MỆNH đề và tập hợp in

Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A Lý thuyết: Định nghĩa: Mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định câu khẳng định sai Một câu khẳng định gọi mệnh đề Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai (Mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa như: P, Q, R, S, …) Ví dụ 1: Tất câu sau mệnh đề: a/ Hà Nội thủ Việt Nam b/ + = c/ 18 chia hết cho Ví dụ 2: Tất câu sau khơng mệnh đề: a/ Bây giờ? b/ Hãy đọc sách thật kĩ c/ x + = d/ x + 2y = 3z Mở rộng : Người ta gán cho mệnh đề giá trị chân lý , sai 0.(gọi tắt chân trị mệnh đề 1, sai 0) II Các phép tốn mệnh đề : Phép phủ định & Mệnh đề phủ định : Cho mệnh đề P:Mệnh đề “khơng phải P” : gọi mệnh đề phủ định P I Kí hiệu: P ; Bảng chân trị : Ví dụ 3: Cho mệnh đề Q “hơm thứ 2” Khi mệnh đề phủ định mệnh đề Q “hơm khơng phải thứ 2” Phép hội & Mệnh đề hội: Cho mệnh đề P,Q:Mệnh đề “P Q” : gọi mệnh đề hội P Q Kí hiệu: P ^ Q ; Bảng chân trị: hai Phép tuyển & Mệnh đề tuyển: Cho mệnh đề P,Q:Mệnh đề “P Q” : gọi mệnh đề tuyển P,Q Kí hiệu: P v Q ; Bảng chân trị: sai hai sai Phép kéo theo & Mệnh đề kéo theo: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “nếu P Q”: gọi mệnh đề kéo theo P,Q Kí hiệu: P  Q ; Bảng chân trị : Chỉ sai P đúng, Q sai (Nếu có P có Q, ngược lại có Q chưa có P) + Ta nói Q điều kiện cần để có P + Hay P điều kiện đủ để có Q Mệnh đề đảo, Mệnh đề phản & Mệnh đề phản đảo : Mệnh đề kéo theo “ P  Q ” (1) i Mệnh đề Q  P :đgl Mệnh đề đảo MĐ (1) ii Mệnh đề P => Q :đgl Mệnh đề phản MĐ (1) iii Mệnh đề Q => P :đgl Mệnh đề phản đảo MĐ (1) Mệnh đề tương đương : Cho hai mệnh đề P,Q Mệnh đề “P Q”: gọi mệnh đề tương đương P,Q Kí hiệu: P  Q ; Bảng chân trị : Chỉ Đúng hai hai sai Mệnh đề Tập hợp Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) P  Q ( P  Q Đúng  ) Q  P *Mở rộng: Các luật Logic: i Luật giao hốn: ii Luật kết hợp: iii Luật phân phối: P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R) iv Luật DeMorgan: P  Q  P  Q ; P Q  P Q v Luật kéo theo: P  Q  P  Q III Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến câu mà thân chưa phải mệnh đề, ta thay biến phần tử thuộc tập xác định X trở thành mệnh đề Ta kí hiệu P  x  mệnh đề chứa biến Ví dụ : P  x  = “ x chia hết cho 5” chưa mệnh đề + Nếu x  P  5 MĐ + Nếu x  P   MĐ sai IV Lượng từ: (kí hiệu)  (đọc „với mọi‟)  (đọc „tồn tại‟) i Nếu với x  A, x có tính chất P ta ghi “  x  A, x có tính chất P” ii Nếu tồn ( có một) x  A, x có tính chất P ta ghi “  x  A, x có tính chất P” Ví dụ : “ x  R : x2   ” Mệnh đề sai “ x  Z : x2   ” Mệnh đề Quy tắc phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu  ,  Mệnh đề  x  A, x có tính chất P  x  A, x có tính chất P Phủ định  x  A, x khơng có tính chất P  x  A, x khơng có tính chất P Ví dụ : Cho mệnh đề P " x  R : x   0" , đó: P :"x  R : x   0" P đúng, P sai Cho mệnh đề Q "x  R : x2  3x   0" , đó: Q : " x : x2  3x   0" Q sai, Q B Phương Pháp Giải Tốn: Vấn đề 1: Xác định mệnh đề - Tính sai mệnh đề: Căn định nghĩa mệnh đề tính sai chúng Mệnh đề Tập hợp   P, P khơng tính sai P  Q sai P Q