Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO LỚP CÓ ĐÁP ÁN * *DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU Bài 1: Tính B = + + + + 98 + 99 Nhận xét: Nếu học sinh có sáng tạo thấy tổng: + + + + 98 + 99 tính hoàn toàn tương tự 1, cặp số 51 50, (vì tổng thiếu số 100) ta viết tổng B sau: B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thấy tổng ngoặc gồm 98 số hạng, chia thành cặp ta có 49 cặp nên tổng là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, B = + 4949 = 4950 Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, ta chia số hạng thành cặp (mỗi cặp có số hạng 49 cặp dư số hạng, cặp thứ 49 gồm số hạng nào? Số hạng dư bao nhiêu?), đến học sinh bị vướng mắc Ta tính tổng B theo cách khác sau: Cách 2: B = + + + + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 Bài 2: Tính C = + + + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng có 500 số lẻ Áp dụng ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp số) Cách 2: Ta thấy: = 2.1 - = 2.2 - = 2.3 - 99 = 2.50 - Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ xuống ta xác định số số hạng dãy số C 500 số hạng Áp dụng cách ta có: C = + + + 997 + 999 + C = 999 + 997 + + + 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 Bài Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 Nhận xét: Các số hạng tổng D số chẵn, áp dụng cách làm tập để tìm số số hạng tổng D sau: Ta thấy: 10 = 2.4 + W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 12 = 2.5 + 14 = 2.6 + 998= 2.498 + Tương tự trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số số hạng D 495, mặt khác ta lại thấy: 495 998 10 hay số số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách cộng thêm Khi ta có: D = 10 + 12 + + 996 + 998 + D = 998 + 996 + + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495 D = 504.495 = 249480 Thực chất D (998 10)495 Qua ví dụ , ta rút cách tổng quát sau: Cho dãy số cách u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dãy d, u , u2 , un u1 (1) d n(u1 un ) (2) Sn Khi số số hạng dãy (*) là: n Tổng số hạng dãy (*) Đặc biệt từ công thức (1) ta tính số hạng thứ n dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d Hoặc u1 = d = S1 = + + + + n n(n 1) Bài Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lời giải Ta đưa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 (1011 9899).98 9910 = 485495 + 9910 = 495405 E = 4954,05 (Ghi chú: Vì số số hạng dãy (9899 1011) 98 ) 101 Bài Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp Lời giải Gọi a số tự nhiên chẵn, ta có tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: a (a 4006) 2004 (a 2003).2004 Khi ta có: (a S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = + 2003).2004 = 8030028 a = 2004 Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 Nhận xét: Sau giải toán dạng ta không thấy có vướng mắc lớn, toàn toán mà học sinh không gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên sở để từ tiếp tục nghiên cứu dạng W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai toán mức độ cao hơn, phức tạp chút * *DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Lời giải Ta thấy số hạng tổng tích hai số tự nhên liên tiếp, đó: Gọi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………… an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Cộng vế đẳng thức ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2) 1.2 2.3 n(n 1) = n(n + 1)(n + 2) A = n(n 1)(n 2) Cách 2: Ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = n(n 1)(n 2) * Tổng quát hoá ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong k = 1; 2; 3; … Ta dễ dàng chứng minh công thức sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bài Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) Lời