Tổng hợp tất cả các chuyên đề đại số và hình học môn toán 9. Đầy đủ và chi tiết các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao, trọng tâm các kiến thức có trong đề thi vào lớp 10. Tài liệu ở dạng file word, dễ dàng biên soạn nếu muốn.
PHẦN I: ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau) 1) 3x − 8) x2 + 2) − 2x 9) x2 − 3) 7x − 14 2x − 4) 3− x 5) x+3 7−x 7) 2x − x x − 3x + 11) 2x − 5x + 12) 7x + 6) 10) 13) 14) x − 5x + x−3 + 3x 5−x 6x − + x + Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bài 1: Đưa thừa số vào dấu a) ; b) x (víi x > 0); x c) x ; d) (x − 5) x ; 25− x2 e) x Bài 2: Thực phép tính a) ( 28 − 14 + ) ⋅ + ; d) b) ( − + 10 )( − 0,4); e) c) (15 50 + 200 − 450) : 10 ; f) g) 3; 20 + 14 + 20 − 14 ; h) + + − 5; 11 + − 11 − +7 −3 −7 3 26 + 15 − 26 − 15 Bài 3: Thực phép tính a) ( 3− 216 − )⋅ 8−2 Bài 4: Thực phép tính b) 14 − 15 − + ): 1− 1− 7− c) − + − 15 + 10 x2 a) (4 + 15 )( 10 − 6) − 15 c) 3+ − 3− − e) 6,5 + 12 + 6,5 − 12 + b) d) (3 − 5) + + (3 + 5) − 4− − 4+ + Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: a) c) − 24 + − + 24 + 5+2 5−2 + 5− 5+ b) d) 3 +1 −1 − 3 −1 +1 3+ 3− + 3− 3+ Bài 6: Rút gọn biểu thức: a) + − 13 + 48 c) b) + + 48 − 10 + 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a) a b+ b a ab : a− b , víi a > 0,b > vµ a ≠ b a+ a a− a 1− , víi a > vµ a ≠ b) 1+ a + a − a a − 8+ 2a− a ; a− d) ⋅ 5a4 (1− 4a+ 4a2 ) 2a− c) 3x2 + 6xy+ 3y2 e) ⋅ x − y2 Bài 8: Tính giá trị biểu thức a) A = x2 − 3x y + 2y, x = 5− ;y = 9+ b) B = x3 + 12x− víi x = 4( + 1) − 4( − 1); )( ( ) c) C = x + y , biÕt x + x2 + y + y + = 3; d) D = 16− 2x+ x + − 2x+ x2 , biÕt 16− 2x+ x2 − − 2x+ x = e) E = x 1+ y2 + y 1+ x , biÕt xy + (1+ x )(1+ y2 ) = a Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính tốn x −3 x −1 − P= Bài 1: Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4(2 - ) c) Tính giá trị nhỏ P A= Bài 2: Xét biểu thức a2 + a 2a + a − + a − a +1 a a) Rút gọn A A b) Biết a > 1, so sánh A với c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ A C= Bài 3: Cho biểu thức 1 x − + x − 2 x + 1− x a) Rút gọn biểu thức C x= b) Tính giá trị C với c) Tính giá trị x để M= Bài 4: Cho biểu thức C= a − 1 + a − b2 a − b2 a b : 2 a− a −b a) Rút gọn M a = b b) Tính giá trị M c) Tìm điều kiện a, b để M < Bài 5: Xét biểu thức x −2 x + (1 − x) ⋅ P = − x + x + x −1 a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > c) Tìm giá trị lơn P x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x −2 3− x Q= Bài 6: Xét biểu thức a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng Q số nguyên Bài 7: Xét biểu thức x−y x − y3 H= − x− y x−y : ( ) x − y + xy x+ y a) Rút gọn H b) Chứng minh H ≥ c) So sánh H với Bài 8: Xét biểu thức H a a : A = 1 + − a +1 a −1 a a + a − a −1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị a cho A > c) Tính giá trị A M= Bài 9: Xét biểu thức a) Rút gọn M a = 2007 − 2006 3x + 9x − x +1 x −2 − + x+ x −2 x + 1− x b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng M số nguyên P= Bài 10: Xét biểu thức 15 x − 11 x − 2 x + + − x + x − 1− x x +3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho c) So sánh P với P= Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Bài 1: Giải phương trình 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 9) x2 – 2( x + = 3(x + 3 - 1)x - 2 ); 8) x2 + x + = (x + 1) ; = Bài 2: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = ; 3) x2 – (1 + 2) 5x2 – 17x + 12 = ; )x + =0; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 7) ( + 1)x2 + x+ 9) x2 – 12x + 27 = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + 6) 5x2 + 24x + 19 = ; - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 10) x2 – 10x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm )x + + =0; 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax2 + (ab + 1)x + b = Bài 2: a) Chứng minh với a, b , c số thực phương trình sau ln có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt phương trình sau có hai nghiệm phân biết: 1 + + = (Èn x) x− a x− b x− c c) Chứng minh phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = ln có hai nghiệm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm c) Cho phương trình (ẩn x sau): 2b b + c x+ =0 b+c c+a 2c c + a bx − x+ =0 c+a a+b 2a a + b cx − x+ =0 a+b b+c ax − (1) (2) (3) với a, b, c số dương cho trước Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phương trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phương trình ax + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Tính: 2 A = x1 + x ; C= 1 + ; x1 − x − 3 E = x1 + x ; Lập phương trình bậc hai có nghiệm B = x1 − x ; D = ( 3x1 + x )( 3x2 + x1 ) ; F = x1 + x 1 vµ x1 − x2 − Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: 3 A = 2x1 − 3x1 x + 2x − 3x1x ; 1 x x1 x x B= + + + − − ; x x + x1 x + x1 x 2 3x + 5x1x + 3x2 C= 2 4x1x + 4x1 x Bài 3: a) Gọi p q nghiệm phương trình bậc hai: 3x + 7x + = Khơng giải phương trình thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm 1 vµ 10− 72 10+ p q vµ q−1 p− Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = a) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm x1 ; x2 với m y1 = x1 + b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn 1 vµ y2 = x2 + x2 x1 Bài 5: Khơng giải phương trình 3x2 + 5x – = Hãy tính giá trị biểu thức sau: A = ( 3x1 − 2x )( 3x2 − 2x1 ) ; B= x1 x + ; x − x1 − C = x1 − x2 ; D= x1 + x + + x1 x2 Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Khơng giải phương trình thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y = x + a) y = x + 2 x1 y = x2 b) x2 y = x Bài 8: Cho phương trình x2 + x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: x1 x y + y = x + x a) ; y y + = 3x + 3x y y y + y = x + x 2 b) y + y 2 + 5x1 + 5x = Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 + y2 = 1 1 + vµ + = x1 + x2 x1 x2 y1 y2 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vơ nghiệm Bài 1: a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phương trình có nghiệm Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt a) b) Bài 2: a) Cho phương trình: 4x2 2( 2m − 1) x − + m2 − m − = 2 x + 2x + x +1 Xác định m để phương trình có nghiệm b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phương trình có nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phương trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trước Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dương (cùng âm) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: 3) 4) 5) 6) 7) a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 x1 = x22 f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = Bài 4: a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm b) Chư phương trình bậc hai: x – mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ; R= 2x1x + x1 + x + 2(1 + x1x ) x2 cho biểu thức đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn c) Định m để hiệu hai nghiệm phương trình sau mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2 Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số Bài 1: Ta có ∠CAB = 900 ( tam giác ABC vng A); ∠MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) => ∠CDB = 900 D A nhìn BC góc 900 nên A D nằm đường trịn đường kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp ABCD tứ giác nội tiếp => ∠D1= ∠C3( nội tiếp chắn cung AB) ¼ ¼ ∠D1= ∠C3 => SM = EM => ∠C2 = ∠C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung nhau) => CA tia phân giác góc SCB Xét ∆CMB Ta có BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC BA, EM, CD ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy ¼ ¼ Theo Ta có SM = EM => ∠D1= ∠D2 => DM tia phân giác góc ADE.(1) Ta có ∠MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ∠MEB = 900 Tứ giác AMEB có ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => ∠A2 = ∠B2 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => ∠A1= ∠B2( nội tiếp chắn cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) Ta có M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu : ∠ABC = ∠CME (cùng phụ ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cùng bù ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS » » ¼ ¼ => CE = CS => SM = EM => ∠SCM = ∠ECM => CA tia phân giác góc SCB Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: Xét hai tam giác ABC EDB Ta có ∠BAC = 900 ( tam giác ABC vng A); ∠DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠DEB = ∠BAC = 900 ; lại có ∠ABC góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB Theo ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (vì hai góc kề bù); ∠BAC = 900 ( ∆ABC vng A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ giác nội tiếp * ∠BAC = 900 ( tam giác ABC vng A); ∠DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay ∠BFC = 900 F A nhìn BC góc 90 nên A F nằm đường trịn đường kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp Theo ADEC tứ giác nội tiếp => ∠E1 = ∠C1 lại có ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mà hai góc so le nên suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài 17 Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khơng trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB AC Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường trịn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH Chứng minh OH ⊥ PQ Lời giải: Ta có MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt) Tam giác ACM có MQ đường cao => AC.MQ ACM = => ∠AQM = 900 P Q nhìn BC góc 900 nên P Q nằm đường trịn đường kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp * Vì AM đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung điểm AM Tam giác ABC có AH đường cao => SABC = BC.AH Tam giác ABM có MP đường cao => SABM = AB.MP Ta có SABM + SACM = SABC => BC.AH AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH Tam giác ABC có AH đường cao nên đường phân giác => ∠HAP = ∠HAQ » ¼ => HP = HQ ( tính chất góc nội tiếp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c góc tâm) => OH tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đường cao => OH ⊥ PQ Bài 18 Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trùng O, B) ; đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn ; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội Lời giải: ∠BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠BID = 900 (vì hai góc kề bù); DE ⊥ AB M => ∠BMD = 900 => ∠BID + ∠BMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MBID nên MBID tứ giác nội tiếp Theo giả thiết M trung điểm AB; DE ⊥ AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường ∠ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD ⊥ DC; theo BI ⊥ DC => BI // AD (1) Theo giả thiết ADBE hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đường thẳng song