Số ổn định và tô màu đồ thị.DOC

Số ổn định và tô màu đồ thị

Chơng 2

Số ổn định và tô màu đồ thị

I Số ổn định trong, số ổn định ngoài, nhân đồ thị

1 Số ổn định trong

Cho đồ thị vô hớng G = <X, U> và A  X

a) Tập A gọi là tập ổn định trong của đồ thị nếu hai đỉnh bất kỳ trong A là không kề nhau, tức là không có một cạnh nào của đồ thị chứa hai đỉnh x và y b) Tập A gọi là tập ổn định trong cực đại của đồ thị G nếu:

- A là tập ổn định trong

- Nếu thêm vào A một đỉnh ngoài A thì A không phải là ổn định trong

Gọi L là tập hợp các tập ổn đỉnh trong của của G = <X,U> Khi đó ký hiệu (G)G)

= Max {A / A L} và (G)G) đợc gọi là số ổn định trong của đồ thị G Nh vậy

(G)G) là số phần tử của 1 tập ổn định trong cực đại nào đó

2 Số ổn định ngoài

Cho đồ thị vô hớng G = <X,U> và B  X

a) Tập B đợc gọi là tập ổn định ngoài của đồ thị nếu với mỗi phần tử y  X \ B

đều tồn tại x  B sao cho có cạnh nối giữa x và y, B còn đợc gọi là tập thống trị của đồ thị

b) Tập B đợc gọi là tập ổn định ngoài cực tiểu nếu:

- B là tập ổn định ngoài

- Nếu bớt 1 phần tử bất kỳ của B thị B không còn là tập ổn định ngoài

Gọi M là tập của tất cả các tập ổn định ngoài của G = <X,U> Khi đó ký hiệu

(G)G) = Min { / B M} và (G)G) đợc gọi là số ổn định ngoài của đồ thị G

Đối với các tập ổn định ngoài, ta thờng quan tâm đến tập ổn định ngoài có số phần tử ít nhất vì lực lợng của nó liên quan tới số ổn định ngoài của đồ thị

3 Nhân đồ thị

Cho đồ thị vô hớng G = <X, U> Nếu tập A  X vừa là tập ổn định trong vừa

là tập ổn định ngoài của đồ thị G thị A đợc gọi là nhân của đồ thị

Đối với nhân của đồ thị, ta quan tâm tới nhân có số phần tử ít nhất

Hình 1.1

Ví dụ : xét đồ thị hình 1.1 ta có:

Các tập ổn định trong của đồ thị là:

A1 = {1, 5, 7} A6 = {2, 6, 7}

A2 = {1, 6, 7} A7 = {4, 5, 7}

A3 = {3, 5, 7} A8 = {4, 6, 7}

A4 = {3, 6, 7} A9 = {2, 4, 5, 7}

A5 = {2, 5, 7} A10 = {2, 4, 6, 7}

Tập A9 và A10 là các tập ổn định trong cực đại có 4 phần tử vì nếu thêm 1 đỉnh mới nữa vào các tập đó thì chúng không còn là tập ổn định trong nữa Số ổn định trong của đồ thị trên là (G)G) = 4

Với đồ thị trên các tập ổn định ngoài cực tiểu là B1 = A1; B2 = A2; B3 = A3; B4 = A4 Vì các tập này nếu bớt đi 1 trong các phần tử của chúng thì tập còn lại không

là tập ổn định ngoài nữa Số ổn đỉnh ngoài của đồ thị này là (G)G) = 3 Nhân của

đồ thị trên là B1, B2, B3, B4 vì các tập này là tập ổn định trong và đồng thời cũng

