Lượng giác, tiếng anh trigonometry (1)

Để tính toàn được vị trí cuối cùng của nhà du hành vũ trụ, bộ máy vận dụng tay cần phải dùng cách tính toán dựa theo hàm số lượng giác của những góc độ đó.. Các nhà toán học Ấn Độ cổ đại

Lượng giác, tiếng Anh Trigonometry

Mục lục

1.1 Lịch sử 1

1.2 Lượng giác ngày nay 1

1.3 Về lượng giác 2

1.4 Các phương trình phổ biến 2

1.4.1 Định lý Sin 3

1.4.2 Định lý Cosin 3

1.4.3 Định lý tang 3

1.4.4 Công thức Euler 3

1.5 Chú thích 3

1.6 Xem thêm 3

1.7 Liên kết ngoài 3

2 Tí phân 4 2.1 Lược sử tích phân 4

2.2 uật ngữ và ký pháp 5

2.3 Một số tính chất của tích phân 5

2.4 Danh sách các tích phân cơ bản 6

2.5 Phân loại tích phân 6

2.5.1 Tích phân Riemann 6

2.5.2 Tích phân Lebesgue 6

2.5.3 Các loại tích phân khác 6

2.6 Xem thêm 7

2.7 am khảo 7

2.8 Liên kết ngoài 7

2.8.1 Sách trực tuyến 7

3 Tí phân từng phần 8 3.1 Định lý 8

3.1.1 Tích của hai hàm 8

3.1.2 Mở rộng cho các trường hợp khác 8

3.1.3 Tích của nhiều hàm 9

3.2 Sự hình dung 9

i

ii MỤC LỤC

3.3 Ứng dụng để tìm nguyên hàm 10

3.3.1 Kịch bản 10

3.3.2 y tắc LIATE 11

3.4 Ứng dụng trong toán học thuần tuý 11

3.4.1 Dùng trong các hàm đặc biệt 11

3.4.2 Dùng trong giải tích điều hòa 11

3.4.3 Dùng trong lý thuyết toán tử 12

3.4.4 Các ứng dụng khác 12

3.5 Tích phân đệ quy từng phần 12

3.5.1 Tích phân bảng từng phần 12

3.6 Các chiều cao hơn 12

3.7 Xem thêm 12

3.8 Ghi chú 12

3.9 am khảo 12

3.10 Liên kết ngoài 12

3.11 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh 13

3.11.1 Văn bản 13

3.11.2 Hình ảnh 13

3.11.3 Giấy phép nội dung 13

Chương 1

Lượng giác

Bộ máy vận dụng tay Canadarm2 trên trạm không gian ISS Nó

được vận hành bằng cách điều khiển góc độ của khớp nối ở đầu

tay bộ máy Để tính toàn được vị trí cuối cùng của nhà du hành

vũ trụ, bộ máy vận dụng tay cần phải dùng cách tính toán dựa

theo hàm số lượng giác của những góc độ đó.

Lượng giác, tiếng Anh Trigonometry (từtiếng Hy Lạp

trigōnon nghĩa là “tam giác” +metron "đo lường”[1])

Nó là một nhánhtoán họcdùng để tìm hiểu về hình

tam giácvà sự liên hệ giữa cạnh của hình tam giác và

góc độ của nó Lượng giác chỉ rahàm số lượng giác

Hàm số lượng giác diễn tả các mối liên kết và có thể

áp dụng được để học những hiện tượng có chu kỳ, như

sóng âm Nhánh toán này được sinh ra từ thế kỷ thứ 3

trước công nguyên Ban đầu nó là nhánh của toánhình

họcvà được dùng chủ yếu để nghiên cứu thiên văn.[2]

