hoc gioi bất đẳng thức 8

.............................................................................................................................................................................................................................................................

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] Chuyên đề Bất đẳng thức GTLN, GTNN Bài Cho x,y,z không âm 1    Tìm GTLN của: P  xyz x 1 y 1 z 1 Giải Ta có: 1   2 x 1 y 1 z 1  1 y z y.z  (1  )  (1  )  2 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 ( y  1).( z  1) (1) Tương tự: x.z 2 y 1 ( x  1).( z  1) (2) x y 2 z 1 ( x  1).( y  1) (3) Nhân vế bất đẳng thức (1)(2)(3), ta có: xyz  ( x  1).( y  1).( z  1) ( x  1).( z  1).( z  1)  xyz  Vậy MaxP  1 x  y  z  Bài Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) x+y+z=2 Tìm GTNN: P  x y z 1 x 1 y 1 z Giải Đặt a=1-x ; b=1-y ; c=1-z ( a;b;c > ) Suy ra: a+b+c=1 P  a  b  c (b  c).(c  a).(a  b) bc ca ab   8 a b c abc abc Vậy MinP  x  y  z  Bài Cho x,y,z>0 xyz = Tìm GTLN: P  1   2 2x  y  y  z  2z  x2  Giải Ta có: 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] x  y   ( x  y )  ( x  1)   xy  x  1   2 x  y  xy  x  '  '  x  y  TT: 1  2 y  z  zy  y  1  2 z  x  xz  z  1 P   xy  x  2 zy  y  2 xz  z  x xy    xy  x  2 zyx  xy  x xz.xy  xyz  xy x xy     (do xyz  1) xy  x  2  xy  x x   xy KL : max P   x  y  z  2 Bài Cho x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=1 Tìm GTLN của: P  x  yz  y  xz  z  xy Giải Ta có: P  x  yz  y  xz  z  xy  x( x  y  z )  yz  y ( x  y  z )  xz  z ( x  y  z )  xy  ( x  y )( x  z )  ( y  x)( y  z )  ( z  x)( z  y ) ( x  y )  ( x  z ) ( y  x)  ( y  z ) ( z  x)  ( z  y )   2  2( x  y  z )    max P   x  y  z  Bài Cho x,y,z>0 x+y+z=xyz Tìm GTLN: P  x 1  y 1  z2 1 Giải Ta có: 1   1 xy yz zx 1 u  ; v  ; w   uv  vw  uw  x y z x  y  z  xyz  0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] P u u2  v  v2  u P w  w2   v w  u  uv  vw  uw v  uv  vw  uw w2  uv  vw  uw u v w P   (u  v)(u  w) (v  w)(v  u ) ( w  u )( w  v) u u v v w w   uv uw vu vw wu wv u u v v w w P (      ) u v u w vu vw wu wv u  v  w  max P    uvw x yz 3 uv  vw  wu  P Bài Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Tìm GTNN: P  x y yz zx   xy  z yz  x zx  y Giải Theo giải thiết: x  y  z 1 x y yz zx P   xy  z yz  x zx  y  1 z  xy   x  y 1 x 1 y  yz   y  z zx   z  x  1 z 1 x 1 y   (1  x)(1  y ) (1  y )(1  z ) (1  x)(1  z ) 1 z 1 x 1 y 3 (1  x)(1  y ) (1  y )(1  z ) (1  x)(1  z )  33  P    x   y   z  x  y  z  Bài Cho x,y,z>0 xyz=1 Tìm GTNN: P   x2  y 1 y2  z2  x2  z   xy yz zx Giải Ta có: P   x2  y  y2  z2  x2  z   xy yz zx 3 x2 y xy  33 z2 y2 zy  3 x2 z xz 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8]   xy  yz zx 3  3 ( xyz  1) xy yz zx  33  P  3  x  y  z  Bài Cho x,y,z>0 x2  y  z  Tìm GTNN: P  x y z   2 y z z x x  y2 Giải Theo giải thiết: x2  y  z   P x y z   2 1 x 1 y 1 z2 Ta có:  x   x   x  3 x (1  x )  x (1  x )  x 3x  x.