Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (LV thạc sĩ)
Trang 1
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN
VIỆN TOÁN HỌC
NGUYEN HUYEN TRANG
ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SO CHO TẬP
GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2015
Trang 2
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN
VIỆN TOÁN HỌC
NGUYEN HUYEN TRANG
DINH LY SARD NUA DAI SO CHO TAP
GIA TRI TOI HAN SUY RONG
Chuyên ngành: Hình học và tô pô Mã số: 60 46 01 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS DINH SĨ TIỆP
Hà Nội - 2015
Trang 3Định lý Sard là một trong những định lý quan trọng, và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Định lý Sard được phát biểu như sau:
Dinh ly: Cho f : R" > RẺ là ánh za kha vi vd han, U la tap mé trong
R" Dat S = {x €U: rank (df,) < k}, tập các điểm tới hạn của ƒ Khi
do Ky (f) = f (©) C R*, tập các giá trị tới hạn của f, c6 do do Lebesgue
bằng không
Nếu Đ = 0 (ƒ (>) = Ø) và ƒ là riêng thì theo định lý phân thé Ehres- mamn, ƒ là phân thớ tầm thường địa phương Hơn nữa nếu Ð # ñ và ƒ
là riêng thì ƒ là phân thớ tầm thường địa phương trên IR*\ƒ (3)
Goi B(f) la tap các y € R* sao cho ƒ không phải là phân thớ tầm
thường địa phương tại y, hay tap các giá trị rẽ nhánh của ƒ Dễ thấy
B(f) Đ Ko(7ƒ) Nêu ƒ khơng riêng, nói chung Ư (ƒ) # Ko (ƒ) (Xem Ví
dụ 3.24) Việc đặc trưng Ö (ƒ) vẫn là một câu hỏi mở ngay cả cho trường hợp ƒ là đa thức
Xót ƒ : R" —› IR* là ánh xạ nửa đại số, khả vi vô hạn Theo [8],
B(f) C K(f) = Ko(f) U Ko (f) v6i Koo (f) 1a tap cdc gid tri téi han
tại vô hạn của ƒ được định nghĩa như sau
ụ €IRẺ: 3z, € R”, |\a1|| > oe,
fei) > y, 0 + lleu)u(df (ai) > 9
K(f) =
với 1 là hàm Rabier (xem Định nghĩa 3.2)
Mục đích chính của luận văn này là tìm hiểu Định lý Sard nửa đại
số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng # (ƒ)(Định lý 4.1) Dinh ly nay
khẳng định tập K (7) là một tập "bé"(có độ đo Lebesgue bằng 0) và
do đó ƒ là phân thớ tầm thường địa phương trên một tập đủ lớn mà cụ thể hơn là tập nửa đại số mở trù mật của IRẺ
Luận văn cấu trúc gồm bốn chương Chương 1 trình bày kiến thức
về Giải tích hàm và Hình học vi phân Chương 2 trình bày khái niệm
cơ bản của hình học nửa đại số như tập nửa đại số, hàm nửa đại số và trình bày Định lý 'Tarski-seidenberg và một số hệ quả Chương 3 trình
Trang 4nhánh Trong Chương 3 tác giả cũng trình bày kỹ một vài ví dụ minh
họa cho các tập trên Chương 4 trình bày nội dung và chứng minh cụ thể của Định lý Sard nửa đại số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Đinh Si Tiệp
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy, người hướng
dẫn khoa học của mình, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá
trình nghiên cứu của tôi Đồng thời tôi cũng xin được chân thành cảm
ơn các thầy cô phản biện đã đọc kỹ bản thảo luận văn và chỉ dẫn cho
tôi những ý kiến quý báu
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Viện Toán học-Viện Khoa hoc và Công nghệ Việt Nam, Trung tâm đào tạo sau đại học và các thầy cô trong tổ hình học và topo đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ tục hành chính để tơi hồn thành bản luận văn này
Cuối cùng tôi xin được bày tổ sự biết ơn tới gia đình, người thân và
bạn bè về những lời khích lệ động viên tôi trong suốt quá trình học tập, để tôi có thể vượt qua mọi khó khăn và đạt kết quả như ngày hôm nay
Do điều kiện về thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận
văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận
được sự chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô và bạn bè để luận văn được hồn thiện hơn
Tơi xin chân thành cám ơn!
Hà Nội, năm 2015
Học viên
Trang 5AxB (u,v) AS Sx(z, R) Bx(z, R) grad f(a) R [x1, ,2n] Ƒ II Jịp Tập các số tự nhiên Tập các số thực Tập các số thực dương Không gian thực ø chiều Tích đề các của hai tập hợp A và Ư
Tích vơ hướng của hai vecto œ và 0 Bao đóng của A trong không gian topo Phan trong cia A
Mặt cầu tam x ban kinh R trong không gian X Hình cầu mở tâm x ban kính #‡ trong không gian X Gradient cua f tai a
Không gian các đa thức hệ số thực Toán tử liên hợp của toán tử ƒ Chuẩn Euclide trén R”
Trang 6LỜI NÓI ĐẦU 2
BẢNG KÍ HIỆU 4
