Nguyên lý bao hàm & loại trừ và ứng dụng

Header Page of 133 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN LÊ HẠNH ĐOAN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH.Trần Quốc Chiến NGUYÊN LÝ BAO HÀM & LOẠI TRỪ VÀ Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi ỨNG DỤNG Phản biện 2: PGS TS Trần Đạo Dõng Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học Đại học Đà Nẵng ngày 29 tháng 05 năm 2011 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thể tìm hiểu luận văn tại: Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 133 - Trung tâm thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Header Page of 133 MỞ ĐẦU Mục ñích nghiên cứu Từ ứng dụng nguyên lý bao hàm loại trừ giải lớp Lý chọn ñề tài Cùng với phát triển với tốc ñộ nhanh công nghệ thông toán tương tự cụ thể tin, lý thuyết tổ hợp ñã trở thành lĩnh vực toán học quan trọng cần Đối tượng nghiên cứu thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng Nhiều toán Đối tượng nghiên cứu: nguyên lý bao hàm loại trừ ñược giải cách quy chúng toán tổ hợp Phạm vi nghiên cứu: nội dung nguyên lý bao hàm loại Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thoả mãn số ñiều kiện ñó Các toán tổ hợp phong phú ña dạng: toán tồn tại, toán ñếm, toán liệt kê toán tối ưu Trong toán ñó toán ñếm ñược ứng dụng rộng rãi ña dạng Từ cấu hình tổ hợp người ta hình thành nên hệ thống cấu hình tổ hợp mở rộng nâng cao trừ, ứng dụng nguyên lý Phương pháp nghiên cứu Gián tiếp thông qua tài liệu: sách, giáo trình, tạp chí toán học tuổi trẻ, truy cập trang web Trực tiếp thông qua hướng dẫn thầy việc trao ñổi thảo luận với bạn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Công thức xác ñịnh số phần tử hợp số tập hữu hạn Đề tài góp phần nghiên cứu, hỗ trợ học sinh học phần tổ thường ñược dùng nhiều toán ñếm Một công hợp, giải số toán số học mà việc giải chúng có nhiều ứng thức ñó nguyên lý bao hàm loại trừ tập hợp Sử dụng dụng trong lĩnh vực toán học, tin học nguyên lý phối hợp số phương pháp khác tập hợp Nội dung luận văn chẳng hạn phương pháp ánh xạ, ta giải số dạng toán 1) Mở ñầu Trong lý thuyết tổ hợp, nguyên lý bao hàm loại trừ 2) Chương Đại cương tổ hợp phương pháp ñếm nâng cao giải toán ñếm, có nhiều ứng 3) Chương Nguyên lý bao hàm loại trừ dụng hay Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán 4) Chương Ứng dụng nguyên lý bao hàm loại trừ quốc tế, thi Olympic sinh viên trường ñại học cao ñẳng 5) Kết luận toán liên quan ñến dạng hay ñược ñề cập thường thuộc loại khó Chính lý trên, ñã nghiên cứu chọn: “NGUYÊN LÝ BAO HÀM & LOẠI TRỪ VÀ ỨNG DỤNG ” làm ñề tài luận văn thạc sĩ Footer Page of 133 Header Page of 133 CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP Nếu ta ký hiệu số chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử A AR (n, k) 1.1 Sơ lược