Giáo trình này được biên soạn nhằm trang bị các tri thức toán học cốt yếu để làm công cụ học tập và nghiên cứu các môn học chuyên ngành cho sinh viên các ngành kỹ thuật Nội dung giáo trình gồm có 8 chương với thời lượng 60 tiết (4đơn vị học trình) được chia làm hai chuyên đề nhỏ.
GIO TRèNH TON CHUYấN (dnh cho sinh viờn ngnh k thut) Tranh th thi gian l tranh th c tt c Lời nói đầu Giáo trình n y đợc biên soạn nhằm trang bị tri thức toán học cốt yếu để l m công cụ học tập v nghiên cứu môn học chuyên ng nh cho sinh viên ng nh kỹ thuật Nội dung giáo trình gồm có chơng với thời lợng 60 tiết (4đơn vị học trình) đợc chia l m hai chuyên đề nhỏ ni ce da y Chuyên đề H m biến phức gồm chơng Chơng Các khái niệm số phức, dAy trị phức, h m trị phức v tập tập số phức Chơng Các khái niệm h m trị phức, đạo h m phức, h m giải tích sơ cấp v phép biến hình bảo giác Chơng Các khái niệm tích phân phức, định lý tích phân Cauchy v hệ Chơng Các khái niệm chuỗi h m phức, khai triển Taylor, khai triển Laurent, lý thuyết thặng d v ứng dụng Chơng Các khái niệm bản, tính chất, phơng pháp tìm ảnh N gốc v ứng dụng biến đổi Fourier v biến đổi Laplace H av e a Chuyên đề Phơng trình vật lý Toán gồm có chơng Chơng Các khái niệm lý thuyết trờng : Trờng vô hớng, trờng vectơ, thông lợng, ho n lu v toán tử vi phân cấp Chơng Các b i toán phơng trình vật lý N toán, b i toán Cauchy v b i toán hỗn hợp phơng trình truyền sóng Chơng B i toán Cauchy v b i toán hỗn hợp phơng trình truyền nhiệt, b i toán Dirichlet v b i toán Neumann phơng trình Laplace Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Số phức Đ1 Trờng số phức da y Kí hiệu = ì = { (x, y) : x, y } Trên tập định nghĩa phép toán cộng v phép toán nhân nh sau (x, y), (x, y) (x, y) + (x, y) = (x + x, y + y) (x, y) ì (x, y) = (xx yy, xy + xy) (1.1.1) ce Ví dụ (2, 1) + ( 1, 1) = (1, 2) v (2, 1) ì ( 1, 1) = ( 3, 1) av e a ni Định lý (, +, ì ) l trờng số Chứng minh Kiểm tra trực tiếp công thức (1.1.1) Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không l (0, 0) (x, y) , (x, y) + (0, 0) = (x, y) Mọi phần tử có phần tử đối l (x, y) = ( x, y) (x, y) , (x, y) + ( x, y) = (0, 0) Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị l (1, 0) (x, y) , (x, y) ì (1, 0) = (x, y) y ) Mọi phần tử khác phần tử nghịch đảo l (x, y) = ( x , x + y x + y2 y x ) = (1, 0) , 2 x + y x + y2 H (x, y) {(0, 0)}, (x, y) ì ( Ngo i phép nhân l phân phối với phép cộng Trờng (, +, ì ) gọi l trờng số phức, phần tử gọi l số phức Theo định nghĩa số phức l cặp hai số thực với phép toán thực theo công thức (1.1.1) Trên trờng số phức phép trừ, phép chia v phép luỹ thừa định nghĩa nh sau (n, z, z) ì ì * với * = { (0, 0) } z = z ì (z) v z0 = 1, z1 = z v zn = zn ì z z z = z + ( z), (1.1.2) z' Bằng cách đồng số thực x với số phức (x, 0) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Số Phức x (x, 0), (1, 0) v (0, 0) tập số thực trở th nh tập tập số phức Phép cộng v phép nhân số phức hạn chế lên tập số thực trở th nh phép cộng v phép nhân số thực quen thuộc x + x (x, 0) + (x, 0) = (x + x, 0) x + x, Ngo i tập số phức có số l số thực Kí hiệu i = (0, 1) gọi l đơn vị ảo Ta có i2 = (0, 1) ì (0, 1) = ( 1, 0) Đ2 Dạng đại số số phức da y Suy phơng trình x2 + = có nghiệm phức l x = Nh trờng số thực (3, +, ì) l trờng thực trờng số phức (, +, ì) a ni ce Với số phức z = (x, y) phân tích (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) Đồng đơn vị thực (1, 0) v đơn vị ảo (0, 1) i, ta có z = x + iy (1.2.1) Dạng viết (1.2.1) gọi l dạng đại số số phức Số thực x = Rez gọi l phần thực, số thực y = Imz gọi l phần ảo v số phức z = x iy gọi l liên hợp phức số phức z Kết hợp công thức (1.1.1) (1.2.1) suy dạng đại số phép toán số phức (1.2.2) av e (x + iy) + (x + iy) = (x + x) + i(y + y) (x + iy) ì (x + iy) = (xx yy) + i(xy + xy) xx + yy x y xy x + iy = + i , x + iy x + y x + y Ví dụ Cho z = + 2i v z = i z + 2i = =i z' 2i z2 = (1 + 2i) ì (1 + 2i) = + 5i, z3 = z2 ì z = ( + 5i) ì (1 + 2i) = 13 i H z ì z = (2 + 2) + i( + 4) = + 3i, Từ định nghĩa suy z =z z3 z = z z i3 z=z z + z = 2Rez z z = 2iImz z z = Re2z + Im2z Ngo i liên hợp phức có tính chất sau Định lý (n, z, z) ì ì Trang Giáo Trình Toán Chuyên Đề (1.2.3) Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Số Phức z + z' = z + z' zz' = z z' z n = (z ) n z = ( z ) z z = z z Chứng minh Suy từ định nghĩa Ta có zz' = (x + iy) ì (x + iy ) = (xx yy) i(xy + xy) Ta có zz = z z = z = ( z ) Suy z / z = z(z ) = z z Với số phức z = x + iy, số thực | z | = da y z z' = (x iy) ì (x iy) = (xx yy) + i( xy xy) Qui nạp suy hệ thức thứ hai x + y gọi l module số phức z ni ce Nếu z = x | z | = | x | Nh module số phức l mở rộng tự nhiên khái niệm trị tuyệt đối số thực Từ định nghĩa suy | Rez |, | Imz | | z | |z|=| z|=| z|=| z | z z = z z = | z |2 z z z' = z(z) = z1 = 12 z (1.2.4) z' | z' | |z| Ngo i module số phức có tính chất sau | z1 | = | z |1 av e a Định lý (n, z, z) ì ì |z|0 |z|=0z=0 | z z | = | z || z | | zn | = | z |n || z | | z|| | z z | H | z + z | | z | + | z | Chứng minh Suy từ định nghĩa z |z| = z | z | Ta có | zz |2 = zz zz' = (z z )(z z ) = (| z || z| )2 Qui nạp suy hệ thức thứ hai Ta có | z z | = | z || z 1| = | z | = / | z | Suy | z / z | = | z (z) | = | z | | (z) | Ta có z z + z z = 2Re(z z ) | z z = | z || z| Suy | z + z = (z + z)( z + z' ) = z + 2Re(z z ) + | z|2 (| z | + | z|)2 Đ3 Dạng lợng giác số phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Số Phức (1.3.3) ce Từ định nghĩa suy argz = arg( z) = , arg z = v arg( z ) = x > 0, argx = x < 0, argx = y > 0, arg(iy) = /2 y < 0, arg(iy) = /2 Ngo i argument số phức có tính chất sau da y Với số phức z = x + iy * tồn số thực ( , ] cho y x cos = (1.3.1) v sin = |z| |z| Tập số thực Argz = + k2, k gọi l argument, số thực argz = gọi l argument số phức z Chúng ta qui ớc Arg(0) = Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy x = rcos v y = rsin Thay v o công thức (1.2.1) nhận đợc z = r(cos + isin) (1.3.2) Dạng viết (1.3.2) gọi l dạng lợng giác số phức H av e a ni Định lý (n, z, z) ì ì arg(zn) = n argz [2] arg(zz) = argz + argz [2] arg(z 1) = argz [2] arg(z / z) = argz argz [2] Chứng minh Giả sử z = r(cos + isin) v z = r(cos + isin) Suy zz = rr[(coscos sinsin) + i(sincos + cossin)] = rr[cos( + ) + isin( + )] Qui nạp suy hệ thức thứ hai Ta có arg(zz 1) = arg(z) + arg(z 1) = [2] arg(z 1) = arg(z) [2] Suy arg(z / z) = arg(zz 1) = argz + arg(z 1) Ví dụ Cho z = + i v z = + i Ta có zz = [ (cos + isin )][2(cos + isin )] = 2 (cos + isin ) 4 6 12 12 z100 = ( )100[cos(100 ) + isin(100 )] = 250 4 Với số thực 3, kí hiệu ei = cos + i sin Trang Giáo Trình Toán Chuyên Đề (1.3.4) Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Số Phức Theo kết có định lý sau Định lý (n, , ) ì ì ei ei = = k2 ei(+) = eiei (ei) = e i Chứng minh Suy từ công thức (1.3.4) v kết e i = e i (ei)n = ein n cos k v S = k =0 n Ta có C + iS = e ik k =0 C= e sin k k =0 e i cos( n + 1) cos n + cos 1 sin( n + 1) sin n sin v S= cos cos ni Suy = i ( n +1) n ce Ví dụ Tính tổng C = da y Hệ (n, ) ì (1.3.5) (cos + isin)n = cosn + isinn 1 cos = (ei + e i) sin = (ei e i) (1.3.6) 2i Công thức (1.3.5) gọi l công thức Moivre, công thức (1.3.6) gọi l công thức Euler H av e a Số phức w gọi l bậc n số phức z v kí hiệu l w = n z z = wn Nếu z = w = Xét trờng hợp z = rei v w = ei Theo định nghĩa wn = nein = rei Suy n = r v n = + m2 Hay = n r v = + m với m n n Phân tích m = nq + k với k < n v q Ta có + m + k [2] n n n n Từ suy định lý sau Định lý Căn bậc n số phức khác n giá trị khác wk = n r [cos ( + k ) + isin( + k )] với k = (n 1) n n n n (1.3.7) Ví dụ Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Số Phức (cos + isin ) có bậc sau 4 w0 = (cos + isin ), w1 = (cos + isin ), w2 = (cos 17 + isin 17 ) 12 12 12 12 12 12 2 Giải phơng