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số khái niệm và định lý của giải th hàm 1.2 Một số khái niệm và định lý của độ do .- 13 Phânthố .Ặ.Ặ xo 10 2_ Hình học nửa đại số 11 2.1 Tập nửa đại SỐ Q2 11 211 Định nghĩa và vídụ ẶẶẶ HH 2.1.2 Dinh lý Tarski-Seidenberg và hệ quả 14 2.2 Hamnitadais6 00 000000 cee ee 18 3 Ham Rabier va tap các giá trị tới hạn suy rộng của hàm số 25 3l Hàm Rabler ee 25
3.2 Tập các giá trị tới hạn suy rộng ee ee 42
Trang 7Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này tác giả nhắc lại một số kiến thức về Giải tích hàm và
Hình học vi phân cần thiết để định nghĩa hàm Rabier và tập các giá trị
tới hạn, đồng thời được sử dụng trong chứng minh Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (Định lý 4.1)
1.1 Một số khái niệm và định lý của giải tích hàm
Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian tuyến tính trên trường R Ta noi
|.|| là chuẩn trên X nếu nó thỏa 3 tinh chat sau: 1)||z|| > 0,vz e X;||z||=0 z =0 2)||kz|| = |k|.||+||;W X,k eR
3)|lz + s|| < llzl| + llu|l,Vz, u € *
Nếu ||[.|| là chuẩn trên X, ta mới (X, |.||) là không gian tuyến tính
định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn)
Trang 8gian định chuẩn sao cho mọi đấu Cauchy (tuong ting voi metric d(x, y) = lz —y||) déu c6 gidi han trong X
Cho X va Y là các không gian banach trên R Tập hợp các ánh xạ
tuyến tính liên tục ƒ : X —> Y được ký hiêu là £(X,Y)
Néu Y = R ta dat X’ = L(X,R)
Nhận xét 1.3 1) Với các không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì mọi
toán tử tuyến tính đều liên tục
2) /(X,Y) với chuẩn ||A|| = sup |{Aa||, A €
zeX,|lzl| = 1
£(X,Y) là không gian Banach
Định nghĩa 1.4 Cho một không gian tuyến tính X trên R Ham 86
ƒ:X — được gọi là dưới tuyến tính nếu
Ƒ(az) = œƒ(z);Vx € X,Vo €R¿ ƒ(œ +) <ƒ()+ ƒ();V+,u € Ä
Định nghĩa 1.5 Ánh zạ tuyến tính ƒ : X —> IR được gọi la phiém ham
tuyến tính
Định nghĩa 1.6 Cho A oà B là hai tập hợp con của không gian định
chun X Ta noi siéu phang H = {x € X: f(x) =a € R} tach A uà B niếu:
Va € A, f(z) <a Ve € B, f(x) 2a
Dinh li 1.7 (Dinh ly Hahn—Banach dang gidi tich) Gia si f:X +R
là dưới tuyến tính uà yp: U — R la mét phiém ham tuyén tính trên một
khong gian con U ctia X Néu ¿ bị chặn trên bởi ƒ trên U (|e@(z)| <
Trang 9
ƒ(z),V+ € U) thì tồn tại một mở rộng tuyến tính : X > R của yp (w (x) = p(x) , Vx €U) cting bi chan trên bởi ƒ trên X
Dinh li 1.8 (Dinh ly Hahn—Banach dang hinh hoc) Cho A va B la hat
tập hợp khác rỗng, lồi, uà rời nhau của không gian định chuẩn X, A là
tập mở Khi đó tồn tại siêu phẳng tach A va B
Định li 1.9 (Nguyén ly ánh zạ mỏ) Nếu ƒ : X — Y là một toán tử
tuyến tính toàn ánh liên tục giữa các không gian Banach X tà Y, th ƒ là một ánh œạ mở Đặc biệt 3r >0: ƒ (Bx (0,1)) D By (0,r)
1.2 Một số khái niệm và định lý của độ đo
Định nghĩa 1.10 Cho tap hợp X, kí hiệu 2Ÿ là các tập con của X Tập ĐC 2Ÿ được gọi là ơ-đại số nếu: 1)» z Ú NAEVS X\AEY 3)A; € U,i € I dém duoc thi U A; € 3 iel Dinh nghia 1.11 Ham pw: % 4 RU {+00} được gợi là một độ đo trên X néu: 1)VA EE, u(A) > 0 2)u(0) =0 3){Aibier I dém được, 4;n4; = 0,7 z 3 > 8U Aj) = 5` n(4;) ve iel
Trang 10Định nghĩa 1.12 Cho (XI, Đị,4); (Xa, 33v, 8a) là các không gian đo
được Hàm ƒ : Xì —> Xa được gọi là đo được nếu VA € 3¿, Ƒ~1(A) € 3ì¡
Định nghia 1.13 Cho (X, %, 1) là một không gian do duoc, A € È
Mot day ham {f,,} được gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm sé f trén tap
A nếu 3B C A,B€3n(B) =0 sao cho lìm f,(r) = ƒ(+),V+ € A\B
n—-oo
Dinh li 1.14 (Dinh ly lebesgue vé su hoi tu bi chain) Gia st f, la day cac ham do duoc trén X thỏa mãn:
1) ƒ„ bị chăn bởi một hàm khả tích g không âm trên X lfn(z)| < g(a), Vn 3 1,V+z € X 9) J„ hội tụ hầu khắp nơi tới ƒ Khả đó ƒ khả tích va n—-0o lim lo | fap
Dinh nghia 1.15 Cho hinh hép B = [a1, yi] X X [@n, Yn] , (Ui < 9ì) Kí hiệu thể tích cúa B là Vol„(B) = [] (w¡ — #;):
i=i
Định nghĩa 1.16 Cho A €R" Độ đo ngoài Lebesgue, ki hiéu Vol*(A),
được định nghĩa bởi
Vol; (A) = nD vata.) ael
uới {B.}„c¡ là một phủ đếm được của A bằng các hành hộp
Độ do Lebesgue của A được cho bởi độ đo ngoài Lebesgue Vol„(A) =
Vol*(A) néu vdi E CR"
Vol*(E) = Vol*(AN B) + Vol*((R"\A) NB)
Trang 11
Nhận xét 1.17 Tập AC IR" có độ đo không nếu Ve > 0,3 phú mở đếm