Lượng giác cũng là nền móng cho ngành nghệ thuật

ứng dụng trongtrắc địa

Những bài học cơ bản về lượng giác thường được dạy

ởtrường lớp Một là được dạy trong với khóa trướcđại

sốhoặc khóa riêng biệt Hàm số lượng giác được dùng

rộng rãi trong nhánhtoán học thuần túyvà nhánhtoán

học ứng dụng Ví dụ nhưphân tích Fouriervàhàm số

sóng Đó là những thứ có yếu tố quan trọng trong nhiều

nhánh củakhoa họcvà công nghệ Lượng giác hình

cầu nghiên cứu hình tam giác trênhình cầu, bề mặt

củahằng số độ congdương, tronghình học elip Nó là

nguyên tắc cơ bản cho ngành thiên văn học và ngành

hàng hải Lương giác trên một bề mặt của độ cong âm

thuộchình học Hyperbol

1.1 Lịch sử

Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong các nền văn minh của ngườiAi Cập,Babylonvà nền văn minh lưu vựcsông Ấncổ đại từ trên 3000 năm trước Các nhà toán học Ấn Độ cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn sốđại sốđể sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác.Lagadhalà nhà toán học duy nhất mà ngày nay người ta biết đã sử dụng hình học và lượng giác trong tính toán thiên văn học

trong cuốn sách của ông Vedanga Jyotisha, phần lớn các

công trình của ông đã bị tiêu hủy khi Ấn Độ bị người nước ngoài xâm lược

Nhà toán học Hy LạpHipparchusvào khoảng năm150 TCNđã biên soạn bảng lượng giác để giải các tam giác Một nhà toán học Hy Lạp khác,Ptolemy vào khoảng năm100đã phát triển các tính toán lượng giác xa hơn nữa

Nhà toán học ngườiSilesialàBartholemaeus Pitiscus

đã xuất bản công trình có ảnh hưởng tới lượng giác năm

1595cũng như giới thiệu thuật ngữ này sangtiếng Anh

vàtiếng Pháp Một số nhà toán học cho rằng lượng giác nguyên thủy được nghĩ ra để tính toán cácđồng hồ mặt trời, là một bài tập truyền thống trong các cuốn sách cổ về toán học Nó cũng rất quan trọng trongđo đạc

1.2 Lượng giác ngày nay

Có nhiều ứng dụng của lượng giác Cụ thể có thể nói đến như là kỹ thuật của phépđo đạc tam giácđược sử dụng trongthiên vănđể đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, trongđịa lýđể đo khoảng cách giữa các mốc giới hay trong các hệ thốnghoa tiêu vệ tinh Các lĩnh vực khác có sử dụng lượng giác còn cóthiên văn(và vì thế là cả hoa tiêutrên đại dương, trong ngành hàng không và trong vũ trụ), lý thuyết âm nhạc, âm học,

quang học, phân tích thị trường tài chính,điện tử học,

lý thuyết xác suất,thống kê,sinh học,chiếu chụp y học

(các loạichụp cắt lớpvàsiêu âm),dược khoa,hóa học,

lý thuyết số(và vì thế làmật mã học),địa chấn học,khí tượng học,hải dương họcvà nhiều lĩnh vực củavật lý, 1

