Đề thi chọn HSG lớp 9 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. ( Đề này gồm 06 câu, 01 trang) Câu 1. (1,5 điểm) Đơn giản biểu thức: A = 3 21139 Câu 2. (3 điểm) Chứng minh rằng: 555 3 5 5 25 9 25 3 25 1 5 27 5 32 += Câu 3. (3 điểm) Giải hệ phơng trình: += = 2 2 2 84 xxy yxy Câu 4. (2,5 điểm) Cho x và y là các số thực thoả mãn: ( ) 3 2 2 2 2 4 6 1 0x y x y x+ + + + + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x 2 + y 2 Câu 5. (2 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: 2 1 1 1 1 1 1 222 = + + + + + cba Chứng minh rằng (ab + bc + ca ) 2 + 6a 2 b 2 c 2 3 Câu 6. ( 8 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Trên các cạnh AD và CD lần lợt lấy các điểm M và N sao cho MBN = 45 0 , BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F. a) Chứng tỏ 4 điểm M, E, F, N cùng nằm trên một đờng tròn. b) MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I. Tính BI theo a. c) Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất. .Hết . 22212 Mã ký hiệu Đ02T-08-HSG9 Câu 1. (1,5 điểm) A = 3 21139 = 3 3 )23( = 23 Câu 2 (3 đ ) Đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với: ( ) ( ) 3 2 5 2 55 3 5 3 5 5 331 5 )3(2 + = (1) Đặt ba == 55 5;3 (1) 3 2 2 3 3 12 b aa b a + = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 5 2 6 1 2 2 . 1 a a a a b a a b b + = = + 5(2-a 3 ) = (1+a a 2 ) 3 (2) do b 5 = 5 Ta có (1+a- a 2 ) = 1+3(a-a 2 )+3(a-a 2 ) 2 +3(a-a 2 ) 2 +(a-a 2 ) 3 = 1+3a-3a 2 +3(a 2 -2a 3 +a 4 )+a 3 -3a 2 .a 2 +3a.a 4 -a 6 = 1+3a-3a 2 +3a 2 -6a 3 +3a 4 +a 3 -3a 4 +3a 5 -a 6 = 1+3a-5a 3 +3a 5 -a 5 .a = 1+3a-5a 3 +3.3-3a (do 33 5 5 == aa ) = 10-5a 3 = 5(2-a 3 ) Vậy (2) đã đợc chứng minh đẳng thức đợc chứngminh Câu 3. (3 điểm) += = 2 2 2 84 xxy yxy Từ (1) 22808 22 yyy (3) Từ (2) yxxy ,2 cùng dấu Dễ thấy (x 0 ,y 0 ) là nghiệm của hệ đã cho, thì (-x 0 , -y 0 ) cũng là nghiệm của hệ. Vì x, y 0 (do (2)) Xét x>0, y>0 Từ (2) ta có 22 2 2 + = x x y Thật vậy : từ ( ) xx ,02 2 0222 2 + xx xx 222 2 + 22 2 2 + x x (do x>0) (4) Vậy 22 y , kết hợp với (3) 22 = y Khi đó xảy ra dấu = ở (4) 2 = x 1 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ Hớng dẫn chấm Đề thi chọn HSG lớp 9 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán (1) (2) Mã ký hiệu HD02T-08-HSG9 Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (x, y) = ( ) ( ) 22;2;22;2 Câu 4. (2,5 điểm) Cho x và y là các số thực thoả mãn: ( ) 3 2 2 2 2 4 6 1 0x y x y x+ + + + + = (1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x 2 + y 2 Từ (1) ( ) 3 2 2 2 2 2 3 6 1x y x y x x + + + = ( ) ( ) 2 2 3 6 3 2 3 1 2 2x x x= + + + = + + (do ) Vậy 3 3 2 2 0S S S S+ + ( ) ( ) 2 1 2 2 0S S S + + Chỉ ra 2 2 2 0,S S S+ + Do đó 1 0 1S S Vậy S đạt giá trị lớn nhất là 1 2 2 1 1 0 1 x x y x y = = = + = Câu 5. (2 điểm) - Chứng minh 3(x 2 +y 2 +z 2 ) (x+y+z) 2 (*) - Từ giả thiết 2 1 1 1 1 1 1 222 = + + + + + cba Ta có a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 +2a 2 b 2 c 2 = 1 Sử dụng (*) với ab = x, bc = y, ca = z ta có: (ab+bc+ca) 2 3(a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 ) = 3(1-2a 2 b 2 c 2 ) Vậy (ab+bc+ca) 2 + 6a 2 b 2 c 2 3 Dấu = xảy ra khi a = b = c và 2 1 = a Câu 6. (8 điểm) a) (2,5 đ) Ta có EBN = ECN () tứ giác BCNE nội tiếp () BCN + BEN = 180 0 mà BCN = 90 0 BEN = 90 0 Tơng tự FBM = FAM = 45 0 tứ giác ABFM nội tiếp BFM = 90 0 ta có MEN = MFN = 90 0 4 điểm M, E, F, N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính MN b) (2,5 đ) Xét BMN có NE và MF là 2 đờng cao H là trực tâm BI MN Ta có tứ giác ABFM nội tiếp (c/m trên) ABM = AFM ( 2 góc cùng 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0.5 đ 0,5 đ chắn cung AM) (1) Tơng tự tứ giác BEHF nội tiếp EFH = EBH ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH) (2) Từ (1) và (2) suy ra ABM = MBI Chỉ ra BAM = BIM AB = BI = a c). (3 đ) Ta có BAM = BIM AM = IM Tơng tự INB = CNB CN = IN Do đó AM + CN = IM + IN MD + AM + CN + DN = MN + MD + DN 2a = MN + MD + DN Đặt DM = x và DN = y MN = 22 yx + S MDN = 2 xy Bài toán đa về xác định x và y thỏa mãn: x + y + ayx 2 22 =+ sao cho x, y lớn nhất Ta có xyyx 2 + (do x; y > 0) xyyx 2 22 + )22(222 22 +=++++= xyxyxyyxyxa )22( 22 2 = + a a xy )223(2)22( 222 = aaxy ( ) 223 2 2 = a xy S MDN Vậy ( ) ( ) 22223 2 === ayxaS MDN Vậy DM = DN = ( ) 22 a thì MDN có diện tích lớn nhất Và ( ) 223 2 = aMaxS MDN Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Hình vẽ sai không chấm - Hình vẽ phải khớp với bài làm mới cho điểm - Trong phần bài toán hình các kết luận phải có đủ lí do, nếu thiếu thì trừ điểm tùy theo nội dung. - Thiếu 1 kí tự (dấu góc, dấu cung, ) thì châm trớc, thiếu từ 2 đến 3 kí tự thì trừ nửa số điểm của câu đó, nếu thiếu nhiều hơn 3 kí tự thì không chấm câu đó. - Tổng điểm toàn bài là 20 điểm. 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,75 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ h E m F C B A D n I . xyyx 2 + (do x; y > 0) xyyx 2 22 + )22 (22 2 22 +=++++= xyxyxyyxyxa )22 ( 22 2 = + a a xy )22 3 (2) 22( 22 2 = aaxy ( ) 22 3 2 2 = a xy S MDN Vậy ( ) ( ) 22 223 . (do (2) ) Xét x>0, y>0 Từ (2) ta có 22 2 2 + = x x y Thật vậy : từ ( ) xx , 02 2 022 2 2 + xx xx 22 2 2 + 22 2 2 + x x (do x>0) (4) Vậy 22 y