Dãy số

Tu ầ n : …… Ti ế t :… DÃY SỐ  A.MỤC TIÊU: 1.Kiến thức : Khái niệm dãy số, cách cho dãy số, các tính chất tăng, giảm và bị chặn của dãy số. 2.Kỹ năng : Biết cách cho dãy số,tìm được số hạng tổng quát của dãy số Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số 3.Thái độ và tư duy : Tích cực học tập, rèn luyện kỹ năng C 1 .TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 1. Kiểm tra bài cũ : Chứng minh đẳng thức : 2 2 3 3 3 3 n (n 1) 1 2 3 . n 4 + + + + + = 2. Bài mới : Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh I. ĐỊNH NGHĨA : 1. Định nghĩa dãy số : Hoạt động 1 : Cho hàm số: 1 f(n) 2n 1 = − V ới: x = 1, tính f(1) = ? x = 2, tính f(2) = ? x = 3, tính f(3) = ? x = 4, tính f(4) = ? x = 5, tính f(5) = ? *GV : phát biểu số hạng đầu , số hạng tổng quát u n của dãy số trong ví dụ ? *GV : Cho HS lấy 1 ví dụ bất kỳ về dãy số hữu hạn , cho biết số hạng đầu , số hạng cuối ? 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn : Giáo viên cho học sinh đọc và khắc sâu định nghĩa Ta thấy: f(1) = 1 f(2) = 1/3 f(3) = 1/5 f(4) = 1/7 f(5) = 1/9 Định nghĩa: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương * ¥ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).Kí hiệu : u : N * → R n a u(n) Dạng khai triển của dãy số : 1 2 3 n u , u , u , ., u , . Trong đó : u n = u(n) , viết tắt là (u n ) u 1 : số hạng đầu u n : số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số Ví dụ : - Dãy các số tự nhiên chẵn : 2 , 4 , 6 , …có số hạng đầu u 1 = 2, số hạng tổng quát u n = 2n - Dãy các số chính phương : 1 , 4 , 9 , …. có số hạng đầu u 1 = 1 , số hạng tổng quát u n = n 2 Mỗi hàm số u xác định trên tập { } M 1,2,3, .,m= với m∈ N * được gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển của dãy số : 1 2 3 m u , u , u , ., u Trong đó : u n = u(n) , viết tắt là (u n ) u 1 : số hạng đầu u m : số hạng cuối 1 II .CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ : 1.Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát : *GV: Tính giá trị u 3 , u 4 của các dãy số (u n ) với : a) u n = n n 3 ( 1) . n − b) u n = n n 1+ *GV: viết dạng khai triển của u n trong hai trường hợp trên? Hoạt động 3 :SGK/86 *GV : Hướng dẫn tìm số hạng tổng quát - Số hạng tổng quát của số tự nhiên lẻ : 2n - 1 → 1 2n 1− - Số hạng tổng quát của số tự nhiên chia cho 3 dư 1 : 3n + 1 2.Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi : Hoạt động 4 : SGK/87 *HS : u 1 = u 2 = 1 u 3 = u 1 + u 2 = 2 4 2 3 u u u= + = 3 u 5 = 5 ; u 6 = 8 ; u 7 = 13 u 8 = 21 ; u 9 = 34 ; u 10 = 55 Ví dụ: 1).u n = n n 3 ( 1) . n − 2). u n = n n 1+ Giải a) Ta có : 3 3 3 3 u ( 1) . 9 3 = − = − ; 4 4 4 3 81 u ( 1) . 4 4 = − = b) Ta có : 3 3 u 3 1 = + ; 4 4 4 u 3 4 1 = = + • Dạng khai triển của : • u n = n n 3 ( 1) . n − là: -3, 9/2 , -9, 81/4, …, n n 3 ( 1) . n − , … a) 1 , 1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/9 → Số hạng tổng quát : 1 2n 1− b) 4 , 7 , 10 , 13 , 16 → Số hạng tổng quát : 3n + 1 Ví dụ : Ta có : π = 3,141592…. Nếu lập dãy số (u n ) với u n là gía trị gần đúng của số π với sai số tuyệt đối thì u 1 = 3,1 ; u2 = 3,14 ; u3 = 3,141 ; …… → dãy số trên được cho bằng phương pháp mô tả Là dãy số : + Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) + Cho hệ thức truy hồi – là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó Ví dụ : Dãy Phi-bô-na-xi : 1 2 n n 1 n 2 u u 1 n 3 u u u − − = =  ≥  = +  3. Hướng dẫn về nhà a.Cần nắm vững Định nghĩa dãy số vô hạn , dãy số hữu hạn Qui tắc tìm số hạng u n của dãy số Ba cách cho của một dãy số , đặc biệt nhấn mạnh cách cho bằng số hạng tổng quát b.BTVN : bài 1 → 2 trang 92 SGK c.Xem trướ c bài mới : “Cấp số cộng” (tt) 2 Tu ầ n : …… Ti ế t :… DÃY SỐ (tt)  C 2 .TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 1. 