, NJ: Princeton University Press • Jeffreys, H and Jeffreys, B S (1988), Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge, England: Cambridge University Press, p 29 • Kaplan, W (1992), Advanced Calculus, 4th ed., Reading, MA: Addison-Wesley • Toán học gì? 2.8 Liên kết • e Integrator by Wolfram Research • Function Calculator from WIMS • P.S Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques • Sloughter, Dan, Difference Equations Differential Equations, an introduction calculus to to • Wikibook of Calculus • Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute Chương Tích phân phần Trong tính toán, giải tích toán học nói chung, tí phân phần định lý liên quan đến tích phân tích hàm thành tích phân đạo hàm nguyên hàm chúng Nó thường sử dụng để biến đổi nguyên hàm tích hàm thành nguyên hàm mà đáp án tìm thấy dễ dàng Các quy tắc suy dòng đơn giản cách tích phân quy tắc tích đạo hàm sau áp dụng định nghĩa nguyên hàm, ∫ u(x)v(x) = ∫ u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − ∫ u′ (x)v(x) dx du = u′ (x)dx dv = v ′ (x)dx ∫ ∫ u(x) dv = u(x)v(x) − v(x) du v(x) u′ (x)dx Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm v); để áp dụng định lý, v (nguyên hàm v′) phải tìm thấy, sau kết tích phân ∫vu′ dx phải tính ∫ u dv = uv − ∫ u(x)v ′ (x) dx Bởi du dv vi phân hàm biến x, hay gọn hơn: ∫ u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − ∫ cho ta công thức tí phân phần Nếu u = u(x) du = u′(x) dx, v = v(x) dv = v′(x) dx, tích phân phần phát biểu rằng: ∫ u′ (x)v(x) dx + v du 3.1.2 Mở rộng cho trường hợp khác Các công thức tổng quát tích phân phần tồn cho tích phân Riemann-Stieltjes tích phân Không thực cần thiết để có u v phải khả vi liên Lebesgue-Stieltjes Các mô hình rời rạc cho chuỗi tục Tích phân phần hoạt động u hoàn toàn liên tục hàm định v' khả tích Lebesgue gọi tổng phần (nhưng không thiết phải liên tục).[1] (Nếu v' có điểm gián đoạn nguyên hàm v đạo hàm điểm đó.) 3.1 Định lý Nếu khoảng tích phân không compact không cần thiết để u phải hoàn toàn liên tục toàn khoảng 3.1.1 Tích hai hàm để v ' phải khả tích Lebesgue khoảng, vài ví dụ cho thấy, u v liên tục Định lý suy sau Giả sử u(x) v(x) khả vi liên tục Ví dụ hai hàm khả vi liên tục y tắc tích phát biểu (theo ký hiệu Leibniz): u(x) = exp(x)/x2 , v ′ (x) = exp(−x) ) d d d ( u(x)v(x) = v(x) (u(x)) + u(x) (v(x)) dx dx dx u liên tục hoàn toàn khoảng [1, +∞), nhiên ∫ Tích phân hai phía x, ∞ ′ u(x)v (x) dx = ∫ d (u(x)v(x)) dx = dx ∫ u′ (x)v(x) dx+ ∫ ∞ ∞ [u(x)v(x)]1 − ∫ ∞ u′ (x)v(x) dx miễn [u(x)v(x)]1 đưa đến nghĩa giới hạn u(x)v ′ (x) dx u(L)v(L) − u(1)v(1) L → ∞ miễn hai số 3.2 SỰ HÌNH DUNG hạng vế phải hữu hạn Điều chọn v(x) = − exp(−x) Tương tự, u(x) = exp(−x), v ′ (x) = x−1 sin(x) v' không khả vi Lebesgue khoảng [1, +∞), nhiên ∫ ∞ ′ u(x)v (x) dx = ∞ [u(x)v(x)]1 − ∫ ∞ u′ (x)v(x) dx với giải thích tương tự Người ta dễ dàng đưa ví dụ u v không khả vi liên tục 3.1.3 Giải thích đồ họa định lý Đường cong hình tham số hoá biến t Tích nhiều hàm Tích phân quy tắc tích cho ba hàm nhân nhau, u(x), v(x), w(x), cho kết tương tự: Tương tự vậy, diện tích vùng màu đỏ ∫ ∫ b a ∫ b uv dw = [uvw]ba − a ∫ b uw dv − vw du a Tổng quát với n thừa số d dx ( n ∏ ) ui (x) = i=1 n ∏ n ∑ ui (x) j=1 i̸=j duj (x) , dx y(x)dx x1 Tổng diện tích A1 + A2 diện tích hình chữ nhật lớn hơn, x y , trừ diện tích hình chữ nhật nhỏ hơn, x y : ∫ dẫn đến x2 A2 = A1 ∫ y2 A2 x(y)dy + n [∏ n ∫ ]b ∑ ui (x) = a i=1 j=1 y1 n b∏ ui (x) duj (x), a i̸=j y(x)dx = x.y(x) x1 y2 = y.x(y) x1 y1 Giả sử đường cong trơn vùng lân cận, điều tổng quát hoá thành tích phân không xác định: tích thuộc tất hàm ngoại trừ hàm ∫ lấy đạo hàm số hạng ∫ xdy + 3.2 Sự hình dung x2 x2 ydx = xy Sắp xếp lại: Xác định đường cong tham số (x, y) = (f (t), g(t)) ∫ ∫ Giả sử đường cong đối cục bộ, chúng xdy = xy − ydx ta xác định x(y) = f (g −1 (y)) y(x) = g(f −1 (x)) Diện tích vùng màu xanh ∫ y2 A1 = x(y)dy y1 Vì tích phân phần coi bắt nguồn từ diện tích vùng màu xanh tổng diện tích diện tích vùng đỏ Hình ảnh giải thích lý tích phân phần giúp tìm tích phân hàm nghịch đảo f −1 (x) tích phân hàm f (xv) biết ật vậy, hàm x(y) y(x) nghịch đảo, tích phân ∫x dy tính biết tích phân ∫y dx 10 CHƯƠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 3.3 Ứng dụng để tìm nguyên hàm 3.3.1 Hàm đa thức hàm lượng giác Để tính Kịch ∫ Tích phân phần trình suy nghiệm trình máy móc tuý để giải tích I = x cos(x) dx phân; cho hàm đơn để tích phân, chiến lược điển hình cẩn thận tách thành tích hai hàm đặt: u(x)v(x) cho tích phân tạo công thức tích phân phần dễ đánh giá so với tích phân gốc Dạng sau hữu ích việc minh họa kịch tốt u = x ⇒ du = dx có được: ∫ dv = cos(x) dx ⇒ v = cos(x) dx = sin(x) ) ∫ ∫ ∫ ( ∫ thì: ′ uv dx = u v dx − u v dx dx Lưu ý vế phải, u lấy đạo hàm v lấy tích phân; hữu ích chọn u hàm đơn giản hóa lấy đạo hàm, chọn v hàm đơn giản hóa lấy tích phân Như ví dụ đơn giản, xét: ∫ ∫ x cos(x) dx = u dv ∫ =u·v− v du ∫ = x sin(x) − sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C, Do đạo hàm ln(x) 1/x, ta chọn (ln(x)) u; nguyên hàm của1/x −1/x, ta chọn 1/x dx làm dv Từ công thức cho: với C số tích phân Đối với bậc cao x dạng ∫ ∫ n x x e dx, Nguyên hàm − x12 tắc luỹ thừa x1 tìm thấy quy Ngoài ra, người ta chọn u v cho tích u' (∫v dx) đơn giản cho việc giản ước Ví dụ, giả sử ta muốn tích phân: ∫ sec2 (x) · ln ( sin(x) ) dx ∫ n x sin(x) dx, xn cos(x) dx sử dụng nhiều lần tích phân phần tính tích phân thuộc loại này; ứng dụng định lý giảm bậc x Hàm mũ hàm lượng giác Một ví dụ thường sử dụng để khảo sát hoạt động tích phân phần Nếu chọn u(x) = ln(|sin(x)|) v(x) = sec2 x, ∫ u lấy vi phân tới 1/ tan x cách sử dụng I = ex cos(x) dx quy tắc dây chuyền v lấy tích phân đến tan x; công thức cho: Ở đây, tích phân phần tiến hành hai lần Đầu tiên đặt Hàm lấy tích phân đơn giản đến 1, nguyên hàm x Tìm kết hợp đơn giản hóa thường liên quan u = cos(x) ⇒ du = − sin(x) dx ∫ đến việc thử nghiệm x dv = e dx ⇒ v = ex dx = ex Trong số áp dụng, không thiết đảm bảo tích phân tạo tích phân phần có dạng thì: đơn giản; Ví dụ, giải tích số, thoả mãn có độ lớn nhỏ tạo số hạng lỗi nhỏ Một ∫ ∫ số kỹ thuật đặc biệt khác chứng minh x x e cos(x) dx = e cos(x) + ex sin(x) dx ví dụ 3.4 ỨNG DỤNG TRONG TOÁN HỌC THUẦN TUÝ 11 Giờ, để tính tích phân lại, sử dụng tích thì: phân phần lần nữa, với: ∫ ∫ x ln(x) dx = x ln(x) − dx x u = sin(x) ⇒ du = cos(x) dx ∫ ∫ = x ln(x) − dx dv = ex dx ⇒ v = ex dx = ex = x ln(x) − x + C thì: C số tích phân ∫ Ví dụ thứ hai hàm tan nghịch arctan(x): ∫ e sin(x) dx = e sin(x) − x x x e cos(x) dx Đặt chúng lại với nhau, ∫ x x e cos(x) dx = e cos(x)+e sin(x)− arctan(x) dx Viết lại ∫ x ∫ I= x e cos(x) dx ∫ arctan(x) · dx Tích phân giống xuất hai vế phương trình Tích phân đơn giản thêm Đặt: vào hai vế để có ∫ ( ) ex cos(x) dx = ex sin(x) + cos(x) + C u = arctan(x) ⇒ du = dx + x2 dv = dx ⇒ v = x mà xếp lại cho: ∫ ( ) ex sin(x) + cos(x) e cos(x) dx = + C′ x lần C (và C' = C/2) số tích phân ∫ ∫ arctan(x) dx = x · arctan(x) − = x · arctan(x) − x dx + x2 ln(1 + x2 ) +C Một phương pháp tương tự sử dụng để tìm tích phân hàm sec bậc ba sử dụng kết hợp phương pháp quy tắc dây chuyền nghịch điều kiện tích phân logarit tự nhiên Các hàm nhân với phần tử đơn vị Hai ví dụ tiếng khác áp dụng tích phân phần cho hàm thể tích Điều hoạt động đạo hàm hàm biết, tích phân đạo hàm nhân x biết 3.3.2 Quy tắc LIATE 3.4 Ứng dụng toán học tuý Ví dụ ∫ ln(x) dx Chúng ta viết tích phân Tích phân phần thường sử dụng như: công cụ để chứng minh định lý giải tích toán học Phần đưa vài ví dụ 3.4.1 Dùng hàm đặc biệt Đặt: 3.4.2 Dùng giải tích điều hòa u = ln(x) ⇒ du = dv = dx ⇒ v = x dx x Biến đổi Fourier đạo hàm Phân rã biến đổi Fourier 12 CHƯƠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 3.4.3 Dùng lý thuyết toán tử 3.4.4 Các ứng dụng khác • Để xác định điều kiện biên lý thuyết SturmLiouville • Dẫn xuất phương trình Euler-Lagrange giải tích biến thể 3.5 Tích phân đệ quy phần 3.5.1 Tích phân bảng phần 3.6 Các chiều cao 3.7 Xem thêm • Integration by parts for the Lebesgue–Stieltjes integral • Integration by parts for semimartingales, involving their quadratic covariation • Integration by substitution • Legendre transformation 3.8 Ghi [1] “Integration by parts” Encyclopedia of Mathematics 3.9 Tham khảo • Evans, Lawrence C (1998) Partial Differential Equations Providence, Rhode Island: American Mathematical Society ISBN 0-8218-0772-2 • Arbogast, Todd; Bona, Jerry (2005) Methods of Applied Mathematics (PDF) • Horowitz, David (tháng năm 1990) “Tabular Integration by Parts” e College Mathematics Journal 21 (4): 307–311 JSTOR 2686368 doi:10.2307/2686368."Tabular Integration by Parts” e College Mathematics Journal 21 (4): 307–311 doi:10.2307/2686368 JSTOR 2686368 3.10 Liên kết • Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Integration by parts”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 • Integration by parts—from MathWorld 3.11 NGUỒN, NGƯỜI ĐÓNG GÓP, VÀ GIẤY PHÉP CHO VĂN BẢN VÀ HÌNH ẢNH 13 3.11 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 3.11.1 Văn • Lượng giác Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C6%B0%E1%BB%A3ng_gi%C3%A1c?oldid=26616696 Người đóng góp: Vương Ngân Hà, Nguyễn anh ang, Trung, YurikBot, Zwobot, DHN-bot, JAnDbot, ijs!bot, VolkovBot, TXiKiBoT, BotMultichill, AlleborgoBot, SieBot, Loveless, Idioma-bot, Qbot, OKBot, Alexbot, BodhisavaBot, AlleinStein, Nallimbot, Luckas-bot, SilvonenBot, Eternal Dragon, HerculeBot, Nguyentrongphu, ArthurBot, Porcupine, Xqbot, TobeBot, Trần Nguyễn Minh Huy, Dinhtuydzao, MastiBot, TjBot, TuHan-Bot, EmausBot, FoxBot, Cheers!, ChuispastonBot, Movses-bot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Alphama, AlphamaBot, Earthshaker, Addbot, itxongkhoiAWB, Tuanminh01, TuanminhBot, 1stpangu, Jakochiet 15 người vô danh • Tí phân Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n?oldid=26649147 Người đóng góp: Mxn, DHN, Trung, Sz-iwbot, Minhtuanht, Newone, DHN-bot, JAnDbot, VolkovBot, TXiKiBoT, SieBot, TVT-bot, Qbot, OKBot, Sholokhov, SpBot, WikiDreamer Bot, ArthurBot, Rubinbot, Tranletuhan, KamikazeBot, Earthandmoon, Bongdentoiac, Tnt1984, TuHan-Bot, EmausBot, CNBH, FoxBot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Jaselg, Alphama, Makecat-bot, AlphamaBot, SantoshBot, Hugopako, Addbot, OctraBot, Gaconnhanhnhen, itxongkhoiAWB, Cheminiwawaky, Tuanminh01, TuanminhBot, AndyRedBrooks, Togira Ikonoka 123 21 người vô danh • Tí phân phần Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n_t%E1%BB%ABng_ph%E1%BA%A7n?oldid= 26433422 Người đóng góp: AlphamaBot, TuanminhBot 1stpangu 3.11.2 Hình ảnh • Tập_tin:1000_bài_cơ_bản.