Hàm số_Quách Duy Tuấn Vấn đề 1: Txđ của hàm số Tìm tập xác định của các hàm số (Bài 1-7): 1) x x y = 1 2 D = [-2; -1) (1; 2] 2) 4 25 2 2 = xx x y D = (- ; -2] [2; + ) 3) 673) 1 (loglog4 22 22 ++= xx x xy D = [6; 8] 4) )423(log 2 2 xxxy ++= D = (- ; 1] [2; + ) 5) )43(log 2 += xy D = [-1; + ) 6) 22 122223 xxxxy +++++= D = [-1; 1] 7) 43.59 += xx y D = (- ; 0] [log 3 4; + ) Tìm m để các hàm số sau có TXĐ là R 8) 33)1(2)1( 2 ++= mxmxmy m [1; + ) 9) ]12)2(2[log2 2 2 +++= mxmmxmxy m (1; +) 10) )2.4lg( 1 mmy xx += + m (-1; 0] Vấn đề 2: Tgt của hàm số Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 1) 2cossin cos2 + + = xx x y T = ] 2 195 ; 2 195 [ + 2) 4 12 2 ++ = xx x y T = ] 15 1924 ; 15 1924 [ + 3) y = 5sinx + cos2x T = [-6; 4] (Sử dụng đạo hàm: t = sinx) 4) y = x 4 6x 2 + 2, x [-2; 1] T = [-7; 2] 5) y = x 4 + (1 - x) 4 T = [1/8; + ) (y có nghiệm x = 1/2) 6) 341 2 ++= xxy T = [1; 2] 7) xxy ++= 63 T = [3; 3 2 ] (Sd đạo hàm hoặc BĐT ) 8) y = e 2x 3e x + 2 T = [-1/4; + ) 9) 12 12 + = x x y T = (-1; 1), (Dùng đạo hàm: t = 2 x ) 10) xx y = 2 2 2 3 , với 2 1 x T =[1; + ) Vấn đề 3: đạo hàm và đạo hàm cấp cao 1. Cho hàm số f(x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 2006). Tính f(0) f(0) = 2006! 1 Hàm số_Quách Duy Tuấn Tính đạo hàm của các hàm số 2. y = log sinx (cosx + 1) 3. a) ( ) 22 ln axxy ++= , a > 0 1/ 22 ax + b) 22 ln axxy += , a > 0 1/ 22 ax 4. x x xy 4 )2( = 5. Cho hàm số y = cosx. Chứng minh ) 2 cos( )( nxy n += 6.[ĐHGT_97] Cho hàm số y = sin 2 5x. Tính y (n) (x) y (n) = + 2 )1( 10sin 2 10 n x n 7.[ĐHGT_96] Cho hàm số y = ln(2x + 1). Tính y (n) y (n) = n n n x n )12( 2)!.1( .)1( 1 + 8.[ĐH Nông Nghiệp I_96] Tính đạo hàm cấp n của hàm số 4 1 2 = x y y (n) = + ++ 11 )2( 1 )2( 1 !.)1( 4 1 nn n xx n 9. Cho hàm số 23 32 2 ++ + = xx x y a. Tìm a, b sao cho 21 + + + = x b x a y b. Tính y (n) a = 1, b = 1 10.[ĐH Luật HN_00] Tính đạo hàm cấp n (Không chứng minh) 12 23 2 2 + + = xx xx y y (n) = + ++ 11 1 )1( 2 )12( 2 !.)1( nn n n xx n Vấn đề 4: tính đơn điệu của hàm số 1. Tìm m để hàm số luôn đồng biến( đồng biến trên R) y = 3 1 x 3 2x 2 + (m + 1)x 1 m 3 2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R y = 3 1 m x 3 2(2 - m)x 2 + 2(2 - m)x + 5 2 m 3 3. Xác định m để hàm số đồng biến trên MXĐ 1 1 2 + = x mxx y m 0 4. Xác định m để hàm số đồng biến trên MXĐ mx mmmxxm y ++ = )2(2)1( 232 m -1 5. Với giá trị nào của m thì hàm số y = x + m.cosx luôn tăng -1 m 1 6.[ĐHHH_00] Cho hàm số y = - 3 1 x 3 + (a - 1)x 2 + (a + 3)x 4. Xác định a để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3) a 12/7 2 Hàm số_Quách Duy Tuấn 7.[ĐHTL_95] Cho hàm số y = 3 3 ax - (a - 1)x 2 + 3(a - 2)x + 3 1 . Tìm a để hàm số đồng biến trên [2; + ) m 2/3 8.[ĐHSP Quy Nhơn_99] Cho hàm số 1 2)1(2 2 + +++ = x xmx y . Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; +) m 0 9.