Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Phương pháp sử dụng bđt cô si thêm bớt hạng tử PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG BĐT CÔ SI BẰNG CÁCH THÊM BỚT HẠNG TỬ TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: PHAN HUY KHẢI Phƣơng pháp dựa việc thêm bớt hạng tử có chứa biến vào thích hợp cho áp dụng đƣợc Cơ si Chú ý đến dấu đẳng thức xảy phải đồng thời BĐT Cô si mà ta áp dụng thêm bớt hạng tử: Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ Cho x, y, z khơng âm xyz Tìm GTNN của: P x3 y3 z3 ( x 1)( y 1) ( x 1)( z 1) ( x 1)( y 1) Hướng dẫn giải: Ta có: x3 x 1 y 1 x3 x y 3x 33 ( x 1)( y 1) 8 ( x 1)( y 1) 8 x3 x 1 y 1 x y 1 ( x 1)( y 1) 8 Tương tự ta có BĐT khác, cộng vế với vế ta được: 1 3 P ( x y z ) 3 xyz P 2 P , ' ' x y z Ví dụ '' Cho x, y khơng âm xy Tìm GTNN: P x3 y3 1 y 1 x Hướng dẫn giải: Ta co: x3 y 1 x3 y 1 y 33 1 y 1 y 2 ' ' x y 1 Tương tự ta có BĐT khác, cộng vế với vế ta được: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Phương pháp sử dụng bđt cô si thêm bớt hạng tử x y P ( x y ) P ( x y ) ( xy 1) 4 P 1, ' ' x y Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn: xy yz zx Tìm GTNN của: P x3 y2 y3 z2 z3 x2 Hướng dẫn giải: Ta có: x3 y2 '' y3 z2 x3 y2 y2 33 y3 z2 x3 y2 y 3x z2 y3 y2 x y Tương tự ta có BĐT khác, cộng vế với vế ta được: x2 y z (x y2 z2 ) 8 11 11 P ( x y z ) ( xy yz zx) P 8 8 P ' ' x y z 2P Ví dụ x6 y6 z6 Cho x, y, z > xy xy yz yz zx zx Tìm GTNN: P x y y z z x3 Hướng dẫn giải: X x , Y y , Z z XY YZ ZX X2 Y2 Z2 X Y Z Y Z X X X Y Y2 Y Z Z2 X Z X Y Z Y X Z ( )( )( )( ) YX Z Y ZX 4 4 X Y Z X Y Z X Y Z XY YZ ZX P 2 1 P , ' ' X Y Z x y z P Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Phương pháp sử dụng bđt si thêm bớt hạng tử Ví dụ Cho x, y, z > x y z xyz Tìm GTNN: P yz zx xy x ( z y ) y ( x z ) z ( y x) Hướng dẫn giải: Đặt: 1 ,Y , Z x y z XY YZ ZX X P X3 Y3 Z3 Y Z Z X X 2Y 9X (Y Z ) X X (' ' Y Z X ) Y 2Z P (Y Z ) X ( Z X )Y ( X 2Y ) Z X 6Y Z 6( XY YZ ZX ) P 1 P 1, ' ' X Y Z x y z Ví dụ Cho x, y , z > xy + yz + zx = Tìm GTNN P x5 y z y z x3 Hướng dẫn giải Ta có: x5 x3 (1) xy y y y y3 ( 2) yz z z z5 z3 zx (3) x x Dấu « = » xảy : x = y = z Cộng (1) ; (2) ; (3) vế theo vế ta có : x3 y z P xy yz zx (4) z x y Dấu « = » xảy x = y = z = Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Phương pháp sử dụng bđt cô si thêm bớt hạng tử x3 xy x y y yz y z z3 zx z x Cộng vế theo vế ta có : x3 y z ( xy yz zx) 2( x y z ) 2( xy yz zx ) y z x x3 y z xy yz zx (5) y z x Dấu « = » xảy x = y = z =1 Từ (4) (5) ta suy : P xy yz zx P x y z Suy P = Giáo viên : Phan Huy Khải Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - ... Ví dụ Cho x, y , z > xy + yz + zx = Tìm GTNN P x5 y z y z x3 Hướng dẫn giải Ta có: x5 x3 (1) xy y y y y3 ( 2) yz z z z5 z3 zx (3) x x Dấu « = » xảy : x = y =... X Y Z x y z P Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58 -58 -12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Phương pháp sử dụng bđt si... y Dấu « = » xảy x = y = z = Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58 -58 -12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Phương pháp sử dụng bđt cô