là tập ổn định ngoài

4 Các thuật toán tìm các tập ổn định trong cực đại, ổn định ngoài cực tiểu.

4.1 Thuật toán tìm số ổn định trong

- Bớc 1: Tìm các tập ổn định trong có 2 phần tử bằng cách xét tất cả tổ hợp chập

2 của n phần tử (G)n số các đỉnh), kiểm tra những tập nào mà phần tử của ma trận

kề tơng ứng bằng 0 thì tập đó là ổn định trong

- Bớc 2: Duyệt từng tập có 2 phần tử và bổ sung thêm phần tử thứ 3 và kiểm tra

từng cặp nh bớc 1, tập nào thoả ta đợc tập ổn định trong 3 phần tử

- Bớc k: Giả sử đã tìm đợc m tập con ổn định trong có k + 1 phần tử

+ Duyệt từng tập và bổ sung vào các tập đó thêm 1 phần tử

+ Nếu không có tập nào bổ sung đợc nữa thì dừng

4.2 Thuật toán tìm số ổn định ngoài

Xét G = <X,U> với X = {x1, x2, ,xn}

2

3

7

- Bớc 1: Xác định các tập xi) i = 1 n với xi) = {xi và các đỉnh kề với xi}

- Bớc 2: Từ các tập x1), x2), ,xn) ta tìm tập B

B = {xk1 , xk2 , , xkm} sao cho xk1)  xk2)  xkm) = X

Khi đó B là tập ổn định ngoài cực tiểu

5 ứng dụng đồ thị trong lập trình chơi cờ Ca rô

Ta xét một ứng dụng của đồ thị cho bài toán lập trình chơi cờ Ca rô trên máy tính Cờ carô là loại cờ mà rất nhiều bạn trẻ đặc biệt giới sinh viên học sinh a thích Quy tắc và cách thức chơi đơn giản, nhng nó thực sự là bài toán tin rất hay, là bài lập trình thể hiện nhiều t duy thuật toán, cũng nh cơ sở về trí tuệ nhân tạo cho việc lập trình trò chơi giữa ngời và máy

Ta xét ứng dụng của đồ thị phục vụ cho bài toán lập trình trò chơi Carô

Xét một thế cờ Carô nh hình 1.2.a

x2 x4 x3

Hình 1.2

Cấu trúc dữ liệu cho thế cờ này có thể dùng bảng ma trận nh hình 1.2.b, với 0

là vùng trắng, 1 là quân "o" và 2 là quân "x" Nhng nh vậy việc tính toán sẽ rất khó khăn, ta có thể dùng đồ thị làm cấu trúc dữ liệu cho thế cờ Carô, khi đó việc tính toán sẽ dễ dàng đi và tận dụng những tính chất đã nghiên cứu về đồ thị thì bài toán lập trình trò chơi carô sẽ trở nên thuận lợi hơn nhiều

a) Mô hình bằng đồ thị theo vị trí liền kề

Ta xây dựng 1 đơn đồ thị theo nguyên tắc sau

- Mỗi 1 quân "x" hoặc quân "o" thì tơng ứng với một đỉnh

- Hai đỉnh là kề nhau nếu tơng ứng với 2 quân ở vị trí liên tiếp nhau

- Mỗi một cạnh đợc gán một nhãn, nhãn cho biết 2 đỉnh kề nhau là kề đứng, kề chéo hay là kề ngang trong thế cờ Ta gán tên nhãn nh sau: thẳng ngang nhãn là

1, thẳng chéo trái là 2, thẳng dọc nhãn là 3, thẳng chéo phải là 4 (G)xem hình 1.3.a)

0 1 0 2

A = 0 0 2 2

0 2 0 0

1 0 0 1

a) b)

Hình 1.3 a) Cách đánh nhãn b) Đồ thị cho thế cờ hình 1.2.a

Ví dụ đồ thị nh hình 1.3.b là thể hiện cho thế cờ hình 1.2.a

Trong luật chơi cờ carô nếu quân "x" đi trớc thì ngay sau đó là quân "o" đi sau, tiếp tục lại "x" rồi lại "o" Chính điều này ta có thể coi những quân "x" tơng ứng là những đỉnh số lẻ, quân "o" tơng ứng những đỉnh số chẵn hoặc ngợc lại Trong 1 thế cờ Carô nếu tồn tại 1 dãy 5 quân liên tiếp của "x" hoặc "o" đ ợc sắp thẳng hàng ngang, thẳng hàng dọc hoặc thẳng hàng chéo thì thắng Với đồ thị nếu tồn tại một đờng đi các cạnh cùng nhãn gồm 5 đỉnh số lẻ, hoặc số chẵn thì thế cờ thắng cho tơng ứng quân "x" hoặc quân "o"

