8 đề toán cao cấp 2 có lời giải chi tiết (NEU)

GROUP HỘI SINH VIÊN NEU YÊU TCC, VI, VĨ GIẢI CÁC ĐỀ THI K57 TOÁN CAO CẤP Tác giả: Nguyễn Văn Hinh – 0966547320 FB: Đức Hinh Chỉnh sửa: Nguyễn Đức Thành, Đỗ Thế Thành Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh MỤC LỤC Trang HÀ NỘI, 2017 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ limπ ( tan x ) x→ Câu 1: Tính Nguyễn Văn Hinh Đề tan 2x Câu 2: CM hàm ngược: f(x) = x – π + cosx ( f ) ′ ( – 1) −1 Tính Câu 3: Khai triển Mac – Laurin đến bậc x với phần dư Peano hàm số sau: f(x) = Câu 4: Tính I = x+5 −x + 4x + − 9x dx ∫ x2 Câu 5: Cho hàm sản xuất Q = 24K L Tính MPPK, MPPL K = 8, L = 16 Nêu ý nghĩa Câu 6: Tìm cực trị hàm số: u = 6x2 + 4y2 + 3z2 – 2xz + 2x – 5y + z Câu 7: Cho hàm lợi ích U = x0,5y0,5 Trong x lượng hàng hóa thứ nhất, y lượng hàng hóa thứ hai Xác định cấu tiêu dùng để tối đa hóa lợi ích biết giá hàng hóa thứ 2$, giá hàng hóa thứ hai 3$ thu nhập dành cho tiêu dùng 64$ Câu 8: Giải phương trình vi phân: dy e x – y = dx ex + thỏa mãn y(1) = GIẢI Câu 1: Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Đặt y = (tanx) ⇒ π x→ = Nguyễn Văn Hinh ⇒ lny = tan2x.ln(tanx) sin 2x.ln(tan x) π cos 2x x→ limπ ( tan 2x ) ln(tan x) lim ln y x→ tan2x lim = sin 2x(1 + tan x) 2cos 2x.ln(tan x) + tan x limπ −2sin 2x x→ limπ x→ = ⇒I= −2cos 2x.ln(tan x) 2sin 2x −(1 + tan x) π tan x x→ lim + = –1 e −1 Câu 2:  Miền xác định: R Ta có: f ′(x) = – sinx ≥ ∀ x ∈ R ⇒ Hàm số f(x) tăng ngặt liên tục R hàm số f(x) có hàm ngược x = ( f ) ′ ( −1) −1  Ta có: Tính f −1 ( f ( x ) ) = x với x thuộc miền xác định f(x) Lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta có: f ′(x) ( f −1 ) ′ ( f ( x ) ) ( f ) ′ ( f ( x ) ) = f ′(x) −1 =1 ⇒ Ta có: x – π + cosx = – ⇔ x = π = 1 − sinx (∗) f −1 (y) Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh ( f ) ′ ( −1) = − sin π −1 Thay x = π vào ( ∗ ) ta được: =1 ( f ) ′ ( −1) = −1 Vậy Câu 3: Ta có: n = 3, xo = f(x) = x+5 −x + = + 1+ x 1− x f(0) = −2 ( 1+ x) f′= f″= (1+ x) −12 f‴= ( 1+ x) + + + (1− x) ⇒ f ′(0) = (1− x) ⇒ f ″(0) = 10 18 (1− x) ⇒ f ‴(0) = ⇒ Khai triển Mac – Laurin phần dư Peano hàm số: f(x) = + x + 10 2! x2 + Câu 4: I = 4x + − 9x dx ∫ x2 Xét tích phân Io = ∫ = ∫ x dx + ∫ − 9x dx x2 − 9x dx x2 = 4ln + ∫ − 9x dx x2 3! x3 + o.x3 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ 2 sin t Đặt x = , t∈ 2 cos t.dt ⇒ dx = Nguyễn Văn Hinh  −π π   ;  ⇒ t = arcsin 3x 2 ∫ ⇒ Io = ∫ Io = Io = 2  − 9 sin t ÷   2 cos t.dt 2  sin t ÷    8cos t 2 cos t.dt sin t   3∫  − 1÷dt  sin t  ⇒ Io = – 3cot ∫ = − 8sin t 2 cos