2 CHƯƠNG 1 LƯỢNG GIÁC

đo đạcđất đai vàđịa hình,kiến trúc,ngữ âm học,kinh

tế học, khoa công trình vềđiện,cơ khí,xây dựng,đồ

họa máy tính,bản đồ học,tinh thể họcv.v

Mô hình hiện đại trừu tượng hóa của lượng giác-lượng

giác hữu tỷ, bao gồm các khái niệm “bình phương sin

của góc” và “bình phương khoảng cách” thay vì góc và

độ dài - đã được tiến sĩNorman Wildbergerở trường

đại học tổng hợp New South Walesnghĩ ra

1.3 Về lượng giác

Xem thêm hàm lượng giác

Hai tam giác được coi làđồng dạngnếu một trong hai

tam giác có thể thu được nhờ việc mở rộng (hay thu

hẹp) cùng lúc tất cả các cạnh tam giác kia theo cùng

tỷ lệ Điều này chỉ có thể xảy rakhi và chỉ khicác góc

tương ứng của chúng bằng nhau, ví dụ hai tam giác khi

xếp lên nhau thì có một góc bằng nhau và cạnh đối của

góc đã cho song song với nhau Yếu tố quyết định về sự

đồng dạng của tam giác là độ dài các cạnh của chúng tỷ

lệ thuận hoặc các góc tương ứng của chúng phải bằng

nhau Điều đó có nghĩa là khi hai tam giác là đồng dạng

và cạnh dài nhất của một tam giác lớn gấp 2 lần cạnh

dài nhất của tam giác kia thì cạnh ngắn nhất của tam

giác thứ nhất cũng lớn gấp 2 lần so với cạnh ngắn nhất

của tam giác thứ hai và tương tự như vậy cho cặp cạnh

còn lại Ngoài ra, các tỷ lệ độ dài các cặp cạnh của một

tam giác sẽ bằng các tỷ lệ độ dài của các cặp cạnh tương

ứng của tam giác còn lại Cạnh dài nhất của bất kỳ tam

giác nào sẽ là cạnh đối của góc lớn nhất

Tam giác vuông

Sử dụng các yếu tố đã nói trên đây, người ta định nghĩa

cáchàm lượng giác, dựa vàotam giác vuông, là tam giác có một góc bằng 90độ hayπ/2radian), tức tam giác cógóc vuông

Do tổng các góc trong một tam giác là 180 ° hay π radian, nên góc lớn nhất của tam giác vuông là góc vuông Cạnh dài nhất của tam giác như thế sẽ làcạnh đốicủa góc vuông và người ta gọi nó là cạnh huyền.

Lấy 2 tam giác vuông có chung nhau một góc thứ hai A.

Các tam giác này là đồng dạng, vì thế tỷ lệ củacạnh đối,

a, của góc A so vớicạnh huyền, h, là như nhau cho cả

hai tam giác Nó sẽ là một số nằm trong khoảng từ 0 tới

1 và nó chỉ phụ thuộc vào chính góc A; người ta gọi nó

làsincủa góc A và viết nó là sin (A) hay sin A Tương

tự, người ta cũng định nghĩacosincủa góc A như là tỷ

lệ củacạnh kề, b, của góc A so vớicạnh huyền, h, và viết nó là cos (A) hay cos A.

sin A = a

b h Đây là những hàm số quan trọng nhất trong lượng giác; các hàm số khác có thể được định nghĩa theo cách lấy

tỷ lệ của các cạnh còn lại của tam giác vuông nhưng chúng có thể biểu diễn được theo sin và cosin Đó là các hàm số nhưtang , sec, cotangvàcosec

tan A = sin A

cos A =

a

1

cos A =

h b

cot A = cos A

sin A =

b

1

sin A =

h a Các hàm lượng giác như trên đã nói đã được định nghĩa cho các góc nằm trong khoảng từ 0 tới 90 ° (0 tới π/2 radian) Sử dụng khái niệmvectơchođường tròn đơn

vị, người ta có thể mở rộng chúng để có các đối số âm

và dương (xem thêmhàm lượng giác)

Khi các hàm sin và cosin đã được lập thành bảng (hoặc tính toán bằngmáy tínhhaymáy tính tay) thì người

ta có thể trả lời gần như mọi câu hỏi về các tam giác bất kỳ, sử dụng cácquy tắc sinhayquy tắc cosin Các quy tắc này có thể được sử dụng để tính toán các góc

và cạnh còn lại của tam giác bất kỳ khi biết một trong

ba yếu tố sau:

1 Độ lớn của hai cạnh và góc kề của chúng

2 Độ lớn của một cạnh và hai góc

3 Độ lớn của cả ba cạnh

1.4 Các phương trình phổ biến

Trong các công thức dưới đây, A, B và C là các góc của tam giác và a, b and c là chiều dài các cạnh đối diện với

các góc tương ứng (xem hình vẽ)

1.5 CHÚ THÍCH 3

Tam giác có độ dài 3 cạnh a,b,c và các góc đối diện các cạnh

lần lượt là A,B,C

1.4.1 Định lý Sin

Định lý sinđối với một tam giác bất kỳ:

a

sin A=

b

sin B =

c

sin C = 2R với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

(a + b + c)(a + c − b)(a + b − c)(b + c − a) .