giải Áp dụng tính kế thừa ta có: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B= (n 1)n(n 1)(n 2) Bài Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3) Lời giải Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) …… n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n = 1.2 + +2.3 + + 3.4 + + … + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) = = n(n + 1)(n + 2) + W: www.hoc247.net 3(2n 2)n n(n 1)(n 2) 3(2n 2)n n(n 1)(n 5) = C= 3 F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2 Nhận xét: Các số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, tích hai số tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1: Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + + + … + n) Mặt khác theo tập ta có: n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(n 2) + + + … + n = 12 + 2 + + … + n = = 3 n(n 1) n(n 1)(2n 1) = A= Bài Tính E = 13 + 23 + 33 + … + n3 Lời giải Tương tự toán trên, xuất phát từ toán 2, ta đưa tổng B tổng E: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) = = (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - - (1 + + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) (13 + 23 + 33 + … + n3) = B + E= 13 + 23 + 33 +…+ n3 Ta có: n(n 1) n(n 1) (n 1)n(n 1)(n 2) Mà ta biết B = (n 1)n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1) = + = Cách 2: Ta có: A = 13 = 12 A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2 Giả sử có: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + + + … + k)2 (1) Ta chứng minh: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 (2) Thật vậy, ta biết: + + + … + k = Ak = [ k (k 1) ] Ak + (k + 1)3 = [ (k 1)(k 2) = k (k 1) (1') Cộng vào hai vế (1') với (k + 1)3 ta có: k (k 1) k (k 1) ] + (k + 1)3 Ak+1 = [ ] + (k + 1)3 2 Vậy tổng với Ak+1, tức ta có: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 = (k 1)(k 2) = Vậy ta có: n(n 1) E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + + + … + n)2 = Lời bình: - Với tập ta áp dụng kiến thức quy nạp Toán học - Bài tập dạng tập tổng số hạng cấp số nhân (lớp 11) giải phạm vi cấp THCS Bài (Trang 23 SGK Toán tập 1) Biết 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh tổng W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai S = 22 + 42 + 62 + … + 202 Lời giải Ta có: S = …+ = + (2.2)2 + … + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540 Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 ta có: S = 4.P Do đó, cho S ta tính P ngược lại Tổng quát hóa ta có: 22 + 42 + 62 + 202 P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = (2.1)2 n(n 1)(2n 1) (theo kết trên) Khi S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 tính tương tự trên, ta có: S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) = = 4n(n 1)(2n 1) 2n(n 1)(2n 1) = n(n 1) = Ta tính S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 sau: S = Còn: P = 13 + 23 + 33 + …+ n3 (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lúc S = 8P, Vậy ta có: S = 23 + 2 n(n 1) 8.n (n 1) 2n2 (n 1)2 = 8 43 + 63 +…+ (2n)3 Áp dụng kết trên, ta có tập sau: Bài a) Tính A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) Tính B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 Lời giải 2 a) Theo kết trên, ta có: + + 32 +…+ (2n)2 = = 2n(2n 1)(4n 1) n(2n 1)(4n 1) Mà ta thấy: 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)2 = = n(2n 1)(4n 1) 2n(n 1)(2n 1) 2n (2n 1) = 3 b) Ta có: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 Áp dụng kết tập ta có: 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2 Vậy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai * * MỘT SỐ BÀI TẬP DẠNG KHÁC Bài Tính S1 = + + 22 + 23 + … + 263 Lời giải Cách 