Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn)

Dãy số thực danh sách (hữu hạn vô hạn) Mục lục Dãy số thực 1.1 Định nghĩa 1.2 Ý nghĩa thực tế 1.3 Biên dãy 1.4 Dãy số thực đơn điệu 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Tính đơn điệu dấu đạo hàm 1.5 Dãy số thực bị chặn 1.6 Giới hạn dãy số thực 1.6.1 Các định lý 1.6.2 Tính chất 1.6.3 Một số giới hạn 1.7 Vô bé, vô lớn 1.8 Xem thêm 1.9 am khảo 1.10 Liên kết Đại số sơ cấp 2.1 Ký hiệu đại số 2.2 Các khái niệm 2.2.1 Biến số 2.2.2 Đánh giá biểu thức 2.2.3 Phương trình 2.2.4 Tính chất đẳng thức 2.2.5 Tính chất bất đẳng thức Giải phương trình đại số 2.3.1 Phương trình tuyến tính với biến số 2.3.2 Phương trình tuyến tính với hai biến số 2.3.3 Phương trình bậc hai 2.3.4 Phương trình số mũ phương trình lôgarit 2.3.5 Phương trình thức 2.3.6 Hệ phương trình tuyến tính 2.3.7 Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác 2.3 i ii MỤC LỤC 2.3.8 Mối quan hệ tính giải tính bội hệ phương trình 2.4 Chú thích 10 2.5 Đọc thêm 11 2.6 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 12 2.6.1 Văn 12 2.6.2 Hình ảnh 12 2.6.3 Giấy phép nội dung 12 Chương Dãy số thực Dãy số thực danh sách (hữu hạn vô hạn) gồm nhiều số từ x , x ,…x Tập hợp số có thứ liệt kê số thực theo thứ tự tự, nghĩa có số (x ), số thứ (x ) số 1.1 Định nghĩa 1.3 Biên dãy eo quan điểm lý thuyết tập hợp dãy số ánh xạ a: N → R , N tập hợp số tự nhiên, Cho dãy (xn )n≥1 Tập hợp giá trị dãy: tập tập số tự nhiên nhỏ / lớn số tự nhiên m Khi thay cho a(n) ta dùng ký hiệu a (x1 , x2 , x3 , · · · ) = (xn ; n = 1, 2, 3, · · · ) gọi biên dãy a = a(n) Biên thứ tự Ví dụ, cho dãy (−1)n n≥1 , có biên {−1,1} Nó có phần tử thay đổi −1 Nếu X hữu hạn ta có dãy hữu hạn: a,…, a 1.4 Dãy số thực đơn điệu Ngược lại xem vô hạn 1.4.1 Định nghĩa a0 , a1 ,…, a,… Cho dãy số thực (xn )n≥1 với x số thực Nó Đôi khi, dãy hữu hạn xem vô hạn với phần tử từ thứ m trở • Không tăng xn ≥ xn+1 với n≥1 Khi phần tử an0 dãy thường ký hiệu: • Không giảm xn ≤ xn+1 với n≥1 (xn )n≥n0 với x phần tử thứ n Người ta thường xét dãy phần tử a1 Nếu dãy có hai tính chất này, ta gọi dãy dãy đơn điệu Ví dụ, với dãy (2n )n≥1 , ta có 2n+1 = 2n Do > nên 1.2n < 2.2n , hay 2n < 2n+1 Suy (2n )n≥1 dãy tăng (xn )n≥1 với x phần tử thứ n Sau chủ yếu đề cập đến dãy số thực vô hạn Nhiều định nghĩa kết mở rộng cho dãy phần tử không gian metric 1.4.2 Tính đơn điệu dấu đạo hàm không gian topo Một cách để xác định dãy có đơn điệu hay không dựa vào đạo hàm hàm số tương ứng ( ) 1.2 Ý nghĩa thực tế Ví dụ cho dãy ln(n) Xét hàm số: n n≥1 Trong nhiều toán, dãy số tạo dựng qua trình thu thập liệu Các liệu thu thập f (x) = ln(x) x với x ≥ CHƯƠNG DÃY SỐ THỰC Lấy đạo hàm nó, ta thu được: − ln(x) ln′ (x)x − (x)′ ln(x) = f (x) = x2 x2 Đạo hàm nhỏ không ( ) x > e Điều xảy ln(n) với n > 2, nên dãy dãy giảm n ′ n≥3 1.5 Dãy số thực bị chặn Dãy (xn )n≥1 bị ặn tồn T xn ≤ T , với n ≥ Số T gọi giá trị chặn Ngược lại, dãy (xn )n≥1 bị ặn tồn D xn ≥ D , với n ≥ Số D gọi giá trị chặn 1.6.1 Các định lý Nếu dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn bị chặn Dãy hội tụ có giới hạn Nếu limn→∞ xn = a, limn→∞ yn = b xn ≤ yn , ∀n ∈ N a ≤ b Nếu limn→∞ xn = limn→∞ yn = a xn ≤ zn ≤ yn , ∀n ∈ N limn→∞ zn = a Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ bị chặn (dưới) 1.6.2 Tính chất Nếu dãy (x) (y) hội tụ Nếu dãy có hai tính