trình x x +1 = Số phức z = + i = Ta có = < phơng trình có nghiệm phức x1,2 = ik n , k = (n 1) l bậc n đơn vị k = n k k = (1)k n k =0 i k = Suy = j2 = j v + j + j2 = ce Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j = e =0 da y Hệ Kí hiệu k = e i ni Đ4 Các ứng dụng hình học phẳng H av e a Kí hiệu V l mặt phẳng vectơ với sở trực chuẩn dơng (i, j) Anh xạ : V, z = x + iy v = xi + yj (1.4.1) l song ánh gọi l biểu diễn vectơ số phức Vectơ v gọi l ảnh số phức z, số phức z gọi l toạ vị phức vectơ v v kí hiệu l v(z) Kí hiệu P l mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy) Anh xạ : P, z = x + iy M(x, y) (1.4.2) l song ánh gọi l biểu diễn hình học số phức Điểm M gọi l ảnh số phức z số phức z gọi l toạ vị phức điểm M v kí hiệu l M(z) Nh hình bên, M(z) với z = x + iy, M1( z ), M2( z) v M3( z ) M M1 Nếu z = x điểm M(z) (Ox), z = iy điểm M(z) (Oy) Do mặt phẳng (Oxy) gọi l mặt phẳng phức, trục (Ox) l trục thực v trục (Oy) l trục ảo Sau n y M2 M3 đồng số phức với vectơ hay điểm mặt phẳng v ngợc lại Định lý Cho vectơ u(a), v(b) V, số thực v điểm M(z) P (i, u) = arg(a) (a + b) = u + v |u|=|a| | OM | = | z | Chứng minh Trang 10 (i, OM ) = arg(z) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Số Phức Suy từ công thức (1.4.1) v (1.4.2) Hệ Trong mặt phẳng cho điểm A(a), B(b), C(c) v D(d) AB (b a), AB = | b a |, (i, AB ) = arg(b a) dc ( AB , CD ) = (i, CD ) (i, AB ) = arg ba Chứng minh Suy từ định lý da y 1 Ví dụ Cho z { 1, 0, 1} v A(1), B( 1), M(z), N( ) v P( (z + )) Chứng minh z z đờng thẳng (MN) l phân giác góc ( PA , PB ) Ta có (i, AP ) = arg( (z 1) 1 (z + ) 1) = arg 2z z (z 1) (z + 1) = 2arg(z 2z 2z ni (i, AP ) + (i, BP ) = arg ce (z + 1) 1 (i, BP ) = arg( (z + ) + 1) = arg 2z z Suy B M P O A N ) = 2(i, MN ) z Hệ Với kí hiệu nh a Hai đờng thẳng (AB) // (CD) e Hai đờng thẳng (AB) (CD) av Ba điểm A, B, C thẳng h ng dc dc = [] ba ba dc dc = [] i3 arg ba ba ca ca arg = [] ba ba arg H Chứng minh Suy từ hệ thức hệ Ví dụ Trong mặt phẳng tìm điểm A(z) cho ba điểm A(z), B(iz) v C(i) thẳng h ng Kí hiệu z = x + iy, ta có iz i = k y + i(x 1) = (kx) + ik(y 1) A, B, C thẳng h ng zi k k ( k 1) y = kx x= ,y= với k x = k ( y ) k +1 k +1 ánh xạ : P P, M N gọi l phép biến hình Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 11 Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Số Phức Phép biến hình M N = M + v gọi l phép tĩnh tiến theo vectơ v Phép biến hình M N = A + k AM (k > 0) gọi l phép vi tự tâm A, hệ số k Phép biến hình M N cho ( AM , AN ) = gọi l phép quay tâm A, góc Tích phép tĩnh tiến, phép vi tự v phép quay gọi l phép đồng dạng da y Định lý Cho phép biến hình : M N Phép biến hình l phép tĩnh tiến z = z + b với b Phép biến hình l phép vi tự z = a + k(z a) với k 3+, a Phép biến hình l phép quay z = a + ei(z a) với 3, a Phép biến hình l phép đồng dạng z = az + b với a, b Chứng minh Suy từ định nghĩa phép biến hình v toạ vi phức Ví dụ Cho A(a), B(b) v C(c) Tìm điều kiện cần v đủ để ABC l tam giác i A + C e a ni ce ABC l tam giác thuận (a b) = e (c b) (a b) = j2(c b) a + jb + j2c = Tơng tự, ACB l tam giác nghịch B (a b) = j(c b) a + jc + j2b = Suy ABC l tam giác (a + jb + j2c)(a + jc + j2b) = a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca av Đ5 D~y trị phức H ánh xạ : , n zn = xn + iyn (1.5.1) gọi l dAy số phức v kí hiệu l (zn)n D~y số thực (xn)n gọi l phần thực, d~y số thực (yn)n l phần ảo, d~y số thực dơng (| zn |)n l module, d~y số phức ( z n )n l liên hợp phức d~y số phức D~y số phức (zn)n gọi l dần đến giới hạn a v kí hiệu l > 0, N : n > N | zn a | < D~y số phức (zn)n gọi l dần vô hạn v kí hiệu l lim zn = a n + lim zn = n + M > 0, N : n > N | zn | > M D~y có giới hạn module hữu hạn gọi l dAy hội tụ D~y không hội tụ gọi l dAy phân kỳ Trang 12 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Tìm đợc h m ( ) với k 2( 1) k e ( k ) t e t 2 k(4 k 1) Suy nghiệm