Xét đồ thị hinh 1.3.b đã có 1 đờng đi cùng nhãn 4 gồm 3 đỉnh cùng quân x1, x2, x3 Nếu ta thêm 1 đỉnh x6 kề với đỉnh o2 sao cho cạnh (G)o2, x6) có nhãn 4, sau cùng ta thay đỉnh o2 bằng đỉnh x5 thì bây giờ ta có 1 đờng đi cùng nhãn 4 gồm 5

đỉnh quân "x" (G)x1, x2, x3, x5, x6) và ta có 1 thế cờ thắng cho quân x

Nhận xét:

- Với mô hình này ta sẽ không thể thấy đợc đầy đủ mối quan hệ giữa các đỉnh,

nh đồ thị hình 1.3.b đỉnh o3 là đỉnh cô lập, trong thế cờ hình 1.2.a o1 có mối quan hệ thẳng hàng với x1 và x3 nhng trong đồ thị tơng ứng ta không nhìn thấy

đợc mối quan hệ này nên khó tính toán đợc nớc đi cho lần sau Mà mối quan hệ

"thẳng hàng" giữa các quân là quan trọng trong bài toán lập trình trò chơi carô

- Mô hình này chỉ thích hợp cho việc lập trình khi mà chỉ chơi giữa ngời với

ng-ời, lúc này bài toán chỉ là tìm đờng đi cùng nhãn gồm 5 đỉnh cùng quân, không phải là bài toán tính nớc đi cho các bớc tiếp theo

b) Mô hình bằng đồ thị theo mối quan hệ thẳng hàng.

Cách xây dựng này tơng tự nh cách thứ nhất nhng có những đặc điểm sau:

- Hai đỉnh x và o là kề nhau nếu tơng ứng với 2 quân x và o mà chúng có mối quan hệ là thẳng hàng với nhau

4 1

x

1

x

2

x

3

o2

o

1

x

4

o

3

4

4

4

2

1 3

- Trên mỗi cạnh ngoài nhãn thể hiện mối quan hệ thẳng hàng, ta thêm 1 trọng số

đờng đi, trọng số của cạnh (G)x, o) là số ô đi thẳng hàng từ quân x đến quân o trong thế cờ

- Hai đỉnh x và o chỉ đợc kề nhau khi trọng số cạnh (G)x, o) không quá 4

x 5

Hình 1.4

Ví dụ xét thế cờ nh hình 1.4.a và hình 1.4.b thì đồ thị tơng ứng của nó nh hình 1.5.a và hình 1.5.b

Hình 1.5

Mỗi cạnh của đồ thị, nhãn đặt trớc trọng số, trọng số đứng sau cách nhãn bởi dấu phẩy Xét thế cờ 1.4.a từ quân x1 đến quân x2 cách nhau 1 ô nếu tính từ x1 nên trọng số cạnh (G)x1, x2) là 1, quân x1 cách x3 2 ô nên trọng số (G)x1, x3) là 2 Ta thấy x1, x2, x3 đều thẳng hàng dọc nên nhãn là 3, và tơng tự đánh nhãn và trọng

số cho các cạnh còn lại ta có đồ thị nh hình 1.5.a Nh vậy nếu tồn tại 1 đờng đi cùng nhãn và có trọng số 1 gồm 5 đỉnh cùng quân thì thế cờ thắng, ở đồ thị hình 4.a đờng đi thắng cho quân x là (G)x1, x2, x3, x4, x5)

Trong kỹ thuật chơi cờ Ca rô, nớc đi có lợi nhất là nớc có tạo đợc nhiều khả năng dẫn đến thế cờ thắng, ví dụ thế cờ nh hình 1.4.b thì ví trí của o1 là 1 trong những nớc có lợi nhất, vì nếu ta thay o1 bằng x4 thì quân x có thêm 3 khả năng

x

1

x

2

x

4

x

5

o

1

x

2

x

3

o

2

o

3

phát triển nớc dẫn đến thế cờ thắng nh (G)x4, x2); (G)x4, x1); (G) x4, x3), nếu với đồ thị

t-ơng ứng thì x4 là phần tử thống trị tập {x1, x2, x3} Nếu vẫn giữ vị trí o1 nh ban