chất dãy gọi dãy bị chặn Ví dụ, dãy (3n )n≥1 bị chặn có giá trị dương lớn 1.6 Giới hạn dãy số thực limn→∞ xn = L1 and limn→∞ yn = L2 lim (xn + yn ) = L1 + L2 n→∞ lim (xn yn ) = L1 L2 Khái niệm giới hạn dãy số bắt nguồn từ việc khảo n→∞ sát số dãy số thực, tiến “rất gần” số (nếu L2 khác 0) Chẳng hạn, xét dãy số thực: 2, 32 , 43 , , n+1 n , lim (xn /yn ) = L1 /L2 hay 2, + n→∞ 2, + 3, , + n, Khi cho n tăng lên vô hạn phân số n1 trở nên nhỏ 1.6.3 Một số giới hạn tuỳ ý, số hạng thứ n dãy + n1 tiến gần đến với khoảng cách nhỏ tuỳ ý Người ta diễn đạt lim = if p > n→∞ np điều định nghĩa sau Đinh nghĩa Cho dãy số thực (x) số thực x Khi nếu: ∀ ϵ > 0, ∃ n0 ∈ N , ∀ n > n0 , |xn − x| < ϵ x gọi giới hạn dãy (x) Khi ta nói dãy (x) hội tụ Giới hạn dãy thường ký hiệu: lim xn = x n→∞ Hoặc lim xn = x (khi n → ∞) lim an = if |a| < n→∞ lim n n = n→∞ lim a n = if a > n→∞ 1.7 Vô bé, vô lớn • Nếu dãy số có giới hạn gọi vô bé • Nếu: ∀ M > 0, ∃ n0 ∈ N , ∀ n > n0 , |xn | > M ; dãy xn gọi vô lớn Khi ta viết: lim xn = ∞ n→∞ 1.10 LIÊN KẾT NGOÀI 1.8 Xem thêm • Dãy Farey • Dãy ue-Morse • Dãy Fibonacci • Cấp số cộng • Cấp số nhân • Dãy (toán học) 1.9 Tham khảo 1.10 Liên kết (bằng tiếng Anh) • e On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Chương Đại số sơ cấp y thuật ngữ riêng Ví dụ, biểu thức 3x2 − 2xy + c có thành tố sau: −3 y= −2 −1 x2−x−2 x −1 1: số mũ, 2: hệ số, 3: số hạng, 4: toán tử, 5: số, x, y : biến số −2 −3 Một hệ số giá trị số nhân với biến số (toán tử bỏ qua), số hạng hạng thức, nhóm Đồ thị phẳng (đường cong parabol màu đỏ) phương trình hệ số, biến số, số số mũ phân tách với đại số y = x2 − x − số hạng khác dấu cộng trừ.[3] Các biến số số thường biểu diễn chữ Đại số sơ cấp bao gồm khái niệm đại eo quy ước, chữ đầu bảng chữ (ví số, phân nhánh toán học Đại số sơ cấp thường dụ a, b, c ) thường dùng để biểu diễn số dạy cấp trung học sở xây dựng dựa chữ cuối bảng chữ (ví dụ x, y and z ) thường hiểu biết số học Trong số học liên dùng để biểu diễn biến số.[4] Chúng thường quan tới số cụ thể,[1] đại số giới thiệu viết chữ nghiêng.[5] số giá trị cố định, gọi biến Các phép tính đại số hoạt động giống phép tính số.[2] Việc sử dụng biến số đòi hỏi phải sử dụng ký hiệu số học,[6] ví dụ cộng, trừ, nhân, chia lũy đại số hiểu quy tắc chung phép tính thừa[7] áp dụng cho biến số số hạng đại sử dụng số học Khác với đại số trừu tượng, đại số Biểu tượng thể phép nhân thường bỏ qua, số sơ cấp không quan tâm tới cấu trúc đại số số ngầm hiểu khoảng trống hai thực số phức biến số số hạng, số hạng sử dụng Ví dụ, × x2 viết thành 3x2 , × x × y viết thành 2xy [8] Việc sử dụng biến số để biểu số cho phép biểu diễn xác mối quan hệ chung số, giúp giải toán rộng Phần lớn kết định lượng khoa học toán học thường biểu diễn dạng phương trình đại số ường số hạng với số mũ cao viết bên trái, ví dụ, x2 viết bên trái x Khi số hạng một, số thường bỏ qua (ví dụ 1x2 viết thành x2 ).[9] Cũng vậy, số mũ (ví dụ 3x1 viết thành 3x ).[10] Khi số mũ không, kết (ví dụ x0 viết lại 2.1 Ký hiệu đại số thành 1).