b i toán Tk(t) = u(x, t) = xe t + + k =1 * ( ) 2( 1) k ( k ) t e e t sin kx 2 k(4 k 1) da y Nhận xét Bằng cách kéo d i liên tục, công thức sử dụng đợc trờng hợp h m f v g có đạo h m liên tục khúc Xét toán tử vi phân Laplace mặt phẳng u(x, y) = 2u u + x2 y2 ce Đ6 B i toán Dirichlet hình tròn a ni Đổi biến toạ độ cực x = rcos, y = rsin Theo công thức đạo h m h m hợp u u r u u u = = cos sin + x r x x r r e u r u u u u = sin + cos = + y r y y r r av 2 2u u u 2u u u = + + + cos cos sin cos sin sin sin r r r r r x2 r r 2 2u u 2u 2u u u = + + + sin cos sin cos sin cos cos r r r r r y2 r r H Suy biểu thức toạ độ cực toán tử Laplace u(r, ) = u u u u u = + + r + r r r r 2 r r r r 2 B i toán DE1a Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] v h m g C([0, 2], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace u(r, ) = với (r, ) D0 v điều kiện biên u(R, ) = g() Trang 144 Giáo Trình Toán Chuyên Đề (8.6.1) (8.6.2) Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt da y Tìm nghiệm b i toán DE1a dạng tách biến u(r, ) = V(r)() Thế v o phơng trình (8.6.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân () + () = (8.6.3) r V(r) + rV(r) V(r) = 0, với (8.6.4) Phơng trình (8.6.3) có họ nghiệm riêng trực giao, tuần ho n chu kỳ T = k(x) = Akcosk + Bksink, k = k2 với Ak, Bk 3, k Thay v o phơng trình (8.6.4) tìm họ nghiệm riêng độc lập v bị chặn Vk(r) = Ckrk với Ck 3, k Suy họ nghiệm riêng độc lập b i toán DE1a u0 = a0 , uk(r, ) = rk(akcosk + bksink) với ak = CkAk , bk = CkBk , k * Tìm nghiệm tổng quát b i toán DE1a dạng chuỗi h m + u(r, ) = a0 + r k (a k cos k + b k sin k) k =1 ce Thế v o điều kiện biên (8.6.2) (8.6.5) + u(R, ) = a0 + R k (a k cos k + b k sin k) = g() k =1 ni Nếu h m g khai triển th nh chuỗi Fourier 1 g()d , ak = R k g() cos kd , bk = R k g() sin kd (8.6.6) a a0 = av e Định lý Cho g C1([0, 2], 3) thoả m~n g(0) = g(2) Chuỗi h m (8.6.5) với hệ số ak v bk tính theo công thức (8.6.6) l nghiệm v ổn định b i toán DE1a Chứng minh Lập luận tơng tự nh b i toán CP1 H u = với u(R, ) = 2Rsin Ví dụ Giải b i toán DE1 H m g() = 2Rsin thoả m~n điều kiện định lý Theo công thức (8.6.6) ak = v bk = 2R R k 2 sin sin kd = 0 k = với k * k Suy nghiệm b i toán u(r, ) = 2rsin 2y Kí hiệu u(z) = u(r, ) với z = rei D0 Theo kết Đ8, chơng suy b i toán DE1a có nghiệm theo công thức sau + z g( ) u(z) = Re F( )d = ReI(z) (8.6.7) d = Re i ||= R i ||= R z Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 145 Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Giả sử hình tròn B(0, R) h m g có cực điểm khác không ak với k = n Theo công thức tính tích phân Cauchy (4.7.6) ta có n I(z) = ResF(z) + ResF(0) + Re sF(a k =1 k (8.6.8) ) u = với u(R, ) = 2Rsin Ví dụ Giải b i toán DE1 Chuyển qua toạ vị phức R2 + z R2 i i g() = 2R (e e ) = v F() = i i z 2i I(z) = Res[f, z] + Res[f, 0] = 2( z R ) R + = 2iz iz iz Suy nghiệm b i toán u(z) = Re( 2iz) = 2y da y Ta có ni ce B i toán DE1b Cho miền D = [, R] ì [0, 2] v h m g, h C([0, 2], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace u(r, ) = với (r, ) D0 v điều kiện biên u(, ) = g(), u(R, ) = h() (8.6.9) (8.6.10) av e a Lập luận tơng tự b i toán DE1a, tìm nghiệm b i toán DE1b dạng tách biến u(r, ) = V(r)() Thay v o phơng trình (8.6.9) nhận đợc họ nghiệm riêng độc lập u0 = a0 + b0lnr uk(r, ) = (akrk + bkr k)cosk + (ckrk + dkr k)sink với ak , bk , ck , dk 3, k * H Tìm nghiệm tổng quát b i toán DE1b dạng chuỗi h m u(r, ) = a0 + b0lnr + + [(a k =1 k r k + b k r k ) cos k + (c k r k + d k r k ) sin k] (8.6.11) Thế v o điều kiện biên (8.6.10) + u(, ) = a0 + b0ln + [(a k k + b k k ) cos k + (c k k + d k k ) sin k] = g() k =1 + u(R, ) = a0 + b0lnR + [(a k R k + b k R k ) cos k + (c k R k + d k R k ) sin k] = h() k =1 Nếu h m g khai triển th nh chuỗi Fourier Trang 146 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt a0 + b0ln = g()d a0 + b0lnR = akk + bk k = g() cos kd ckk + dk k = g() sin kd h()d akRk + bkR k = h() cos kd ckRk + dkR k = h() sin kd 2 (8.6.12) da y Định lý Cho h m g, h C1([0, 2], 3) thoả m~n g(0) = g(2), h(0) = h(2) Chuỗi h m (8.6.11) với hệ số ak , bk , ck v dk xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) l nghiệm v ổn định b i toán DE1b ce Đ7 B i toán Dirichlet hình chữ nhật ni B i toán DE2a Cho miền D = [0, l] ì [0, d] v h m ga C([0, l], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace (8.7.1) v điều kiện biên u(x, 0) = ga(x), u(x, d) = u(0, y) = u(l, y) = (8.7.2) 2u u + = với (x, y) D0 x2 y2 e a u = H av Tìm nghiệm b i toán DE2a dạng tách biến u(x, y) = X(x)Y(y) Thay v o phơng trình (8.7.1) đa hệ phơng trình vi phân X(x) + X(x) = Y(y) Y(y) = X(0) = X(l) = Y(d) = với B i toán (8.7.3) có họ nghiệm riêng độc lập (8.7.3) k k k x , Yk(y) = Bksh (d y) , k = với k * l l l Suy có họ nghiệm riêng độc lập b i toán DE2a k k uk(x, y) = ak sh (d y) sin x với ak = AkBk 3, k * l l Xk(x) = Aksin Tìm nghiệm tổng quát b i toán DE2a dạng chuỗi h m Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 147 Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt + u(x, y) = u k =1 + k (x, y ) = a k =1 k sh k k x (d y) sin l l (8.7.4) Thế v o điều kiện biên (8.7.2) + k kd u(x, 0) = a k sh x = ga(x) sin l l k =1 Nếu h m ga khai triển th nh chuỗi Fourier đoạn [0, l] k g a (x) sin xdx ak = kd l lsh l l da y (8.7.5) Định lý Cho h m ga C1([0, l], 3) thoả m~n ga(0) = ga(l) = Chuỗi h m (8.7.4) với hệ số ak tính theo công thức (8.7.5) l nghiệm v ổn định b i toán DE2a Lập luận tơng tự nh trên, giải b i toán sau ni ce B i toán DE2b Cho miền D = [0, l] ì [0, d] v h m gb C([0, d], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 v điều kiện biên u(l, y) = gb(y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = a Định lý Cho h m gb C1([0, d], 3) thoả m~n gb(0) = gb(d) = B i toán DE2b có nghiệm v ổn định xác định theo công thức b k sh av k =1 k k y với bk = x sin d d e + u(x, y) = k g b (y ) sin ydy kl d dsh d d (8.7.6) H B i toán DE2c Cho miền D = [0, l] ì [0, d] v h m gc C([0, l], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 v điều kiện biên u(x, d) = gc(x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = Định lý Cho h m gc C1([0, l], 3) thoả m~n gc(0) = gc(l) = B i toán DE2c có nghiệm v ổn định xác định theo công thức + u(x, y) = c k sh k =1 Trang 148 k k k g c (x) sin xdx x với ck = y sin kd l l l lsh l Giáo Trình Toán Chuyên Đề l (8.7.7) Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt B i toán DE2d Cho D = [0, l] ì [0, d] v h m gd C([0, d], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 v điều kiện biên u(0, y) = gd(y), u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = da y Định lý Cho h m gd C1([0, d], 3) thoả m~n gd(0) = gd(d) = B i toán DE2d có nghiệm v ổn định xác định theo công thức + k k u(x, y) = d k sh y (l x) sin d d k =1 k ydy g d (y) sin kl d dsh d d (8.7.8) ce với dk = a ni B i toán DE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d], h m g1 , g3 C([0, l], 3) v g2 , g4 C([0, d], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 v điều kiện biên u(x, 0) = g1(x), u(l, y) = g2(y), u(x, d) = g3(x), u(0, y) = g4(y) H av e Tìm nghiệm b i toán DE2 dới dạng u(x, y) = u0(x, y) + uâ(x, y) + ub(x, y) + uc(x, y) + ud(x, y) Trong u(x, y) l nghiệm b i toán DE2 H m u0(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.7.9) l nghiệm b i toán DE cho u(x, y) triệt tiêu đỉnh hình chữ nhật Do tính liên tục h m u(x, y) biên D u(0, 0) = g4(0) = g1(0) = A u(l, 0) = g1(l) = g2(0) = A + Bl u(l, d) = g2(d) = g3(l) = A + Bl + Cd + Dld u(0, d) = g3(0) = g4(d) = A + Cd Giải hệ phơng trình suy g (d ) g (0) g (l) g1 (0) ,C= A = g4(0) = g1(0), B = l d g (l) g3 (0) g1 (l) + g1 (0) g (d ) g (0) g (d ) + g (0) = (8.7.10) D= ld ld Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 149 Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Thế v o điều kiện biên suy x (g1(l) l x gc(x) = uc(x, d) = g3(x) g3(0) (g3(l) l y gb(y) = ub(l, y) = g2(y) g2(0) (g2(d) d y gd(y) = ud(0, y) = g4(y) g4(0) (g4(d) d ga(x) = ua(x, 0) = g1(x) g1(0) g1(0)) g3(0)) g2(0)) g4(0)) (8.7.11) + + b sh k k k y (l x) sin x + d k sh d d d (8.7.12) ce k =1 k da y Kết hợp công thức (8.7.4) (8.7.8) nhận đợc công thức + k k k u(x, y) = u0(x, y) + a k sh x y sin (d y) + c k sh l l l k =1 e a ni Định lý Cho h m g1 , g3 C1([0, l], 3) v g2 , g4 C1([0, d], 3) thoả m~n g4(0) = g1(0), g1(l) = g2(0), g2(d) = g3(l), g3(0) = g4(d) Chuỗi h m (8.7.12) với h m u0(x, y) xác định theo công thức (8.7.9) (8.7.10) v hệ số ak , bk , ck v dk xác định theo công thức (8.7.5) (8.7.8) h m ga , gb , gc v gd xác định theo công thức (8.7.11) l nghiệm v ổn định b i toán DE2 av Đ8 B i toán Neumann H B i toán NE1 Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] v h m h C([0, 2], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace u = u u = với (r, ) D0 r + r r r r 2 v điều kiện biên u (R, ) = h() r Tìm nghiệm b i toán NE1 dạng tách biến u(r, ) = V(r)() Trang 150 Giáo Trình Toán Chuyên Đề (8.8.1) (8.8.2) Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Thay v o phơng trình (8.8.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân () + () = r2V(r) + rV(r) V(r) = 0, (8.8.3) B i toán (8.8.3) có họ nghiệm riêng độc lập u0 = a0, uk(r, ) = rk(akcosk + bksink) với ak = CkAk , bk = CkBk , k * Tìm nghiệm tổng quát b i toán NE1 dạng chuỗi h m + u(r, ) = a0 + r k (a k cos k + b k sin k) (8.8.4) da y k =1 Thế v o điều kiện biên (8.8.2) + u (R, ) = kR k (a k cos k + b k sin k) = h() r k =1 Nếu h m h khai triển th nh chuỗi Fourier a0 = u(0, ) h() cos kd , bk = kR k ce ak = kR k h() sin kd (8.8.5) a ni Định lý Cho h C1([0, 2], 3) thoả m~n h(0) = h(2) Chuỗi h m (8.8.4) với hệ số ak v bk tính theo công thức (8.8.5) l nghiệm v ổn định b i toán NE1 Lập luận tơng tự nh b i toán DE2 chung ta giải b i toán sau av e B i toán NE2b Cho miền D = [0, l] ì [0, d] v h m hb C([0, d], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace 2u u + = với (x, y) D0 x2 y2 H u = v điều kiện biên u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0, u (l, y) = hb(y) x Định lý Cho h m hb C1([0, d], 3) B i toán NE2b có nghiệm v ổn định xác định theo công thức k k u(x, y) = b k sh y với bk = x sin d d k =1 + kch d h kl b (y) sin k ydy (8.8.6) d d Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151 Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt B i toán NE2d Cho miền D = [0, l] ì [0, d] v h m hd C([0, d], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 v điều kiện biên u u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0, (0, y) = hd(y) x k ydy h d (y) sin kl d kch d d (8.8.7) ce với dk = da y Định lý Cho h m hd C1([0, d], 3) B i toán NE2d có nghiệm v ổn định xác định theo công thức + k k u(x, y) = d k sh y (l x) sin d d k =1 e a ni B i toán NE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d] v h m g1 , g3 C([0, l], 3) v h2 , h4 C([0, d], 3) Tìm h m u C(D, 3) thoả m~n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 v điều kiện biên u u (l, y) = h2(y), (0, y) = h4(y) u(x, 0) = g1(x), u(x, d) = g3(x) v x x H av Tìm nghiệm b i toán NE2 dới dạng u(x, y) = u0(x, y) + ua(x, y) + ub(x, y) + uc(x, y) + ud(x, y) (8.8.8) Trong h m ua(x, y) v uc(x, y) l nghiệm b i toán DE2a v DE2c, h m ub(x, y) v ud(x, y) l nghiệm b i toán NE2b v NE2d, h m (8.8.9) u0(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy l nghiệm b i toán DE cho u(x, y) triệt tiêu đỉnh hình chữ nhật Lập luận tơng tự nh b i toán DE2 suy A = g1(0) g3 (0) g1 (0) d Thế v o điều kiện biên suy C= Trang 152 g1 (l) g1 (0) l g (l) g1 (l) g3 (0) + g1 (0) D= ld B= Giáo Trình Toán Chuyên Đề (8.8.10) Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt x (g1(l) g1(0)) l