được của A bằng một họ các hành hộp {B.}„.ị sao cho }) Vol„(B,) < e acl
1.3 Phan thé
Dinh nghia 1.18 Cho ƒ : R" —y RẺ kha vi v6 han lan Anh xa f
duoc goi la mot phan thé kha vi tam thường trên R* néu ton tai vi phôi @:IR" 3 R x F véi F là đa tạp n — k chiều sao cho biểu đồ sau giao hoán R” 5 RtxứƑ ` iT RẺ UỚI a: JRxPE' > R* (yz) bey
Định nghĩa 1.19 Cho f : R” > R* kha vi vd han lan, V C R* la tap
mé Anh «a f được gọi là phan thé kha vi tam thường địa phương trên
V néu flpawy: f-'(V) —> V là một phân thó tầm thường trên V
Định nghĩa 1.20 Cho ƒ : R" — IRẺ khả ơi 0ô hạn lần, a e RẺ Ánh xạ
f được gọi là phân thớ (khả tì) tầm thường tại a nếu ƒ là một phân thớ
Trang 12Hình học nửa đại số
2.1 Tập nửa đại số
Trước tiên, ta trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của tập
nửa đại số Dồng thời trình bày Định lý Tarski-seidenberg cùng một số
hệ quả của nó
2.1.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 2.1 (|3]) Một tập con nửa đại số trong R” là tập các điểm
của IR" thỏa mãn tổ hợp hữu hạn các phương trành 0à bất phương trình da thúc uới hệ số thục Cu thé hon, cdc tập con nửa đại số của IR" hành thành lớp nhỏ nhất S.A„ các tập con của IÑ" sao cho:
Trang 13tập con nửa đại số có dạng: {xzc€R": P(z) =0,Q¡(z) >0, ,Q,(+) > 0} với l € Ñ và P,Q, , Q¡ € Rịzi, , #n] Ví dụ 2.3 e Tập con nửa đại số trong ÏR là hợp của hữa hạn điểm và khoảng _ mo Chitng minh Tap con nửa dai s6 trong R 1a hgp ctia hitu han các tập có dang: {x ER: P(x) = 0,Qi(x) > 0, , Q(x) > 0}
véil € N; P,Q1, ,Q: € R [a] Phuong trình P(z) = 0,z+ € R có hữu han
nghiệm Các bất phương trinh Q;(x) > 0,2 € R cho ta hitu han khoang mở Vậy tập con nửa đại số trong IR là hợp của hữa hạn điểm và khoảng
_
mo LÌ
e Tập đại số trong IR” là tập nửa đại số
e Cho F’: R” —> R" là ánh xạ đa thức ` = (Hị, , F„), với F¡ €
Rịz, ,+„| Nễu A là tập con nửa đại số trong IR" thì 14) là tập con nửa đại số của R™
Chứng mãnh Ta có A là tập nửa đại số nên A là hợp hữu hạn của các tập có dạng
{y € R": P(y) = 0, Qi(y) > 0, , Qi(y) > OF
với Ï € Ñ và P,Q\, ,Q¡ € R[pi, , yn] Dé don gian ta gia sit chinh A
Trang 14F(A)
= {zx eR”: F(z) € A}
= {x €R”: P(F(z)) =0,Qi(F(2)) > 0, , Q:(F(a)) > 0}
= {x ER”: (Po F)(x) =0,(Q, 0 F)(x) > 0, , (Qi 0 F)(x) > O}
Vì ánh xạ #' là ánh xạ đa thức và P,Q, ,Q¡ € IRịui, ,„| nên
{z €R”: (Po F)(x) =0,(Q¡sƑ)(+) >0, ,(Q¡o F’)(x) > 0} là nửa đại
số hay F~!{4) là nửa đại số oO
e Néu A la tap con niia dai sé cia R” va L C R” 1A mot dudng thang thi LQ A 1A hợp của hữu hạn diém va khoang md Do dé LN A 1a nita dai sé
e Néu ACR” va B CR" 1a cdc tap nửa đại số thì A x B 1a tập con nita dai s6 cua R™” x R”
Chitng minh Gia st
A= {x ER”: P(x) =0,Qi(x) > 0, , Qi(x) > 0}
B= {y eR": P*(y) =0,Q7(y) > 0, , QE(y) > ụ
Trang 152.1.2 Đinh lý Tarski-Seidenberg và hệ quả
Định lí 2.4 (Tarski-Seidenberg-dang thứ nhất) (3|) Cho hệ phương trinh uà bắt phương trình đa thúc theo biến là T = (TÌ, , T,) uà X, với hệ số trong IR Sy (T, X)P10 S(T, X )>20 S(T, X): at Wea SUT, X);0
6 dé >; € {=,4,>, >} Khi đó tồn tại một thuật toán cho ta một danh
sách hữu hạn C1(T), , Cy(T) các hệ phương trình uà bắt phương trinh
ẳa thức trong T' uới hệ số thực sao cho vdi moi t € R?, hé S(t, X) c6 nghiệm thực khi oà chỉ khi một trong các Œ;(t) được thỏa mãn
Nói cách khác, công thức "3X,S(7; X)" tương đương với "Œ¡(X)
hoặc hoặc Œz(X)" Định lý Tarski-Seidenberg khẳng định sự tồn tại của một thuật toán để loại trừ biến thực X
Dinh li 2.5 (Tarski-Seidenberg-dang thứ hai)([3]) Cho A là tập
Trang 16Theo định lý 2.4, tồn tại một tổ hợp (#, +„) các phương trình và
bất phương trình đa thức sao cho mỗi phần tử của z(44) đều thỏa mãn
C(øi,#a, z„), do đó (4) là nửa đại số Oo Hệ quả 2.6 1) Nếu 4 là tập con nửa đại số của IR“** thì ảnh của nó bởi phép chiếu lên n toa độ đầu tiên là một tập con nửa đại số của R”
2) Nếu A la mét tap con nita dai sd cla R™ va F: R™
R” 1A mot Anh xa da thttc thi anh truc tiép F(A) 1A một tập con nửa đại
số của R”
Chứng mĩnh Hệ quả 1) dễ dàng được suy ra từ Dịnh lý 2.5 bởi quy nạp
theo k Với hệ quả 2), trước hết ta có {(,+) € IR" xIÑ"':z€ A4; = P(z)}
là tập con nửa đại số của R™ x R” Xét phép chiếu của tập đó lên IR" ta