song với AD mà thôi.) I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM trung tuyến ( M trung điểm DE) =>MI = ME => ∆MIE cân M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC cân O’ ( O’C O’I bán kính ) => ∠I3 = ∠C1 mà ∠C1 = ∠E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 Mà ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I I => MI tiếp tuyến (O) Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O D E điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L a) Chứng minh DI = IL = LE b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có đường chéo vng góc với I a) Chứng minh từ I ta hạ đường vng góc xuống cạnh tứ giác đường vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đường vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác Bài 3: Cho tam giác vng ABC ( ∠A = 1v) có AH đường cao Hai đường trịn đường kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đường tròn (O 1) (O2) M N a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì? c) Gọi F, E, G trung điểm O 1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đường nào? Bài 4: Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường trịn phía hình vng.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) điểm E, F Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đường trịn c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2: Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường trịn.Xác định tâm O đường trịn b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đường tròn Bài 3: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đường tròn (O') C, tia O'A cắt đường tròn (O) D Chứng minh rằng: a) Tứ giác OO'CD nội tiếp b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đường tròn Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Vẽ EF vuông góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp Bài 5: Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD ⊥ AB, CE ⊥ MA, CF ⊥ MB Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn Vẽ hai đường cao BD CE a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA ⊥ DE Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM N a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC c)* Gọi D giao điểm AB CM Chứng minh rằng: 1 + = AM MB MD Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đường tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đường kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp b) AD AE = AF AN c) Đường thẳng MF qua điểm cố định Bài 9: Từ điểm A bên ngồi đường trịn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đường tròn điểm N Tia AN cắt đường tròn điểm D a) Chứng minh MB2 = MC MN b) Chứng minh AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi Bài 10: Cho đường tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp b) Chứng minh tích MC MD có giá trị khơng đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh ∠MAB = ∠ AO'D d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD ( E ∈ AD) a) Chứng minh AHEC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đường trịn nói biết AC= 6cm, ∠ACB = 300 Bài 12: Cho đường trịn tâm O có đường kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đường vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F a) Chứng minh ADCF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh ∠AME = ∠ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đường trịn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đường tròn (O) biết BC= 8cm, ∠ABC = 600 Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đường trịn Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D tiếp điểm) a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết ∠AOM = 600 Bài 14: Cho tam giác vuông cân ABC (∠A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tương ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đường tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) (O') C C' Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) (O') D D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đường thẳng CD đường thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài 2: Từ điểm C ngồi đường trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đường kính vng góc với AB Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D b) Chứng minh tiếp tuyến đường tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bài 3: Cho hai đường tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đường trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường trịn (O') D a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đường tròn (O’) G Chứng minh ba đường EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’) Bài 4: Cho đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đường kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D ∈ (O), E ∈ (O’)) AD cắt BE M a) Tam giác MAB tam giác gì? b) Chứng minh MC tiếp tuyến chung (O) (O’) c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB OO’ Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn I, K Chứng minh OI // AK Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định Bài 1: Cho đường tròn (O ; R) Đường thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định Tính góc MDN MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn a) b) c) d) Bài 3: Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN Chứng minh: IM.IN = IA2 a) b) c) d) Bài 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN So sánh tam giác AMC BCN Tam giác CMN tam giác gì? Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành Đường thẳng d qua N vng góc với BM Chứng minh d ln qua điểm cố định Bài 5: a) b) c) d) Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD a) b) c) d) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định Đường thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD E K Chứng minh EC = EK Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học Bài 1: Cho đường tròn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C Chứng minh MA2 = MC.MD Chứng minh MB.BD = BC.MD Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B Gọi R1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh R1 + R2 không đổi C di động AB Bài 2: a) b) c) d) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt tiếp tuyến A, B C E a) b) c) d) Chứng minh CE = AC + BE Chứng minh AC.BE = R2 Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE Xét trường hợp hai đường thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB + Chứng minh rằng: HA FA = HB FB + Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đường tròn Bài 3: Trên cung BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đường thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng: 1 = + PQ PB PC Bài 4: Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đường tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức: a) 1 + = 2 AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2 Chủ đề 6: Các toán tính số đo góc số đo diện tích Bài 1: Cho hai đường tròn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B ∈ (O); C ∈ (O’)) Chứng minh góc O’OB 600 Tính độ dài BC Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đường tròn Bài 2: a) b) c) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường trịn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn (I), (K) a) b) c) d) Bài 3: Chứng ming EC = MN Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường trịn (I), (K) Tính độ dài MN Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi b) Cho biết BAC = 600 bán kính đường trịn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC Bài 4: a) Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp , K tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đường tròn Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đường trịn (O) Tính bán kính đường trịn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm a) b) c) Bài 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R E điểm đường tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB a) Chứng minh ∆AOM vuông O b) OM cắt đường tròn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh ∆ACM đồng dạng với ∆AEC c) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC Tính AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Tốn quỹ tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động đường trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM a) Chứng minh ∆BPM cân b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đường tròn (O) Bài 2: Đường tròn (O ; R) cắt đường thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ a) Chứng minh góc QMO góc QPO đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng? c) Tìm quỹ tích tâm đường trịn nội tiếp tam giác MPQ M di động d Bài 3: Hai đường tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) (I) P, Q Gọi C giao điểm hai đường thẳng PO QI a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động đường nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn Chủ đề 8: Một số tốn mở đầu hình học khơng gian Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phương cm2 Bài 3: Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm góc A’AC’ 600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300 Bài 5: Cho tam giác ABC cạnh a Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC Chứng minh SA = SB = SC Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a a) b) Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đường cao a 2 Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp a) b) Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a Tính diện tích tốn phần hình chóp Tính thể tích hình chóp a) b) Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3 Tính độ dài cạnh đáy Tính diện tích xung quanh hình chóp a) b) Bài 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm 2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính thể tích hình chóp Chứng minh bốn mặt bên tam giác vng Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 11: a) b) a) Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128π cm3, tính diện tích xung quanh ... nửa đường trịn ) => ∠DEB = ∠BAC = 90 0 ; lại có ∠ABC góc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB Theo ∠DEB = 90 0 => ∠DEC = 90 0 (vì hai góc kề bù); ∠BAC = 90 0 ( ∆ABC vuông A) hay ∠DAC = 90 0 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà... ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Lời giải: Ta có ∠CAB = 90 0 ( tam giác ABC vuông A); ∠MDC = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) => ∠CDB = 90 0 D A nhìn BC góc 90 0... đồng quy ¼ ¼ Theo Ta có SM = EM => ∠D1= ∠D2 => DM tia phân giác góc ADE.(1) Ta có ∠MEC = 90 0 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => ∠MEB = 90 0 Tứ giác AMEB có ∠MAB = 90 0 ; ∠MEB = 90 0 => ∠MAB +