đầu thì quân "o" đã ngặn chặn đối phơng có hiệu quả vì o1 đã thống trị {x1, x2, x3}, và ta thấy còn có o2 thống trị {x1, x2, x3} ngăn chặn đợc thế sắp thắng theo thẳng chéo {x1, x2, x3} (G)xem đồ thị hình 1.5.b) Nh vậy ở góc độ đồ thị thì ta tìm tập thống trị (G)tập ổn định ngoài cực tiểu), ở đồ thị này {o1, o2} là 1 tập thống trị

Nhận xét:

- Với mô hình này ta có u điểm là nhìn rõ trớc đợc mối quan hệ giữa các đỉnh, tuy vậy nếu có 2 đỉnh không thẳng hàng thì chúng cô lập nhau, nhng điều thờng xảy ra khi số đỉnh là nhỏ ta dễ dàng kiểm soát đợc thế cờ Hơn nữa hầu nh ta chỉ quan tâm những quân có mối quan hệ thẳng hàng, để khắc phục nhợc điểm ta có thể dựa vào mối quan hệ "tay ba" bằng cách đa thêm đỉnh "ảo"

- Khi số đỉnh càng lớn, càng thêm những đỉnh có mối quan hệ thẳng hàng thì số bậc của mỗi đỉnh tăng, nhng quy luật cờ ca rô nên chỉ những đỉnh thẳng hàng

mà cách nhau không quá 4 ô mới ảnh hởng lẫn nhau, nên 2 đỉnh kề nhau nếu trọng số của chúng  4 Có 8 hớng thẳng hàng (G)xem hình 1.3.a), nên một đỉnh

có tối đa là 8.4 = 32 bậc

- Khi một đỉnh có số bậc là 32 thì có thể loại bỏ khỏi đồ thị, vì nó không còn

ảnh hởng đến những đỉnh khác Nhãn và trọng số của cạnh có thể là khoá phục

vụ cho việc xử lý và tìm kiếm, tra cứu thông tin khi cần thiết

II tô màu đồ thị

1 Sắc số đồ thị

Sắc số đồ thị G là số màu tối thiểu cần dùng để tô màu các đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau

Ta ký hiệu sắc số của đồ thị G là (G)G)

Định lý 1: Cho đồ thị n đỉnh G = <X, U> Nếu đồ thị là đầy đủ thì sắc số của nó

bằng số đỉnh của đồ thị, tức là (G)G) = n

Chứng minh:

Với n = 1 thì (G)G) = 1

Giả thiết đúng với n k cần chứng minh đúng với n = k +1

Xét đồ thị k + 1 đỉnh X = {x1, x2, , xk, xk+1}

Nếu trong đồ thị G ta bỏ đỉnh xk+1 còn lại là 1 đồ thị với k đỉnh Đối với phần còn lại theo giả thiết quy nạp ta cần k màu

Xét đỉnh xk +1, vì đồ thị là đầy đủ nên đỉnh xk+1 nối với các đỉnh còn lại, cho nên

để tô đỉnh xk+1 cần màu khác với màu đã tô nên số màu sẽ là k + 1 màu

Hệ quả: Nếu đồ thị G chứa một đồ thị con đẳng cấu với Km thì (G)G)  m

Định lý 2: Giả sử G = <X, U> là đồ thị vô hớng (G)G) = 2 khi và chỉ khi trong G không có chu trình độ dài lẻ

- Điều kiện đủ: Giả sử G không có chu trình độ dài lẻ Ta chỉ ra (G)G) = 2 Thật vậy, ta tô màu các đỉnh của G theo nguyên tắc sau: Nếu x  X đợc tô màu xanh thì các đỉnh kề của x là y, z lại tô màu đỏ Tiếp theo các đỉnh kề của y, z, lại tô màu xanh Cứ nh vậy, do số đỉnh hữu hạn và G liên thông nên tất cả các đỉnh trong X sẽ đợc tô hoặc xanh hoặc đỏ và không có một đỉnh nào đợc tô cả hai màu xanh, đỏ đồng thời, vì nếu có điều đó xảy ra thì sẽ có một chu trình độ dài

lẻ đi qua x (G)trái với giả thiết) Hay (G)G) = 2

- Điều kiện cần: Giả sử (G)G) = 2 Dễ thấy rằng chỉ dùng 2 màu để tô các đỉnh của G thì trong G phải không có chu trình độ dài lẻ, vì nếu có chu trình độ dài lẻ thì tô màu các đỉnh theo quy tắc trên sẽ có ít nhất một đỉnh đợc tô đồng thời cả 2 màu