[11] Tuy nhiên 00 , số không xác định, không xuất biểu thức, cần phải Ký hiệu đại số miêu tả cách đại số biểu Nó ý rút gọn biểu thức biến số xuất tuân theo vài quy tắc quy ước định, có xuất dạng số mũ 2.2 CÁC KHÁI NIỆM 2.2 Các khái niệm 2.2.1 Biến số • Các biểu thức đưa nhân tử Ví dụ, 6x5 + 3x2 , chia hai số hạng với 3x2 ta viết thành 3x2 (2x3 + 1) Đại số sơ cấp xây dựng mở rộng số học[12] cách 2.2.3 giới thiệu chữ gọi biến số để thể số chung (không xác định) Điều đem lại vài lợi ích: Phương trình Biến số đại diện o số ưa biết giá trị Ví dụ, nhiệt độ ngày hôm nay, T, 20 độ cao nhiệt độ ngày hôm qua, Y, toán biểu diễn dạng toán học T = Y + 20 [13] Biến số o phép ta biểu diễn toán ung,[14] mà không cần phải cụ thể hóa giá trị số có liên quan.Ví dụ, người ta nêu cụ thể phút với 60 × = 300 giây Một cách mô tả chung đại số miêu tả số giây, s = 60 × m , m số phút Biến số o phép miêu tả mối quan hệ toán học số dao động.[15] Ví dụ, mối quan hệ chu vi, c, đường kính, d, đường tròn biểu diễn π = c/d Biến số o phép mô tả vài tính ất toán học Ví dụ, tính chất phép cộng tính giao hoán, nêu rõ trật tự số cộng không quan trọng Tính giao hoán thể dạng đại số (a + b) = (b + a) [16] 2.2.2 Đánh giá biểu thức Hình động mô tả Định lý Pythago tam giác vuông, thể mối quan hệ đại số cạnh huyền, hai cạnh lại tam giác Một phương trình mô tả hai biểu thức cách sử dụng biểu tượng đẳng thức, = (dấu bằng).[18] Một phương trình tiếng mô tả định luật Pytago liên quan đến chiều dài cạnh tam giác vuông.[19] Những biểu thức đại số đánh giá rút gọn, dựa tính chất phép tính số c2 = a2 + b2 học (cộng, trừ, nhân, chia lũy thừa) Ví dụ, Phương trình thể c2 , đại diện cho bình • Các số hạng cộng rút gọn cách phương cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông), sử dụng hệ số Ví dụ, x + x + x rút tổng (phép cộng) bình phương hai cạnh lại, đại diện chữ a b gọn thành 3x (trong hệ số) Phương trình xác nhận hai biểu thức có giá trị Một vài phương trình với tất giá trị biến số liên quan (ví dụ a + b = b + a ); phương trình • Cũng giống số hạng cộng với gọi đồng thức Những phương trình điều kiện nhau,[17] ví dụ, 2x2 + 3ab − x2 + ab viết với số giá trị biến số liên quan (ví dụ thành x2 + 4ab , số hạng x2 cộng lại x2 − = x = x = −3 ) Những với nhau, số hạng ab cộng lại với giá trị biến làm cho phương trình nghiệm phương trình tìm thấy thông • Các số ngặc nhân với số bên qua giải phương trình cách sử dụng tính phân phối Ví dụ, Một dạng phương trình khác gọi bất đẳng thức Các x(2x+3) viết thành (x×2x)+(x×3) bất đẳng thức dùng để vế , viết thành 2x2 + 3x phương trình lớn, nhỏ hơn, vế lại Các biểu • Các số hạng nhân rút gọn cách sử dụng số mũ Ví dụ, x × x × x biểu diễn x3 CHƯƠNG ĐẠI SỐ SƠ CẤP tượng sử dụng cho bất đẳng thức là: a > b , > có nghĩa 'lớn hơn', a < b < có nghĩa 'nhỏ hơn' Cũng giống phương trình đẳng thức tiêu chuẩn, số bất đẳng thức cộng, trừ, nhân, chia Trường hợp ngoại lệ nhân chia với số âm, dấu bất đẳng thức phải đổi ngược lại Phương trình tương đương: 2x + = 12 , x số tuổi trai 2.2.4 Dạng thức chung phương trình tuyến tính với biến số, viết là: ax + b = c Tính chất đẳng thức Để giải dạng phương trình này, ta sử dụng kỹ thuật cộng, trừ, nhân, chia hai vế phương trình với số nhằm tách ly biến số sang bên phương trình Một biến số tách biệt, vế lại phương trình giá trị biến số.