t.dt sin t ∫ = 2 cos t 2 cos t.dt sin t = –3cot t – 3t + C 3x    arcsin ÷ 2  – arcsin 3x 2 + C Vậy I = 4ln + Io = 4ln – 3cot 3x    arcsin ÷ 2  – arcsin 3x 2 Câu 5: −1 + MPPK = Q′K = 16K L −1 ⇒ MPPK(8; 16) = 16.8 16 = 32 + C = ∫ 3.cot t.dt Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh ⇒ Ý nghĩa: Tại mức K = 8, L = 16 giữ nguyên lao động tăng tư lên đơn vị sản lượng tăng xấp xỉ lượng MPPK = 32 đơn vị −1 2 + MPPL = Q′L = 12K L ⇒MPPL(8; 16) = 12.8 16 −1 = 12 ⇒ Ý nghĩa: Tại mức K = 8, L = 16 giữ nguyên tư tăng lao động lên đơn vị sản lượng tăng xấp xỉ lượng MPPL = 12 đơn vị Câu 6: u = 6x2 + 4y2 + 3z2 – 2xz + 2x – 5y + z Điều kiện cần: ⇒M u′x =  u′y =  ′ u z =  −7 −4   ; ; ÷  34 17  ⇔ 12x − 2z + =  8y − = 6z − 2x + =  ⇔ −7   x = 34   y =  −4  z = 17  điểm dừng hàm số Điều kiện đủ : u″xx = 12 u″xy = u″xz = – u″yx = u″yy = u″yz = u″zx = – u″zy = u″zz = ⇒ Ma trận Hess : H =  12 −2   0÷  ÷  −2 ÷   Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Tại M  −7 −4   ; ; ÷  34 17  Vậy (x ; y ; z) = Nguyễn Văn Hinh ta có D1 = 12 > 0, D2 = = 96 > 0, D3 = = 544 >  −7 −4   ; ; ÷  34 17  điểm cực tiểu hàm số UCT = U  −7 −4   ; ; ÷  34 17  Câu 7: Bài toán trở thành tìm x, y để hàm U = x0,5y0,5 max với điều kiện 2x + 3y = 64 Xét hàm Lagrange: L = x0,5y0,5 + λ(64 – 2x – 3y) Điều kiện cần: ⇒ M Ta có: L′x =  L′y =  ′ L λ = ⇔ 0,5.x −0,5 y 0,5 − 2λ =  0,5 −0,5 0,5.x y − 3λ = 64 − 2x − 3y =  0,5  32  −0,5  32  16; ;0, 25.16  ÷ ÷   ÷   L′′xx L′′xy L′′yy = – 0,25 = L′′yx x −1,5 y0,5 = 0,25 = – 0,25 x 0,5 y −1,5 điểm dừng hàm số 0 túi hàng hóa cần tìm Câu 8: x−y dy e = dx e x + ⇒ dy ex = dx e y ( e x + 1) e x dx e dy = x e +1 y ⇒ Lây tích phân vế: y ∫ e dy = ∫ e x dx ex + ⇔ y ∫ e dy = ∫ d(e x ) ex + e y = ln e x + + ln C ⇔ e y = ln e x + + ln C ⇒ nghiệm tổng quát phương trình là: (∗) Thay x = 1, y = vào ( ∗ ) ta được: 1= ln e + + ln C ⇒ C= e1−ln e+1 e y = ln e x + + ln e1−ln e+1 Vậy nghiệm riêng phương trình biểu diễn là: 10 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh – TH1: Với x < – y = – x – – 2(2 – x) = x – ⇒ y′ = – TH2: Với – < x < y = x + – 2(2 – x) = 3x – ⇒ y′ = – TH3: Với x > y = x + – 2(x – 2) = – x ⇒ y′ = – – TH4: Với x = lim− x →−1 lim+ x →−1 f (x) − f ( −1) x −5 +6 = lim− =1 x →−1 x +1 x +1 ⇒ f (x) − f ( −1) 3x − + = lim+ =3 x →−1 x +1 x +1 y′− (−1) ⇒ =1 y′+ (−1) =3 y′− (−1) y′+ (−1) ⇒ ≠ ⇒ Hàm số đạo hàm x = – – TH5: Với x = lim− x →2 lim+ x →2 f (x) − f (2) 3x − − = lim− =3 x →2 x −1 x−2 ⇒ f (x) − f (2) 5−x −3 = lim+ = −1 x →2 x−2 x−2 y′− (2) ⇒ y′+ (2) =3 =–1 y′− (2) y′+ (2) ⇒ ≠ ⇒ Hàm số