[ĐHKT_95] Cho hàm số mx mxmx y +++ = 1)1(2 2 .Tìm m để h/s đồng biến trên (1; +) m 3 - 2 2 10.[ĐHKTQD_00] Xác định khoảng tăng, giảm, các điểm CĐ, CT : y = x.e -3x đb/(-; 1/3 ), nb/(1/3; +), y CĐ = y(1/3) = 1/3e vấn đề 5: cực trị của hàm bậc ba 1. Xác định m để hàm số có CĐ và CT : y = x 3 + mx 2 + 3mx + 5 m < 0, m > 9 2. [ĐH Huế D_97Với giá trị nào của m thì hàm số y = -(m 2 + 5m)x 3 + 6mx 2 + 6x 6 đạt CĐ tại x = 1 m = 1 3. Tìm m để hàm số y = x 3 (m + 3)x 2 + mx + m + 5 đạt cực tiểu tại x = 2 m = 0 4. [ĐHBK_00]Tìm m để hàm số không có cực trị y = mx 3 + 3mx 2 (m - 1)x 1 0 m 1/4 5. [ĐHQG TPHCM A_01] Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ và CT. Lập PT đờng thẳng đi qua CĐ và CT của đồ thị hàm số y = 2x 3 + 3(m - 3)x 2 + 11 3m m 3, y = -(m - 3) 2 x + 11 3m 6. Cho hàm số y = mx 3 3mx 2 + (2m + 1)x + 3 m. Xác định m để hàm số có CĐ và CT. CMR khi đó đờng thẳng nối CĐ, CT luôn đi qua một điểm cố định m < 0, m > 1; y = 3 2 (m - 1)x + 3 1 (10 - m) Điểm cố định A(-1/2; 3) 7. [ĐH Huế A_01] Xác định m để hàm số y = x 3 - 2 3 mx 2 + 2 1 m 3 có các điểm CĐ, CT đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x m 0 (có CĐ, CT), m = 2 8. Cho hàm số y = 2x 3 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1. Tìm m để đồ thị có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x + 2 m = -1, m = 4 171 9. Cho hàm số y = 4x 3 mx 2 3x + m. CMR m hàm số luôn có CĐ, CT đồng hoành độ các điểm CĐ, CT luôn trái dấu x CĐ .x CT = -1/4 < 0 10. Cho hàm số y = 2x 3 + 3(m - 1)x 2 + 6(m - 2)x 1. Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại x 1 , x 2 và 2 21 =+ xx m = -1 Vấn đề 6: cực trị của hàm bậc 4 và hàm b 2 /b 1 1. Xác định m để hàm số y = -x 4 + 2mx 2 có ba cực trị m > 0 2. Xác định m để hàm số y = (1 - m)x 4 mx 2 + 2m 1 có đúng một cực trị 3 Hàm số_Quách Duy Tuấn m 0 hoặc m 1 3.[HVQHQT_97] Xác định m để hàm số y = x 4 2mx 2 + 2m + m 4 có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều. m = 3 3 4. Cho 1 23)2( 2 + ++++ = x mxmx y . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.Gọi các giá trị cực đại, cực tiểu là y CĐ , y CT . CMR y CĐ 2 + y CT 2 >1/2 m > -1/2 m > -1/2 5.[ĐHSPHN I_01] Cho hàm số 1 22 2 + ++ = x mxx y . Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau. m = 1/2 6.[ĐHTL A_98] Cho hàm số 1 2 + = x mmxx y . CMR hàm số có cực trị với mọi m và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi. d = 20 7.[ĐHANA_99]Cho 1 8 2 ++ = x mmxx y . Xác định m để điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở về hai phía đờng thẳng 9x 7y 1 = 0 -3 < m < 9/7 8.[ĐHQG D_99] Cho hàm số 1 2 + ++ = x mxx y .Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai phía đối với Oy m > 1 9. Cho hàm số 1 2 2 + ++ = mx mmxx y . Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 -1 < m < 1 10.Cho hàm số mx mxmx y ++ = 12)1( 2 .Tìm m để hàm số có các cực trị luôn nằm trong góc phần t thứ nhất m > 5 Vấn đề 7: GTLN và GTNN 1.[HVNH_98] Tìm min, max của hàm số y = - sin3x 3sin 3 x maxy = 2, tại sinx = -1 miny = -2, tại sinx = 1 2. Tìm min, max xxy += 31 maxy = 2, miny = 2 3.[ĐHCSND_01] Tìm max y = 5cosx cos5x trên [-/4; /4] maxy = 3 3 khi x = /6 4.[ĐH Dợc_01] Tìm min, max )8cos4(cos 2 1 )4cos2sin1(2 xxxxy += maxy = 5,miny = 1(t = sin2x) 5.[ĐHSPHNI_01] Tìm min, max xx xx y 24 24 cos4sin3 sin4cos3 + + = maxy = 8/5, khi sin 2 x = 1/3 miny = 4/3 khi sin 2 x = 1 6*.[ĐHNT_01] Giả sử x, y thay đổi thỏa mãn x> 0, y > 0 và x + y = 1. Hãy tìm min của y y x x P + = 11 C 1 :Đại số, C 2 : Lợng giác ĐS: miny = 2 khi x = y=1/2 7.[ĐHKTQD_97] Tìm max 90723 23 ++= xxxy trên [-5; 5] maxy = y(-5) = 400 8.[ĐHGT_97] Tìm min, max y = sinx cos 2 x + 1/2 maxy = 3/2, miny = -3/4 4 Hàm số_Quách Duy Tuấn 9.[HVNH_98] Tìm min xx y cos 1 sin 1 += với x (0; /2) C 1 : sd BĐT Côsi C 2 : t = sinx +cosx,miny= 2 2 10. Tìm min, max 3cos2sin cossin ++ = xx xx y sd TGT maxy = 1,miny = -1/2 Vấn đề 8: Tính lồi lõm và điểm uốn 1.[ĐHY_01] Tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn 2 12 2 + = xx ey I 1 (0; 1/ e ), I 2 (2; 1/ e ) 2. CMR các hàm số sau có phần lồi, lõm nhng không có điểm uốn a) 2 12 + = x x y b) x x y 1 2 + = 3.CMR hàm số 1 12 2 ++ + = xx x y có ba điểm uốn và ba điểm uốn đó cùng nằm trên một đờng thẳng I 1 (1;1),I 2 (-2; -1)I 3 (-1/2;0), y = (2/3)x + 1/3 4.[ĐHY_99] CMR hàm số 1 1 2 + + = x x y có ba điểm uốn thẳng hàng, viết phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm uốn I 1 4 31 ;32 , I 2 (1; 1), I 3 + + 4 31 ;32 5. CMR các điểm uốn của đồ thị hàm số y = sinx/x nằm trên đờng cong (C) có phơng trình y 2 (4 + x 2 ) = 4 6.[HVCTQG TPHCM_99] Cho hàm số y = mx 3 + 3mx 2 + 4 (C m ). Tìm m để đồ thị (C m ) có điểm uốn M(-1; 2) m = -1 Sử dụng tính chất hàm lồi 7.[Đ78] CMR x [0; /2) ta có 2 sinx + 2 tgx 2 x+1 SD t/c hàm lồi sau đó xét xét hàm f(x) = sinx + tgx 2x 8*.[ĐHNT TPHCM_96]CMR với mọi tam giác ABC, ta đều có 21 222222 3 222 + + C tg B tg A tg Xét hàm f(x) = (tgx) 22 9. Cho tam giác ABC. CMR 2 33 2 cos 2 cos 2 cos ++ CBA 10.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. CMR 2 2 222 BA tgBtgAtg + + Xét f(x) = (tgx) 2 Vấn đề 9: tcận_đồ thị của hàm số chứa dấu gttđ 1.[ĐHSPHNII_01] Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số 1 3 2 + + = x x y y =1 là TCN bên phải y = -1 là TCN trái 2.[HVKTQS_99] Tìm các đờng tiệm cận 1 2 +++= xxxy y = -1/2 là TCN trái 5 Hàm số_Quách Duy Tuấn y = 2x + 1/2 là TCX phải 3.[ĐHQG_99] Tìm các tiệm cận 4 1 2 + = x x y x = 2 là TCĐ trái, phải y = 1 là TCN phải, trái 4.[ĐHYHN_01] Cho hàm số 1 1 2 + = x mxx y . Tìm m để TCX của đồ thị cắt các trục toạ độ tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18 m = 5, m = -7 5.