Định lý đợc chứng minh

Hình 2.1

Ví dụ : Hình 2.1 đồ thị G1 không có chu trình độ dài lẻ, còn G2 có chu trình độ

dài lẻ Trong G1 nếu ta tô đỉnh a bởi màu xanh thì đỉnh b, c tô màu đỏ Vì b màu

đỏ nên d, e tô màu xanh Ta thấy G1 không có chu trình lẻ và (G)G) = 2

Xét G2 có chu trình độ dài lẻ nên không thể tô bằng 2 màu, mà phải dùng 3 màu: xanh, đỏ và vàng

Định lý 3: Giả sử G = <X,U> là đồ thị vô hớng với số đỉnh là n Khi đó số ổn

định trong (G)G) và sắc số (G)G) thoả mãn bất đẳng thức:

(G)G) (G)G) n

Chứng minh: Đặt (G)G) = s, theo định nghĩa của sắc số thì dùng s màu để tô các đỉnh trong X theo nguyên tắc hai đỉnh kề phải tô bằng 2 màu khác nhau

a

b

c

e d

a

b

c

d

Cách tô màu nh trên lập nên một phân hoạch tơng đơng trên tập X: X1 

X2 Xs, Xi  Xj =  (G)i  j), ở đây nếu ta đánh số các màu từ 1, 2, ,s thì Xi gồm các đỉnh cũng đợc tô màu i (G)i = 1,2, ,s) Mặt khác theo định nghĩa số ổn

định trong thì Xi (G)G) (G)i = 1, ,s) Từ đó ta có đánh giá:

X n= X1 + X2 + + Xi + +Xs  s.(G)G)

Hay (G)G) (G)G) n Định lý đợc chứng minh

2 Tô màu đồ thị phẳng

2.1 Đồ thị phẳng

Xét đồ thị G = <X,U> đợc gọi là phẳng nếu có thể biểu diễn đợc trên mặt phẳng sao cho bất kỳ hai cạnh nào cũng không cắt nhau ngoài đỉnh (G)nếu có)

Ví dụ: Xét đồ thị nh hình 2.2.a 1 là đồ thị phẳng vì nó đợc biểu diễn cách khác

ở dạng mặt phẳng không có cạnh cắt nhau nh hình 2.2.a 2 Tơng tự đồ thị ở hình

2.2.b 1 là đồ thị phẳng vì nó có thể biểu diễn ở dạng mặt phẳng nh hình 2.2.b 2

Hình 2.2

* Các cạnh của đồ thị phẳng chia mặt phẳng thành nhiều miền, mỗi miền gọi là

một mặt của G Những cạnh nằm bên trong mặt f nào đó hoặc là cạnh giới hạn

của mặt f với một mặt khác gọi là cạnh biên của mặt f

2.2 Định lý 5 màu (Kempe - Heawood)

Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 5.

c

d

c

d

g

f

e

e

h

Chứng minh: Xét một đồ thị G có n đỉnh Dùng phép chứng minh quy nạp trên

n ta có:

Trờng hợp G có một đỉnh hiển nhiên đúng

Giả sử mọi đồ thị phẳng có n đỉnh (G)n 1) đều có thể tô bằng 5 màu Coi một đồ thị phẳng có n + 1 đỉnh Có thể giả sử G là đơn đồ thị Vì G phẳng nên có một

đỉnh bậc  5 Loại bỏ đỉnh x này khỏi G, ta nhận đợc một đồ thị phẳng mới có n

đỉnh Tô màu cho đồ thị mới này bằng năm màu, do giả thiết qui nạp trên điều này thực hiện đợc Bây giờ đa đỉnh x vào lại đồ thị