Một định lý khác liên quan đến hàm sin có thể dùng để

tính toán diện tích tam giác Cho chiều dài hai cạnh a

và b và góc giữa hai cạnh là C, diện tích của tam giác

được tính như sau:

Area = 1

2ab sin C.

O

θ

A

B

C

F

G

H

cvs

excsc

csc

sec

cr d

arc

cot

tan

Tất cả các hàm lượng giác của góc θ có thể được dựng trong

một đường tròn tâm O.

1.4.2 Định lý Cosin

Định lý coshay định lý cosin là một dạng mở rộng của

định lý Pytagocho một tam giác bất kỳ:

c2= a2+ b2− 2ab cos C

hoặc:

cos C = a

2+ b2− c2

Định lý cosin có thể được dùng để chứng minh công thức tính diện tích của Heron Một tam giác bất kỳ có

chiều dài các cạnh là a, b, và c, và nếu nửa chu vi là

p = 1

2(a + b + c), thì diện tích của tam giác được tính như sau:

S =√

p(p − a)(p − b)(p − c).

1.4.3 Định lý tang

Định lý tang:

a − b

a + b=

tanA −B

2 tanA+B

2

1.4.4 Công thức Euler

Công thức Euler, e ix=cos x+i sin x, có thể được biểu diễn theo các hàm sin, cos, và tang theosố evàđơn vị

ảoi như sau:

sin x = e

ix − e −ix

ix + e −ix

2 , tan x = i(e −ix − e ix)

e ix + e −ix .

1.5 Chú thích

[1] “trigonometry” Online Etymology Dictionary

[2] R Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., e Gale

Group (2002)

1.6 Xem thêm

• Hàm lượng giác

• Đẳng thức lượng giác

1.7 Liên kết ngoài

Chương 2

Tích phân

+

−

f(x)

x y

Tích phân xác định được định nghĩa như diện tích S được giới

hạn bởi đường cong y=f(x) và trục hoành, với x chạy từ a đến

b

Tí phân là một khái niệm toán học,và cùng với

nghịch đảo của nóvi phân(differentiation) đóng vai trò

là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vựcgiải tích

(calculus) Có thể hiểu đơn giản tích phân như làdiện

tíchhoặc diện tích tổng quát hóa Giả sử cần tính diện

tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta

chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn

và đã biết cách tính diện tích nhưhình tam giác,hình

vuông,hình thang,hình chữ nhật… Tiếp theo, xét một

hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng

lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ

hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm cáchình thang

cong Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình

thang cong đó

Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho mộthàm

f của một biến thực x và một miền giá trị thực [a, b].

Như vậy một tích phân xác định (definite integral) từ a

đến b của f(x), ký hiệu là:

∫ b

a

f (x) dx

được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi đồ thị của hàm f, trục

hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các

vùng trên trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích

Ta gọi a là cận dưới của tích phân, còn b là cận trên

của tích phân

Cho F(x) lànguyên hàmcủa f (x) trong (a, b) Khi đó,

tích phân bất định (indefinite integral) được viết như

sau:

∫

f (x) dx = F (x) + C

Mọi định nghĩa tích phân đều phụ thuộc vào lý thuyết

độ đo(measure) Ví dụ, tích phân Riemanndựa trên

độ đo Jordan, còntích phân Lebesguedựa trênđộ đo Lebesgue Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong

vật lývàgiải tíchcơ bản

2.1 Lược sử tích phân

Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện

từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt vàthể tích

khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm vềđại số,hàm số

hay thậm chí cách viết số dạng thập phân

Tích phân,vi phânvà môntoán họccủa những phép tính này,giải tích, đã chính thức được khám phá bởi

