Bài tập toán 9 bd HSG

x −1− x − + x + − x − Bài 1:Tìm giá trị nhỏ y= Giải: ≥ x + x −1 + x − x −1 Điều kiện:x Bài 2:Cho y=f(x)= Ta biến đổi: a)Giải phương trình f(x) =2 y = x − − x − +1 + x − − x − + b)Tìm giá trị bé hàm sốy=f(x) y = ( x − − 1) + (3 − x − 2) Giải: y= a + b ≥ a+b x − −1 + − x − a)vận dụng: Áp dung M ≥ M dấu “=” xảy ⇔ f ( x) = ≥ 1≤ x ≤ Với Ta có: f(x)=2 x −1  x − − ≥ ⇔1≤ x − ≤  − x − ≥  ⇔ ≤ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ 11(tmdk Xét x>2 f(x)= >2.1=2 ) Vậy GTNN y =2 ⇔ ≤ x ≤ 11 Bài 3: − x + 1+ x a) Cho biểu thức M= b) Tìm giá trị lớn x−2 + 4− x hàm số y= Giải: −1 ≤ x ≤ a)ĐK: Ta có M>0 nên MGTLN ⇔ M GTLN x −1 −1 b)Ta có M y ≥ x − −1+ − x − = Dấu “=” xảy x −1 +1 + Tìm giá trị x để biểu thức M lớn M = − x + + x + (2 − x)(1 + x) 9 − x + x − = + − ( x − )2 4 1 ⇔ x− =0⇔ x= 2 = + 2 + x − x2 = + 2 M GTLN x= Vậy với 2− 1 + 1+ = 2 GTLN M= 2≤x≤4 b)ĐK: Vì y>0 nên y đạt GTLN ⇔ y2 đạt GTLN Tương tự câu a(áp dụng thêm BĐT CôSi)Ta có GTLN y=2 2x2 + ⇔ x=3 y2 + =4 x2 Bài 4:Cho số x,y thỏa mãn: Tìm x,y để tích xy nhỏ Giải: Để áp dụng BĐT Cô si với số không âm ta phân tích: y2 y2 2 2x + + =x + +x + x x M= Từ ta áp dụng BĐT Cô si: 2 y ≥2 x + x = + xy x M ≥ + xy ⇔ xy ≤ ⇔ −2 ≤ xy ≤ ⇒ xy ≥ −2 Do M=4 nên: Và dấu “=” xảy   x = x  x =  x = −1 y2 ⇔ , x + + = ⇒ ;  2 y = − x y  y = x2 =  Vậy tích nhỏ -2  x =  x = −1 ;  ⇔  y = −2  y =  1 −  x Bài 5:Cho hai dương x,y có tổng 1,tìm giá trị nhỏ   ÷1 − ÷  y  Giải: Ta viết:       ( x + 1) ( y + 1) ( x − 1) ( y − 1) xy + xy = 1 + ÷1 − ÷1 + ÷1 − ÷ = = = 1+ y  y  xy xy xy xy xy  x  x   x + y ≥ xy ⇔ xy ≤ Ta biết x,y hai số dương x+y =1 nên B ĐT Cô sic ho ta : xyGYLN ⇔ xy = nên ⇔x= y= dấu “=” xảy Từ MGTNN=1+8=9 ⇔x= y= Vậy GTNN M =9 Bài 6:Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn điều kiện Giải: Ta có 1 + + =2 1+ a 1+ b 1+ c Tìm giá trị lớn biểu thức abc 1 1    b c  + + =2⇔ = 1 − + ÷+  − ÷= 1+ a 1+ b 1+ c a +  1+ b   1+ c  1+ b 1+ c x + y ≥ xy Áp dụng BĐT Côsi với hai số dương x>0,y>0 1 bc + + ≥2 (1) 1+ a 1+ b 1+ c (1 + b )(1 + c ) Do đó: (Vì a,b,c ba số dương) 1 ca + + ≥2 (2) 1+ a 1+ b 1+ c (1 + c )(1 + a ) Tương tự: 1 ab + + ≥2 (3) 1+ a 1+ b 1+ c (1 + a )(1 + b ) 1 a 2b 2c ≥8 1+ a 1+ b 1+ c (1 + a ) (1 + b) (1 + c) Từ (1),(2),(3) cho ta: Bài 7:Cho số thực a;b;c khác thỏa mãn: a + b + c= abc a2 = bc Chứng minh : a2 ≥ HD: Từ giả thiết : a + b + c= abc suy b + c = a3 – a b.c = a2 Do b, c hai nghiệm phương trình: Vì phương trình (1) có nghiệm nên x − ( a3 − a ) x + a = ∆ = a ( a + 1) ( a − 3) ≥ Vì a2,a2 +1 không âm nên a2 - không âm Suy a2 Bài 8:Cho (1) x y z t = = = y+ z+t z +t + x t+ x+ z x+ y+ z ≥3 ( đpcm) M= Tính giá trị biểu thức x+ y y + z z +t t + x + + + z+t t + x x+ y z + y x y z t +1 = +1 = +1 = +1 y + z +t z +t + x t+x+ y x+ y+z x + y + z +t y + z +t + x z +t + x + y t + x + y + z Hay = = = y+ z+t z +t + x t+x+ y x+ y+z HD: Từ giả thiết suy ra: Nếu x+y+z+t = M = -4 Nếu x+y+z+t#0 suy x=y=z=t nên M=4 x−3 2004 + x−4 2005 =1 Bài 9:Giải pt: Ta có: x = x = nghiệm pt x − = − x > + Nếu x 1 +Nếu x>4 Do pt vô nghiệm +Nếu 34 Do pt... ;  2 y = − x y  y = x2 =  Vậy tích nhỏ -2  x =  x = −1 ;  ⇔  y = −2  y =  1 −  x Bài 5:Cho hai dương x,y có tổng 1,tìm giá trị nhỏ   ÷1 − ÷  y  Giải: Ta viết:     