[23] Nghiệm phương trình sau: eo định nghĩa, đẳng thức tuân thủ theo số "quan Cũng theo quy trình (trừ cho hai vế cho b hệ tương đương", bao gồm (a) phản xạ (ví dụ b = b ), chia cho a ) đáp số phương trình x = c−b a đối xứng (ví dụ a = b b = a ), bắc cầu (ví dụ [20] a = b b = c a = c ) đó: • Nếu a = b c = d a + c = b + d ac = bd ; 2.3.2 • Nếu a = b a + c = b + c ; • Nêu hai ký hiệu bên thay cho bên lại 2.2.5 Tính chất bất đẳng thức Mối quan hệ 'nhỏ hơn' < 'lớn hơn' > có tính chất bắc cầu:[21] • Nếu a < b b < c a < c ; • Nếu a < b c < d a + c < b + d ; • Nếu a < b c > ac < bc ; • Nếu a < b c < bc < ac Phương trình tuyến tính với hai biến số Một phương trình tuyến tính với hai biến số có nhiều (vô số) nghiệm Ví dụ: Bài toán: Tôi nhiều 22 tuổi Vậy tuổi? Phương trình tương đương: y = x + 22 y tuổi x tuổi trai Một phương trình không đủ để giải toán Nếu ta biết tuổi người trai, phương trình phương trình có hai biến chưa biết giá trị nữa, toán trở thành phương trình tuyến tính với biến số Để giải phương trình tuyến tính hai biến số đòi hỏi phải có hai phương trình liên quan đến Ví dụ, toán cho biết rằng: Chú ý cách nghịch đảo phương trình, chúng Giờ ta có hai phương trình tuyến tính, phương ta đảo dấu < > ,[22] , ví dụ trình có hai biến chưa biết, cho phép ta tạo phương trình tuyến tính với biến, cách trừ phương trình cho phương trình lại (gọi • a < b tương đương với b > a phương pháp khử):[24] Nói cách khác, trai 12 tuổi, già trai 22 tuổi Vậy tuổi 34 Trong 10 năm, trai 22 tuổi tuổi gấp đôi tuổi Phần trình bày ví dụ vài phương trai, 44 tuổi trình đại số thường gặp 2.3 Giải phương trình đại số 2.3.1 2.3.3 Phương trình bậc hai Phương trình tuyến tính với biến số Phương trình bậc hai phương trình có số hạng với số mũ 2, ví dụ, x2 ,[25] số hạng với số mũ cao Nhìn chung, phương trình bậc hai biểu diễn dạng ax2 +bx+c = ,[26] a khác không (nếu a không phương trình tuyến tính không bậc hai) Bởi phương trình bậc hai phải chứa số hạng ax2 , số hạng biết đến số hạng bậc hai Do a ̸= , Bài toán: Nếu bạn tăng gấp đôi tuổi trai cộng chia cho a đặt lại phương trình thành dạng tiêu thêm 4, kết 12 Vậy trai tuổi? chuẩn Phương trình tuyến tính gọi vậy, chúng vẽ đồ thị, chúng thể đường thẳng (tuyến tính có nghĩa đường thẳng) Phương trình đơn giản phương trình có biến số Chúng có số biến số mà số mũ Ví dụ, xem xét: 2.3 GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ x2 + px + q = Trong p = b/a q = c/a Giải phương trình này, trình gọi phần bù bình phương, dẫn đến công thức bậc hai x= −b ± √ b2 − 4ac , 2a Trong đó, dấu "±" biểu thị x= −b + √ b2 − 4ac 2a x= −b − √ b2 − 4ac 2a nghiệm phương trình bậc hai Phương trình bậc hai giải cách sử dụng phân tích nhân tử Một ví dụ phân tích nhân tử: Đồ thị hàm logarit số cắt trục x (trục hoành) qua điểm có tọa độ (2, 1), (4, 2), (8, 3) Ví dụ, log2 (8) = 3, 23 = Đồ thị tiệm cận gần với trụ y, không cắt trừ cho hai vế phương trình, chia hai vế cho có x2 + 3x − 10 = 2x−1 = Cũng tương đương với: Do (x + 5)(x − 2) = x − = log2 Phương trình tuân thủ theo tính chất tích không với x = x = −5 nghiệm Hoặc phương trình, rõ ràng hai nhân tử phải không Tất phương trình bậc hai có hai nghiệm hệ số phức, không cần có nghiệm x = log2 + hệ số thực Ví dụ, Phương trình lôgarit phương trình dạng loga (x) = b với a > , nghiệm x2 + = X = ab nghiệm số thực số bình Ví dụ, phương lại −1 2.3.4 Phương trình số mũ phương trình log5 (x − 3) − = lôgarit Phương trình số mũ phương trình có dạng a = b với a > ,[27] nghiệm phương trình x ta cộng cho hai vế phương trình, sau chia cho 4, có log5 (x − 3) = X = loga b = ln b ln a Do b > Các kỹ thuật đại số sơ cấp sử dụng để viết lại phương trình cho trước x − = = 25 đến