(1  x )    27 3 1 x 3 x 3 y 3 z 3( x  y  z ) 3     2 2 3  P  x yz P Bài Cho x,y>0 x+y=1 Tìm GTNN: P  1  x y xy Giải Theo giả thiết: x  y    ( x  y )3  x  y  xy ( x  y )  x  y  xy P 1 x3  y  xy x  y  xy    x3  y xy x3  y xy  P  4 xy x3  y 3xy x  y     42 x3  y xy x3  y xy  P    3  1 x   xy x3  y  xy      3 '  '   x  y3 xy   x  y  x  y  x  y   3    y   Facebook.com/THCS.Tieuhoc 0902-11-00-33 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] Bài 10 Cho x,y>0 x+y=1 Tìm GTNN: P  x y  1 x 1 y Giải Theo giả thiết: x y x y    y  x  ( x  y) y x y x x  y 1 P  P2 x y 2 y '' x y y x  ( x  y )  x  y (1) x Mặt khác: x  y 1 P  1 y 1 x 1     ( x  y ) (2) y x x y Cộng vế (1) (2) ta có: 2P  1  2 x y 1   x y xy 2 x y P  P  2 "" x  y  Bài 11 Cho x,,y>1 Tìm GTNN: P  ( x3  y )  ( x  y ) ( x  1)( y  1) Giải ( x3  y )  ( x  y ) x2 y2   ( x  1)( y  1) y 1 x 1 xy x y x y P   8 x 11 y 1 ( x  1)( y  1) x  1.1 y  1.1 2  P  P '' x y 2 Bài 12 Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Tìm GTLN của: P  x y z   x 1 y 1 z 1 Giải Ta có: 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] P x y z 1    3 (   ) x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 Áp dụng BĐT coossi bản: 1   )  9, x  y  z  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1) ( x 1 y 1 z 1 1 9      x 1 y 1 z 1 x  y  z  P P x yz 3  max P   x  y  z  1 Bài 13 Cho x,y,z>0    x y z Tìm GTLN: P  1   2x  y  z x  y  z x  y  2z Giải Áp dụng BĐT Cô si lần ta có: 1 1 1 1  (  )  (  (  )) 2x  y  z 2x y  z 2x y z Tương tự ta có BĐT khác, cộng vế với vế BĐT ta có: 4 P (   ) 1 2x y 2z  max P   x  y  z  Bài 14 Cho x,y>0 x + y 0 x+y+z=1 Tìm GTLN: P  3x  y  3z    x2  y  z  Giải Ta có: 3x  y  3z    x2  y  z  2 1 (   )(   ) x 1 y 1 z 1 1 x 1 y 1 z 2 1 (   )(   ), (do x  y  z  1) 2x  y  z x  y  z x  y  2z yz zx x y P Áp dụng BĐT: 1 4    y  z x  y y  z  x  y x  2y  z 1 2       y  z z  x x  y 2x  y  z x  y  z x  y  2z P0  max P   x  y  z  0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] Bài 17 Cho x,y,z>0 x+y+z=3 Tìm GTLN của: P  x y z   2x  y  z y  x  z 2z  x  y Giải Ta có: x y z x yz x yz x yz    1 1 1 2x  y  z y  x  z 2z  x  y 2x  y  z x  2y  z x  y  2z 1 P   ( x  y  z )(   ) 2x  y  z x  y  z x  y  2z P 1 1   ) (2 x  y  z )  ( x  y  z )  ( x  y  z ) ( 2x  y  z x  y  z x  y  2z P    4  max P   x  y  z  P  3 3 x Bài 18 Cho x,y>0 x  y  Tìm GTNN: P   3y Giải P 1     x 3y x x 3y 1   x 3y x  3y 4 16 Ta có:  P      4 2x x  3y x  x  y 3x  y  x  3y   max P   2 x  x  y  x  1, y   x  y   Bài 19 Cho x,y,z,t>0 Tìm GTNN: P  x t t  y y  z z  x    t  y y  z z  x x t Giải Ta có: xt t  y y  z z  x    t  y y z z  x xt xt ty yz zx (  1)  (  1)  (  1)  (  1)  ty yz zx xt x y t  z y x zt     4 t  y y z z  x xt P 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] 1 1  )  (t  z )(  )4 ty zx y z xt 4  ( x  y )  (t  z ) 40 t yzx y  z  xt  ( x  y )( t  y  z  x x  y   P     y  z  x  t z  t  Bài 20 Cho x,y,z>0 thỏa mãn: x2  y  z  3xyz Tìm GTNN của: P  x y z   1 x 1 y 1 z Giải x  y  z  3xyz  u x ,v  yz x y z   3 yz zx xy y ,w  zx z xy  u , v, w    