Leibniz (1646–1716) vàIsaac Newton (1642–1727) Ý tưởng chủ đạo là tích phân vàvi phânlà hai phép tính nghịch đảo của nhau Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhàtoán họcđã giải được một số lượng khổng

lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và

thiên văn học

J B Fourier(1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt

đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác Biến đổiFourier(biến đổi từ hàm số thành chuỗi cáchàm lượng giácvà ngược lại) 4

2.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 5

và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng

rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trongY học,

âm nhạcvàngôn ngữ học

Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn

làGauss(1777–1855) Ông đã cùng nhiều nhàtoán học

khác ứng dụng tích phân vào các bài toán củatoán học

vàvật lý.Cauchy(1789–1857) mở rộng tích phân sang

cho số phức.Riemann(1826–1866) vàLebesgue(1875–

1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc

vững chắc cho định nghĩa của tích phân

Liouville (1809–1882) xây dựng một phương pháp để

tìm xem khi nào tích phân vô định của hàm cơ bản

lại là một hàm cơ bản Hermite (1822–1901) tìm thấy

một thuật toán để tính tích phân cho các hàm phân

thức Phương pháp này đã được mở rộng cho các phân

thức chứa lô-ga-rít vào những năm 1940 bởi A M

Ostrowski

Vào những năm trước thời đại máy tính củathế kỷ

20, nhiều lý thuyết giúp tính các tích phân khác nhau

đã không ngừng được phát triển và ứng dụng để lập

các bảng tra cứu tích phân và biến đổi tích phân

Một số những nhàtoán học đóng góp cho công việc

này làG N Watson,E C Titchmarsh,E W Barnes,

H Mellin, C S Meijer, W Grobner, N Hofreiter, A

Erdelyi,L Lewin,Y L Luke,W Magnus,A Apelblat,

F Oberheinger, I S Gradshteyn, H Exton, H M

Srivastava,A P Prudnikov,Ya A Brychkov, vàO I

Marichev

Vào năm1969,R H Rischđã đóng góp một phát triển

vượt bậc cho các thuật toán tính tích phân vô định bằng

công trình của ông về lý thuyết tổng quát và ứng dụng

trong tích phân các hàm cơ bản Phương pháp đã chưa

thể được ứng dụng ngay cho mọi hàm cơ bản vì cốt

lõi của phương pháp là giải một phương trìnhvi phân

khá khó Những phát triển tiếp nối của nhiều nhàtoán

họckhác đã giúp giải được phương trìnhvi phânnày

cho nhiều dạng hàm cơ bản khác nhau, ngày càng hoàn

thiện phương pháp của Risch Trong những năm1980

đã có những tiến bộ mở rộng phương pháp này cho cả

các hàm không cơ bản đặc biệt

Từ thập niên1990trở lại đây, các thuật toán để tính biểu

thức tích phân vô định được chuyển giao sang và tối

ưu hoá cho tính toán bằng máy tính điện tử Máy tính

đã giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả năng tính

hàng nghìn tích phân mới chưa bao giờ xuất hiện trong

các bảng tra cứu Một số phần mềm máy tính thương

mại có khả năng tính biểu thức tích phân hiện nay là

Mathematica,Maple,…

2.2 Thuật ngữ và ký pháp

Đối với trường hợp đơn giản nhất, tích phân của một

hàm số thực f(x) trên x, được viết là:

∫

f (x) dx

Với:

• ∫ là “sự tích phân”

• f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân

• dx biểu diễn việc tích phân trên x dx được gọi là

biến của tích phân Trong topo toán học, việc biểu diễn chính xác là dx được tách ra khỏi hàm được tích phân (integrand) bằng một dấu cách

• Ta có thể thay đổi biểu thức f(x)dx bằng biểu thức

f(t)dt hoặc bất kỳ một đối số nào như f(y)dy, f(u)du dưới dấu tích phân

2.3 Một số tính chất của tích phân

6 CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN

2.4 Danh sách các tích phân cơ bản

2.5 Phân loại tích phân

Có hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác định

(có cận trên và cận dưới) và tích phân bất định.Tích

phân Riemannxác định của hàm f (x) với x chạy trong

khoảng từ a (cận dưới) đến b (cận trên) được viết là:

∫ b

a

f (x) dx

Dạng bất định (không có cận) được viết là:

∫

f (x) dx

eo định lý cơ bản thứ nhất củagiải tích, nếu F(x) là

tích phân bất định của f (x) thì f (x) làvi phâncủa F(x).