đáp số Ví dụ Từ ta rút · 2x−1 + = 10 x = 28 8 CHƯƠNG ĐẠI SỐ SƠ CẤP 2.3.5 Phương trình thức Phương trình thức phương dấu căn, √ √ trình có một√ x , bao gồm bậc ba, x bậc n, n x Cần nhớ √ bậc n viết lại theo dạng số mũ, n x tương đương với x n Kết hợp với số mũ bình √ thường, x3 (căn bậc hai x lập phương) viết lại thành x [28] Vậy nên√dạng thức chung phương trình thức a = n xm (tương đương với m a = x n ) m n số nguyên, có nghiệm { x=2 y = Chú ý phương pháp để giải hệ phương trình này; y giải trước x Phương pháp thay Ví dụ, Một cách khác để giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp thay (x + 5)2/3 = 4, { 4x + 2y 2x − y √ x + = ±( 4)3 x + = ±8 x = −5 ± x = 3, −13 2.3.6 Hệ phương trình tuyến tính = 14 = Ta tìm y cách sử dụng hai phương trình Sử dụng phương trình thứ hai 2x − y = Trừ 2x cho hai vế phương trình Có phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính với hai biến số 2x − 2x − y = − 2x −y = − 2x Phương pháp khử nhân hai vế với −1: Một ví dụ giải phương trình tuyến tính với phương pháp khử y = 2x − { 4x + 2y 2x − y = 14 = Nhân số hạng phương trình thứ hai cho ay giá trị y vào phương trình hệ phương trình gốc: 4x + 2(2x − 1) = 14 4x + 4x − = 14 8x − = 14 4x + 2y = 14 4x − 2y = Cộng vào hai vế phương trình: Cộng hai phương trình lại ta có 8x − + = 14 + 8x = 16 8x = 16 Rồi rút gọn Rút gọn thành x = x=2 Khi ta biết x = ta tìm y = Sử dụng giá trị vào hai phương trình, cách thay cho x vào hai phương trình đầu ta đạt nghiệm tương tự với phương pháp Nghiệm hai phương trình trước 2.3 GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ { { x=2 y = 4x + 2y = 12 −2x − y = −6 Chú ý phương pháp Tách y phương trình thứ hai để giải hệ phương trình này; y giải trước x y = −2x + 2.3.7 Các dạng hệ phương trình tuyến tính Và giá trị vào phương trình thứ hệ phương trình khác Hệ phương trình vô nghiệm Trong ví dụ trên, ta tìm đáp số Tuy nhiên, có hệ phương trình đáp số Một ví dụ { x+y =1 0x + 0y = 4x + 2(−2x + 6) = 12 4x − 4x + 12 = 12 12 = 12 Đẳng thức lại không đưa giá trị x ực ra, ta dễ dàng nhận (bằng cách điền vào giá trị x ) với x ta có đáp số miễn y = −2x + Vì phương trình có vô số nghiệm Phương trình thứ hai hệ phương trình đáp số Vì thế, hệ phương trình không giải Tuy nhiên, hệ phương trình không đáp số 2.3.8 dễ nhận Ví dụ hệ phương trình { Mối quan hệ tính giải tính bội hệ phương trình Cho hệ phương trình nào, có mối quan hệ tính bội tính giải hệ phương trình 4x + 2y = 12 −2x − y = −4 Nếu phương trình bội phương trình lại, hệ phương trình tuyến tính bất định, có nghĩa hệ phương trình có vô số nghiệm Ví dụ: Khi ta thử giải hệ phương trình (dùng phương pháp thay nêu trên), phương trình thứ hai, sau { cộng vào hai vế nhân với −1 ta có: y = −2x + Và giá trị vào phương trình 4x + 2(−2x + 4) = 12 4x − 4x + = 12 = 12 x+y =2 2x + 2y = có vô số nghiệm ví dụ (1, 1), (0, 2), (1.8, 0.2), (4, −2), (−3000.75, 3002.75), nhiều cặp nghiệm khác Nhưng tính bội thuộc phần riêng (ví dụ vế bên trái phương trình bội, vế bên phải không không nhân với số) hệ phương trình không giải Ví dụ: { x+y =2 Kết không lại biến số nào, đẳng thức 4x + 4y = không Điều có nghĩa phương trình đưa đáp số với giá trị tìm Phương trình thứ hai đem tới kết x + y = 14 phương trình thứ hai đối nghịch với phương trình thứ Khi giải hệ phương trình tuyến tính, ta nên kiểm tra xem phương trình có