[Đ23] Cho hàm số mmx mxxm y + ++ = 4)2)(1( 2 , m -1/4, m 0. CMR đồ thị hàm số có TCX và TCX đó luôn đi qua điểm cố định )3( 1 = x m m y , A(3; 0) 6.[HVHCQG_01] Từ đồ thị hàm số y = x 3 6x 2 + 9x (C) suy ra đồ thị hàm số xxxy 96 2 3 += (C 1 ) 7.[ĐHGT_98] Từ đồ thị hàm số 2 33 2 + = x xx y suy ra 2 33 2 + = x xx y 8.[ĐHCĐ_99] Từ đồ thị hàm số 1 12 2 + + = x xx y suy ra 1 12 2 + + = x xx y 9. Từ đồ thị hàm số y = x 3 x 2 + 2 suy ra 2 23 += xxy 10.Từ đồ thị hàm số 2 23 + + = x x y suy ra 2 23 + + = x x y Vấn đề 10: tiếp tuyến của đồ thị hàm số(1) 1.[ĐHAN_A00] Cho hàm số y = x 3 + mx 2 m 1.Viết PTTT tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua,m A 1 (1; 0), y= (2m + 3)( x - 1) A 2 (-1;-2), y = (-2m + 3)(x + 1) 2 2.[ĐHAN_A01] Cho hàm số 1 2 2 ++ = x xx y . Tìm trên đồ thị các điểm A để tiếp tuyến với đồ thị tại A vuông góc với đờng thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị. A 1 ( ) 4 4 4 8223;81 +++ , A 2 ( ) 4 4 4 8223;81 3.[HVCNBCVT_01] Cho hàm số y = x 3 3x (C) a) CMR khi m thay đổi, đờng thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn cắt (C) tại một điểm A cố định A(-1; 2) b) Xác định m để (d) cắt (C) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc 3/)223( = m 4. Cho hàm số y = -x 4 + 2mx 2 2m+1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0) và B(-1;0) vuông góc m = 3/4, m = 5/4 5.[ĐHBKHN_95] Tiếp tuyến với đờng cong y = x + 1/x (C) cắt Ox tại x =a,cắt Oy tại y=b Viết PTTT ấy biết a.b = 8 y = -x 2 2 6.[ĐHTCKT_00] Tìm trên đồ thị hàm số 1 22 2 + ++ = x xx y các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên điểm có hoành độ x = -1 1/ 2 7.[HVQY_01] CMR tại một điểm bất kì của đồ thị hàm số 2 52 2 + + = x xx y tiếp tuyến luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không đổi S = 4 6 Hàm số_Quách Duy Tuấn 8. Cho y = x 3 + 3x 2 + 3x + 5 (C). CMR trên đồ thị (C) không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc 9. Cho hàm số x xx y 23 2 + = . Tìm trên đờng thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc M(1; -3 7 ) 10. Cho hàm số 1 1 2 + ++= x xy (C). Tìm nhừng điểm A thuộc Ox sao cho từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc tới (C) A(-1 3 ; 0) Vấn đề 11: tiếp tuyến của đồ thị hàm số(2) 1.[ĐHAN_D98] Cho hàm số y = x 3 3x. Viết PTTT kẻ từ A(-1; 2) y = 2,y = (-9/4)x 1/4 2.[Đ95] Cho hàm số 2 33 2 + ++ = x xx y . Viết PTTT biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (): x 3y 6 = 0 y = -3x 3, y = -3x 11 3.[ĐH Kinh Tế_01] Tìm giao điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 1 + = x x y với Ox biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = x + 2001 y = -x + 8, A(8; 0) 4.