1.Kiểm tra bài cũ : “Tìm số hạng u n+1 của dãy số (u n ) với n n u 3= ” 2.Bài mới : Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 3 III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ : * Vì dãy số là 1 hàm số trên N * nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị . Khi đó trong mặt phẳng tọa độ , dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n ; u n ) * Ngoài ra , người ta thường biểu diễn các số hạng của một dãy số trên trục số IV.DÃY SỐ TĂNG – DÃY SỐ GIẢM – DÃY SỐ BỊ CHẶN : Hoạt động 5 :SGK/89 *GV : * Cho HS làm câu a. * Hướng dẫn c/m câu b : Để c/m n 1 n u u + < , ta cần - Tính n 1 n u u + − - C/m * n 1 n u u 0 , n + − < ∀ ∈ ¥ ? Tính: u n+1 =? u n =? → n 1 n u u + − → so sánh n 1 n u u + − với 0 kết luận? *GV : Khi đó , người ta nói dãy số ( n u ) là dãy số giảm, dãy số ( n v ) là dãy số tăng định nghĩa dãy số tăng , dãy số giảm 1.Dãy số tăng , dãy số giảm : Định nghĩa 1: Ví dụ : Xét tính tăng , giảm của dãy số (u n ) với n n n u 3 = ? 2.Dãy số bị chặn : Hoạt động 6 : *GV : Hướng dẫn c/m các bđt : - Lập hiệu: 2 n 1 2 n 1 − + =?; 2 n 1 1 2n + − =? - C/m 2 n 1 0 2 n 1 − ≤ + ; 2 n 1 1 0 2n + − ≥ Ví dụ : Dãy số (u n ) với n n 1 u n + = có biểu diễn hình học như hình 40 SGK/88 Ví dụ : Dãy số (u n ) với n n 1 u n + = có biểu diễn hình học như hình 41 SGK trang 88 a) n 1 1 u 1 n 1 + = + + n 1 v 5(n 1) 1 5n 4 + = + − = + b) * n 1 n 1 1 u u 1 1 n 1 n +     − = + − +  ÷  ÷ +     = * 1 1 1 0 , n n 1 n (n 1).n − − = < ∀ ∈ + + ¥ * n 1 n u u 0 , n + ⇒ − < ∀ ∈ ¥ * n 1 n u u , n + ⇒ < ∀ ∈ ¥ * n 1 n v v 5n 4 (5n 1) 5 0 + − = + − − = > * n 1 n v v 0 , n + ⇒ − > ∀ ∈ ¥ * n 1 n v v , n + ⇒ > ∀ ∈ ¥ * Dãy số ( n u ) được gọi là dãy số tăng nếu ta có * n 1 n u u , n + > ∀ ∈ ¥ * Dãy số ( n u ) được gọi là dãy số giảm nếu ta có * n 1 n u u , n + < ∀ ∈ ¥ Giải Ta có : * n 1 n n 1 n n n n 1 n n 1 3n 2n 1 u u 0 , n 3 3 3.3 3.3 + + + + − − + − = − = = < ∀ ∈ ¥ * n 1 n u u , n + ⇒ < ∀ ∈ ¥ ⇒ dãy số giảm Chú ý : Một dãy số có thể không tăng cũng không giảm , ví dụ như dãy số (u n ) với ( ) n n u 3= − * 2 2 2 n 1 n 1 2n (n 1) 1 0 2n 2n 2n + + − − − = = ≥ 2 * n 1 1 , n 2n + ⇒ ≥ ∀ ∈ ¥ * 2 2 2 2 2 n 1 2n n 1 (n 1) 0 2 n 1 2(n 1) 2(n 1) − − − − − = = ≤ + + + 4 4. Hướng dẫn về nhà a.Cần nắm vững Nhắc lại định nghĩa dãy số vô hạn , dãy số hữu hạn Ba cách cho của một dãy số , đặc biệt nhấn mạnh cách cho bằng số hạng tổng quát Định nghĩa dãy số tăng , giảm ; dãy số bị chặn , bị chặn trên , bị chặn dưới Cách xét tính tăng , giảm của dãy số b.BTVN : bài 1 → 5 trang 92 SGK Trắc nghiệm : 1. Số hạng u n+1 của dãy số (u n ) với n n u 3= là : a) n 3 1+ b) n 3 3+ c) n 3 .3 d) 3(n + 1) 2. Số hạng u 2n - 1 của dãy số (u n ) với n n u 3= là : a) 2 n 3 .3 1− b) n n 1 3 .3 − c) 2n 3 1− d) 2(n 1) 3 − 5 . đó , người ta nói dãy số ( n u ) là dãy số giảm, dãy số ( n v ) là dãy số tăng định nghĩa dãy số tăng , dãy số giảm 1 .Dãy số tăng , dãy số giảm : Định nghĩa. nghĩa dãy số vô hạn , dãy số hữu hạn Ba cách cho của một dãy số , đặc biệt nhấn mạnh cách cho bằng số hạng tổng quát Định nghĩa dãy số tăng , giảm ; dãy số