đạo hàm x = Câu 2: TXĐ: D = R 55 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh 13  3x −  F′(x) = 14  ∫ 3t − 4t + dt ÷ 3(3x − 2) − 4(3x − 2) +   Cho F′(x) = ⇔ 3x – = ⇔ x = Bảng biến thiên: –∞ x F′(x) – + +∞ +∞ F(x) Vậy hàm số tăng khoảng (1; + ∞) hàm số giảm khoảng (– ∞; 1) hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ yCT = Câu 3: t ∫ ( −4x + ) e Với t ∈ (0, +∞) ta có: I = Đặt u = −4x +  −2x dv = e dx ⇒ +∞ −2x dx du = −4dx   e−2x dv =   56 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ e ⇒I= I= I= −2 x ( −4 x + ) t t Nguyễn Văn Hinh ∫ 2e + −2x  e −2t  −2x  ( −4t + ) + 3 + e    e −2t   ( −4t + ) + 3 + −2t   e t lim ∫ ( −4x + ) e t →+ ∞ Xét −2x dx dx = t –1  e −2t  lim  −4t + ) + 3 + e −2 t – ( t →+ ∞   Vậy I = Câu 4: Ta có: n = 4, xo = f(0) = ln10 2x − x − 7x + 10 f′= −1 f″= ( x − 2) 2 f‴= ( x − 2) −6 f (4) = ( x − 2) − + = 1 + x −2 x −5 ⇒ f ′(0) = – 0,7 ( x − 5) ⇒ f ″(0) = ( x − 5) − ⇒ f ‴(0) = ( x − 5) ⇒ f(4)(0) = −29 100 −133 500 −1923 500 ⇒ Khai triển Mac – Laurin với phần dư Peano: 57 = 3–1=2 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ f(x) = ln10 – 0,7x + Câu 5: Đặt u = u′x = ⇒ v′x = 10x y2 Ta có: x2 – cos ; v=  −2  u′y = 5x  ÷ y  ; y y sin x x x2 y2 −29 200 v′y = ; = −133 3000 x3 + −1923 120000 Nguyễn Văn Hinh x4 + o.x4 y x −10x y3 −1 y sin x x w ′x = f u′ (u, v).u ′x + f v′ (u, v).v′x f u′ (u, v) = 10x y y + f v′ (u, v) sin y x x w′y = f u′ (u, v).u ′y + f v′ (u, v).v′y f u′ (u, v) = x ⇒ −10x −1 y + f v′ (u, v) sin y x x dw dw +y = xw ′x + yw′y dx dy =  10x y y x  f u′ (u, v) + f v′ (u, v) sin ÷ y x x  f u′ (u, v) = 10x y y + f v′ (u, v) sin y x x =0 58 +  −10x −1 y y  f u′ (u, v) + f v′ (u, v) sin ÷ y x x  f u′ (u, v) + −10x −y y + f v′ (u, v) sin y x x Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh ⇒ đpcm Câu 6: Điều kiện cần:  w ′x =   w ′y =  ′ w z = ⇔ −2x − 2y + =  −4y − 2x = −2z + =  ⇔ x =   y = −2 z =  ⇒ M(4, –2, 1) điểm dừng hàm số Điều kiện đủ: w ′′xx = −2 w ′′xy = −2 w ′′xz = w ′′yx = −2 w ′′yy = −4 w ′′yz = w ′′zx = w ′′zy = w ′′zz = −2 ⇒ Ma trận Hess: H =  −2 −2   ÷  −2 −4 ÷  0 −2 ÷   −2 − ⇒ D1 = – < 0; D2 = −4 = < 0; D3 = – < ⇒ (x ; y ; z) = (4, –2, 1) điểm cực đại hàm số wCĐ = w ( 4, −2,1) =4 Câu 7: a Bài toán trở thành tìm K, L để hàm số Q = 25x0,7y0,3 max với điều kiện 12K + 10L = 1680 Xét hàm Lagrange: L = 25x0,7y0,3 + λ(1680 – 12K – 10L) 59 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh  60K L − 12λ = −1   45K L − 10λ =  12K + 10L − 1680 =   −1 Điều kiện cần: L′K =  L′L = L′ =  λ ⇔ ⇔  K = 80  L = 72  −1 λ = 4,5.80 72 2 ⇒ Hàm sản xuất có điểm dừng (K, L) = (80, 72) với −4 Điều kiện đủ: −45 23 −23 L′′LL = K L 2 L′′KK = −20K L λ = 4,5.80 72 < 0; −1 −1 < 0; −1 L′′KL = L′′LK = 30K L >0 g′K = 12; g′L = 10 ⇒ Ma trận Hess: H = ⇒ H = 120 L′′KL  12  12 L′′ KK   10 L′′ LK  + 120 L′′LK 10  L′′KL ÷ ÷ L′′LL ÷  – 100 L′′KK – 144 L′′LL >0 ⇒(K, L) = (80, 72) điểm cực đại hàm số Vậy (K, L) = (80, 72) mức sử dụng tư lao động cho sản lượng tối ưu Q max = 25.800,7720,3 λ b Ta có ε= b Q 4,5.80 72 = −1 1680 25.800,7 720,3 = 8,54 Vậy ngân sách tăng 1% sản lượng cực đại tăng xấp xỉ 8,54% (x Câu : 1  − xy − y3 + ) dx −  x + 3xy + ÷dy 2  60 =0 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ x − xy − y + Ta có: M(x ; y) = N(x; y) = ⇒ M′y = − x − 3xy − ⇒ ⇒ M′y N′x Nguyễn Văn Hinh = − x − 3y2 = − x − 3y2 N′x Vậy vế trái phương trình biểu thức vi phân toàn phần hàm số Φ(x; y) Chọn xo = ; yo = ta : x y ∫ M ( x; y ) dx + ∫ N ( 0; y ) dy ∫ ( x Φ(x; y) = = 0 y x = − xy − y + ) dx + ∫ −5dy x4 x2y − + − y3 − 5y Vậy tích phân tổng quát phương trình : x4 x2y − + − y3 − 5y = C, với C số 61 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh Đề cot x Câu 1: Tính giới hạn: x  lim  − sinx ÷ x →π π   Câu 2: Khai triển Mac – Laurin đến x với phần dư dạng Peano hàm số: y = 1− x ∫ Câu 3: Xác định khoảng tăng, giảm cực trị hàm số: y = Câu 4: Xét tính hội tụ, phân kỳ tích phân sau: Câu 5: Cho hàm số f(u, v) có f(1, 0) = f u′ ∫ −2x −∞ (1, 0) = 2, + 4t dt + e −4x − 3x 2x dx + 4x − f v′ (1,0) = −1 hàm số x y−x  w = x y.f  + sin ÷ 2x + y  y Tìm w ′x (2, 2) ? Câu 6: Tìm cực trị hàm số: w = 3x2 + 2y2 + 5z2 – xy + yz – 2x + y – 3z + Câu 7: Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q = 40.K0,6L0,4 Biết giá thuê đơn vị tư 30$, giá thuê lao động 10$ Tìm mức sử dụng tư lao động để tối thiểu hóa chí phí sản lượng không đổi 3500 đơn vị sản phẩm Câu 8: Giải phương trình vi phân: x(3x – 2y)dx + (y – x2)dy = Giải: cot x Câu 1: Đặt y = x   − sinx ÷ π  62 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ ⇒ lny = cotx.ln x →π x   − sinx ÷ π  cos x  x  ln  − sinx ÷ x →π sinx π  lim lim ln y ⇒ Nguyễn Văn Hinh = 1  cos x. − cos x ÷ x  π  −sinx.ln  − sinx ÷+ x π  − sinx π lim x →π cos x lim y ⇒ x →π = e = − cos x lim π x →π x − sin x π = +1 π +1 π Câu 2: Ta có n = 3, xo = y(0) = −4e−4x − 3x + y′ = y″ = = e −4x (−3) − 3x ⇒ y′(0) = −11  e −4x (−3)  −4x − 4e − 3x −  ÷ 3 − 3x  −4y′ − − 3x =  e −4x (−3)  −4x − 4e − 3x −  ÷ 3 − 3x  −4y′ − − 3x 6e −4x e −4x −4y′ + − − 3x ( − 3x ) ⇒ y″(0) = 25,75 63 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Nguyễn Văn