[ĐHNT_A98] Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 9x + 5. Trong các tiếp tuyến với đồ thị, hãy tìm tiếp tuyến với hệ số góc nhỏ nhất y = -12x + 4(t 2 tại điểm uốn) 5.[HVNH TPHCM_99] Cho hàm số y = x 3 3x. Tìm những điểm trên đờng thẳng y = 2 mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến A(a; 2), a >2 hoặc 1a<-2/3 6.[Đ66] Cho hàm số 22 43 2 + = x xx y . M là một điểm tuỳ ý thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt TCĐ và TCX tại A và B. Chứng tỏ rằng là trung điểm của AB và IAB, với I là giao điểm hai tiệm cận có diện tích không phụ thuộc vào M (S = 2) 7.[ĐH Thái Nguyên_D97] CMR trên đồ thị hàm số 1 23 + = x x y không tồn tại điểm nào mà tiếp tuyến tại đó đi qua giao điểm hai tiệm cận 8.[HVQHQT_A96] CMR mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 42 2 + = x xx y đều không đi qua giao điểm hai tiệm cận 9.[ĐHSP Hải Phòng_01] Tìm điểm M trên đờng thẳng x = 2 để từ M kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y= -x 3 + 3x 2 2 M(2; a), 2 < a < 3 10.[ĐHBK_96] Cho hàm số 1 1 + += x xy . CMR qua A(1; -1) kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị hàm số Vấn đề 12: các bài toán về khoảng cách 1.[ĐH Đà Nẵng_B98] Cho hàm số y = 1 12 + + x x . Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất. A(0; 1), B(-2; 3), d = 2 2.[ĐHAN_97] Cho hàm số y = 3 12 + x x . Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất. x 1,2 = 3 7 , d = 2 7 7 Hàm số_Quách Duy Tuấn 3.[ĐHNT_99] Cho hàm số y = x + 1 1 x . Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách AB ngắn nhất A,B 4 4 4 2 1 21; 2 1 1 4.[ĐHSP TPHCM_D00] Cho y = 1 33 2 + ++ x xx . Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau để khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất A,B 4 4 4 2 1 22; 2 1 1 , d = 2 )12(2 + 5.[ĐHQG_B98] Cho y = 1 22 2 + ++ x xx . Tìm những điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ đó đến trục tung. A( 22,2 ), B( 22,2 ) 6.[ĐHNT_A01] Cho y = 1 22 2 + x xx . Tìm những điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ nhất. x = 1 4 2/1 , d = 222 + 7.[HVKTQS_00] Cho y = 2 54 2 + ++ x xx . Tìm những điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đờng thẳng y + 3x + 6 = 0 nhỏ nhất A(-3/2;5/2),B(-5/2;5/2),d=4/ 10 8. Cho y = 2 5 2 + x xx . CMR tích khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đồ thị đến các đờng tiệm cận là một hằng số. 9.[ĐHDL Hải Phòng_00] Cho y = 1 2 x x . Tìm những điểm trên đồ thị cách đều hai điểm O(0;0), B(2; 2). 10. Cho y = 1 1 + x x .CMR tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số đến các đờng tiệm cận là một hằng số. 8 . Hàm số _Quách Duy Tuấn Vấn đề 1: Txđ của hàm số Tìm tập xác định của các hàm số (Bài 1-7): 1). =[1; + ) Vấn đề 3: đạo hàm và đạo hàm cấp cao 1. Cho hàm số f(x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 2006). Tính f(0) f(0) = 2006! 1 Hàm số _Quách Duy Tuấn Tính đạo