sai  P  Q P  Q Q  P    x  X, P(x) P(x0) với x0  X  x  X, P(x) có x0  X cho P(x0) Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) Vấn đề 2: Xác định mệnh đề đảo – Mệnh đề phủ định mệnh đề:  Mệnh đề phủ định P “khơng phải P”  Mệnh đề phủ định “  x  X, P(x)” “  x  X, P(x) ”  Mệnh đề phủ định “  x  X, P(x)” “  x  X, P(x) ”  Mệnh đề Q  P mệnh đề đảo mệnh đề P  Q BÀI TẬP ÁP DỤNG I BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Câu sau mệnh đề câu khơng phải mệnh đề?Nếu mệnh đề hay sai? a Đây đâu? b Phương trình: x2  5x   vơ nghiệm c x   d 24 - số ngun tố e Hơm trời đẹp q! f số vơ tỉ g x + 2014 số âm h n số chẵn n2 chia hết cho i n  R, x  x   k n  , n  n khơng bội l Thành phố Paris thủ nước Pháp m.Tổng góc tam giác 1800 Bài 2:Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau,(nếu cho biết tính sai chúng) a Mọi học sinh lớp 10CT học giỏi mơn Tốn b Có học sinh lớp 9CT 10 điểm mơn tốn tuyển sinh c Nhà tốn học Cauchy người Pháp d 2014 số phương e Có vơ số số ngun tố số hữu tỉ f 10 g – chia hết cho 11 Bài 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Xét mệnh đề: P : “Tam giác ABC vng A” Q: “Trung tuyến AM nửa cạnh BC” a Phát biểu mệnh đề P  Q cho biết mệnh đề hay sai b Phát biểu mệnh đề P  Q cho biết mệnh đề hay sai Bài 3: Các mệnh đề sau hay sai, giải thích.Nếu sai sửa lại để có mệnh đề a ABCD hình vng  ABCD hình bình hành b ABCD hình thoi  ABCD hình chữ nhật c Hai tam giác  chúng có diện tích d Tam giác ABC  tam giác ABC cân có góc 600 Bài 4: Cho mệnh đề chứa biến P  x  :" x  x " Xét tính sai mệnh đề sau: 1 b P   c x  , P  x  d x  , P  x  e x  Z , P  x  3 Bài 5: Xác định tính sai (chứng minh )và cho biết mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a A : "x  , x3  x2 " b B :" x  , x  x  1 " a P 1 c x  , x2  x Mệnh đề Tập hợp d x  ,  x  x  Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) e x  , x  x   f x  Q, x   g x  h x  ;3x  x  : x  x 1 i n  , n  n  1 số phương j x  ,  x  1  x  k n  , n2  không chia hết cho l n  ,  n2  1 m r  , x2  x   n n  * , 1     n  11 Bài 6: Phát biểu thành lời mệnh đề sau xét tính sai chúng a A: x  , x  e x  , x  b C: x  ,  x 1 x f x  ,  x 1 x x2  x2  g x  ,  x2  x2 x2 x2 d G: x  , x2  3x   h x  , x2  3x   Bài 7: Hãy cho biết tính sai mệnh đề sau sửa lại để thu mệnh đề đúng: c E: x  , a x  , x2  x2 x2 x2 c x  1,| x  1| x  b x  Z  , x 1  x 1 x 1 x 1 d x =1 nghiệm phương trình ( x  2)(x  1)  ( x  1)(x  1) e Phương trình x  x    x  có nghiệm 1 f Phương trình x    có nghiệm x 3 3 x Bài 8: Cho tam giác ABC Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề sau xét tính sai chúng a Nếu AB  BC  CA ABC tam giác b Nếu AB  BC ACB  BAC c Nếu BAC  900 ABC tam giác vng Bài 9: Dùng bảng chân trị chứng minh: a A  B  A  B b A  B  A  B c A B  A B d A  B  A  B e A B  B  A Mệnh đề Tập hợp Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) §2 ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TỐN HỌC Định lý  Các định lý tốn học mệnh đề đúng.Thường phát biểu dạng : x  X , P( x)  Q( x) (1) Đều kiện cần & điều kiện đủ: Xét định lý có dạng “A  B” A gọi giả