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1% BA%A3n.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: File:Wikipedia-logo-v2.svg Nghệ sĩ đầu tiên: is file: Prenn • Tập_tin:Circle-trig6.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9d/Circle-trig6.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Circle-trig6.png Nghệ sĩ đầu tiên: Original: Steven G Johnson Wikipedia Tiếng Anh Derivative work: Limaner • Tập_tin:Commons-logo.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features (Former versions used to be slightly warped.) Nghệ sĩ đầu tiên: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab • Tập_tin:Integral_example.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/Integral_example.svg Giấy phép: CCBY-SA-3.0 Người đóng góp: self-made using text editor Nghệ sĩ đầu tiên: KSmrq • Tập_tin:Integration_by_parts_v2.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/Integration_by_parts_v2.svg Giấy phép: CC0 Người đóng góp: Tác phẩm người tải lên tạo Nghệ sĩ đầu tiên: Maschen • Tập_tin:STS-114_Steve_Robinson_on_Canadarm2.jpg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/STS-114_ Steve_Robinson_on_Canadarm2.jpg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: http://spaceflight.nasa.gov/gallery/images/shuttle/ sts-114/html/s114e6647.html Nghệ sĩ đầu tiên: NASA • Tập_tin:Tam_giác_vuông.PNG Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/8/82/Tam_gi%C3%A1c_vu%C3%B4ng.PNG Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ? • Tập_tin:Tich_phan_co_ban.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/Tich_phan_co_ban.png Giấy phép: CC BY-SA 4.0 Người đóng góp: Tác phẩm người tải lên tạo Nghệ sĩ đầu tiên: Sholokhov • Tập_tin:Tinh_chat_cua_tich_phan.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Tinh_chat_cua_tich_phan png Giấy phép: CC BY-SA 4.0 Người đóng góp: Tác phẩm người tải lên tạo Nghệ sĩ đầu tiên: Sholokhov • Tập_tin:Triangle_ABC_with_Sides_a_b_c.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/Triangle_ABC_with_ Sides_a_b_c.png Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: User:CaseyLeung • Tập_tin:Wikibooks-logo-en.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7c/Wikibooks-logo-en.svg Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tác phẩm người tải lên tạo Nghệ sĩ đầu tiên: User:Bastique, User:Ramac et al 3.11.3 Giấy phép nội dung • Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... phát triển tính toán lượng giác xa Nhà toán học người Silesia Bartholemaeus Pitiscus Lượng giác, tiếng Anh Trigonometry (từ tiếng Hy Lạp xuất công trình có ảnh hưởng tới lượng giác năm trigōnon... thuật ngữ sang tiếng Anh Nó nhánh toán học dùng để tìm hiểu hình tiếng Pháp tam giác liên hệ cạnh hình tam giác Một số nhà toán học cho lượng giác nguyên thủy góc độ Lượng giác hàm số lượng giác... yếu để nghiên cứu thiên văn.[2] 1.2 Lượng giác ngày Lượng giác móng cho ngành nghệ thuật ứng dụng trắc địa Có nhiều ứng dụng lượng giác Cụ thể nói Những học lượng giác thường dạy trường lớp Một