thu được (4) Áp dụng 1) ta có (4) là nửa đại số oO Hệ quả 2.7 Nếu A là tập con nửa đại số cia R” thi bao đóng của nó trong IR” cũng là nửa đại số
Chứng mính Bao đóng của A 1a:
Trang 17trong đó Z1(,£) =x và 7a(,£, U) = (z,£)
Ta thấy {(z,c,z) € IR" xIR x R",€ A,||z — g||?® < e?} là nửa đại
số, suy ra a {(z,e,) € IR" xIR x R",y A,|| z — ø||Ÿ < e?} là nửa đại số Vì {(œ,e) € IR" xIR,e > 0} là nửa đại số nên IR"\ A là nửa đại số Do
do A là nửa đại số oO
'Ta thấy rằng việc viết ra phép chiếu để chứng tỏ một tập con là nửa
đại số thường khá phức tạp Do đó, chúng ta sẽ sử dụng cách viết công
thức nhiều hơn Trước hết ta cần định nghĩa "công thức thứ tự đầu tiên" Định nghĩa 2.8 ([3|) Công thúc thú tự đầu tiên thu được bởi các quy tắc sau: 1) Nếu P € Rla, n] thi P= 0 va P > 0 là công thúc thú tụ đầu tiên
2) Nếu ® uà là công thúc thú tự đầu tiên thì "® uà Â", "$ hoặc
Ww", "khơng ®" (kí hiệu tương ứng là ®AW,®VẦ,¬®) là cơng thúc thú
tự đầu tiên
3) Nếu ® là công thức thú tự đầu tiên va x thuéc R thi Ixe® va Vx® là công thức thú tự đầu tiên
Công thức thu được bởi chỉ quy tắc 1) và 2) được gọi là "công thức lượng hóa tự do".Theo định nghĩa, tập con A C ]R" là nửa đại số khi và chỉ khi tồn tại công thức lượng hóa tự do ®(z, , #„) sao cho
(ZI, ,n„) € A © ®(m, , #n)
Trang 18là công thúc thú tự đầu tiên thà tập các (z\, ,#„) € ]Đ" thỏa mãn ®(zi, ,„) là nửa đại số
Chứng minh Dễ thấy quy tắc 1) và 2) chỉ sinh ra các tập nửa đại số Đối với quy tắc 3), nếu A = {, ,#a+1) 6 BR"? : 6 (a1, ., B41) } 1A ntta dai sé thi {(%1, ,%n) € R” : 3za+l, Ó (đ1, ; #n+1)} là anh cia A qua phép chiéu lén R”, do đó, là nửa đại số theo Dinh ly 2.5 Tuong tu B= {(a1, ,0n) € RẺ: V#a¿l, Ó (0, - , #„‡1)} là nửa đại số vì R”\ = {, ,zạ) €IR”": 3z„ 1, ¬ộ (đ1, .;#n+1)} là nửa đại số Oo
Nhận xét 2.10 Theo Định lý 2.8, "Mỗi công thúc thú tự đầu tiên tương đương uới một công thúc lượng hóa tự do”
Chú ý 2.11 Nhận xét trên không đúng trong trường hợp khoảng biến thiên không phải là IR, IR*" hoặc tập con nửa đại số của IR"“ Ví dụ tập
Trang 19ta có (0,0) € {z€lR?:z‡— zj— zj >0} nhưng với mọi z € A thì z¡ >1, do đó (0,0) £ 4 2) Cho tap ntta dai s6 A = {2 € R”: h(x) > 0} thì nói chung 4° ‘ {z €IR": h(z) > 0} Vídụ A= {z€clR:(1—z)z?(1+z) >0} = Ta có 0 € 4° = (—1,1) nhưng tập {z € R”, (1 — z)z?(1 + z) > nà không chứa 0 2.2_ Hàm nửa đại số Tiếp theo, ta trình bày định nghĩa và một số tính chất của hàm nửa dai SỐ
Định nghĩa 2.13 ([3]) Cho AC IR" oà BC RẺ là các tập nửa đại số
Anh xa ƒ: A-› B dược gọi là nửa đại số nếu đồ thị của nó
Ty ={(,y) €Ax Bry = f(a)}
la tap con mita dai sé ctia R” x R*
Ví dụ 2.14 e Néu f : A> B 1a ánh xạ đa thức (tất cả tọa độ của ƒ
đều là đa thức) thì nó là nửa đại số
Chứng mính 'Ta có
Ứ;={(,)<AxB:u= ƒ()}
={(,u)<AxB:ƒ()—u=0}
là tập nửa đại số nên ƒ là hàm nửa đại số O
e Nếu ƒ: A — là ánh xạ hữa tỉ chính quy (tất cả các tọa độ của
Trang 20Chứng mình Giả stt f(x) = (fi(x), , fr(v)) = Ge trở mì) VỚI 9¡(2), hj(œ) là các ánh xạ đa thức, h;(z) # 0,Vz € A Khi đó T;={Œ,w) Ax B:1¡ = ƒi(œ),¡ = 1, , k} — gi(x) + =6) € Ax cày = Jie) £0,¥e € Avi = 1s th = — ={(z,)€Ax B: g,(z) — u¡.h;(z) = 0,¡ = 1, ,k}
là tập nửa đại số nên ƒ là hàm nửa đại số L e Nếu ƒ: A — IR là hàm nửa đại số thì |ƒ| là hàm nửa đại số
Chứng mình Do ƒ là nửa đại số nên ta có T'¿ là hợp của hữu hạn các
tập có dang {(a,y) € Ax R: P(x, y) = 0,Qi(z, y) > 0, , Qi(x, y) > OF với Ï € Ñ; P(z, 0), Qi(z, 9), , Q,(+, ) € R[x, y] Dé don gian ta c6 thé giả sử rằng chính ['; có dạng đó Khi đó Hạ ={z,)<AxR:y=|ƒ@)J} {(z,)<AxR:u= ƒf(z),u> 0}U t,) € AxIR:= —ƒ(z), > 0} (z,u)<AxR: P(z,u) =0,Qi(z,) >0, , = $ @/(z,9) >0, >0}U{(z,)<AxR: P(x,—w) =0,
Qi(z, —y) > 0, wo Qa, —y) > 0,y >0
là tập nửa đại số nên |ƒ| là hàm nửa đại số |
e Nếu ƒ : 4 — I là hàm nửa đại số và ƒ > 0 trên A thi /f 1A ham
nửa đại số
Chitng minh Do f là nửa đại số nên ta có I'; là hợp của hữu hạn các
Trang 21
tập có dạng
{(z,y) € Ax R: P(a,y) = 0, Qi(a, y) > 0, ,Q¡(z, y) > 0}
với 1 € N; P(z,y), Qi(z,y), , Q(z, y) € R[x, y] Dé don gian ta c6 thé
giả sử rằng chính Ù'; có dạng đó Khi đó
le = {(x,) €AxR:„= v7œ}
(z,/)<AxR: P(z,w?) =0,
Qi(x,y") > 0, ., Qi(#, 1/”) > O,y 2 0
1a tap nia dai sé nén \/f 1a ham nita dai sé L1
Mệnh đề 2.15 Cho A4 C R", 4 # Ú là tập nửa đại số Khi đó, hàm