thiết, B gọi kết luận định lý Ta phát biểu: A điều kiện đủ để có B Hoặc B điều kiện cần để có A Chứng minh định lý: - Bài tốn chứng minh định lý dạng: x  X , P( x)  Q( x) (1) Cách 1: Chứng minh trực tiếp: Ngun tắc: Xác định giả thiết (viết rõ có) P(x),kết luận(cái cần chứng minh) Q(x) Từ giả thiết ta phân tích, dùng suy luận, kiến thức tốn học biết để Q(x) Trình bày: Bước 1: Lấy x tùy ý thuộc X mà P(x) Bước 2: Dùng dùng suy luận kiến thức tốn học biết để Q(x) Cách 2:Chứng minh phản chứng (tức thay ta chứng minh khẳng định định lý đúng,ta chứng minh khẳng định định lý sai dẫn đến mâu thuẫn Ngun tắc: - Xác định rõ P(x),Q(x) - Viết mệnh đề phủ định nó: x  X , P( x)  Q( x)  x  X , P( x)  Q( x) - Chỉ mâu thuẫn mệnh đề phủ định Trình bày: Bước 1: Giả sử tồn x thuộc X cho P(x) Q(x) sai.(tức mệnh đề (1) sai) Bước 2: Dùng suy luận kiến thức tốn học biết để đến mâu thuẫn Với tốn chứng minh P( x)  Q( x) ta cần: Giả sử Q(x) sai, ta suy vơ lý(kết hợp với P(x)) Phương pháp chứng minh quy nạp: Xét định lý có dạng n  N * , P(n) Bước (bước sở):Chỉ mệnh đề P(1) //có thể P(a) Bước (bước quy nạp): ta cm n  N * , P(n)  P(n  1) Tức: Giả sử P(n) ta chứng minh P(n+1) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lý sau: a Nếu hai tam giác đồng dạng chúng có góc b Nếu ABCD hình thoi ABCD có hai đường chéo vng góc c Nếu a = b a2 =b2 Mệnh đề Tập hợp Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) Bài 2: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lý sau: a Nếu n2 chia hết cho n chia hết cho b Nếu tam giác ABC cân A đường trung tuyến từ đỉnh A đường cao Bài 3: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” để phát biểu định lý sau: a Tam giác ABC vng A AB2 + AC2 = BC2 b Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tổng hai góc đối 1800 Bài 4:Chứng minh định lý sau phản chứng: a Nếu a, b số dương a  b  ab b c d e f g h số vơ tỷ Nếu n số tự nhiên n2 chia hết cho n chia hết cho Nếu n2 số chẵn n số chẵn n  N , n2 chia hết cho n chia hết cho n  N , n2 chia khơng hết cho n khơng chia hết cho Nếu A2 + B2 = A=0 B=0 Nếu x y hai số thực với x  1 y  1 x  y  xy  1 i Nếu x y hai số thực với x  y  x2  y  2( x  y)  2 j Nếu tổng số 99 số 100 có số lớn k Nếu n số ngun lẻ 3n + số ngun lẻ Bài 5:Chứng minh rằng: a a  b   a  b  b Nếu a  b  1thì ab   a  b c Nếu ab chia hết cho a b chia hết cho d Nếu n số tự nhiên lẻ n2 – chia hết cho e Với số tự nhiên n, 5n + số lẻ n số lẻ f Nếu a + b < hai số a b nhỏ g Nếu abc < ba số a,b,c phải âm h Nếu tam giác khơng phải tam giác có góc nhỏ 600 i Nếu nhốt n thỏ vào k chuồng (k < n) có chuồng nhiều thỏ.(Ngun lý Dirichlet) j p số vơ tỉ (với p số ngun tố) Bài 6: Cho a.b.c  0, chứng minh có ba phương trình sau có nghiệm : ax2  2bx  c  (1) bx2  2cx  a  (2) cx2  2ax  b  (3) Bài 7: Cho số a, b, c thỏa điều kiện :   abc  (1) ab  bc  ca  (2) abc  (3)  Chứng minh a  , Mệnh đề Tập hợp b  0, c  Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) Bài 8: Chứng minh “Nếu a, b, c ba số dương a3 + b3 + c3  3abc” Bài 9:Chứng minh n  N * ta ln có: n(n  1) a    n  n(n  1)(2n  1) b 12  22   n  n (n  1) c 13  23   n3  d     (2n  1)  n2 e 1.4  2.7   n.