Tích phân xác định được tính từ tích phân bất định như

sau:

∫ b a

f (x) dx = F (b) − F (a)

Còn đối với tích phân bất định, tồn tại cùng lúc nhiều

hàm số sai khác nhau bằng hằng số tích phân C thoả

mãn điều kiện cùng có chungvi phân, bởi vìvi phân

của hằng số bằng 0:

∫

f (x) dx = F (x) + C

Ngày nay biểu thứctoán họccủa tích phân bất định

có thể được tính cho nhiều hàm số tự động bằng máy tính Giá trị số của tích phân xác định có thể được tìm bằng các phương pháp số, ngay cả khi biểu thứctoán họccủa tích phân bất định tương ứng không tồn tại Định lý cơ bản thứ nhất củagiải tíchđược thể hiện ở đẳng thức sau:

d dx

∫b

a f (x) dx = f (x) và d

dx

∫b

a f (x) dx =

−f(x)

Tồn tại những hàm số mà tích phân bất định của chúng không thể biểu diễn bằng các hàm toán họccơ bản Dưới đây là một vài ví dụ:

∫

e −x2

dx,∫ e −x

x dx,∫ sin x

x dx,∫ cos x

x dx

2.5.2 Tích phân Lebesgue 2.5.3 Các loại tích phân khác

Ngoài tích phân Riemann và Lebesgue được sử dụng rộng rãi, còn có một số loại tích phân khác như:

• Tích phân Riemann-Stieltjes, một mở rộng của tích phân Riemann

• Tích phân Lebesgue-Stieltjes, tổng quát hóa tích phân Riemann-Stieltjes và Lebesgue, được phát triển bởi Johann Radon

• Tích phân Daniell

• Tích phân Haar

• Tích phân Henstock-Kurzweil

• Tích phân Itō và Stratonovich

• Tích phân Young

2.8 LIÊN KẾT NGOÀI 7

2.6 Xem thêm

• Phép cộng

• Phép trừ

• Phép nhân

• Phép chia

• Phép khai căn

• Lũy thừa

• Phép logarit

• Vi phân

• Giới hạn

• Hàm số

• Đạo hàm

• Tích phân đường

• Tích phân mặt

2.7 Tham khảo

[1] Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước, tr.185

• Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước Phương pháp

giải toán Giải tích 12 theo chương trình mới nhất

(Tái bản lần 1) Nhà xuất bản Đại học sư phạm,,

Hà Nội 2011

• Havil, J (2003), Gamma: Exploring Euler’s

Constant Princeton, NJ: Princeton University

Press

• Jeffreys, H and Jeffreys, B S (1988), Methods

of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge,

England: Cambridge University Press, p 29

• Kaplan, W (1992), Advanced Calculus, 4th ed.,

Reading, MA: Addison-Wesley

• Toán học là gì?

2.8 Liên kết ngoài

• e IntegratorbyWolfram Research

• Function CalculatorfromWIMS

• P.S Wang, Evaluation of Definite Integrals by

Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of

definite integral techniques

2.8.1 Sách trực tuyến

• Keisler, H Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin

• Stroyan, K.D.,A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa

• Mauch, Sean, Sean’s Applied Math Book, CIT,

an online textbook that includes a complete introduction to calculus

• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook

• Garre, Paul,Notes on First-Year Calculus

• Hussain, Faraz,Understanding Calculus, an online textbook

• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus

• Wikibook of Calculus

• Numerical Methods of Integration at Holistic

Numerical Methods Institute