1: Ta thấy: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 (1) 63 64 (2) 2S1 = + + + … + + Trừ vế (2) cho (1) ta có: 2S1 - S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + + 22 + 23 + … + 263) = 264 - Hay S1 = 264 - Cách 2: Ta có: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 262) (1) = + 2(S1 - 263) = + 2S1 - 264 S1 = 264 - Bài Tính giá trị biểu thức S = +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1) Lời giải: Cách 1: Áp dụng cách làm 1: Ta có: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta được: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) Hay: 2S = 32001 - S = 32001 Cách 2: Tương tự cách trên: Ta có: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 2S = 32001 - S = 32001 *) Tổng quát hoá ta có: Sn = + q + q2 + q3 + … + qn Khi ta có: Cách 1: qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 (1) (2) Trừ vế (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = Cách 2: qn+1 q n 1 -1 S= q 1 Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = + q(Sn - qn) = + qSn - qn+1 qSn - Sn = qn+1 - hay: Sn(q - 1) = qn+1 - S= q n 1 q 1 Bài Cho A = + + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28 Hãy so sánh A B Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26 = + + + + + 26 + 26 + 26 + + = + + + + + 26 + + 26 + 26 + + (Vì 26 = 2.25) Vậy rõ ràng ta thấy B > A Cách 2: Áp dụng cách làm tập ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = + + 22 + 23 + … + 29 (1) 2A = + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta có: 2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29) = 210 - hay A = 210 - Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai * Ta tìm giá trị biểu thức A, từ học sinh so sánh A với B mà không gặp khó khăn Bài Tính giá trị biểu thức S = + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 (1) Ta có: 6S = + 2.6 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta được: 5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*) Đặt S' = + 62 + 63 + … + 699 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100 6100 6100 499.6100 thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - = 5 100 499.6 S= 25 S' = Bài Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 chữ số nào? Lời giải Ta thấy: Từ đến 99 có: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu ta thiếu số chữ số dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, chữ số thứ 673 phải nằm dãy số có chữ số Vậy ta xét tiếp: Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số Như từ đến 260 có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu chữ số thứ 673 chữ số số 261 Một số tập tự giải: Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1) Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3) Tính: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 Tính: D = 14 + 24 + 34 + + n4 Tính: E = + 74 + 77 + 710 + … + 73001 Tính: F = + 83 + 85 + … + 8801 Tính: G = + 99 + 999 + … + 99 … (chữ số cuối gồm 190 chữ số 9) Tính: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n! Cho dãy số: 1; 2; 3; … Hỏi chữ số thứ 2007 chữ số nào? ***************************************************** W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai * * THỂ LOẠI TOÁN VỀ PHÂN SỐ: Bài Tính giá trị biểu thức A = 1 1 1.2 2.3 3.4 (n 1).n Lời giải 1 1 1 sau bỏ dấu ngoặc ta có: Ta có: A = 1 n 1 n n A = 1 n 1 n Nhận xét: Ta thấy giá trị tử không thay đổi chúng hiệu hai thừa số mẫu Mỗi số hạng có dạng: m 1 (Hiệu hai thừa số mẫu b(b m) b b m giá trị tử phân số viết dạng hiệu hai phân số khác với mẫu tương ứng) Nên ta có tổng với đặc điểm: số hạng liên tiếp đối (số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau liên tiếp), số hạng tổng khử liên