phải bội phương trình lại Hệ phương trình vô số nghiệm không Nếu bội phương trình lại, hệ Có phương trình có vô số đáp án, khác với hệ phương trình không xác định cách cụ thể phương trình có hai nghiệm (cặp giá trị x y ) Ví Nếu bội phần, hệ phương trình lời dụ giải 10 Tuy nhiên, phần trên, điều nghĩa phương trình phải bội để có lời giải; nói cách khác, tính bội hệ phương trình tuyến tính điều kiện cần thiết để giải phương trình 2.4 Chú thích [1] H.E Slaught and N.J Lennes, Elementary algebra, Publ Allyn and Bacon, 1915, page (republished by Forgoen Books) [2] Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page [3] Richard N Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042, 9781439046043, page 78 [4] William L Hosch (editor), e Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, e Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71 [5] James E Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E Gentle page 183] [6] Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page [7] Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X, 9780618851959, 1114 pages, page [8] Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, “Algebraic notation”, in Mathematics Maers Secondary Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68 CHƯƠNG ĐẠI SỐ SƠ CẤP [13] Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 48 [14] Lawrence S Leff, College Algebra: Barron’s Ez-101 Study Keys, Publisher: Barron’s Educational Series, 2005, ISBN 0764129147, 9780764129148, 230 pages, page [15] Ron Larson, Kimberly Nolting, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275, 9780547102276, 622 pages, page 210 [16] Charles P McKeague, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217, 9780840064219, 571 pages, page 49 [17] Andrew Marx, Shortcut Algebra I: A ick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores, Publisher Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880, 9781419552885, 288 pages, page 51 [18] Mark Clark, Cynthia Anfinson, Beginning Algebra: Connecting Concepts rough Applications, Publisher Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380, 9780534419387, 793 pages, page 134 [19] Alan S Tussy, R David Gustafson, Elementary and Intermediate Algebra, Publisher Cengage Learning, 2012, ISBN 1111567689, 9781111567682, 1163 pages, page 493 [20] Douglas Downing, Algebra the Easy Way, Publisher Barron’s Educational Series, 2003, ISBN 0764119729, 9780764119729, 392 pages, page 20 [21] Ron Larson, Robert Hostetler, Intermediate Algebra, Publisher Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524, 9780618753529, 857 pages, page 96 [22] Chris Carter, Physics: Facts and Practice for A Level, Publisher Oxford University Press, 2001, ISBN 019914768X, 9780199147687, 144 pages, page 50 [23] Slavin, Steve (1989) All the Math You'll Ever Need John Wiley & Sons tr 72 ISBN 0-471-50636-2 [24] Cynthia Y Young, Precalculus, Publisher John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0471756849, 9780471756842, 1175 pages, page 699 [9] David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72 [25] Mary Jane Sterling, Algebra II For Dummies, Publisher: John Wiley & Sons, 2006, ISBN 0471775819, 9780471775812, 384 pages, page 37 [10] John C Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31 [26] Sharma/khaar, e Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E, Publisher Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723631, 9788131723630, 1248 pages, page 621 [11] Jerome E Kaufmann, Karen L Schwiers, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222 [12] omas Sonnabend, Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665, 9780495561668, 759 pages, page xvii [27] Aven Choo, LMAN OL Additional Maths Revision Guide 3, Publisher Pearson Education South Asia, 2007, ISBN 9810600011, 9789810600013, page 105 [28] John C Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 525 2.5 ĐỌC THÊM 2.5 Đọc thêm • Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770 English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, online digitized editions 2006, or on Google Books: Elements of algebra – Leonhard Euler, John Hewle, Francis Horner, Jean Bernoulli, Joseph Louis Lagrange, 1822 • Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs • Redden, John Elementary Algebra Flat World Knowledge, 2011 11 12 CHƯƠNG ĐẠI SỐ SƠ CẤP 2.6 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 2.6.1 Văn • Dãy số thực Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/D%C3%A3y_s%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c?oldid=26649739 Người đóng góp: Vietbio, Trung, Nhanvo, Chobot, VietLong, Newone, DHN-bot, Ctmt, Hoàng Cầm, Qbot, Vutrung lhp, Tnt1984, TuHan-Bot, Cheers!bot, AlphamaBot, Boehm, TuanminhBot, Ganatuiyop người vô danh • Đại số sơ cấp Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p?oldid=24138622 Người đóng góp: Parkjunwung, Earthandmoon, Cheers!-bot, AlphamaBot, Mbtl, Earthshaker, Addbot, itxongkhoiAWB người vô danh 2.6.2 Hình ảnh • Tập_tin:Algebraic_equation_notation.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/Algebraic_equation_ notation.svg Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: PC generated image Nghệ sĩ đầu tiên: Iantresman / Iantresman Wikipedia Tiếng Anh • Tập_tin:Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Binary_logarithm_ plot_with_ticks.svg Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tác phẩm người tải lên tạo Nghệ sĩ đầu tiên: Krishnavedala • Tập_tin:Polynomialdeg2.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f8/Polynomialdeg2.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: Nghệ sĩ đầu tiên: Original hand-drawn version: N.Mori • Tập_tin:Pythagorean_theorem_-_Ani.gif Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Pythagorean_theorem_-_ Ani.gif Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tác phẩm người tải lên tạo (Original text: I (AmericanXplorer13 (talk)) created this work entirely by myself.) Nghệ sĩ đầu tiên: AmericanXplorer13 (talk) 2.6.3 Giấy phép nội dung • Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... Chương Dãy số thực Dãy số thực danh sách (hữu hạn vô hạn) gồm nhiều số từ x , x ,…x Tập hợp số có thứ liệt kê số thực theo thứ tự tự, nghĩa có số (x ), số thứ (x ) số 1.1 Định nghĩa 1.3 Biên dãy. .. sau: −3 y= −2 −1 x2−x−2 x −1 1: số mũ, 2: hệ số, 3: số hạng, 4: toán tử, 5: số, x, y : biến số −2 −3 Một hệ số giá trị số nhân với biến số (toán tử bỏ qua), số hạng hạng thức, nhóm Đồ thị phẳng... n→∞ lim (xn yn ) = L1 L2 Khái niệm giới hạn dãy số bắt nguồn từ việc khảo n→∞ sát số dãy số thực, tiến “rất gần” số (nếu L2 khác 0) Chẳng hạn, xét dãy số thực: 2, 32 , 43 , , n+1 n , lim (xn