u  v  w2  1 1   vw;  uw;  uv y z  x P x y z    1 x 1 y 1 z 1 x  1 y  1 z  1    (theo ví dụ  uv  vw  uw TLBG chứng minh) Vậy: P   x  y  z 1 Bài 21 Cho x,y,z>0 xyz=1 Tìm GTNN: P  1   xy  yz  xz  Giải Đặt u v w x  ; y  ;z  v w u vw wu uv P   uv  uw vw  vu wu  vw vw wu uv  (1  )  (1  )  (1  )3 uv  uw vw  vu wu  vw 1  (vw  uv  uw)(   )3 uv  uw vw  vu wu  vw    2 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8]  uv  vw  wu  x  y  z  Bài 22 Cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1  P  Tìm GTLN của: P  1  3  3 x  y 1 y  z 1 z  x 1 Giải Dễ thấy: x  xy  y  xy  ( x  y )( x  xy  y   xy ( x  y )  x  y  xy ( x  y ) xyz   x3  y   xy ( x  y )  xyz  xy ( x  y  z ) 1 z    x  y  xy ( x  y  z ) xyz ( x  y  z ) TT : x  3 y  z  xyz ( x  y  z ) y  3 z  x  xyz ( x  y  z ) x yz P 1 xyz ( x  y  z )  P   x  y  z  Bài 23 Cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1 x2 y z2 y2 x2 z Tìm GTLN Tìm GTLN của: P  2 7  2 7  2 7 x y x y z y z y x z x z Giải Ta có: ( x3  y )( x  y )   x  y  x y ( x  y )  x y  x7  y  x3 y ( x  y )  x y x2 y x2 y z  2  3   7 2 x y x y x y (x  y)  x y xy ( x  y  z ) xyz ( x  y  z ) TT : z2 y2 x  2 7 z y z y xyz ( x  y  z ) x2 z y  2 7 x z x z xyz ( x  y  z )  P   P   x  y  z  Bài 24 Cho x,y,z thuộc [-1;2] thỏa mãn x+y+z=0 Tìm GTLN của: P  x  y  z Giải 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] x   1; 2  ( x  1)( x  2)   x   x TT : y   y; z   z  P   ( x  y  z)   max P   số có số -1, số Bài 25 Cho x,y,z thuộc [0;2] thỏa mãn x+y+z=4 Tìm GTLN của: P  x  y  z Giải x, y, z  [0; 2]  ( x  2)( y  2)( z  2)   xyz  2( xy  yz  zx)  4( x  y  z )    xyz  [( x  y  z )  ( x  y  z )]  4( x  y  z )    P  x  y  z   xyz    (do x, y, z  0) ( x  2)( y  2)( z  2)   max P    xyz   số x, y, z có số 2, số lại x  y  z   Bài 26 Cho x,y,z thỏa mãn x2  y  z  Tìm GTNN của: P  xyz  2(1  x  y  z  xy  yz  zx) Giải x  y  z  | x |,| y |,| z |  (1  x)(1  y)(1  z )    x  y  z  xy  yz  zx  xyz    Mặt khác:  (1  x  y  z )2 0    x  y  z  xy  yz  zx  (**)  2  x  y  z   Từ (*), (**) ta có: (1  x)(1  y)(1  z )  P0 1  x  y  z   số có số -1, số Bài 27 Cho x, y không âm Tìm GTLN, GTNN P  ( x  y )(1  xy ) (1  x)2 (1  y) Giải Ta có: P ( x  y )(1  xy ) x y   2 (1  x) (1  y) (1  x) (1  y) Do x, y không âm nên ta đặt 0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] x  tan  , y  tan  ,   ,   P  tan  tan    tan  cos   tan  cos  2 2 (1  tan  ) (1  tan  ) 2  (sin 2  sin 2  ) 1  P 4 Lại có:   sin 2  x  1   P    sin   y       sin 2  x    P    sin   y 1    max P  x  1; y  P   x  0; y  0902-11-00-33 Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học ...CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] x  y   ( x  y )  ( x  1)   xy  x  1   2 x  y  xy  x  '... Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8] P u u2  v  v2  u P w  w2   v w  u  uv  vw  uw v  uv  vw... Facebook.com/THCS.Tieuhoc hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN [Toán nâng cao 8]   xy  yz zx 3  3 ( xyz  1) xy yz zx  33  P  3  x  y  z  Bài