Nếu các đỉnh kề với x đợc tô bằng ít hơn 5 màu thì tô màu x bằng một trong 5 năm khác màu các đỉnh kề với x là xong : đồ thị G đã đợc tô bằng 5 màu

Vậy chỉ xét trờng hợp m(G)x) = 5 và 5 đỉnh kề với x đợc tô bằng 5 màu nh hình 2.3 sau:

Hình 2.3

Xét tất cả các đờng trong G bắt đầu từ a và gồm các đỉnh chỉ tô bằng màu 1 và màu 3, trong các đờng này nếu không có đờng nào đi qua đỉnh c thì ta có thể thày đổi màu các đỉnh trên, tất cả các đờng nói trên theo cách đổi màu 1 thành màu 3 và có thể tô đỉnh x màu 1 Nếu có một đờng từ a đên c gồm toàn các đỉnh chỉ tô bằng màu 1 và màu 3 thì đờng này cộng thêm hai cạnh e1 = (G)x, a) và e2 = (G)c, x) sẽ tạo thành một chu trình Hai đỉnh b, d không thể nằm cùng bên trong hoặc cùng bên ngoài chu trình này đợc Suy ra không có đờng nào từ b đến d gồm các đỉnh chỉ tô màu 2 và màu 4 theo cách đổi màu 2 thành màu 4 và ngợc lại Lúc này, b và d có cùng màu 4 và ta có thể tô đỉnh x bằng màu 2

2.3 Bài toán 4 màu (Appel - Haken)

Phát biểu: Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 4.

Bài toán 4 màu đợc phát biểu nh trên đợc chứng minh bằng phép thử trên máy tính trong nỗ lực nhằm thay thế cho định lý 5 màu

3 Ví dụ ứng dụng

Vấn đề tô màu đồ thị cũng có nhiều ứng dụng thực tế nh tô màu bản đồ, công tác lập lịch Với đồ thị phẳng ta có thể mô hình cho một bản đồ, trong đó mỗi miền bản đồ thì tơng ứng là một đỉnh, hai miền có chung đờng biên thì tơng ứng

a

b c

d

e

x

5

1

2 3

4

với 2 đỉnh kề nhau Khi tô màu bản đồ thì 2 miền kề nhau (G)chỉ chung đờng biên không kể chung điểm biên) phải có màu khác nhau Nh vậy vấn đề tìm số màu tối thiểu để tô bản đồ, tơng ứng với việc tìm sắc số cho đồ thị phẳng Vào năm

1850 ngời ta đã chỉ ra 1 cách tô bản đồ nớc Anh chỉ cần 4 màu, điều này là 1 thể hiện cho bài toán 4 màu

* Trong nhiều bài toán tin học, ta hay bắt gặp bài toán lập lịch Vấn đề tô màu

đồ thị có thể ứng dụng để giải quyết bài toán này

Ta xét một ví dụ ứng dụng, trong một phòng về phần mềm có các nhóm lập trình nh sau:

1 - Hệ thống: A, B, C

2 - Multimedia: A, F, G

3 - Thơng mại: B, D, E

4 - Về mạng: C, F, A

Các chữ cái là tên cho các thành viên, mỗi thành viên có thể tham gia nhiều nhóm khác nhau Hàng tháng mỗi nhóm họp một lần để thảo luận các dự án mới

và phân chia công việc, hãy lập lịch họp cho các nhóm để sao cho không ai họp trùng nhiều nhóm trong cùng 1 thời gian

Nh vậy sắp lịch sao cho những nhóm nào có chung ít nhất một thành viên thì không thể họp cùng một thời điểm Gọi mỗi nhóm là một đỉnh của đồ thị, những nhóm nào cùng chung ít nhất một thành viên thì tơng ứng 2 đỉnh kề nhau, ví dụ

nh nhóm 1 và 2 cùng chung thành viên A thì đỉnh 1 và 2 kề nhau, ta biểu diễn

đồ thị nh hình 2.4

Hình 2.4

Ta có thể tô màu đồ thị nh trên với X: xanh; Đ: đỏ; V: vàng Từ đồ thị ta có lịch sắp xếp các cuộc họp nh sau:

1 4

2

3

Đ X