Trang 22là tập nửa đại số nên ƒ là hàm nửa đại số theo định lý 2.8 L]
Hệ quả 2.16
1) Ảnh và nghịch ảnh của tập nửa đại số bởi ánh xạ nửa đại số là nửa đại số
Chứng mình Cho A C TR" và B C RẺ là các tập nửa đại số Giả sử ánh
xạ ƒ: A —> B là hàm nửa đại số Cho A C A,B C B 1a nita dai sé e Ta có ƒ(4) là nửa đại số Thật vậy, ƒ(Ã) = {/0) EB wre A} =m { (x,y) Ax Bry =s(x)} =m { (x,y) € R" xR: 2 Aye By = f(x)} với a(z, 1) = là phép chiếu lên k toa do cudi cing Do dé f(A) 1a nita dai sé e Ta co f-!(B) là nửa đại số Thật, vay, f(B) = {« CA, f(x) € B} =m {(.) 6 Ax :u= ƒ@)}
=m {(œ.9) cR ˆxIR:zc Aec B,y = f(a)}
véi 7 (x,y) = + là phép chiếu lên m tọa độ đầu tiên Do đó ƒ~1!(Ø) là
nửa đại số |
2) Hợp thành của hai ánh xạ nửa đại số là nửa đại số
Chiing minh Cho A C R™, B CR’ vA C C R* la cdc tap niia dai sé
Gia st f: A> Bvag: B > C [a cac ánh xạ nửa đại số Khi đó
Trang 23
gof:A—>C là nửa đại số Ta có
E; ={(œ,)<AxB:u= ƒ()}
suy ra
[yx C={(a,y,z)€ Ax BxC:y= f(x)} là tập nửa đại số Tương tự ta có
AxI,ạ={ứø,uw,z)<AxBxC:g(w)=z}
cũng là nửa đại số Do đó,
(Ty x C)N (A xT,)
= {(2,y,z) € Ax Bx C:y= f(x); g(y) = 2} = {(#,y,z2) €Ax BxC:z=9(f(2)),y = flx)}
là nửa đại số Vì vậy
z((T/ x Ø)n(A xT,)) = {(œ,z) € A x Œ:z = Glf(0))} = Does
là nửa đại số, với Z(z, y, z) = (x, z) là phép chiếu lên R'“+*, Oo
Trong phần còn lại tác giả phát biểu một số kết quả không tầm thường
được sử dụng trong chứng minh Định lý 4.1
Định nghĩa 2.17 (|6]) Tu nói tap A C R” có tính chất Whitney voi hằng số M nếu bắt kỳ hai điểm +,ụ € A có thể được nối trong A bởi một
đường cơng trơn từng khúc có độ đài S M ||z — 9Ị|
Cho A C R" x RY, t € IRP và kí hiệu 4, = {z €IR“: (z,f) € A} Ta
Trang 24Định li 2.18 ([6]) Ton tai M = M(n) > 0 sao cho vdi moi tap nita dai
số A C ]R" x R? ton tại phân hoạch hữu hạn A = H L1 thỏa mãn tới iel moi t € R?, mdi tap L' c6é tinh chat Whitney vdi hang s6 M Đặc biệt A; = [| Li vdi moi t € R’ iel Bổ dé 2.19 ([1],[2])(Bổ đề chọn đường cong)
Cho A C R® la tap ntia đại số Cho x € A Khi đó tồn tại một ánh
xạ nửa đại số liên tục + : [0,e) —> IR” sao cho +(0) = z và +((0,e)) C A Bổ đề 2.20 ([1],|2])(Bồ đề chọn đường cong tại vô hạn)
Cho A C R" va cho @: 4 — R2 là ánh xạ nửa đại số Giả sử tồn
tai day 2; € A sao cho 2; —> œ,ở(#¡) —> với € IR+ Khi đó tồn tại
đường cong nửa đại số + : (œ,/) —> IÑR" sao cho 7(t) € A, lim |+()| =
sf
+00, lim 9(7(t)) = y
Bổ đề 2.21 ([1])(Bổ đề cánh)
Cho 9 va là hai tập con nửa đại số của IR" Giả sử Ð = BC Ø9
Khi đó, tồn tại một tập nửa đại số A C © sao cho
B=AN(Q\Q)
Dinh nghia 2.22 Dat B' = {x ER’: |r| <1} CR’ Tacé6e CR"
được gọi là một buồng ¡ chiều nếu e đồng phơi với BÌ
Định lí 2.23 (Định lú phân ngăn trụ) Cho S C IR" là tập nửa đại số Khi đó tồn tại một phân hoạch S thành họ hữu hạn các buồng nủúa dai số {e©¡};cạ, tức là 9 = |] e¡ uới e¡ là nửa đại số 0à e¡ [\e; = ÍJ tới ¡ # j
¡e1
Trang 25
Định nghĩa 2.24 (Chiều của tập mửa dại số) Tu định nghĩa chiều của
một tập nửa đại số SŠ như sau:
DimS = max dim ej
Trang 26Ham Rabier và tập các giá trị tới
2 A
hạn suy rộng của hàm sô
Chương này trình bày về hàm Rabier và tập các giá trị tới hạn suy rộng Ngoài ra, chương này trình bày một vài ví dụ minh họa tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị rẽ nhánh
3.1 Ham Rabier
Truéc tién, ta trinh bay vé dinh nghĩa và tính chất của ham Rabier Định nghĩa 3.1 Cho X,Y la khong gian Banach trén R, A € L(X,Y)
Toán tử liên hợp của A, kí hiệu là A* € L(Y', X'), duoc định nghĩa như Sau:
(A*2)(z) = ¿(A(z)),Yz € X,ø €Y”
Định nghĩa 3.2 ([S]) Cho X,Y” là các không gian Banach trên trường R, AE L(X,Y) Khi đó, ta định nghĩa hàm Rabier bởi
v(A) = (A) fetes inf A* || el
Trang 27Mệnh đề 3.3 ¿⁄(4) > 0 khi và chỉ khi 4 là toàn ánh
Chứng mnh Trước hết giả sử (A) > 0 và giả sử A khơng là tồn ánh
Ta chứng mình 3¿ € Y', ||¿||[ = 1,ker¿ 2 ImA Dat Z = Y/ma, do Z z {0} nên Z' # {0} Lấy Ø e Z',¿ #0, llê|| = 1 Ánh xạ ¿: Y —>IR
được xác định như sau
0 cImA
Z(0l) ye ¥\ImA
yy) =
Dễ thấy 2 # 0 nên ¿ # 0 Với mọi € Im4 thì € ker¿, do đó Im A4 kery Ma ||| = |l£|| = 1 nên ta chỉ cần chứng minh ¢ 1a phiém
hàm tuyến tính
Lay \,a € Y,k € R,k z 0, trước hết ta chttng minh [y, + yo] =
[vi] + [ye] và [ky] = k[m| Lây z € [gì +a| thì z = ÿì + + a = yi + (yo + @) € [m] + [ya] voi a € ImA Lay z € [yi] + [yo] thì z =