Hinh  e (−3) −4x − 3x −  −4e 2 − 3x −4y′′ +  − 3x   −4x y‴ =      –   −4x −4x −e − 4e − 3x − 3x ( −3)  ( ) 9   4 ( − 3x )    ⇒ y‴(0) = – 119,125 Khai triển Mac – Laurin phần dư Peano: y=1+ −11 x + 12,875x2 – 119 150 x3 + o.x3 Câu 3: TXĐ: D = R y′ = − + 4(1 − x) + Cho y′ = ⇔ − + 4(1 − x) + ± ⇔ = 4(1 – x2) ⇔ x = =0 Bảng biến thiên x − –∞ y′ – 3 + +∞ – CĐ +∞ y –∞ CT 64 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Vậy hàm số tăng khoảng Nguyễn Văn Hinh  3 ; − ÷  2  hàm số giảm khoảng  3  −∞; − ÷     ; +∞ ÷    hàm số đạt cực đại x = − hàm số đạt cực tiểu x = Câu 4: Với t ∈ (–∞;0) ta có: I= dx ∫t −2x + 4x − = dx ∫t 11 − 2(x − 1)2 11 + ( x − 1) 1 ln 2 11 11 − 2(x − 1) = Xét dx lim t →−∞ ∫ −2x + 4x − t = = = t = 0 d( 2x − 2) 2 ∫t 11 − 2(x − 1) 11 − ln 22 11 + ln – 11 + 2(t − 1) 11 − 2(t − 1)  11 − 11 + 2(t − 1) lim  ln − ln t →−∞  22 11 + 11 − 2(t − 1)   11 −  ln  ÷ 22  11 +  Vậy tích phân hội tụ 65 (Số hữu hạn)  ÷ ÷  Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ u= Câu 5: Đặt x y u′x = ⇒ Nguyễn Văn Hinh y    y − x  v′ =  −1( 2x + y ) − ( y − x ) ÷cos  y − x  x sin  ÷  ÷  2x + y ÷ ( 2x + y )     2x + y  Đặt v = ⇒  y−x  cos  ÷ ( 2x + y )  2x + y  −3y = Khi w = ⇒ x y f (u, v) w′x = f u′ (u, v).u′x + f v′ (u, v).v′x =  y−x  −3y f u′ (u, v) + f v′ (u, v) cos  ÷ y ( 2x + y )  2x + y  −6 w ′x (2, 2) = f u′ (1,0) + f v′ (1,0) 36 = (−1).(−6) + 36 = Câu 6: Điều kiện cần: ⇒M  w ′x =   w ′y =  ′ w z =  65 −29 73  ; ;  ÷  224 112 224  ⇔ 6x − y − =  4y − x + z + = 10z + y − =  ⇔ 65   x = 224  −29  y = 112  73   z = 224  điểm dừng hàm số 66 Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ Điều kiện đủ: Nguyễn Văn Hinh w ′′xx = w ′′xy = −1 w ′′xz = w ′′yx = −1 w ′′yy = w ′′yz = w ′′zx = w ′′zy = w ′′zz = 10 ⇒ Ma trận Hess: H =  −1   −1 ÷  ÷  10 ÷   −1 ⇒ D1 = > 0; D2 = ⇒ (x ; y ; z) = −1 = 23 > 0;  65 −29 73  ; ;  ÷  224 112 224  D3 = 224 > điểm cực tiểu hàm số wCT = w  65 −29 73  ; ;  ÷  224 112 224  Câu 7: Bài toán trở thành tìm K, L để hàm chi phí C = 30K + 10L với điều kiện 40.K0,6L0,4 = 3500 Xét hàm Lagrange: L = 30K + 10L + λ(3500 – 40.K0,6L0,4) Điều kiện cần: L′K =  L′L = L′ =  λ ⇔ 30 − 24λK −0,4 L0,4 =  0,6 −0,6 10 − 16λK L = 3500 − 40K 0,6 L0,4 =  ⇒ Hàm sản xuất có điểm dừng (K, L) = Điều kiện đủ: L′′KK = 9.6K −1,4 L0,4 > 0; ⇔ 87,5  K = 20,4  175  L = 0,4   λ =  4.20,4   87,5 175   0,4 ; 0,4 ÷   λ= với L′′LL = 9,6K 0,6 L−1,6 67 > 0; 4.20,4 L′′KL = L′′LK = −9,6K −0,4 L−0,6 0; g′K L′′KK   g′  K  g′  L L′′LK g′L = 16K L >0 g′L  L′′KL ÷ ÷ L′′LL ÷  2g′K g′L L′′KL − g′Lg′L L′′KK − g′K g′K L′′LL