x (g3(l) g3(0)) g3(0) l (B + Dy) g1 (l) g1 (0) y g3 (l) g1 (l) g3 (0) + g1 (0) l d l (B + Dy) g1 (l) g1 (0) y g3 (l) g1 (l) g3 (0) + g1 (0) l d l ga(x) = g1(x) g1(0) hb(y) = h2(y) = h2(y) hd(y) = h4(y) = h4(y) (8.8.11) da y gc(x) = g3(x) Kết hợp công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) v (8.8.8) suy công thức + k k k u(x, y) = u0(x, y) + a k sh x y sin (d y) + c k sh l l l k =1 + b k =1 k sh k k k y (l x) sin x + d k sh d d d (8.8.12) ce + ni Định lý Cho h m g1 , g3 C1([0, l], 3) v g2 , g4 C1([0, d], 3) thoả m~n ga (0) = hd(0), ga (l) = hb(0) v gc (0) = hd(d), gc (l) = hb(d) av e a Chuỗi h m (8.8.12) với h m u0(x, y) xác định theo công thức (8.8.9) (8.8.10) v hệ số ak v ck xác định theo công thức (8.7.5) v (8.7.7) hệ số bk v dk xác định theo công thức (8.8.6) v (8.8.7) với h m ga , gc , hb v hd xác định theo công thức (8.8.11) l nghiệm v ổn định b i toán NE2 B i tập chơng H Giải b i toán Cauchy 2u u = a2 t x ut=0 = xex 2u u = a2 + 3xt2 t x ut=0 = sinx u u =a + xe t t x ut=0 = cosx 2u u = a2 + te x t x ut=0 = sinx Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 153 Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Giải b i toán giả Cauchy 2u u = a2 + xsint t x ut=0 = sinx, u(0, t) = u u + tsinx =a t x ut=0 = xcosx, u(0, t) = et 2u u = a2 + te x t x ut=0 = cosx , u (0, t) = sint x 2u u = a2 + xe t t x ut=0 = sinx , u (0, t) = cost x da y Giải b i toán hỗn hợp sau 2u u = a2 t x ut=0 = x(l x), u(0, t) = u(l, t) = 10 2u u = a2 + tsinx t x ut=0 = sinx, u(0, t) = u(l, t) = 11 2u u = a2 + tcosx t x ut=0 = cosx , u(0, t) = 0, u(l, t) = t 12 2u u = a2 + 3xt2 t x ut=0 = 0, u(0, t) = 0, u(l, t) = Asint 13 u u + (1 x)et =a t x 14 2u u = a2 + xet t x ni ce a ut=0 = 1, u(0, t) = et, u(l, t) = e ut=0 = 2x, u(0, t) = 0, u(l, t) = et H av Giải b i toán Dirichlet hình tròn 15 u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] 16 u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] 17 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] 18 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] 19 u = với (r, ) [0, R] ì [0, 2] v v v v v ur=2 = x2 xy + u(2, ) = A + Bsin u(1, ) = sin3 u(1, ) = cos4 u(R, ) = Giải b i toán Dirichlet hình v nh khăn 20 u = với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] v u(1, ) = A, u(2, ) = B 21 u = với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] v u(1, ) = + cos2, u(2, ) = sin2 22 u = với (r, ) [0, R] ì [0, ] v u(r, 0) = u(r, ) = 0, u(R, ) = A Trang 154 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Tranh th thi gian l tranh th c tt c Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Giải b i toán Dirichlet hình chữ nhật 23 u = với (x, y) [0, a] ì [0, b] u(0, y) = Ay(b y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = Bsin 25 u = với (x, y) [0, ] ì [ 1, 1] u(0, y) = u(, y) = 0, u(x, 1) = u(x, 1) = sin2x u = với (x, y) [0, a] ì [0, +) x u(0, y) = u(a, y) = 0, u(x, 0) = A(1 ), u(x, +) = a Giải b i toán Neuman hình tròn u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] v 27 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] v 29 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] v u (2, ) = A r u (1, ) = 2cos r u (1, ) = sin r ce 26 da y 24 x , u(x, b) = a a ni Giải b i toán hỗn hợp hình chữ nhật 29 u = với (x, y) [0, a] ì [0, b] u u (x, 0) = (x, b) = u(0, y) = A, u(a, y) = By, y y u = với (x, y) [0, a] ì [0, b] u u u(0, y) = A, u(a, y) = By, (x, 0) = (x, b) = y y 31 u = với (x, y) [0, ] ì [0, ] u u (0, y) = cosy, (, y) = siny u(x, 0) = A, u(x, ) = Bx, x x u = với (x, y) [0, a] ì [ b, b] u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = u(x, b) = av e 30 H 32 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 155 Tranh th thi gian l tranh th c tt c T i Liệu Tham Khảo av e a ni ce da y [1] Đặng Đình Ang Trần Lu Cờng Huỳnh Bá Lân Nguyễn Văn Nhân (2001) Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, H nội [2] Đậu Thế Cấp (1999) H m biến phức, NXB Giáo dục, H nội [3] Dơng Tôn Đảm (1992) Phơng trình vật lý N toán, NXB Đại học & GDCN, H nội [4] G.M Fichtengon (1972) Cơ sở giải tích toán học, Tập 2, NXB Đại học & THCN, H nội [5] Phan Bá Ngọc (1980) H m biến phức v phép biến đổi Laplace, NXB Đại học & THCN, H nội [6] B.V Sabat (1979) Nhập môn giải tích phức, Tập 1, NXB Đại học & THCN, H nội [7] Nguyễn Thuỷ Thanh (1985) Cơ sở lý thuyết h m biến phức, NXB Đại học & THCN, H nội [8] Nguyễn Đình Trí Nguyễn Trọng Thái (1977) Phơng trình vật lý N toán, NXB Đại học & THCN, H nội [9] A.V Oppenheim & A.S Willsky (1997) Signals & Systems, Prentice Hall, New Jersey [10] J Monier (1997) Analyse et Analyse 4, Dunod, Paris [11] W Rudin (1998) Analyse réelle et complexe, Dunod, Paris [12] H. Pc (1978) H , 2, H, Trang 156 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Tranh th thi gian l tranh th c tt c Mục lục Lời nói đầu da y Chơng Số phức Đ1 Trờng số phức Đ2 Dạng đại số số phức Đ3 Dạng lợng giác số phức Đ4 Các ứng dụng hình học phẳng 10 Đ5 D~y trị phức 12 Đ6 H m trị phức 14 Đ7 Tập tập số phức 16 B i tập chơng 19 ni ce Chơng H m biến phức 22 Đ1 H m biến phức 22 Đ2 Giới hạn v liên tục 23 Đ3 Đạo h m phức 25 Đ4 H m giải tích 27 Đ5 H m luỹ thừa 28 Đ6 H m mũ 30 Đ7 H m lợng giác 31 Đ8 Biến hình bảo giác 32 Đ9 H m tuyến tính v h m nghịch đảo 34 Đ10 H m phân tuyến tính v h m Jucop 36 Đ11 Các ví dụ biến hình bảo giác 37 B i tập chơng 40 av e a Chơng Tích Phân Phức 43 Đ1 Tích phân phức 43 Đ2 Các tính chất tích phân phức 44 Đ3 Định lý Cauchy 46 Đ4 Công thức tích phân Cauchy 48 Đ5 Tích phân Cauchy 50 Đ6 Định lý trị trung bình 52 Đ7 H m điều ho 54 B i tập chơng 57 H Chơng CHUỗI h m PHứC v Thặng d 59 Đ1 Chuỗi h m phức 59 Đ2 Chuỗi luỹ thừa phức 61 Đ3 Chuỗi Taylor 63 Đ4 Không điểm h m giải tích 64 Đ5 Chuỗi Laurent 66 Đ6 Phân loại điểm bất thờng 67 Đ7 Thặng d 69 Đ8 Thặng d Loga 71 Đ9 Các ứng dụng thặng d 73 B i tập chơng 76 Chơng Biến đổi fourier v Biến đổi laplace 79 Đ1 Tích phân suy rộng 79 Đ2 Các bổ đề Fourier 81 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 157 Tranh th thi gian l tranh th c tt c Đ3 Biến đổi Fourier .83 Đ4 Tính chất biến đổi Fourier 85 Đ5 Tìm ảnh, gốc biến đổi Fourier 87 Đ6 Biến đổi Laplace 91 Đ7 Biến đổi Laplace ngợc 92 Đ8 Tính chất Biến đổi Laplace .94 Đ9 Tìm ảnh, gốc biến đổi Laplace 96 B i tập chơng 99 da y Chơng Lý thuyết trờng 101 Đ1 Trờng vô hớng 101 Đ2 Gradient .102 Đ3 Trờng vectơ 103 Đ4 Thông lợng 104 Đ5 Ho n lu 106 Đ6 Toán tử Hamilton 107 Đ7 Trờng .108 Đ8 Trờng ống 110 B i tập chơng 111 a ni ce Chơng Phơng trình truyền sóng .113 Đ1 Phơng trình đạo h m riêng tuyến tính cấp 113 Đ2 Phơng trình vật lý toán 116 Đ3 Các b i toán .118 Đ4 B i toán Cauchy 120 Đ5 B i toán Cauchy không 122 Đ6 B i toán giả Cauchy .124 Đ7 B i toán hỗn hợp 126 Đ8 B i toán hỗn hợp không .128 B i tập chơng 131 H av e Chơng Phơng trình truyền nhiệt 133 Đ1 B i toán Cauchy 133 Đ2 B i toán Cauchy không 135 Đ3 B i toán giả Cauchy .137 Đ4 B i toán hỗn hợp 140 Đ5 B i toán hỗn hợp không .142 Đ6 B i toán Dirichlet hình tròn 144 Đ7 B i toán Dirichlet hình chữ nhật 147 Đ8 B i toán Neumann 150 B i tập chơng 153 T i Liệu Tham Khảo .156 Mục lục 157 Trang 158 Giáo Trình Toán Chuyên Đề ... Lời nói đầu Giáo trình n y đợc biên soạn nhằm trang bị tri thức toán học cốt yếu để l m công cụ học tập v nghiên cứu môn học chuyên ng nh cho sinh viên ng nh kỹ thuật Nội dung giáo trình gồm có... b i toán Cauchy v b i toán hỗn hợp phơng trình truyền sóng Chơng B i toán Cauchy v b i toán hỗn hợp phơng trình truyền nhiệt, b i toán Dirichlet v b i toán Neumann phơng trình Laplace Tranh th... Phơng trình vật lý Toán gồm có chơng Chơng Các khái niệm lý thuyết trờng : Trờng vô hớng, trờng vectơ, thông lợng, ho n lu v toán tử vi phân cấp Chơng Các b i toán phơng trình vật lý N toán, b i toán