Yr + ay + yo + a2 = yr + yo + (a1 + a2) € [ys + 9a] với ai, ø¿ € Im A Do vay [yi + yo] = [1] + [ye] Dang thtic cdn lai chttng minh tung ty Bay
giờ ta có p(y +y2) = 9 (Ly + 2]) = ý (n] + [ua]) = 2 (u]) + 2 (ua]) =
#0) + (0s) và ply) = ø ([Eui]) = 6 ( [ji]) = ke (Lui) = Aen) nen
¿ là phiém ham tuyén tinh
Với y chi ra 6 trén, ta cé ||A*y]| = ||p o Al] = 0 nên v(A) = 0 (mau
thuẫn) Vậy A là toàn ánh
Bây giờ giả sử A là toàn ánh và giả sử ⁄(4) = inf ||/A*y|| = 0 Khi
lszll=1
= 1 sao cho ||A*y-
đó với moi e > 0, tồn tại y: € Y’, | Pe |<e Ta có 4*¿:||<e = sup | A*p-(x)|| < e
Trang 28
e Ấn Il\p-(A(z))|] < € = sup |lye(y)|| < lzll=1u=A(z) = sup |l2:()||< s €A(Bx(0.1)) Do A là toàn ánh, áp dụng định lý ánh xạ mở ta có 3r > 0 sao cho A(Bx (0,1)) Đ By (0,z) Do đó sup ||2z()||<e =z sup lÌlw:()l|< e yeBy (0,r) yeBy (0,1) & = sup |lye(y)|| < = ye By (0,1) r ẽ = ll:|Ì < = r Điều này chỉ ra ||¿:|| > 0 mau thuan véi ||¿:|| = 1, do đó (4) > 0 O
Mệnh dé 3.4 ((8]) Cho X,Y,Z là các không gian Banach trén R,
Trang 29v(A) (A) = _mt_ J4*2l = inf A* = “ inf oA |
= int inf {lel IIAID = I All} = ||All
ii) Néu Y = {0} thi hién nhién A = 0, va vi A*y(x) = ¿(A(z)) = ¿(0) = 0,Vz € X nên A* = 0 Do đó ||4*| = |All Vậy ta giả sử Y # {0} Trước hết ta có||4'||= sup ||4#¿l= sup le All<
pe igl=1 eeY”,|gll=1 sup {lly|l:||4l|} = |IAll, suy ra |All > l4”|:
œ€Y”,|ly||=1
Bây giờ ta chứng minh ||A|| < ||A*|l Trước hết ta chứng minh ” z
{0} Thật vậy, với Y # {0} thì tồn tại v € Yu 4 0 Dat x = — thì bị
lz|| = 1 và (+) = (0) Xét phiếm hàm tuyến tính Z2 : (+) —> IR xác định bởi Ø (+) = 1 Theo định lý Hahn-Banach tồn tại một phiếm hàm tuyến
tinh gy: Y > R thỏa mãn yy) = Ø và |l¿|| = 1 Do vậy Y“ # {0}
Lấy z € X, ||z|| = 1 Nếu Az = 0, theo lập luận ở trên Y” # {0} nên tồn tại @ € Y7: |lv|| = 1 Ta có vy (Az) = 0 = ||Aall:
Giả sử Az # 0, xét phiém ham tuyến tính ¢: (Ar) > R với 2 (0) =
li|| Ta có
lZl = lul|=1.e(4Az) sup ell = sup [loll y= 7427
= sup l Gr =| - Ile (Az)lh (Az) = 1
[Aa || al
Áp dụng định lý Hahn-Banach tồn tại một phiếm hàm tuyến tính ¿ :
Y — R thỏa mãn ¿4y = Ø và ||¿|| = ll@|| = 1 Khi do (yo A) (x) =
Trang 301,||Azll = ¿(4z) < ||4*| Do đó ||A|| < ||4*|| Ta có điều phải chứng
minh
iil) Ta co: (A*0(A™)*) (py) = Ato (oA?) = (poAToA=
yo(A-!o A) = gy Tuong ty ta cing c6 ((A7!)" 0 A*) (¿) = ¿, do đó (A-})* = (A*)-1, 1 i2) Theo định nghĩatacóu(4)= inf ||A*¿||= —————T— œe€Y“,|e|l=1 sup eer“IeI=1 lÌ⁄4*øl| 1 Đặt j = A*¿, khi đó @ = (A*)” hụ và (A) = I su
vex ||(ay van UA
vit =|(4ay tel] < yt] tel nen mị Sl@*I +18 là" do đó 1 = " oe ‘le el < || A | (3.1) Mặt khác ian = sup (ay ; UàeX* dall=1 X“llúl[ =1: (a7 ts ian —e Dặt Ú = thì [oro *)-ly 44 = [ered | = 1 và lÌ0|| = Ie[ : | Do đó - - (rte > er] 2 hay <9 4 vay 1 =
sex’ eon TOT > ||A+] (3.2)
Từ (3.1) và (3.2) suy ra sup TS = ||A1 i vay v(A) =
eX“||(4*) 'u||=1 Ke
Trang 31
1 — I4] , 1v) Ta có (4) = inf ||A*y|| < sup ||A*y|| = ||A*|| =||All lsll=1 lell=1 v) Ta có: B* = A* — (A* — B*) Voip € Y*, |[y|] = 1, ary
|Bgl| = ||A*e — (A* — 8)v|| 3 IA" ell — I(A* — Bell => inf |BYpl| > inf (I|A%el] — IA" — Bel) lel=1 lel=1
= inf ||B*gl| > inf ||A*¿l|— sup lỊ(4*— 8)¿| l¿ll=1 lll=1 llell=1
= w(B) > (A) — ||A* = B*||”z(A) - ||A = BỊ
=> (A) — (B) < ||A — BỊ
Tương tự ta có
(B) — (A) < ||A — BỊ):
Do đó ta có điều phải chứng minh
vi) Nếu (Œ) = 0, dễ thây đẳng thức đúng, vì vậy ta giả sử (Œ) # 0
Trước hết ta chứng minh Œ* là đơn ánh Thật vậy, giả sử đụ, ý¿ :
C*(w¡) = C*(w), khi đó gị o Ở = ÿ¿ o Ở, suy ra Vụ € Y : vi(C(y)) =
(y2(C(y)) Theo Ménh dé 3.3, C 1a toàn ánh, nên Vz € Z,3ự € Y :
Cứ) = z Do đó Vz € Z, #1(2) — #2(2) = @1I(CÚ)) — #2(C)) = 0
Tom lai vi(z) = yo(z), Vz € Z suy ra ÿ¡ = ýa hay C* đơn ánh Xét w € Z', ||| = 1, khi do C*v # 0 và do vậy
; ị | A*C* | }
inf A*C* 1 inf "¬——.|C"
ủeZ'|0|I=1 | vÌ eZ, wl|=1 \, ae low
> i we inf Crd]
Trang 32
Lại có, đặt y = len] thì |lự¿||[ = 1 và @ € InC* C Y” nên ta có
J4*C*|
"m=—m—= inf A*
eZ“IIull=tL ||C*d|| etait tia! ell
> inf JAel=w(4) per’ |lel|=1
Do vậy v(CA) > v(A)v(C) O
Định nghĩa 3.5 ([5]) Cho X,Y là hai không gian Banach trén R Goi » là tập tất cả các toán tử khơng là tồn ánh trong £(X,Y) Ta định
nghĩa hàm khoảng cách đến X bởi