tiếp, đến tổng số hạng đầu số hạng cuối, lúc ta thực phép tính đơn giản 4 4 3.7 7.11 11.15 95.99 4 B= vận dụng cách làm phần nhận xét, ta có: 95.99 3.7 7.11 11.15 Bài Tính giá trị biểu thức B = = (đúng tử) nên ta có: 1 1 1 1 1 32 B = = 95 99 99 99 7 11 11 15 Bài Tính giá trị biểu thức C = 72 72 72 72 2.9 9.16 16.23 65.72 Nhận xét: Ta thấy: - = ≠ 72 tử nên ta áp dụng cách làm (ở tử chứa 72), giữ nguyên phân số ta tách thành hiệu phân số khác để rút gọn tổng Mặt khác ta thấy: 1 , để giải 2.9 vấn đề ta phải đặt làm thừa số chung dấu ngoặc, thực bên ngoặc đơn giản Vậy ta biến đổi: 7 1 1 1 1 = = 65.72 65 72 2.9 9.16 16.23 9 16 16 23 35 29 1 = 72 72 72 3 3 Bài Tính giá trị biểu thức D = 1.3 3.5 5.7 49.51 C = Lời giải Ta lại thấy: - = ≠ tử phân số tổng nên cách ta đưa đưa vào thay 2 3 3 3 2 2 = 1.3 3.5 5.7 49.51 1.3 3.5 5.7 49.51 1 1 1 1 1 50 25 = = 1 3 5 49 51 51 51 17 Ta có: D = W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài Tính giá trị biểu thức E = Ta thấy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 Tương tự tập ta có: 1 1 1 91 247 475 775 1147 Lời giải 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 1 6 6 6 = 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 1 1 1 1 1 1 36 = 1 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 37 37 37 E= = Bài (Đề thi chọn HSG Toán - TX Hà Đông - Hà Tây - Năm học 2002 - 2003) 2 2 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 B= 40.44 44.48 76.80 2003 So sánh: A = Lại áp dụng cách làm ta có: Lời giải 2 3 60.63 63.66 117.120 2003 2 1 1 1 = 60 63 63 66 117 200 2003 2 1 2 2 = = 60 120 2003 120 2003 180 2003 A= Tương tự cách làm ta có: 5 1 5 5 40 80 2003 80 2003 64 2003 4 Ta lại có: 2A = Từ ta thấy 180 2003 180 2003 90 2003 B= B > 2A hiển nhiên B > A Bài (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986) So sánh hai biểu thức A B: 1 16.2000 1.1985 2.1986 3.1987 1 1 B= 1.17 2.18 3.19 1984.2000 A = 124 Lời giải 124 1 1 1 1 = 1984 1985 1986 1987 16 2000 1 1 = 1 16 16 1985 1986 2000 Ta có: A = Còn B = = 1 1 1 16 17 18 1984 2000 1 1 1 1 = 16 1984 17 18 2000 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 1 1 1 1 1 1 16 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000 = 1 1 1 16 16 1985 1986 2000 Vậy A = B ************************************************ * * THỂ LOẠI TOÁN VỀ PHÂN SỐ (TIẾP) Bài Chứng tỏ rằng: 1 1 với n N 13 25 n n 1 Lời giải Ta áp dụng cách làm tập trên, mà ta thấy: 2 2 với: ; ; ta phải so sánh: 2 n (n 1) 2n(2n 1) 2.4 13 4.6 25 6.8 1 1 Thật vậy: = 2 n (n 1) n (n 1) 2n 2n 2n(2n 2) n(2n 2) 2n 2n nên hiển nhiên < n N n (n 1) 2n(2n 1) 1 1 2 2 Vậy ta có: 13 25 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) n n 1 1 1 1 1 ; ; nên: 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 2n 2n 2 2 1 1 1 1 1 = 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 4 6 2n 2n 2 2n 2 Mà: hiển nhiên với số tự nhiên n 1 1 1 1 1 1 hay 13 25 n (n 1) 4 6 2n 2n 1 1 13 25 n (n 1) 2n Bài Tính giá trị biểu thức M = 2 (1.2) (2.3) n(n 1) Vậy: Lời giải Ta có ngay: M = 1 1 1 1 2 2 2 2 (n 1) n n (n 1)2 (n 1) (n 1)(n 1) n2 2n n 2n n(n 2) = 1 = (n 1)2 (n 1) (n 1)2 (n 1)2 (n 1) (n 1) 1 1 Bài 10 Tính giá trị biểu thức N = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)( n 2) Lời giải Ta có: N = W: www.hoc247.net 1 2 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n 1)(n 2) F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai = 1 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n.(n 1) (n 1)(n 2) = 11 (n 1)(n 2) 1 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1).n(n 1)(n 2) Bài 11 Tính giá trị biểu thức: H = Lời giải Ta có: H = 3 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1).n.(n 1).