lịch sử AR (n, k) = nk 1.2 Các quy tắc ñếm 1.2.1 Quy tắc tương ứng – Nếu tồn tương ứng 1.3.2 Chỉnh hợp không lặp • Định nghĩa Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử – phần tử tập hữu hạn A A , A khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử ñã A có số phần tử cho Các thành phần không ñược lặp lại Chỉnh hợp không lặp ñơn Giả sử A , A , A n tập hữu hạn Ta ñịnh nghĩa giản gọi chỉnh hợp tích Đề-các A , A , A n , kí hiệu A × A × A n , tập bao gồm tất có thứ tự ( a1 , a2 , , an ) gồm n thành phần a1 , a2 , , an cho a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , , an ∈ An 1.2.2 Quy tắc nhân Nếu A , A , A n tập hữu hạn A × A × A n tích Đề tập ñó A1 × A2 × × An = A1 A2 An 1.2.3 Quy tắc cộng Nếu A , A , A n tập hữu hạn ñôi rời nhau, tức Ai ∩ AJ = φ i ≠ j Kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử A A(n, k) ta có  n!  A ( n, k ) =  ( n − k ) !  0 1.3 Cấu hình tổ hợp 1.3.1 Chỉnh hợp lặp • Định nghĩa Một hoán vị n phần tử khác cách xếp thứ tự phần tử ñó Hoán vị coi trường hợp riêng chỉnh hợp không lặp chập k n ñó k = n Ta có số hoán vị P(n) = n! 1.3.4 Hoán vị vòng quanh Số hoán vị vòng quanh n phần tử khác ( Qn ) ñược tính công thức Qn = (n − 1)! • Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử ñã cho Các thành phần ñược lặp lại k > n 1.3.3 Hoán vị không lặp A1 ∪ A2 ∪ − ∪ An = A1 + A2 + + An Ở ñây Ai lực lượng ( số phần tử ) tập A i k ≤ n 1.3.5 Tổ hợp • Định nghĩa Một tổ hợp chập k n phần tử khác không kể thứ tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử Footer Page of 133 Header Page of 133 ñã cho Nói cách khác ta coi tổ hợp chập k n phần tử với m = m1 + m2 + + mn khác tập có k phần tử từ n phần tử ñã cho • Hệ Giả sử tập S có n phần tử, ñó có n1 phần tử Nếu ta ký hiệu số tổ hợp chập k n phần tử A C(n, kiểu 1, n2 phần tử kiểu 2, , nk phần tử kiểu k Khi ñó số hoán k) vị n phần tử S  n! ≤ k ≤ n  C (n, k ) =  k!(n − k )! 0 k > n  P ( n ; n , n , , n k Mỗi tổ hợp chập k n phần tử A xem tập ) = n! n ! n ! n k ! 1.4.2 Tổ hợp lặp lực lượng k A Vì C(n, k) số tập lực • Định nghĩa Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử khác lượng k A Với k = 0, có tập A lực lượng tập nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử ñã rỗng nên ta ñịnh nghĩa cách tự nhiên C(n, 0) = Khi cho, ñó phần tử ñược lặp lại ñó ñẳng thức C (n, k ) = • Định lý Giả sử X có n phần tử khác Khi ñó số tổ n! ñúng cho k = k !