(3n  1)  n(n  1)2 f 1 n     1.2 2.3 n(n  1) n  g n3  2n chia hết cho §3 TẬP HỢP Tập hợp  Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa  Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp  Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu  Tập hợp – Tập hợp  A  B   x  A  x  B  ; A  A, A   A, A ; A  B, B  C  A  C  A  B   A  B B  A  Một số tập tập hợp số thực  N*  N  Z  Q  R  Khoảng: (a; b)  x  R a  x  b ; (a; )  x  R a  x ; (; b)   x  R x  b  Đoạn: [a; b]  x  R a  x  b  Nửa khoảng: [a; b)  x  R a  x  b ; (a; b]  x  R a  x  b ; [a; )  x  R a  x ; (; b]  x  R x  b Các phép tốn tập hợp A  B  x x  A x  B  Giao hai tập hợp:  Hợp hai tập hợp:  Hiệu hai tập hợp: Phần bù: A  B  x x  A x  B A \ B   x x  A x  B Cho B  A CA B  A \ B Hay CAB  x / x  A  x  B Mệnh đề Tập hợp Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) B A B AB A B A A B A X A\ B C X\A A X BÀI TẬP ÁP DỤNG § BÀI TẬP VỀ TẬP HỢP BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Xác định tập hợp sau cách liệt kê  |  2x  1  x  x  1 2x  3x 1  0 C  x  |  x  x  x  x   x  x  12   0 E   x  | x  vµ x  2 A  x 2 2 G   x  | x   0 I  x  B   x  | x  5x   0 D  x  F   x  | x  3  J  x  H  x | x  x   0 | x  vµ x  4  |  x  1  x  x    0 |  x  1  x  x  5  K  x | x  2k víi k  va   x  3 L  x  | x  vµ x  10 M  x  | x  3k víi k  va   k  5 N  x  Bài 2: Liệt kê phần tử tập hợp sau A  x  | x   vµ x  x   0 | x  5x   0 B  x  | x  5x   0 C   x  | x  5x   0  D  x   |x Bài 3: Cho tập hợp A  x  1 ,  , x    8 | x  10 x  21  hc x  x  0 Hãy liệt kê tất tập tập hợp A chứa phần tử Bài 4: Hãy xét quan hệ bao hàm tập hợp sau: A tập hợp tam giác B tập hợp tam giác C tập hợp tam giác cân Bài 5: Cho hai tập hợp: A  n  | n ước 6 B  n  | n ước chung 18 Hãy xét quan hệ bao hàm hai tập hợp Bài 6: Xét mối quan hệ bao hàm tập hợp sau A tập hình tứ giác B tập hình bình hành C tập hình vng D tập hình chữ nhật Bài 7: Viết tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng chúng Mệnh đề Tập hợp Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649)  1 1  B  1, , , , ,   16 25    D  2, , , , ,    A  2, 6,12, 20,30,  2  C   , , , , ,   10 17 26 37  Bài 8: Tìm tập hợp X cho X  A X  B , đó: A  a, b, c, d , e B  a, c, e, f  Bài 9: Chứng minh với A   x  | x ước 6 B   x  | x ước 18 A  B Bài 10: Cho A  2,5 ; B  5, x ; C  x, y,5 Tìm cặp số  x; y  để A  B  C Bài 11: Cho A  1, 2,3, 4 ; B  2, 4,3; C  2,3; D  2,3,5 a Tìm tất tập X cho C  X  B b Tìm tất tập Y cho C  Y  A Bài 12: Cho A   x | x ước ngun dương 12 ; B  x  C  1, 2,3 D  x  | x  5 |  x  1 x   x    0 a Tìm tất tập X cho D  X  A b Tìm tất tập Y cho C  Y  B § CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 13: Cho A  1, 2,3, 4 B  2, 4,6 C  1,3,5 Xác định tập hợp sau: A  B, A  B, A  C, A  C, C  B, C  B Bài 14: Cho E  a, b, c, d  , F  b, c, e, g , G  c, d , e, f  Chứng minh rằng: E   F  G    E  F    E  G  Bài 15: Cho A  1, 2,3, 4,5 ; B  2, 4,6,8 Hãy xác định: A \ B, B \ A Bài 16: Cho A  a, e, i, o ; X  a, b, c, d , e, i, o, f  Hãy xác định C XA Bài 17: Cho E  x  | x  8 ; A  1,3,5,7 ; B  1, 2,3,6 a Tìm CEB , CEA , CEB  CEA b Chứng minh: CEAB  CEAB Bài 18: Cho A  x  | x  x  12  vµ x  x   0 ; B  x  | 3x  13x  12  hc x  3x  0 Xác định tập hợp sau: A  B, A \ B, B \ A, A  B Bài 19: Cho A   x  | x  7 B  1, 2,3,6,7,8 a Xác định tập hợp sau: A  B, A  B, A \ B, B \ A b Chứng minh rằng:  A  B  \  A  B    A \ B    B \ A Bài 20: Chứng minh nhận định sau: a A  B  A A  B  B b A  x  | x lµ ­íc cđa 6 , B  x  | x lµ ­íc cđa 18 A  B c A   B  C    A  B   A  C  d P  A  B   P  A  P  B  với P  X  tập hợp tập X e Với A  x  | x lµ béi cđa 3vµ 4 , B  x  | x lµ béi cđa12 ta có A  B Mệnh đề Tập hợp Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649)   Bài 21: Cho A  x  | x  4 ; B  x  |  x  3x  x  x  3  a Liệt kê A, B b Chứng minh rằng:  A  B  \  A  B    A \ B    B \ A Bài 22: Cho tập hợp: E  x   |1  x  7 , A  x      | x  x  5x   , B   x  | x lµ sè nguyªn tè kh«ng qu¸ 5 b Tìm CEA ; CEB ; CE AB a Chứng minh rằng: A  E vµ B  E Bài 23: Chứng minh rằng: a Nếu A  C vµ B  D th×  A  B    C  D  b A \  B  C    A \ B    A \ C  c A \  B  C   A \ B    A \ C § CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP SỐ Bài 24: Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a  3;1   0;4 b  3;1   0;4 c  ;1   2;   d  ;1   2;   Bài 25: Cho A   2;3 vµ B  1;5 Xác định tập hợp: A  B, A  B, A \ B, B \ A Bài 26: Cho  x  | x  4 ; B  x  | 2  x   3 Viết tập sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng: A  B, A \ B, B \ A, Bài 27: Cho A  x  \  A  B | 3  x  5 B  x  | 1  x  5 Xác định tập hợp: A  B, A  B, A \ B, B \ A Bài 28: Cho A   x  | x  2 B  x  | 1  x  5 Xác định tập hợp: A  B, A  B, A \ B, B \ A Bài 29: Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a \   0;1   2;3   2;7 \ 1;3 Bài 30: Cho A  x  c b \   3;5   4;6   d  1;2   3;5 \ 1;4  |1  x  5 , B  x  |  x  7 C  x  |  x  6 a Xác định tập hợp: A  B, A  C, B  C, A  C, A \  B  C  b Gọi D  x  | a  x  b Xác định a, b để D  A  B  C Bài 31: Viết phần bù A  x  tập hợp sau: | 2  x  10 B  x  Bài 32: Cho A  x  | x  2 C  x  | x  3hc x  6 , B  x  | 4  x   5 | x  25  0 a Tìm khoảng – đoạn – nửa khoảng sau đây: A \ B, B \ A, b Cho C  x  | x  a ; D  x  \  A  B, \  A  B, \  A \ B | x  b Xác định a, b biết C  B vµ D  B đoạn có chiều dài Tìm C  D Mệnh đề Tập hợp Trang 10 Chương I: Mệnh đề Tập hợp Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) Trang 11 Chương I: Mệnh đề Tập hợp Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) Trang 12 ... dài Tìm C  D Mệnh đề Tập hợp Trang 10 Chương I: Mệnh đề Tập hợp Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) Trang 11 Chương I: Mệnh đề Tập hợp Mệnh đề Tập hợp Biên soạn:... ”  Mệnh đề phủ định “  x  X, P(x)” “  x  X, P(x) ”  Mệnh đề Q  P mệnh đề đảo mệnh đề P  Q BÀI TẬP ÁP DỤNG I BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Câu sau mệnh đề câu khơng phải mệnh đề? Nếu mệnh đề hay... Trang Chương I: Mệnh đề Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Dun (ĐT: 0984.279.649) Vấn đề 2: Xác định mệnh đề đảo – Mệnh đề phủ định mệnh đề:  Mệnh đề phủ định P “khơng phải P”  Mệnh đề phủ định