dist(A,}) = mỸ ||A — BỊ Bed
Bổ đề 3.6 ([5]) Cho A € L(X,Y) la anh xa toàn ánh và e > 0 thì
dist(A,>) < (A)+e
Chứng minh Ta có v(A) = rai |L4*e|| nên 3ự¿; € Y”,|l¿:|| = 1 : ll¿- o All < (4) +e Do Imự; C R là không gian tuyến tính con nên Imự; = l hoặc {0} Nếu Imự; = {0} thì |l¿:|| = 0 suy ra vô lý Vậy Imự; = I Ta viết Y = Kerg; + (g;) với g: là vectơ thỏa mãn
@:(:) = 1 Hơn thế nữa Y = Kerg;@(-) vì giả sử h € Y,h = ky.yet+a =
kạ.Ụ; + 29 V6i ky, ko © IR; 21, 22 € Kery, thi (ky — ko) ye = 21 — 2, trite la (kì — ka) @ (0) = @ (2i — 22) = 0, nên ky = hạ, khi đó z¡ = z¿ hay khai
triển của b là duy nhất
Xét p;: Y = Kerw; © (y-) + (ye) là phép chiếu chính tắc lên (;}
Dat B= A—p,o A, Vx € Y ta có
B.(x) = (A— pz 0 A)(@) = A(x) (pe â A) (ô) = U — pe(y),
Trang 33
với y = Ax Phan tích = 1 + 9a với 1 € ker ý, yo € (ye), ta có
B(x) = yi + yo — pe(yi + yo) = yi + yo — yo = 9ì € ker 0y
Do đó ; £ Im(A — p;o 4), vì vậy A— p;o A không toàn ánh hay A-—p-oA€Ed Ta có
(veo A)(x) = ve(A(x)) = (9) = Ye(yity2) = ely) + ve(ye) = Ye(ye)
Vi {y2, ye} phụ thuộc tuyến tính nên ta cd thé viét yo = k(x).y- véi
k(x) € R, do do (y- o A)(a) = yz (k(x).y-), vi vay
|(¿: s 4)(+)| = |e:(k(#).:)| = |E(2)| |ự:(w:)| = |k@)|
Hơn nita do (p- 0 A)(x) = yo = k(x).ye nén
lp- s All = sup llứø- s 4)(z)| = sup Jk@):Ì
= IIvell pup Jk(z)| = ll:l hai |v s A(z)| = |lyell - lee © All Š llu-ll.((4) +) Vì vậy l4 — B:|| = lÌp s All < llu:l|.((4) + s) Đuy ra dist(4,5) < ||w:||.((A) + s), và do đó Heh cane s
Trang 34wo Well
Chitng minh Do |wW(y)| = lú(w — y1)| < WHI) - ly — vill, Van © ker) nén fw} < |ly— || Vụi € ker, do đó
Khang dinh 3.7 Nếu € Y\{0} thì Vụ € Y, dist(,kerU) = lIu|| MOL < aist(y kerd) (3.3) II
Lai só|0||= sp |ð(5)|nênVe, > 0,a < li ,3*: lll|= 1,Ì0(3) > 1
llu|| — e Đặt k = oe } khi đó (0) = k./(z) suy ra j( — Èk.z) =0, do vậy ị := y—k.z € kery, nén || — ¡|| = ||k.z|| = |k| = Ha <
WM Từ đó ta có dist(, kerJ) < WML , SUY Ta
wll - a1 ll0|l— si
dist(y, ker w) < v0) (3.4) II]
WWI
Từ (3.3) và (3.4) ta có dist(0, ker ) = “ell” O
Ap dung Khang định 3.7 ta được
dist(0, ker p- + ye) = dist(—ye, ker ge) = a =1
Suy ra tồn tại dãy u, trong kery; sao cho y” = ; + Un thỏa mãn
£-(w#) = 1,Vn, ||y?|| | 1 Ở trên ta đã chứng mình nếu ¿.(/:) = 1 thì
dist(A, ©) < (4) +e Tương tự ta có Can l yt < v(A) +e, do dé
dist(A, 5) = Tim dist(A, 2) x) v(A) +e
ma J|yP|| -
Mệnh đề 3.8 Cho A € £(X,Y) Ta có (4) = dist(A,3)
Trang 35
Chitng minh Tit Bo dé 3.6, ta có (A) 3 dist(A, 5) — e,Ve > 0, do đó v(A) 3 dist(A,3)
Mặt khác, theo mệnh đề 3.4v) ta có |⁄(4) — (B)| < ||A — B|| suy ra inf |v(A) —(B)|< < inf ||A — BỊ do đó inf |⁄(4)| < Nà X)(do Be
3>; nên (PB) =0), hay WA) < < dist(A, 5) Vay v(A) = dist(A, ¥) O
Ménh dé 3.9 v(A) la ban kinh lén nhat R sao cho hình cầu mở tâm A bán kính R khong cắt 3)
Chitng minh Dat R= supr
—————— B(A,)n5=0
Trước hét ta ching minh v(A) > R V6i mọi e > 0, ta cé B(A, R —
e)NX=9, do d6 VB €X,B ¢ B(A, R—«) hay ||A— B|| > R—e nén dist(A, 5) = inf ||A — B|| > R—-e, do dé dist(A,X) > R Theo Ménh dé 3.8 thi v(A) > R
Bay giờ ta chứng mình (A4) < đ Với mọi e > 0, ta có B(A, +
e)n5 #Ú, do đó 3Œ € Đ,C e B(A,I.+e) hay |A — C||< R+e nên dist(A, 5) = inf ||A — B|| < +e, do đó dist(A,5) < # Theo Mệnh dé 3.8 thi v(A) < R
Tóm lại v(A) = R= supr O
B(A,r)N==0
Mệnh đề 3.10 Cho A € L(X,Y) Khi do
v(A) = sup{r > 0: By(0,r) C A(Bx(0,1))}
Chitng minh Dat R = sup{r > 0: By(0,r) C A(Bx(0,1))}, ta chting minh v(A) = R
Trang 36và đặt 2 = ky thi [lel] = [kyl] = |R|-llull < ạ r: || = r, tức là z ll Il | By (0,r) Lại có Vz € X, A(z) # nên không tồn tại z € X : A(z) =
có nghĩa là z £ 4(Bx(0,1)) Do đó ??= 0 = (4)
Trường hợp v(A) # 0 Trước hết ta chứng mình (A) > R Chor < R
và @ € Y”, |l¿|| = 1, khi đó
Ve > 0, 3 € Sy(0, 1) : |y(y)| >1—e
Do r < ñ ta có Sy(0,r) C A(Bx(0,1)) Vi ry € Sy(0,r) nén Ar €
Bx(0,1) : Ax = ry Do vay |y(Ax)| = r.|y(y)| > r( — e), suy ra
|p 0 Al] > r(1 —e) Do do (4) > r(L— e),Ve > 0,Vr < R, do đó
(A) 3 R
Bây giờ ta chứng minh (A4) < Cho e > 0 và € By(0,R +
e)\A(Bx(0,1)) Dat H = A7!((y)) Goi Aj : X —> É) là hạn chế của A lên ! Dễ thấy Vh € H, Alg(h) € () nên Aiy(h) = À(h) Vì Atw tuyến tính nên À là tuyến tính
Ta c6 Vk € Bx(0,1)N A thi A(h) € A(Bx(0,1))N (y) May ¢