(n − k )! hợp lặp chập k từ n phần tử X, ký hiệu CR(n, k), 1.4 Cấu hình tổ hợp mở rộng CR(n, k) = C(k + n – 1, n - 1) = C(k + n – 1, k) 1.4.1 Hoán vị lặp 1.4.3 Phân hoạch tập hợp Số Sterling loại số Bell • Định nghĩa Hoán vị lặp hoán vị ñó phần tử Giả sử A tập hữu hạn với A = n , k số nguyên ñược ấn ñịnh số lần lặp lại cho trước Ký hiệu số hoán vị có lặp phần tử a , a , , a n với tham số lặp m1 , m2 , , mn P ( m; m1 , m2 , , mn ) • Định lý Số hoán vị lặp n phần tử khác nhau, ñó phần tử thứ lặp m1 lần, phần tử thứ hai lặp m2 lần, , phần tử S sơ ñồ xếp “tập { X1 , X , , X k } với X1 , X , , X k “tập” ñể ta xếp phần tử A vào ”, R1 ñiều kiện “mọi phần tử A ñều ñược xếp vào “tập” X1 , X , , X k ”, R2 ñiều kiện “với i = 1, , k có phần tử thứ n lặp mn lần m! P (m; m1, m2, mn) = m !m ! m ! n Footer Page of 133 dương Ta giả sử A1 = A A1 ñược xếp vào Xi ” Header Page of 133 10 Khi ñó, cấu hình tổ hợp A1 theo S thỏa mãn ñiều kiện R1 R2 ñược gọi phân hoạch A thành k khối Số tất phân hoạch thành k khối tập A lực lượng 1.4.5 Phân hoạch không thứ tự tổ hợp • Định nghĩa Cho X tập n phần tử khác nhau, số nguyên dương n1 , n2 , , nk p1 , p2 , , pk thỏa n1 p1 + n p + + n k p k = n n ñược gọi số Sterling loại ñược ký hiệu S(n, k) Dễ thấy S(n, k) = k > n Ta quy ước S(n, 0) = Số Tn = S(n, 1) + S ( n, ) + + S(n, n) ñược gọi số Bell Như vậy, số Bell số tất phân hoạch tập A lực lượng n Việc tính S(n, k) Tn ñược trình bày phần ứng dụng nguyên lý bao hàm loại trừ 1.4.4 Phân hoạch thứ tự tổ hợp • Định nghĩa Cho X tập n phần tử khác nhau, r ≤ n S ⊂ X có r phần tử Một phân hoạch {S1 , S2 , , Sn } có thứ tự S gọi phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r X Nếu r = n, gọi số nguyên dương n1 , n2 , , nk thỏa n1 + n2 + + nk = r Số phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r X dạng {S1 , S2 , , Sk } có S1 = n1 , S2 = n2 , , Sk = nk ñược ký hiệu C ( n; n1 , n2 , , nk ) • Định lý3 C ( n; n1 , n2 , , nk ) n! = = P(n; n1 , n2 , , nk , n − r ) n1 !.n2 ! nk ! ( n − r )! C ( n; n1 , n2 , , nk ) ñược gọi hệ số ña thức Footer Page of 133 tập lực lượng n2 , , pk tập lực lượng nk gọi phân hoạch không thứ tự X • Định lý Số phân hoạch không thứ tự X với p1 tập lực lượng n1 , p2 tập lực lượng n2 , , pk tập lực lượng nk C (n; n1 , n1 , n2 , , n2 , nk , , nk ) n! = p1 p p p1! p2 ! pk ! p1!(n1!) p2 !(n2 !) p k !(nk !) k (trong tử số C ( n; n1 , , n1 , n2 , , n2 , nk , , nk ) số n1 lặp lại p1 lần, số n2 lặp lại p2 lần, , số nk lặp lại pk lần) ◊ Ví dụ phân hoạch thứ tự X Cho Một hệ thống tập X gồm p1 tập lực lượng n1 , p2 (i) Số cách chia 21 học sinh vào lớp học buổi sáng, buổi chiều buổi tối, lớp sinh viên C ( 21; 7, 7, ) = 21! ( 7!) (phân hoạch thứ tự) (ii) Số cách chia 21 học sinh thành tổ, tổ học sinh C ( 21; 7, 7, ) 3! = 21! ( 7!) 3! (phân hoạch không thứ tự) Header Page of 133 11 CHƯƠNG NGUYÊN LÝ BAO HÀM VÀ LOẠI TRỪ 2.1 Nguyên lý bao hàm loại trừ dạng kinh ñiển 2.1.1 Công thức (Nguyên lý bao hàm loại trừ cho hai 12 2.1.3 Công thức (Nguyên lý bao hàm loại trừ dạng kinh ñiển) X1 ∪ X ∪ ∪ X n = tập hợp) Có phần tử hợp hai tập hữu hạn phần tử? Số phần tử hợp hai tập A B tổng phần tử tập trừ ñi số phần tử giao hai tập hợp, tức A ∪ B = A + B − A ∩ B +(−1)k +1 ∑ 1≤i1