(n 2) 1 1 1 1 = 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( n 1).n.( n 1) n.( n 1).( n 2) 11 = n(n 1)(n 2) Bài 12 Chứng minh P = 12 12 12 12 1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 Lời giải 6 Ta có: P = 54.57.60 1.4.7 4.7.10 7.10.13 1 1 1 854 427 427 1 = = 54.57 57.60 1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 1 1 Vậy P < = 2 2 3420 855 854 57.60 Bài 13 Chứng minh S = 1 1 2 2 1002 Lời giải 1 1 1 1 Áp dụng cách làm tập ta có: ; 2 ; 2 2 1.2 2.3 3.4 100 99.100 1 1 11 hay S < S < 1 1.2 2.3 3.4 99.100 100 1 Bài 14 Đặt A = 1.2 3.4 2005.2006 A 1 B= Chứng minh Z B 1004.2006 1005.2006 2006.1004 Ta thấy: Lời giải Áp dụng trên, ta có: 1 1 1 1 = = 1.2 3.4 2005.2006 2005 2006 1 1 1 = 1 = 2005 2006 1 1 = 1 - = 2006 2006 2 1 1 1 = 1 - 1 2006 1003 A= W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 1 1004 1005 2006 1 A 3010 Còn B = 1505 Z 3010 1004 1005 2006 B = Như vậy, phần ta giải lượng lớn tập dãy số dạng phân số Tuy nhiên tập nhìn chung không đơn giản Vì để áp dụng có hiệu cần linh hoạt việc biến đổi theo hướng sau: - Nếu mẫu tích cách biến đổi thành hiệu phân số, từ ta rút gọn biểu thức tính giá trị - Đối với tập chứng minh ta áp dụng cách làm tính giá trị dãy số, từ ta biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng quen thuộc * * MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC n2 n Bài Với n N * , kí hiệu an (1) n! n Hãy tính tổng a1 + a2 + a3 + … + a2007 Lời giải n2 n n2 n n n 1 n Ta thấy: n N * thì: an (1) = (1)n (1) n! n! (n 1) n! n! n 2 3 3 4 2006 2007 Do đó: a1 + a2 + a3 + … + a2007 = a1 + 1! 2! 2! 3! 2005! 2006! 2006 2007 2007 2007 1 - 3 1! 2006! 2006! 2005! 2006! Bài Xét biểu thức: S = 1992 1991 Chứng minh S < 2 2 Lời giải 4 1992 2 1 1991 Ta có: 2S = 1990 990 1990 = 2 2 2 2 2 2 2 1 1991 1992 1992 1 = 1990 1991 1991 1990 = 2 2 2 2 2 1 1 1992 = S 1991 2 1 1989 1990 1992 S 1991 2 2 1990 S=4- 1992 21991 hay S < Bài Ta viết phân số sau: 1990 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Số đứng vị trí phân số trên? 1930 1 2 3 Lời giải Số thứ dãy số có tổng tử số mẫu số 2, hai số có tổng tử số mẫu số 3, ba số có tổng tử mẫu số 4… Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách phân số đến mẫu số 2, cách phân W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 12 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai số đến mẫu số 3, … phân số 1990 đứng vị trí thứ 1930 nhóm số có tổng 1930 tử mẫu số 1990 + 1930 = 3920 Số số đứng trước nhóm + + + … + 3918 = 1959.3919 Vì nhóm có tổng tử mẫu số 3920 gồm 3919 số nên nhóm đứng trước nhóm gồm 3918 số Vậy số 1990 đứng vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 1930 Bài tập tự giải 1 1 5.6 6.7 7.8 24.25 2 5 52 Tính: B = 1.6 6.11 11.16 26.31 1 1 Chứng minh rằng: 1990 996 1990 n 1 Tính: C = 2! 3! 4! n! 2! 2! 2! 2! Chứng tỏ rằng: D = < 3! 4! 5! n! Tính: A = Cho biểu thức P = b) Gải toán trường hợp tổng quát Chứng minh rằng: n Z (n 0, n 1) Q = 1 1 số 1.2 2.3 3.4 n(n 1) nguyên Chứng minh rằng: S = 1 1 2 200 1 1 1 199 200 a) Chứng minh rằng: P = W: www.hoc247.net 1 101 102 200 F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 13 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS - Học Online Học lớp Offline Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 14 ... Tấn - Hoc Toán Nâng Cao /Toán Chuyên /Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm... 1.4 .7 4 .7. 10 7. 10.12 54. 57. 60 Lời giải 6 Ta có: P = 54. 57. 60 1.4 .7 4 .7. 10 7. 10.13 1 1 1 854 4 27 4 27 1 = = 54. 57 57. 60 1.4 4 .7 4 .7 7.10 7. 10 10.13... 77 5 = 25.31 ; 11 47 = 31. 37 Tương tự tập ta có: 1 1 1 91 2 47 475 77 5 11 47 Lời giải 2 47 = 13.19 ; 475 = 19.25 1 6 6 6 = 1 .7 7.13 13.19 19.25 25.31 31. 37 1 1 1 1 1 1