A(Bx(0, 1)) 9 (y) nén ta có |IA(B)|| < lly|L- Vậy ta eó |À(R)| =
1,Vh € H, ||h|| = 1 hay ||A|| < 1
Ấp dụng định lý Hahn-Banach với phiếm hàm tuyén tinh A: H > R, tồn tại phiếm hàm tuyến tính À : X — R, mé rong của À lên X thỏa mãn ||À|| = ||A|| < 1 Dat B, = A —A.y, ta chimg minh B, € »
Ta ching minh y ¢ Im B, va do dé B, khong 1a toan anh Thật vậy, giả sử
dx € X : B, (x) = ụ Khi đó Az—À (z) y = Do đó Az+ = (A(@) +1) y
Trang 37Vay B, € Ð và ta có (4) = dist(A,5) < |A- B,|| = llÃu|| = IIAIIllull < R+e,Ve > 0 Do vay (4) < ñ và ta có điều phải chứng
minh L]
Mệnh đề 3.11 Hàm ¿ là nửa đại số trên £(R”,IR*)
Chứng mưnh Theo Mệnh dé 3.8, (A) = dist(A,5) Theo Mệnh đề 2.15 ta chỉ cần chứng minh Ð là tập nửa đại số Ta có thể xem Ð là tập tất cả các ma trận cấp k x n có hạng < k Do vậy kxn , : (ij) <1, degt,.n © RO : dan, ,ae €R: y= k k là tập nửa đại số ya na 0, ` aiai =0,Vj =1, ,n
Mệnh dé 3.12 Cho A € £(R", R*) thi v(A) = min || vdi p? 1a gia trị
riêng của AA' Chitng minh Ta c6
RẺ ^: li" ^ RẺ
Trường hợp k > n Do A không là toàn ánh, theo Mệnh đề 3.3, (4) =
0 Vi dim(AA*(R*)) < n < k nén Im AA* # R#, do đó ker AA* # {0},
vay Ju 40: AA*v = 0 = Ov Vi vay AA* có một giá trị riêng bằng 0
Trường hợp k < n Gọi 0 và À là véc tơ riêng và giá trị riêng tương ứng
của AA* với ||o|| = 1, ta có (AA*o,ø) = (Ao,u) = A(,») = Al|o| = A
Lại có (AA*0,u) = (A*o, A*v) = ||A*o||”, nên vÀ = ||A*o|| Đặt G là
tập tất cả các giá trị riêng của AA*, V là tập các véc tơ riêng của AA*,
ta có minwWA= min ||A*o|
Trang 38Bay giờ ta chứng minh tồn tại œạ là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng
nhỏ nhất sao cho ||o|| = 1 và ||A*òo|| = (4) Khi đó mm || A*u]] =
vEV,||v||=1
BH || A*v|| = (1)
Thật vậy, nếu ta đồng nhat A € £(R",RẺ) với ma trận của nó thì Aly = (v? A)" hay A* 1A ma trận chuyển vị của A Do đó AA* là ma trận đối xứng, nên 44* có k véc tơ riêng trực giao Vì vậy tồn tại một
cơ sở trực giao của IR* bao gồm các véc tơ riêng của AA*, cũng có nghĩa là tồn tại một cơ sở trực chuẩn {øy, ,0y} của JRỶ với œị, ,0„ là các
véc tơ riêng trực chuẩn của 4A" Với € IRẺ, ||o|| = 1 thi v = > Q0 i=l k k k Do có ||o||Ÿ = 1 nên ( ait as = 1, tttc lA Soa? = 1 Ta i=l =1 isl k k c6 AA*(v) = S aj;AA* (v;) = YD a;Ajv;, nén ||A* (v) |? = (AA*v, v) = = =1 k k k
(x ajAju;, >> ai) = >)d/2À¡ Do vậy ta có (4) = min ||A* (0)|| =
i=l ¡=1 i=l ilel|=1 min lel|=1 k SY aP?A; = fA; voi À; là giá trị riêng nhỏ nhất trong các À¡ Gọi ¿=1
0ọ là véc tơ riêng đơn vị ứng với À;, khi đó v⁄À; = |L4” (øa)|| và ta có
điều phải chứng minh O
Định nghĩa 3.13 ([4]) Cho m, m, , Ne € R” Khodng cach Kuo gitta
nhitng vecto đó được định nghĩa bởi
RỆ,Tị›, ,?y) = min đisf(, ((;)jz:)) 1<i<k
Trang 39i) di, € {1, ,k} sao cho Vk |Ìé›, Ì — I < |, §„)|
ii) Cho (e1, €2, ., ex) 1a co sd truc chuan cla R* Ki hiéu £ 1a ellipsoid
k 2
được định nghĩa trong cơ sở đó bởi {+ : )}})|—| = 1}, với 0 < |ai| <
i=1 |
< Ja;,| € Ru,Wl <i < k Giả sử & € E,VI< ¡< È Khi đó min |[&il| < Vk jai) 1<i<k Xi k Chitng minh i) Ta viét u = >> a;.€; vi a; € R, khi dé i=l (uf) =D Chim (côn i= 2 k k (uw 7) k Ệ lu? = YT laegil = Soe, LC ian) i=1 = 1 Do đó, tồn > — 1 (do € §(0,1)) nên >
tại 7o € {1, , k} sao cho
(“f0 )| >x= (ees) > gee eco NHI Mat
ii) Ap dung i) véi u = e, € S(0,1), ta dude:
Trang 40k \q,|? Lai cé €;,, € nên ` Si) 1, do đó ah <1 hay |œi| < |ai| Do vậy ¡=1 | đi ay (Eig, €1) < Jarl (3.6) Tit (3.5) va (3.6) suy ra [|&|| < VE lax], nen min El] < VE [aa] O
Mệnh dé 3.15 Cho A = (Aj, , Ax) € C(R",R*),i = {1, ,k} Ki
hiéu 7; la vecto gradient cua A; thi
1(A) < Rím 1t) € Vk4⁄(A)
Chứng mình Thường hợp /(A) = 0 Khi đó A € » và do dé A la ma
trận có hạng nhỏ hơn & Vậy œ (4) = &(m, , rỌ„) = 0
Trường hợp (A) # 0 Với mọi 1 < ¡ < k, dat Vi = {x € R”: (2, nj) =
0,9 # i} Khi dé V;+ = ((n;);4i), ta có
dist(n, Vit) = inf, In — al z€V;
= min lv (n:) + Ðự (m) — «|
z€VW;
= mịn ||pw,(u) + (pỹ;(w) — #)|| z€;
với py, và pỳ là các phép chiếu vuông góc tương ứng lên Vị và W¡ˆ Vì
?v,(m) và py,(n) — # là hai vectơ trực giao nên min đạt khi va chi khi x = py.(ni) Khi do dist(n;, Vi-) = |lpv,(m)|| Lai c6 Vx € Vj, |||] = 1 thì
(nit) = (pv,(m),2) + (py,(m), +)
= (py,(m), x) (do x € V; nén (py,(ni), ©) =0)
= Ipvi(n)||- all c08 (pv 2)